Sanktpēterburgas Paradokss

Satura rādītājs:

Sanktpēterburgas Paradokss
Sanktpēterburgas Paradokss
Anonim

Ieejas navigācija

  • Iestāšanās saturs
  • Bibliogrāfija
  • Akadēmiskie rīki
  • Draugu PDF priekšskatījums
  • Informācija par autoru un atsauce
  • Atpakaļ uz augšu

Sanktpēterburgas paradokss

Pirmo reizi publicēts otrdien, 2019. gada 30. jūlijā

Sanktpēterburgas paradoksu ieviesa Nikolajs Bernoulli 1713. gadā. Tas joprojām ir uzticams avots jaunām mīklām un atziņām lēmumu teorijā.

Sanktpēterburgas paradoksa standarta versija ir iegūta no Sanktpēterburgas spēles, kuru spēlē šādi: Taisnīga monēta tiek pagriezta, līdz tā pirmo reizi nāk virs galvas. Tajā brīdī spēlētājs uzvar ($ 2 ^ n,), kur n ir monētas nomaiņas reižu skaits. Cik vajadzētu būt gatavam maksāt par šīs spēles spēlēšanu? Lēmumu teorētiķi iesaka mums izmantot gaidāmās vērtības maksimizēšanas principu. Saskaņā ar šo principu neskaidra izredzes vērtība ir summa, kas iegūta, reizinot katra iespējamā iznākuma vērtību ar tās varbūtību un pēc tam saskaitot visus nosacījumus (skat. Ierakstu par racionālas izvēles normatīvo teoriju: paredzamā lietderība). Sanktpēterburgas spēlē ir viegli noteikt rezultātu monetārās vērtības un to varbūtības. Ja monēta nolaižas galvā uz pirmā pārsega, jūs laimējat 2 USD,ja tas nokrīt uz otrā flipa, jūs laimējat 4 USD, un, ja tas notiek trešajā flip, jūs iegūstat 8 USD utt. Rezultātu varbūtības ir (frac {1} {2}), (frac {1} {4}), (frac {1} {8}),…. Tāpēc Sanktpēterburgas spēles paredzamā naudas vērtība ir

(sākt {izlīdzināt} frac {1} {2} cdot 2 + / frac {1} {4} cdot 4 + / frac {1} {8} cdot 8 + / cdots & = 1 + 1 +1+ / cdots \& = / sum_ {n = 1} ^ { infty} pa kreisi (frac {1} {2} pa labi) ^ n / cdot 2 ^ n \& = / infty. / beigas {izlīdzināt})

(Daži teiktu, ka summa tuvojas bezgalībai, nevis ka tā ir bezgalīga. Mēs šo atšķirību apspriedīsim 2. sadaļā.)

“Paradokss” sastāv no tā, ka mūsu labākā racionālās izvēles teorija, šķiet, nozīmē, ka būtu racionāli maksāt jebkādu ierobežotu maksu par vienu iespēju spēlēt Sanktpēterburgas spēli, kaut arī ir gandrīz skaidrs, ka spēlētājs laimē ļoti pieticīgu summu. Varbūtība ir (frac {1} {2}), ka spēlētājs laimē ne vairāk kā 2 USD, un (frac {3} {4}), ka viņš vai viņa laimestu ne vairāk kā 4 USD.

Stingri loģiskā nozīmē Sanktpēterburgas paradokss nav paradokss, jo no tā formālās pretrunas neizriet. Tomēr apgalvojums, ka saprātīgam aģentam būtu jāmaksā miljoniem vai pat miljardiem par šīs spēles spēlēšanu, šķiet absurdi. Tāpēc šķiet, ka mums vismaz ir līdzīgs paraugs gaidāmās vērtības palielināšanas principam. Ja racionalitāte liek mums likvidēt visus savus aktīvus, lai iegūtu vienu iespēju spēlēt Sanktpēterburgas spēli, tad tas šķiet nepievilcīgi.

