Luitzen Egbertus Jan Brouwer

Satura rādītājs:

Luitzen Egbertus Jan Brouwer
Luitzen Egbertus Jan Brouwer

Video: Luitzen Egbertus Jan Brouwer

Video: Luitzen Egbertus Jan Brouwer
Video: BètaBreak - Topoloog en intuïntionist L.E.J. Brouwer 2024, Marts
Anonim

Šis ir fails Stenfordas filozofijas enciklopēdijas arhīvos.

Luitzen Egbertus Jan Brouwer

Pirmoreiz publicēts trešdien, 2003. gada 26. martā; būtiska redakcija Saule, 2005. gada 25. septembris

Holandiešu matemātiķis un filozofs, kurš dzīvoja no 1881. līdz 1966. gadam. Viņu tradicionāli dēvē par “LEJ Brouwer” ar pilniem burtiem, bet draugi viņu sauca par “Bertus”.

Klasiskajā matemātikā viņš nodibināja moderno topoloģiju, izveidojot, piemēram, dimensijas topoloģisko invarianci un fiksētā punkta teorēmu. Viņš arī sniedza pirmo pareizo dimensijas definīciju.

Filozofijā viņa smadzenes ir intuīcija, kas ir revizionistisks matemātikas pamats. Intuitīcionisms matemātiku uzskata par brīvu prāta darbību, neatkarīgi no jebkuras valodas vai objektu platoniskas valstības, un tāpēc matemātiku balsta uz prāta filozofiju. Ietekme ir divējāda. Pirmkārt, tas noved pie konstruktīvas matemātikas formas, kurā liela daļa klasiskās matemātikas tiek noraidīta. Otrkārt, paļaušanās uz prāta filozofiju ievieš pazīmes, kuru nav klasiskajā matemātikā, kā arī citos konstruktīvās matemātikas veidos: atšķirībā no tām, intuitionistiskā matemātika nav piemērota klasiskās matemātikas sastāvdaļa.

  • 1. Persona
  • 2. Hronoloģija
  • 3. Brūvera intuīcijas īss raksturojums
  • 4. Brūvera intuīcijas attīstība
  • Bibliogrāfija
  • Citi interneta resursi
  • Saistītie ieraksti

1. Persona

Brūvers studēja Amsterdamas (pašvaldības) universitātē, kur viņa nozīmīgākie skolotāji bija Diederiks Kortewegs (no Korteweg-de Vries vienādojuma) un, īpaši filozofiski, Gerrit Mannoury. Brouvera galvenie studenti bija Maurits Belinfante un Arend Heyting; pēdējais savukārt bija Annas Troelstra un Dirka van Dalēna skolotājs. Brouvera nodarbības apmeklēja arī vēlākais pasaules šaha čempions Makss Evejs, kurš publicēja spēles teorētisko rakstu par šahu no intuitīvisma viedokļa (Euwe, 1929) un kurš daudz vēlāk pasniegs Brūvera bēru runu. Starp Brouvera palīgiem bija Heitings, Hanss Freudenthals, Kārlis Mengers un Vitolds Hurewicz, no kuriem pēdējie divi nebija intuitīvi noskaņoti. Ietekmīgākais Brouwer atbalstītājsIntuitīvisms ārpus Nīderlandes tajā laikā vairākus gadus bija Hermans Veils.

Šķiet, ka Brūvers ir bijis neatkarīgs un izcils cilvēks ar augstiem morāles standartiem, taču ar pārspīlētu taisnīguma izjūtu, liekot viņam brīžiem kļūt piesardzīgam. Tā rezultātā viņš savā dzīvē enerģiski cīnījās daudzās cīņās.

No 1914. līdz 1928. gadam Brūvers bija Mathematische Annalen redakcijas padomes loceklis, un viņš bija Compositio Mathematica dibinātājs, kurš pirmo reizi parādījās 1934. gadā.

Cita starpā viņš bija Nīderlandes Karaliskās Zinātņu akadēmijas, Londonas Karaliskās biedrības, Berlīnes Preußische Akademie der Wissenschaften un Getingenes Akademie der Wissenschaften loceklis.

Brūvers saņēma goda doktora grādus no Oslo (1929) un Kembridžas (1954) universitātēm, un viņu 1932. gadā ieguva par bruņinieku Nīderlandes lauvas ordenī.

Brūvera arhīvs glabājas Nīderlandes Utrehtas universitātes Filozofijas nodaļā. Tiek gatavota sarakste un manuskripti.

2. Hronoloģija

1881. gada 27. februāris, dzimis Overshjū (kopš 1941. gada Roterdamas daļa), Nīderlandē.

1897. gads iestājas Amsterdamas universitātē studēt matemātiku un fiziku.

1904. g. Maģistra grādu (MA grādu); pirmā publikācija (par rotācijām četrdimensiju telpā); precas Līze de Holla (dzimusi 1870. gadā). Viņiem nebūtu bērnu, bet Lizei bija meita no agrākas laulības. Viņi pārceļas uz Blaricum, netālu no Amsterdamas, kur viņi nodzīvos visu atlikušo mūžu, lai gan viņiem bija mājas arī citās vietās.