  • 1. Sanktpēterburgas paradoksa vēsture
  • 2. Mūsdienu Sanktpēterburgas paradokss
  • 3. Nereāli pieņēmumi?
  • 4. Ierobežota lietderības funkcija?
  • 5. Vai ignorēt mazas varbūtības?
  • 6. Paredzamā relatīvā lietderības teorija
  • 7. Spēle Pasadena
  • Bibliogrāfija
  • Akadēmiskie rīki
  • Citi interneta resursi
  • Saistītie ieraksti

1. Sanktpēterburgas paradoksa vēsture

Sanktpēterburgas paradokss ir nosaukts pēc viena no vadošajiem astoņpadsmitā gadsimta zinātniskajiem žurnāliem, Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae [Pēterburgas Imperiālās zinātņu akadēmijas dokumentiem], kurā Daniels Bernoulli (1700–1782) publicēja darbu ar nosaukumu “Parauga teorija Novae de Mensura Sortis”[“Jaunas teorijas izklāsts par riska mērīšanu”] 1738. gadā. Daniels Bernoulli bija uzzinājis par problēmu no sava brāļa Nikolaja II (1695–1726), kurš ierosināja agru, bet nevajadzīgi sarežģītu versiju. paradoksa paraugs vēstulē Pjēram Remandam de Montmortam 1713. gada 9. septembrī (par šo un saistītajām vēstulēm sk. J. Bernoulli, 1975). Nikolauss lūdza de Montmortu iedomāties piemēru, kurā parastu kauliņu ripina, līdz parādās 6:

[W] cepure ir B cerība, ja A apsola B dot viņam dažas monētas šajā progresijā 1, 2, 4, 8, 16 utt. Vai 1, 3, 9, 27 utt. Vai 1, 4, 9, 16, 25 utt. Vai 1, 8, 27, 64, nevis 1, 2, 3, 4, 5 utt., Kā iepriekš. Lai arī lielākoties šīs problēmas nav grūti, tomēr jūs atradīsit kaut ko kurioziskāku. (N. Bernulli uz Montmortu, 1713. gada 9. septembrī)

Izskatās, ka Montmorts uzreiz neguva Nikolaja punktu. Montmorts atbildēja, ka šīs problēmas

nav grūtību, vienīgais satraukums ir atrast to sēriju summu, kuru skaitītāji atrodas kvadrātu, kubu utt. progresīvā, saucējiem ir ģeometriskā progresija. (Monmorts uz N. Bernelu, 1713. gada 15. novembrī)

Tomēr viņš nekad neveica nekādus aprēķinus. Ja viņam būtu, viņš būtu atklājis, ka pirmās sērijas (1, 2, 4, 8, 16 utt.) Paredzamā vērtība ir:

(sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {5 ^ {n-1}} {6 ^ n} cdot 2 ^ {n-1}.)

Par šo sēriju tā uzskata

(lim_ {n / to / infty} pa kreisi | / frac {a_ {n + 1}} {a_n} pa labi | / gt 1,)

tāpēc, piemērojot koeficienta testu, ir viegli pārbaudīt, vai sērija ir atšķirīga. (Šo testu atklāja d'Alemberts 1768. gadā, tāpēc varētu būt negodīgi kritizēt Montmortu par to, ka viņš to neredz.) Tomēr arī paša Nikolaja iesniegtais matemātiskais arguments bija nedaudz ieskicēts un neatstāj iespaidu uz mūsdienu matemātiķiem. Labā ziņa ir tā, ka viņa secinājums bija pareizs:

no tā izrietētu, ka B ir jāpiešķir A bezgalīga summa un pat vairāk nekā bezgalība (ja ir atļauts šādi runāt), lai viņš varētu izmantot priekšrocības, dodot viņam dažas monētas šajā progresijā 1, 2, 4, 8, 16 utt. (N. Bernoulli uz Montmortu, 1714. gada 20. februārī)

Nākamo nozīmīgo ieguldījumu debatēs Kramērs sniedza 1728. gadā. Viņš lasīja par Nikolaja sākotnējo problēmu Montmorta publicētajā grāmatā un vēstulē Nikolajam ierosināja vienkāršāku un elegantāku formulējumu:

Lai lietu padarītu vienkāršāku, es pieņemšu, ka A, iemetot gaisā naudas gabalu, B apņemas viņam uzdāvināt monētu, ja Galvu puse nokrīt uz pirmo lozēšanu, 2, ja tā ir tikai otrā, 4, ja tas ir 3. lozēšana, 8, ja tas ir 4. lozēšana utt. Paradokss sastāv no tā, ka aprēķins dod ekvivalentam, kas A jāpiešķir B, bezgalīgu summu, kas šķistu absurda. (Cramér līdz N. Bernoulli, 1728. gada 21. maijs)

Tajā pašā vēstulē Cramér ierosināja risinājumu, kas radikāli mainīja topošo lēmumu teorijas lauku. Kramērs norādīja, ka racionāla aģenta izvēlei jāvadās nevis no paredzamās naudas vērtības, bet gan par “izlietojumu”, ko “labas saprāta cilvēki” var nopelnīt. Pēc Kramēras teiktā, divdesmit miljoni nav vērtīgāki par desmit miljoniem, jo desmit miljoni ir pietiekami, lai apmierinātu visas vēlmes, kas aģentam pamatoti varētu būt:

matemātiķi naudu vērtē proporcionāli tās daudzumam, un cilvēki ar labu saprātu - proporcionāli tam, kā viņi to var izmantot. Tas, kas padara matemātiskās cerības par bezgalīgām, ir tā apbrīnojamā summa, ko es varu saņemt, ja galvu puse krīt tikai ļoti vēlu - 100. vai 1000. lozēšana. Tagad, ja es uzskatu, ka esmu saprātīgs cilvēks, tas nav vairāk par mani, nerada man lielāku baudu, vairāk mani neiesaista spēles pieņemšanai, nekā tad, ja tā būtu tikai 10 vai 20 miljoni monētu. (1728. gada 21. maijs)

Kramera izteiktais punkts šajā fragmentā var tikt vispārināts. Pieņemsim, ka augšējā robeža iznākums vērtības ir (2 ^ m.) Ja tā, tad šis rezultāts tiks iegūts, ja monēta nolaižas galvu uz m th uzsist. Tas nozīmē, ka visu bezgalīgi daudzo iespējamo iznākumu, kuru laikā monēta tiek aplaista vairāk nekā m reizes, paredzamā vērtība ir ierobežota: Tas notiek (2 ^ m) reizes vairāk nekā varbūtība, ka tas notiek, tāpēc tas nedrīkst pārsniegt (2 ^ m). Tam mums jāpievieno pirmo iespējamo rezultātu apkopotā vērtība, kas acīmredzami ir ierobežota. Tā kā jebkura divu ierobežoto skaitļu summa ir ierobežota, Kramēra Sanktpēterburgas spēles versijas paredzamā vērtība ir ierobežota.

Cramér apzinājās, ka būtu pretrunīgi apgalvot, ka pastāv augšējā robeža, aiz kuras papildu bagātībām vispār nav nozīmes. Tomēr viņš norādīja, ka viņa risinājums darbojas pat tad, ja viņam naudas vērtība stingri pieaug, bet relatīvais pieaugums kļūst mazāks un mazāks (1728. gada 21. maijs):

Ja vēlaties uzskatīt, ka preču morālā vērtība bija kā matemātisko lielumu kvadrātsakne … mana morālā cerība būs

(frac {1} {2} cdot / sqrt {1} + / frac {1} {4} cdot / sqrt {2} + / frac {1} {8} cdot / sqrt {4} + / frac {1} {16} cdot / sqrt {8} ldots)

Šis ir pirmais skaidrais paziņojums par to, ko mūsdienu lēmumu teorētiķi un ekonomisti dēvē par mazinošu zemu lietderības koeficientu: Papildu lietderība, ja ir vairāk naudas, nekad nav nulle, bet, jo bagātāks esat, jo mazāk gūstat, palielinot savu bagātību. Kramērs pareizi aprēķināja Sanktpēterburgas spēles paredzamo lietderību (“morālo vērtību”) aptuveni 2,9 vienībās aģentam, kura naudas lietderību piešķir saknes funkcija.

Daniels Bernoulli ļoti līdzīgu ideju ierosināja savā slavenajā 1738. gada rakstā, kas minēts šīs sadaļas sākumā. Daniels apgalvoja, ka aģenta bagātības lietderība ir vienāda ar naudas summas logaritmu, kas nozīmē, ka maz ticams, ka lielas naudas balvas spēles paredzētajam lietderīgumam sniegs mazāk, nekā ticamākas, bet mazākas naudas summas. Tā kā viņa rakstu bija paredzēts publicēt, Daniela brālis Nikolauss viņam pieminēja, ka Kramērs 1728. gadā ir ierosinājis ļoti līdzīgu ideju (iepriekš citētā vēstulē). Teksta galīgajā versijā Daniels to atklāti atzina:

Patiešām, es esmu atradis [Kramera] teoriju tik līdzīgu manai, ka šķiet brīnumaini, ka mēs neatkarīgi panācām tik tuvu vienošanos par šāda veida jautājumiem. (Daniels Bernoulli 1738 [1954: 33])

2. Mūsdienu Sanktpēterburgas paradokss

Kramēra piezīme par aģenta naudas marginālās vērtības samazināšanos atrisina Sanktpēterburgas paradoksa sākotnējo versiju. Tomēr mūsdienu lēmumu teorētiķi piekrīt, ka šis risinājums ir pārāk šaurs. Paradoksu var atjaunot, palielinot rezultātu vērtības līdz vietai, kurā aģentam tiek pilnībā kompensēta naudas samazinātā naudas lietderība (sk. Mengers 1934 [1979]). Tādējādi mūsdienu literatūrā aplūkoto Sanktpēterburgas paradoksa versiju var formulēt šādi:

Taisnīga monēta tiek pagriezta, līdz tai nāk galviņas. Tajā brīdī spēlētājs iegūst balvu, kas ir vērtīga (2 ^ n) lietderības vienību vērtībā spēlētāja personīgajā lietderības skalā, kur n ir monētas nomaiņas reižu skaits.

Ņemiet vērā, ka šī azartspēles paredzamā lietderība ir bezgalīga, pat ja aģenta naudas lietderība samazinās. Mēs varam atstāt atvērtu tieši to, no kā sastāv balvas. Tam nav jābūt naudai.

Ir vērts uzsvērt, ka nevienai no Sanktpēterburgas spēles balvām nav bezgalīgas vērtības. Neatkarīgi no tā, cik reizes tiek pagriezta monēta, spēlētājs vienmēr iegūs ierobežotu lietderības koeficientu. Paredzamā Sanktpēterburgas spēles lietderība nav ierobežota, taču faktiskais iznākums vienmēr būs ierobežots. Tādējādi būtu kļūdaini noraidīt paradoksu, apgalvojot, ka nevienai reālai balvai nevar būt bezgalīga lietderība. Paradoksa veidošanai nav vajadzīgas nekādas bezgalības, tikai iespējamās. (Diskusiju par atšķirību starp faktisko un potenciālo bezgalību sk. Linnebo un Shapiro 2019.) Diskusijās par Sanktpēterburgas paradoksu bieži ir noderīgi interpretēt terminu “bezgalīgā lietderība” kā “nav ierobežots”, bet atstāt to filozofu ziņā matemātikā, lai noteiktu, vai tā ir vai tikai tuvojas bezgalībai.