1907. gadā iegūst doktora titulu ar disertāciju Over de Grondslagen der Wiskunde (par matemātikas pamatiem) Amsterdamas universitātes Korteweg uzraudzībā. Tas iezīmē viņa intuitīvās matemātikas rekonstrukcijas sākumu. Vēlāk tajā pašā gadā Brouvera sieva absolvē un kļūst par farmaceitu. Visu mūžu Brūvers veica viņas grāmatvedību un aizpildīja nodokļu veidlapas, un dažreiz viņš palīdzēja aiz letes.

1908. gadā pirmā dalība starptautiskā konferencē, Ceturtajā starptautiskajā matemātiķu konferencē Romā.

1909. – 1913. Gads Ļoti produktīvos četros gados Brūvers izveido klasisko matemātiku kā moderno topoloģiju. Uzsver: dimensijas invarianci, fiksēta punkta teorēmu, kartēšanas pakāpi, dimensijas definīciju. Pauze viņa intuitīvajā programmā.

1909. gadā kļūst par Amsterdamas Universitātes privātu docentu (bez atlīdzības pasniedzēju). Atklāšanas lekcija 'Het Wezen der Meetkunde' ('Ģeometrijas daba').

1909. gads Tiekas ar Hilbertu Nīderlandes piejūras kūrortā Ševeningenā. Brūvers ļoti apbrīno Hilbertu un viņu tikšanos vēstulē draugam apraksta kā “skaistu jaunu gaismas staru caur manu dzīvi” (Brouwer & Adama van Scheltema, 1984, 100 lpp.). Divdesmit gadus vēlāk Brūvera attiecības ar Hilbertu kļūs skābas.

1911. gadā pirmo reizi nosaukumi “formālisms” un “intuitīvisms” parādījās Brūvera rakstos, pārskatot Gerrita Mannoury grāmatu no 1909. gada par metodoloģiskām un filozofiskām piezīmēm par pamata matemātiku metodologisches und Philosophisches zur Elementar-Mathematik.

1912. gadā ievēlēts par Karalisko Zinātņu akadēmiju (Otrā pasaules kara laikā “Nīderlandes Zinātņu akadēmija”, pēc tam “Nīderlandes Karaliskā zinātņu akadēmija”).

1912. gadā ieceļ pilnu profesoru ekstraordinārijas jomā “kopuma teorija, funkciju teorija un aksiomatika”. Viņa filozofiskā atklāšanas lekcija “Intuitionisme en Formalisme” tiek tulkota angļu valodā kā “intuīcionisms un formālisms”, un tādējādi tā 1913. gadā kļūst par pirmo publikāciju par intuīciju šajā valodā.

1913. gadā iecēla pilnu profesoru ordinarius, kurš aizstāja Korteweg, kurš dāsni piedāvāja atbrīvot savu krēslu šajā nolūkā.

1914. gadā uzaicināts pievienoties Mathematische Annalen redakcijai; pieņem godu.

1918. gadā Brūvers sāk sistemātisku matemātikas intuitīvu rekonstrukciju ar savu darbu “Begründung der Mengenlehre unabhängig vom logischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten”. Ersters Teils, Allgemeine Mengenlehre.” ('Pamatinformācijas teorija neatkarīgi no izslēgtā vidus principa. Pirmā daļa, vispārīgās kopas teorija.')

1919. gads saņem profesora piedāvājumus Getingenē un Berlīnē; noraida abus.

1920. gada “Grundlagenstreit” (Pamatdiskusija) sākums ar Brouvera lekciju “Naturforscherversammlung” Bad Nauheim, kas 1921. gadā tika publicēta kā “Besitzt jede reelle Zahl eine Dezimalbruch-Entwickelung?”. ('Vai katram reālajam skaitlim ir decimāldaļas paplašināšanās?'); to pastiprināja Veila 1941. gadā aizstāvētā intuīcija, 'Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik' ('Par jauno matemātikas pamatkrīzi'); atbildēja Hilberts 1922. gadā, “Neubegründung der Mathematik” (“Matemātikas jaunais pamats”).

1920. gada “Intuitionistische Mengenlehre” (“Intuitionistic Set Theory”) ir pirmais intuitīvās matemātikas gabals plaši lasītā starptautiskā žurnālā Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung.

1922. gads kopā ar Gerrit Mannoury, autori Frederiku van Eedēnu un citiem, dibina biedrību “Signifische Kring” (“Nozīmīgais aplis”), kuras mērķis ir garīgs un politisks progress, veicot valodas reformu, sākot ar Viktorijas izvirzītajām idejām. Lēdija Velbija rakstā “Sajūta, nozīme un interpretācija” (Welby, 1896). Aplis savas sanāksmes beidz 1926. gadā, bet Mannoury turpina darbu.

1926. gada lekcija Getingenē; Grupu vakariņu Emmy Noether mājā rezultātā Hilberts un Brūvers atkal (uz īsu laiku) ir uz labiem noteikumiem.