Daži autori ir apsprieduši tieši to, kas ir problemātisks, apgalvojot, ka modificētās Sanktpēterburgas spēles paredzamā lietderība ir bezgalīga (lasīt: nav ierobežota). Vai tas ir tikai fakts, ka derības patiesā cena ir “pārāk augsta”, vai arī ir kaut kas cits, kas liek uztraukties? Džeimss M. Džoiss to atzīmē

likmei ar bezgalīgu lietderību tiks stingri dota priekšroka jebkurai tās izmaksai, jo pēdējās ir ierobežotas. Tas ir absurdi, ņemot vērā to, ka mēs pievēršam uzmanību tikai derību veicējiem, kuri likmes vērtē tikai kā līdzekļus, lai palielinātu viņu laimi. (Joyce 1999: 37)

Liekas, ka Džoisa viedoklis ir tāds, ka aģents, kurš maksā derības patieso cenu, droši zinās, ka pēc tam, kad būs samaksājis nodevu, viņai patiesībā būs sliktāk. Tomēr šķiet, ka tas nozīmē, ka pastāv patiesas bezgalības. Ja pastāv tikai iespējamās bezgalības, spēlētājs nevar “samaksāt” bezgalīgu maksu par spēles spēlēšanu. Ja tā, mēs varētu interpretēt Džoisu kā tādu, kas mums atgādina, ka neatkarīgi no tā, kādu ierobežotu summu spēlētājs faktiski uzvar, paredzamā lietderība vienmēr būs augstāka, kas nozīmē, ka būtu bijis racionāli maksāt vēl vairāk. Lēmumu teorētiķi analizē racionalitātes jēdzienu “galotnes līdz galam”, saskaņā ar kuru ir racionāli darīt visu, kas ir labākais veids, kā sasniegt mērķi. Spēlētājs tādējādi zina, ka samaksāt vairāk par to, ko cilvēks faktiski uzvar, nevar būt labākais līdzeklis, lai maksimāli palielinātu lietderību. Šis novērojums ļauj mums nostiprināt sākotnējo “paradoksu” (kurā nav radušās formālas pretrunas) spēcīgākā versijā, kas sastāv no trim nesavienojamiem apgalvojumiem:

  1. Lietderības summa, ko ir racionāli maksāt par Sanktpēterburgas spēles spēlēšanu, nav ierobežota.
  2. Spēlētājs zina, ka faktiskā lietderības summa, kuru viņš vai viņa iegūs, ir ierobežota.
  3. Nav racionāli apzināti maksāt vairāk par spēli, nekā uzvarēs viens.

Daudzas Sanktpēterburgas paradoksa diskusijas ir koncentrējušās uz (1). Kā mēs redzēsim nākamajās pāris sadaļās, daudzi zinātnieki apgalvo, ka Sanktpēterburgas spēles vērtība viena vai otra iemesla dēļ ir ierobežota. Rets izņēmums ir Hájek un Nover. Viņi piedāvā šādu argumentu pieņemšanai (1):

Sanktpēterburgas spēli var uzskatīt par saīsinātu Sanktpēterburgas spēļu kārtas robežu ar secīgi augstākiem ierobežotajiem saīsināšanas punktiem - piemēram, spēle tiek izslēgta, ja galviņu nesasniedz desmitais lozings; pa vienpadsmito lozēšanu; pēc divpadsmitās mētāšanās;…. Ja mēs pieņemam dominējošā stāvokļa pamatojumu, šie secīgie saīsinājumi var vadīt mūsu vērtējumu par Sanktpēterburgas spēles vērtību: to ierobežo zemāk katrs no viņu vērtībām, šīs robežas monotoniski palielinās. Tādējādi mums ir principiāls iemesls pieņemt, ka ir vērts samaksāt jebkādu ierobežotu summu, lai spēlētu Sanktpēterburgas spēli. (Hájeks un Nekad 2006: 706)

Lai arī viņi to tieši nepasaka, Hājeks un Nekad, iespējams, to noraidīs (3). Varbūt vismazāk diskutablais apgalvojums (2). Protams, loģiski ir iespējams, ka monēta katru reizi, kad tā tiek pagriezta, tur piezemēšanās astes, kaut arī bezgalīgai astes secībai ir varbūtība 0. (Par šīs iespējas aprakstu skat. Williamson 2007.) Daži notikumi, kuru varbūtība ir 0 tas faktiski notiek, un neaprēķināmā varbūtības telpā nav iespējams, ka visu iznākumu varbūtība ir lielāka par 0. Pat ja tā ir, ja monēta katru reizi tiek pagriezta, piezemēšanās astes paliek, aģents iegūst 0 lietderības vienības. Tātad (2) joprojām būtu taisnība.