1927. gada lekciju cikls Berlīnē; viņa vēlākais palīgs Freudenthal ir auditorijā. Laikraksts Berliner Tageblatt ierosina sabiedriskās debates starp Brūveru un Hilbertu rīkot tās lapās, taču kaut kādu iemeslu dēļ tas netiek realizēts. Brūvers nepabeidz arī grāmatu, kuru viņš uzaicinājis uzrakstīt vācu izdevējs Valters de Grūters. Lekcijas un nepilnīga grāmata tiek publicēta pēcnāves laikā (Brouwer, 1992).

1928. gada 10. un 14. marts: divas lekcijas Vīnē. Gēdels ir auditorijā, tāpat kā Vitgenšteins. Mēdz teikt, ka pirmā lekcija lika Vitgenšteinam atgriezties pie filozofijas. Brūvers dienu pavada kopā ar Vitgenšteinu.

1928. gada aprīlis: sarunas ar Husserlu, kurš atrodas Amsterdamā, lai lasītu lekcijas.

1928. gada konflikts par Boloņas konferenci. Vācu matemātiķi pirmo reizi kopš Pirmā pasaules kara beigām tiek atkārtoti uzņemti starptautiskā konferencē, bet ne tik vienlīdzīgi. Brūvers uzsver, ka tas nav taisnīgi un ka, ja vien pret vāciešiem neizturas labāk, konferenci vajadzētu boikotēt. Hilberts, kurš nepiekrīt šim viedoklim, ir ļoti satraukts par Brūvera rīcību un apmeklē konferenci kā lielākās klātesošās Vācijas delegācijas vadītājs.

1928.-1929 “Mathematische Annalenstreit”, konflikts Mathematische Annalen redakcijā. Hilberts, domājot, ka viņš drīz mirs, jūt nepieciešamību pārliecināties, ka pēc viņa nāves Brūvers nekļūs pārāk ietekmīgs, un prettiesiskā veidā viņu izdzen no valdes. [Hilberta motivācija, kas aprakstīta šeit, ir dokumentēta viņam tuvu cilvēku vēstulēs: Karateododija Einšteinam, 1928. gada 20. oktobris; Blumenthal Mathematische Annalen izdevējam un redaktoriem, 1928. gada 16. novembris; Dzimis Einšteinā 1928. gada 20. novembrī. Šo vēstuļu kopijas atrodas Brūveres arhīvā Utrehtas universitātē. No tiem saistītie citāti atrodami van Dalen, 2005, lpp. 604. un 52. lpp. 613]. Einšteins, arī valdes loceklis, atsakās atbalstīt Hilberta rīcību un nevēlas, lai tam būtu kaut kas saistīts ar visu lietu;vairums citu valdes locekļu nevēlas kairināt Hilbertu, iebilstot pret viņu. Brūvers dedzīgi protestē. Rezultātā viss dēlis tiek izšķīdināts un nekavējoties salikts bez Brūvera, stipri samazinātā lielumā (īpaši Einšteina un Carathéodory samazināšanās). Konflikts atstāj Brūveru garīgi salauztu un izolētu un izbeidz ļoti radošu desmitgadi viņa darbā. Tagad, kad divi galvenie konkursa dalībnieki to vairs nespēj turpināt, “Grundlagenstreit” ir beigusies. Tagad, kad divi galvenie konkursa dalībnieki to vairs nespēj turpināt, “Grundlagenstreit” ir beigusies. Tagad, kad divi galvenie konkursa dalībnieki to vairs nespēj turpināt, “Grundlagenstreit” ir beigusies.

1928–1930. Konflikts ar Kārli Mengeru par prioritātes noteikšanu dimensijas jēdziena pirmajai pareizajai definīcijai.

1929. gada augusts: Brūvera portfeļa zādzība uz tramvaja Briselē un līdz ar to arī viņa matemātiskā piezīmju grāmatiņa. Kad ne policija, ne privāts detektīvs, kas nolīgts šim nolūkam, to vairs nevar atrast, viņš izmisis, ka kādreiz varētu rekonstruēt tā saturu. Brouvers vēlāk teica, ka šis zaudējums bija nozīmīgs viņa galveno interešu maiņā no matemātikas uz filozofiju.

1929. gads sāk gatavoties jauna matemātiskā žurnāla dibināšanai.

1934. gadā parādījās paša Brouwer starptautiskā žurnāla Compositio Mathematica pirmais numurs.

1934. gada lekciju cikls Ženēvā.

1935-1941 Blaricum pašvaldības padomes loceklis vietējai Neitrālajai partijai (1939. gadā viņš uzvar vēlēšanās, saņemot 310 no 1601 balsīm).

1940.-1945. Gadā, vācu okupācijas laikā Nīderlandē Otrajā pasaules karā, Brūvers palīdz pretošanās spēkiem un cenšas palīdzēt saviem ebreju draugiem un studentiem. 1943. gadā viņš studentiem iesaka parakstīt vāciešu pieprasīto lojalitātes deklarāciju. Daļa no viņa skaidrojuma pēc kara ir tāda, ka parakstīšana sniegtu studentiem relatīvo mieru, kas vajadzīgs, lai izveidotu un veiktu pretošanās aktivitātes. Viņu sagaida skepse. Sakarā ar šo un dažiem līdzīgiem, iespējams, neveiksmīgiem mēģinājumiem izmanīt opozīciju okupācijas laikā, pēc atbrīvošanas viņš tiek atstādināts uz dažiem mēnešiem. Dziļi aizvainots, Brūvers uzskata emigrāciju uz Dienvidāfriku vai ASV.

1942. gads atkal izdod trīs īsas piezīmes par intuitīvisma pamatiem - pirmās kopš 1933. gada.

1945-1950 Konflikts par žurnālu Compositio Mathematica. Žurnāls nebija parādījies kara laikā, un tiek mēģināts to atjaunot. Grūtības samontēt jaunu redaktoru padomi rodas tāpēc, ka Brouwer ir sabojāta reputācija. Beigu beigās Brouvera vārds paliek titullapā, bet faktiski viņš tiek svītrots no viņa dibinātā žurnāla padomes.

1947.-1951. Gadskārtējā lekciju sērija Kembridžā, Anglijā. Brūvers plāno tos pārvērst grāmatā, bet tas nenotiek. Tomēr viņš pabeidz piecas no plānotajām sešām nodaļām, un tās tiek publicētas pozitīvi (Brouwer, 1981).

1948. gads atsāk savu pamatprogrammu ar darbu, kurā izmantots priekšmeta radīšanas jēdziens. Cita radošā perioda sākums.

1949. gadā iebilst pret plānoto dokumentu savākšanu publicēšanu, pamatojoties uz to, ka viņam nav laika rakstīt anotācijas, kas atspoguļo viņa oriģinālu, kā arī viņa pašreizējo viedokli par tām, kas, viņaprāt, būtu zinātniski atbildīgā lieta.

1951. gads pensionējas no Amsterdamas Universitātes. Atdzist no viņa attiecības ar Arend Heyting, viņa pēctecis direktora amatā Matemātikas institūta, jo domstarpības par precīzu lomu pensionēto Brouwer joprojām varētu spēlēt tur.

1952. gadā lekcijas Londonā un Keiptaunā.

1953. gadā lekcijas Helsinkos, kur viņš paliek pie Vona Raita. Lekciju tūre caur ASV (cita starpā MIT, Prinstonu, Viskonsinas-Madisonas Universitāti, Bērkliju, Čikāgu) un Kanādu (Kanādas matemātikas kongress Kingstonā, Ontario). Prinstonā viņš apmeklē Gēdeli.

1955 izdod savu jauno jauno rakstu (pamatojoties uz viņa lekciju Boole konferencē Dublinā gadu iepriekš).

1959. gadā 89 gadus vecas Brūveres kundzes nāve. Brūvers noraida piedāvājumu uz 1 gadu amatu Britu Kolumbijas universitātē Vankūverā.

1962. gadā Brouveram tiek piedāvāts amats Montānā.

1966. gada 2. decembris: mirst 85 gadus vecajā Blaricumā, Nīderlandē, kad viņu mājas priekšā notriec automašīna.

3. Brūvera intuīcijas īss raksturojums

Balstoties uz viņa prāta filozofiju, uz kuru Kanta un Šēpenhauers bija galvenās ietekmes, Brūvers matemātiku raksturoja galvenokārt kā precīzas domāšanas brīvu darbību, darbību, kuras pamatā ir tīra (iekšējā) laika intuīcija. Neviena neatkarīga objektu sfēra un valoda nespēlē būtisku lomu. Tādējādi viņš centās izvairīties no platonisma Scillas (ar tās epistemoloģiskajām problēmām) un formālisma Charybdis (ar satura nabadzību). Tā kā pēc Brouvera domām, matemātisko patiesību nevar noteikt ārpus domāšanas aktivitātes, apgalvojums kļūst patiess tikai tad, kad subjekts ir pieredzējis savu patiesību (veicot atbilstošu garīgo konstruēšanu); līdzīgi,apgalvojums kļūst nepatiess tikai tad, kad subjekts ir pieredzējis savu nepatiesību (saprotot, ka nav iespējama atbilstoša garīgā uzbūve). Tādēļ Brūvers var apgalvot, ka “nav nepieredzējušu patiesību” (Brouwer, 1975, 488. lpp.).

Brūvers bija gatavs ievērot savu prāta filozofiju līdz galīgajiem secinājumiem; tas, vai rekonstruētā matemātika ir savietojama vai nav savietojama ar klasisko matemātiku, bija sekundārs jautājums, un tas nekad nebija noteicošais. Piešķirot filozofijai prioritāti salīdzinājumā ar tradicionālo matemātiku, viņš parādīja sevi kā revizionistu. Un patiešām, kaut arī intuitīvisma aritmētika ir klasiskās aritmētikas apakšsistēma, analīzē situācija ir atšķirīga: ne visa klasiskā analīze ir intuitīvi pieņemama, bet arī intuitionistiskā analīze nav klasiski pieņemama. Brūvers no visas sirds pieņēma šīs sekas.