3. Nereāli pieņēmumi?

Daži autori apgalvo, ka Sanktpēterburgas spēle būtu jānoraida, jo tā balstās uz pieņēmumiem, kurus nekad nevar piepildīt. Piemēram, Džefrijs (1983: 154) apgalvo, ka “ikviens, kurš piedāvā ļaut aģentam spēlēt Sanktpēterburgas azartspēles, ir melis, jo viņš izliekas, ka viņam ir bezgalīgi liela banka”. Līdzīgus iebildumus astoņpadsmitajā gadsimtā izteica Buffons un Fontaine (sk. Dutka 1988).

Tomēr nav skaidrs, kāpēc Džefrija izteikums par reālās pasaules ierobežojumiem būtu būtisks. Kas ir nepareizi, vērtējot ļoti idealizētu spēli, mums ir maz pamata ticēt, ka kādreiz nokļūsim spēlē? Hájeks un Smitsons (2012) norāda, ka Sanktpēterburgas paradokss ir lipīgs šādā izpratnē: Kamēr jūs piešķirsit hipotēzei, ka bankas solījums ir ticams, kādu nemainīgu varbūtību, gaidāmā lietderība būs bezgalīga neatkarīgi no tā, cik zema ir jūsu uzticamība. hipotēzē ir. Jebkurai varbūtībai, kas reizinās ar nulli, bezgalība ir vienāda ar bezgalību, tāpēc jebkurai iespējai, kurā jums jāspēlē Sanktpēterburgas spēle ar nulles varbūtību, ir bezgalīga paredzamā lietderība.

Ir arī vērts paturēt prātā, ka Sanktpēterburgas spēle var nebūt tik nereāla, kā apgalvo Džefrijs. Faktam, ka bankai nav pieejama neierobežota naudas summa (vai citi aktīvi) pirms monētas atlocīšanas, nevajadzētu būt problēmai. Vissvarīgākais ir tas, ka banka var dot spēlētājam ticamu solījumu, ka pareiza summa tiks padarīta pieejama saprātīgā laika posmā pēc flipping pabeigšanas. Cik daudz naudas bankā ir glabātavā, kad spēlētājs spēlē spēli, nav nozīmes. Tas ir svarīgi, jo, kā norādīts 2. sadaļā, summa, kuru spēlētājs faktiski uzvar, vienmēr būs ierobežota. Tādējādi mēs varam iedomāties, ka spēle darbojas šādi: Mēs vispirms apmetam monētu un tiklīdz mēs zinām, cik ierobežotu summu banka ir parādā spēlētājam, izpilddirektors rūpēsies, lai banka piesaistītu pietiekami daudz naudas.

Ja tas nepārliecina spēlētāju, mēs varam iedomāties, ka centrālā banka izsniedz tukšu čeku, kurā spēlētājam ir jāaizpilda pareizā summa, tiklīdz monēta ir pārsista. Tā kā čeku izsniedz centrālā banka, tas nevar atlēkt. Jauna nauda tiek automātiski izveidota, kad ekonomikā tiek ieviesti centrālās bankas izdotie čeki. Džefrijs noraida šo Sanktpēterburgas spēles versiju ar šādu argumentu:

[Iedomājieties, ka] Valsts kases departaments uzvarētājam piegādā kraukšķīgu jaunu miljardu dolāru rēķinu. Rezultātā izrietošās inflācijas dēļ, iespējams, ir tik zemas tik lielas izmaksas, lai izredzes spēlēt spēli būtu ierobežotas [lietderība]. (Džefrijs 1983: 155)

Džefrijam, iespējams, ir taisnība, ka “izteiksmīgs jauna miljarda dolāru vekselis” izraisītu nelielu inflāciju, taču šķiet, ka tas ir kaut kas, ko mēs varētu ņemt vērā, veidojot spēli. Svarīgi ir tas, ka komunālo pakalpojumu izmaksas shēmā ir lineāras.