4. Brūvera intuīcijas attīstība

Brūvera mazā 1905. gada grāmata Dzīve, māksla un misticisms, neveicot savus matemātikas pamatus kā tādus, tomēr ir atslēga tiem pamatiem, kas izstrādāti viņa disertācijā, pie kuras viņš strādāja tajā pašā laikā un kura tika pabeigta divus gadus vēlāk. Starp daudzām citām lietām, piemēram, bēdīgi slavenajiem uzskatiem par sabiedrību un it īpaši sievietēm, grāmatā ietvertas viņa pamatidejas par prātu, valodu, ontoloģiju un epistemoloģiju.

Šīs idejas tiek izmantotas matemātikā viņa disertācijā Over de Grondslagen der Wiskunde (Par matemātikas pamatiem), kas aizstāvēta 1907. gadā; intuitīvisma attīstību aizsāk vispārējā filozofija, nevis paradoksi (kad tas jau bija sācies, parādījās paradoksu risinājumi). Tāpat kā Kants, Brūvers matemātiku balstās uz tīru laika intuīciju (kamēr viņš noraida tīru telpas intuīciju).

Brūvers uzskata, ka matemātika būtībā ir darbība bez valodām un ka valoda var sniegt matemātiskās darbības aprakstus tikai pēc šī fakta. Tas noved pie tā, ka viņš noliedz aksiomātiskas pieejas jebkurai pamata lomai matemātikā. Viņš arī loģiku uztver kā matemātiskās aktivitātes lingvistisko variantu izpēti, tāpēc loģika ir atkarīga no matemātikas (kā modeļa izpēte), nevis otrādi. Tieši šie apsvērumi viņu motivē ieviest atšķirību starp matemātiku un metamatemātiku (kurai viņš lietoja terminu “otrās kārtas matemātika”), ko viņš 1909. gada sarunās paskaidros Hilbertam.

Izmantojot šo skatu, Brouvers plāno rekonstruēt Kantorijas kopas teoriju. Kad (disertācijas projektā) mēģinājums konstruktīvi iziet no Kantora otrās numuru klases (visu izteikti bezgalīgo ordināru klases) un vēl lielāku ordināru augstākās klases neizdodas, viņš saprot, ka to nevar izdarīt, un noraida augstāko numuru klases, atstājot tikai visus ierobežotos ordinārus un nepabeigtu vai bezgalīgu kolekciju, kurā ietilpst ārkārtīgi bezgalīgi ordināri. Tādējādi viņa filozofisko uzskatu rezultātā viņš apzināti atceļ daļu no vispārpieņemtas matemātikas. Drīz viņš darīs to pašu ar loģikas principu, izslēgtā vidus (PEM) principu, bet disertācijā viņš joprojām domā par to kā pilnīgi pareizu, bet bezjēdzīgu, interpretējot p ∨ ¬ p kā ¬ p → ¬ p.

Brodveits 1908. gada grāmatā “De Onbetrouwbaarheid der Logische Principes” (“Loģisko principu neuzticamība”) formulē savu kritiku par PEM: lai arī vienkāršā p ∨ ¬ p formā šis princips nekad nenovedīs pie Pretruna, ir gadījumi, kad konstruktīvi runājot, nav pozitīva iemesla, lai tos uzskatītu par patiesiem. Brouvers nosauc dažus. Tā kā tie tiešā nozīmē neatspēko PEM, tie ir zināmi kā “vāji pretparaugi”. Papildinformāciju par šo tēmu skatīt papilddokumentā:

Vājie paraugi

Jaunievedumi, kas intuitīvismam sniedz daudz plašāku diapazonu nekā citi konstruktīvās matemātikas varianti (ieskaitot to, kas minēts Brūvera disertācijā), ir izvēles secība. Tās ir potenciāli bezgalīgas skaitļu (vai citu matemātisku objektu) secības, ko viens pēc otra izvēlas atsevišķs matemātiķis. Izvēles kārtas pirmo reizi parādījās kā intuitīvi pieņemami objekti grāmatas recenzijā no 1914. gada; Brūvera 1916. gada lekciju piezīmēs tika formulēts princips, kas padara tos matemātiski izsekojamus, nepārtrauktības princips. Galvenais izvēles secību izmantojums ir analīzes rekonstrukcija; punkti kontinuumā (reālie skaitļi) tiek identificēti ar izvēles sekvencēm, kas atbilst noteiktiem nosacījumiem. Izvēles secības tiek apkopotas, izmantojot ierīci, ko sauc par “izplatību”,kas klasiskajā analīzē pilda funkciju, kas līdzīga kantoriešu kopai, un sākotnēji Brouvers izklājumos pat lieto vārdu “Menge” (“komplekts”). Brūvers izstrādā izkliedes teoriju un uz to balstīto punktu kopu teoriju divdaļīgajā dokumentā no 1918./1919. Gada “Begründung der Mengenlehre unabhängig vom Satz vom ausgeschlossenen Dritten” (“Izveidoto personu teorijas neatkarība no izslēgto principa”) Vidus ').