Lasītāji, kuri jūtas nepārliecināti par šo argumentu, var vēlēties iedomāties Sanktpēterburgas spēles versiju, kurā spēlētājs ir piesaistīts Nozick's Experience Machine (sk. Iedaļas par hedonismu 2.3. Sadaļu). Pēc ražošanas šī mašīna var radīt patīkamu pieredzi, ko aģents vēlas. Tātad, tiklīdz monēta ir n reizes nomainīta, pieredzes aparāts radīs patīkamu pieredzi, kuras vērtībā ir ((2 ^ n) vienības lietderības koeficienti spēlētāja personīgo lietderības skalā. Aumanns (1977), tieši nepieminot pieredzes aparātu, atzīmē, ka:

Izmaksām nav jābūt izteiktām attiecībā uz fiksētu ierobežotu preču skaitu vai vispār attiecībā uz precēm. […] Loterijas biļete […] varētu būt sava veida beztermiņa darbība - tāda, kas varētu izraisīt sensācijas, ka viņš līdz šim nav pieredzējis. Kā piemēru var minēt reliģiskus, estētiskus vai emocionālus pārdzīvojumus, piemēram, iekļūšanu klosterī, kāpšanu kalnā vai pētniecību ar iespējami iespaidīgiem rezultātiem. (Aumann 1977: 444)

Iespējamais piemērs tam, kāda veida pieredzi Aumann domā, varētu būt Debesīs pavadīto dienu skaits. Nav saprotams, kāpēc debesīs pavadītajam laikam ir jābūt mazākam lietderības līmenim.

Cits praktisko uztraukumu veids attiecas uz Sanktpēterburgas spēles laika dimensiju. Brito (1975) apgalvo, ka monētas uzspraušana var vienkārši prasīt pārāk ilgu laiku. Ja katrs uzspēlējums prasa n sekundes, mums jāpārliecinās, ka būtu iespējams to pietiekami daudz reizes uzsist pirms spēlētāja nāves. Acīmredzot, ja pastāv augšējā robeža, cik reizes monētu var atlocīt, arī paredzētā lietderība būtu ierobežota.

Taisnīga atbilde uz šo satraukumu ir iedomāties, ka pārliešana notika vakar un tika ierakstīta video. Pirmais uzsitiens notika pulksten 11:00 asi, otrais uzslīdēja (frac {60} {2}) minūtes vēlāk, trešais (frac {60} {4}) minūtes pēc otrās utt. Video vēl nav darīts pieejams nevienam, bet, tiklīdz spēlētājs būs samaksājis maksu par spēles spēlēšanu, video tiks ievietots publiskajā domēnā. Ņemiet vērā, ka principā monētu vienas stundas laikā varēja pārspiest bezgalīgi daudzas reizes. (Šis ir “supertask” piemērs; skatiet ierakstu par supertasks.)

Tā ir taisnība, ka šim nejaušajam eksperimentam ir nepieciešams, lai monēta tiktu apgriezta ātrāk un ātrāk. Kādā brīdī mums nāksies spinēt monētu ātrāk nekā gaismas ātrumu. Tas loģiski nav neiespējami, kaut arī šis pieņēmums pārkāpj kontingentu dabas likumu. Ja uzskatāt, ka tas ir problemātiski, tā vietā mēs varam iedomāties, ka kāds met šautriņu pa reālo līniju no 0 līdz 1. Varbūtība, ka šautriņa trāpa intervāla pirmajā pusē, (pa kreisi [0, / frac {1} { 2} pa labi),) ir (frac {1} {2}.) Un varbūtība, ka šautriņa trāpīs nākamajā ceturksnī, (kreisā (frac {1} {2}, / frac { 3} {4} pa labi),) ir (frac {1} {4}) utt. Ja šādā veidā tiek ģenerētas “monētas atloks”, izlases veida eksperiments tiek pabeigts vispār. Lai izvairītos no satraukuma, ka neviena reālās pasaules šautriņa nav bezgalīgi asa, mēs varam definēt punktu, kurā šautriņa sasniedz reālo līniju, šādi: Ļaujiet a ir šautriņas laukums. Punkts, kurā šautriņa sasniedz intervālu [0,1], ir noteikts tā, ka puse no a laukuma ir pa labi no kādas vertikālas līnijas caur a un otra puse pa kreisi no vertikālās līnijas. Punkts, kurā vertikālā līnija šķērso intervālu [0,1], ir izlases veida eksperimenta rezultāts.