Atbilde uz jautājumu Brouveres darba nosaukumā “Vai katram reālajam skaitlim ir decimāldaļas paplašināšanās?” (1921) izrādās nē. Brūvers pierāda, ka var konstruēt izvēles secības, kas atbilst Kaučija nosacījumam, ka to precīza izstrāde ir atkarīga no vēl atklātas problēmas. Detaļu paplašināšanu nevar izveidot, kamēr atklātā problēma nav atrisināta; Brūveres striktā konstruktīvisma skatījumā tas nozīmē, ka decimālā ekspansija neeksistē, līdz atklātā problēma nav atrisināta. Šajā nozīmē var konstruēt reālos skaitļus (ti, saplūstošas izvēles secības), kuriem nav decimāldaļas paplašinājuma.

1923. gadā Brūvers, izmantojot izvēles secības un atklātas problēmas, izstrādā vispārēju paņēmienu, kas tagad pazīstams kā “Brouwerian counterexamples”, lai izveidotu vājus klasisko principu paraugus (“Über die Bedeutung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten in der Mathematik”, “Par Izslēgtā vidus principa nozīme matemātikā ').

Intuitīvisma analīzes pamatteormas - joslu teorēma, ventilatora teorēma un nepārtrauktības teorēma - ir atrodamas 1927. gada “Über Definitionsbereiche von Funktionen” (“Par funkciju definīcijas domēniem”). Pirmās divas ir strukturālo teorēmu sadalījums; trešajā (nejaukt ar izvēles secību nepārtrauktības principu) teikts, ka katra kopējā funkcija [0,1] → ℜ ir nepārtraukta un pat vienmērīgi nepārtraukta. Ventilatora teorēma faktiski ir joslas teorēmas rezultāts; apvienojumā ar nepārtrauktības principu, kas nav klasiski derīgs, iegūst nepārtrauktības teorēmu. Klasiskajā analīzē abas šīs teorēmas daļas būtu nepatiesas. No otras puses, joslu un ventilatoru teorēmas ir klasiski pamatotas, lai gan klasiskās un intuitīvās liecības tām nav apmaināmas. Klasiskie pierādījumi intuitīvi nav pieņemami, jo tie ir atkarīgi no izslēgtā principa vidus; intuitīvie pierādījumi klasiski nav pieņemami, jo tie ir atkarīgi no pārdomām par garīgo pierādījumu struktūru. Šajās pārdomās Brūvers iepazīstināja ar pierādījuma “pilnībā izanalizēta” vai “kanoniskā” formas jēdzienu, ko daudz vēlāk pieņems Martins Līfs un Dummets. Brouvers zemsvītras piezīmē min, ka šādi pierādījumi, kurus viņš identificē ar garīgiem objektiem subjekta prātā, bieži ir bezgalīgi.kuru daudz vēlāk pieņems Martin-Löf un Dummett. Brouvers zemsvītras piezīmē min, ka šādi pierādījumi, kurus viņš identificē ar garīgiem objektiem subjekta prātā, bieži ir bezgalīgi.kuru daudz vēlāk pieņems Martin-Löf un Dummett. Brouvers zemsvītras piezīmē min, ka šādi pierādījumi, kurus viņš identificē ar garīgiem objektiem subjekta prātā, bieži ir bezgalīgi.

1928. gada “Intuitionistische Betrachtungen über den Formalismus” (“Intuitionistu pārdomas par formālismu”) identificē un apspriež četras galvenās atšķirības starp formālismu un intuīciju, un tas viss ir saistīts vai nu ar PEM lomu, vai ar attiecībām starp matemātiku un valodu. (Tieši šeit Brūvers zemsvītras piezīmē atsaucas uz iepriekšminētajām sarunām ar Hilbertu no 1909. gada.) Brouvers uzsver, kā viņš to bija izdarījis disertācijā, ka formālisms paredz saturisku matemātiku meta līmenī. Viņš šeit arī iepazīstina ar savu pirmo spēcīgo pretparaugu, vienas PEM formas atspēkojumu, parādot, ka ir nepatiesi, ka katrs reālais skaitlis ir vai nu racionāls, vai iracionāls. Papildinformāciju par šo tēmu skatīt papilddokumentā:

Spēcīgi pretparaugi

No divām 1928. gadā Vīnē notikušajām lekcijām - “Mathematik, Wissenschaft und Sprache” (“Matemātika, zinātne un valoda”) un “Die Struktur des Kontinuums” (“Kontinuuma struktūra”) - pirmajai ir filozofiska rakstura būtība savukārt otrais ir matemātiskāks. Brošērs grāmatā “Matemātika, dabaszinātnes un valoda” izklāsta savu vispārējo viedokli par attiecībām starp trim nosaukumā minētajiem priekšmetiem, ievērojot ģenētisko pieeju un uzsverot gribas lomu. Šīs lekcijas garāka versija tika iesniegta holandiešu valodā 1932. gadā kā “Willen, Weten, Spreken” (“Brīvība, zināšanas, valoda”); tajā ir ietvertas pirmās izteiktās piezīmes par jēdzienu, kas pastāvēja jau no paša sākuma, tagad pazīstams kā “idealizēts matemātiķis” vai “veidojošs priekšmets”.

1948. gada lekcija “Apziņa, filozofija un matemātika” vēlreiz iepazīstina ar Brūvera prāta filozofiju un dažām no tās sekām matemātikā. Salīdzinājums ar dzīvi, mākslu un misticismu, pirmo Vīnes lekciju un “Willen, Weten, Spreken” atklāj, ka Brūvera vispārējā filozofija gadu gaitā ir ievērojami attīstījusies, bet tikai padziļināti.

1949. gadā Brūvers (1949a) publicē pirmo spēcīgo pretparaugu jaunās klases piemēru - klasi, kas atšķiras no Brūveres agrākā spēcīgā pretparauga (1928. g., Skat. Iepriekš) ar to, ka argumentu tips, kas tagad saucas “radīt subjekta arguments”, ietver būtisku atsauci uz radītāja subjekta matemātiskās aktivitātes laika struktūru (Heyting, 1956, III un VIII nodaļa; van Atten, 2003, 4. un 5. nodaļa).

Brouvera piemērs rāda, ka ir gadījums, kad dubultā nolieguma princips ∀ x ∈ℜ (¬¬ P (x) → P (x)) rada pretrunu (“Ne-ekvivalents Van de Constructieve en en de Negatieve Orderelatie in het Continuum”,“Konstruktīvās un negatīvās kārtības attiecības kontinuuma ekvivalence”). Šīs jaunās spēcīgo pretparaugu (un spēcīgo pretparaugu kopumā) pirmās publikācijas angļu valodā bija jāgaida līdz 1954.gadam “Pretrunības piemērs funkciju klasiskajā teorijā”. Šis polemiskais nosaukums būtu jāsaprot šādi: ja tiek ievērots klasiskās teorijas burts, bet tā interpretācija aizstāj intuitīvus priekšstatus par viņu klasiskajiem kolēģiem, rodas pretruna. Tātad tas nav paraugs vārda tiešā nozīmē,drīzāk rezultāts nav skaidrojams. Tā kā intuitīvisma loģika formāli ir klasiskās loģikas daļa, un intuitionistiskā aritmētika ir daļa no klasiskās aritmētikas, spēcīgu pretparaugu esamībai jābūt atkarīgai no būtībā neklasiskās sastāvdaļas, un tas, protams, ir izvēles secība.

Priekšmeta veidojošais arguments ir pēc izvēles sekvenču ieviešanas un joslu teorēmas pierādīšanas, kas ir jauns solis intuitīvisma subjektīvo aspektu izmantošanā. Nav principiāla iemesla, kāpēc tam vajadzētu būt pēdējam.

Bibliogrāfija

Brūvera teksti

Gandrīz visi Brouwer dokumenti ir atrodami

  • Brouwer, LEJ, 1975, apkopotie darbi 1. Matemātikas filozofija un pamati, A. Heitings (red.), Amsterdama: Ziemeļholande.
  • Brouwer, LEJ, 1976, apkopotie darbi. 2. Ģeometrija, analīze, topoloģija un mehānika, H. Freudenthal (red.), Amsterdam: North-Holland.

Kolekcijā Darbi holandiešu valodā ir tulkoti angļu valodā, bet franču vai vācu valodā tie nav. Vairāku no tiem tulkojumi angļu valodā ir atrodami

  • van Heijenoort, J., ed., 1967, no Frege līdz Gödel. Avots matemātiskajā loģikā, 1879.-1931. Gads, Kembridža (MA): Harvard University Press.
  • Mancosu, P., ed., 1998, no Hilbert līdz Brouwer. Debates par matemātikas pamatiem 1920. gados, Oksforda: Oxford University Press.

Brouvera mazās grāmatas Leven, Kunst en Mystiek, 1905. gada tulkojums angļu valodā, no kuras apkopotajos darbos ir tikai fragmenti.

Brouwer, LEJ, 1996, “Dzīve, māksla un mistika”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 37 (3): 389–429. Tulkojis Valters van Stigts, kurš sniedz ievadu 381-387. Lpp

1927. Gada Berlīnes lekcijas ir publicētas

Brouwer, LEJ, 1992, Intuitionismus, D. van Dalen (ed.), Manheima: BI-Wissenschaftsverlag

Kembridžas 1946. – 1951. Gada lekcijas, kuras tiek ieteiktas kā Brouwer paša ievads intuīcijā, ir publicētas kā

Brouwer, LEJ, 1981, Brouwer's Cambridge Lectures on intuitionism, D. van Dalen (ed.), Cambridge: Cambridge University Press

Īpaša biogrāfiska interese, tomēr netulkota, ir Brouvera un viņa drauga, sociālisma dzejnieka CS Adama van Scheltema sarakste, kas attiecas uz 1898. – 1924. Gadu:

Brūvers, LEJ, un Adama van Scheltema, CS, 1984, Droeve Snaar, Vriend van Mij. Brieven, D. van Dalen (ed.), Amsterdama: De Arbeiderspers

Citu citētie primārie teksti

  • Evejs, M., 1929. gads, “Mengentheoretische Betrachtungen über das Schachspiel”, Nīds. Akad. Wetensch. Proc., 32: 633-644.
  • Hilberts, D., 1922. gads, “Neubegründung der Mathematik. Erste Mitteilung ', Hamburgera matemātika. Seminarabhandlungen, 1: 157-177. Tulkojums angļu valodā “The New Grounding of Mathematics: first report” (Mancosu 1998).
  • Mannoury, G., 1909, Methodologisches und Philosophisches zur Elementar-Mathematik, Haarlem: Visser.
  • Welby, V., 1896, 'Sense, Meaning and Interpretation', Mind, NS, 5 (17): 24-37; (18): 186-202.
  • Weyl, H., 1921, 'Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik', Mathematische Zeitschrift, 10: 39-79. Tulkojums angļu valodā “Par jauno matemātikas pamata krīzi” (Mancosu 1998).

Vidējā literatūra

  • van Attens, M., 2004, On Brouwer, Belmont (CA): Wadsworth.

    Brūvera iecerēts intuitīvisma filozofisks ievads, plaši apstrādājot joslu teorēmas pierādījumus, radīšanas priekšmetu un intersubjektivitāti

  • van Dalen, D., 1990, “Varžu un peļu karš vai Mathematische Annalen krīze”, Mathematical Intelligencer, 12 (4): 17-31.
  • van Dalen, D., 1999/2005, Mystic, Geometer and Intuitionist, 2 sējums, Oxford: Clarendon Press.

    Brūvera standarta biogrāfija. 1. sējums, Dawning Revolution, attiecas uz 1881. – 1928. Gadu, 2. sējums “Cerība un vilšanās” - 1929. – 1966

  • van Dalen, D., 2001, LEJ Brouwer 1881-1966. Īena biogrāfija. Het Heldere Licht van de Wiskunde, Amsterdama: Bert Bakker.

    Populāra biogrāfija 1 sējumā, holandiešu valodā

  • Dummett, M., 1977, Intuitionism Elements, Oxford: Oxford University Press. 2., pārskatītais izdevums, 2000. gads, Oksforda: Clarendon Press.

    Pārskats par intuīciju. Filozofiski tas šķiet tuvāk Vitgenšteinam nekā Brouveram

  • Hesselings, DE, 2003, rūķi miglā. Brūvera intuitīvisma uztvere 20. gadsimta 20. gados, Bāzele: Birkhauers.

    . Detalizēta vēsturiska diskusija par reakcijām uz Brūvera nobriedušo intuīciju pamata debašu laikā

  • Heytings, A., 1956. gads, Intuīcionisms. Ievads, Amsterdama: Ziemeļholande. Otrais, pārskatītais izdevums, 1966. gads. 3., pārskatītais izdevums, 1971. gads.

    Droši vien visu laiku ietekmīgākā grāmata par šo tēmu. Heitings iepazīstina ar ikdienas matemātikas dažādu pamata priekšmetu intuitīvām versijām stilā, kas ir daudz zemāks un okeumēniskāks nekā Brūvera stils. Brūverim un Heitingam ir dažas filozofiskas domstarpības, kas izmaina to, kā viņi vērtē dažus intuitīvās matemātikas aspektus. Nav zināmi Brouveres komentāri par šo grāmatu

  • Largeault, J., 1993, Intuition et Intuitionisme, Paris: Vrin.

    Pārskats par intuīciju, uzturoties tuvu Brouwer un parādot labu Brouwer izpratnes par intuīciju vēsturisko fonu

  • Placek, T., 1999, Mathematical Intuitionism and Intersubjectivity, Dordrecht: Kluwer.

    Intelektuālisma argumentu salīdzinājums, ko izvirzījuši attiecīgi Brouwer, Heyting un Dummett, jo īpaši attiecībā uz intuitionistic matemātikas intersubjektīvās pamatotības iespēju

  • van Stigt, W., 1990, Brūvera intuitīvisms, Amsterdama: Ziemeļholande.

    Satur interesantas filozofiskas diskusijas un sniedz materiālus no Brūveres arhīva angļu valodā. Biogrāfiskā skice tagad ir aizstāta ar (van Dalen, 1999/2005) un (van Dalen, 2001)

Citi interneta resursi

  • Pārskats par Heslinga rūķiem miglā simboliskās loģikas biļetenā (Postscript)
  • Dirka van Dalena brouvera bibliogrāfija (pēcraksts)

[Lūdzu, sazinieties ar autoru, lai saņemtu papildu ieteikumus.]