Mūsdienu literatūrā par Sanktpēterburgas paradoksu praktiskās rūpes bieži tiek ignorētas vai nu tāpēc, ka ir iespējams iedomāties scenārijus, kuros tie nerodas, vai arī tāpēc, ka ļoti idealizētas lēmumu problēmas ar neierobežotām komunālajām ierīcēm un bezgalīgajām valsts telpām tiek uzskatītas par interesantām viņu pašu tiesības.

4. Ierobežota lietderības funkcija?

Bulta (1970: 92) ierosina, ka racionāla aģenta lietderības funkcija ir “jāuzskata par ierobežotu funkciju…, jo šāds pieņēmums ir nepieciešams, lai izvairītos no [Sanktpēterburgas] paradoksa”. Basets (1987) norāda līdzīgu viedokli; skat. arī Samuelsonu (1977) un Makkenlenu (1994).

Bulta vēsta, ka komunālajiem pakalpojumiem jābūt ierobežotiem, lai izvairītos no Sanktpēterburgas paradoksa, un ka tradicionālie aksiomātiskie pārskati par paredzamo lietderības principu garantē, ka tas tā ir. Piemēram, plaši pazīstamās aksiomatizācijas, kuras ierosinājuši Ramsey (1926), von Neumann and Morgenstern (1947) un Savage (1954), nozīmē, ka lēmumu pieņēmēja lietderības funkcija ir ierobežota. (Von Neumann un Morgenstern aksiomatizācijas pārskatu skatīt 2.3. Iedaļā ierakstā par lēmumu pieņemšanas teoriju.)

Ja lietderības funkcija tiek ierobežota, tad paredzamā Sanktpēterburgas spēles lietderība, protams, būs ierobežota. Bet kāpēc gaidāmās lietderības teorijas aksiomas garantē, ka lietderības funkcija ir ierobežota? Būtisks pieņēmums ir tāds, ka racionāli pieļaujamās preferences pār loterijām ir nepārtrauktas. Lai izskaidrotu šīs aksiomas nozīmīgumu, ir lietderīgi ieviest dažus simbolus. Ļaujiet ({pA, (1-p) B }) būt loterijai, kuras rezultāts ir A ar varbūtību p un B ar varbūtību (1-p). Izteiciens (A / preceq B) nozīmē, ka aģents uzskata B par vismaz tikpat labu kā A, ti, vāji dod priekšroku B vai A. Turklāt (A / sim B) nozīmē, ka A un B ir vienlīdz vēlams, un (A / prec B) nozīmē, ka B dod priekšroku A. Apsveriet:

Nepārtrauktības aksioma: Pieņemsim, ka (A / preceq B / preceq C). Tad pastāv varbūtība (p / iekšā [0,1]), ka ({pA, (1-p) C } sim B)

Lai izskaidrotu, kāpēc šī aksioma nozīmē, ka nevienam objektam nevar būt bezgalīga vērtība, pieņemsim, ka samazināšanas nolūkā A ir balvas čeks 1 USD vērtībā, B ir čeks 2 USD vērtībā un C ir balva, kurai aģents piešķir bezgalīgu lietderību. Lēmuma pieņēmējs dod priekšroku (A / prec B / prec C), bet nav tādas p varbūtības, ka ({pA, (1-p) C / sim B). Ja p ir nulle, lēmumu pieņēmējs stingri dod priekšroku ({pA, (1-p) C }) B, un, ja p ir 0, lēmumu pieņēmējs stingri dod priekšroku B. Tā kā nevienam objektam (loterijai vai rezultātam) nevar būt bezgalīga vērtība, un lietderības funkciju nosaka komunālie pakalpojumi, kurus tā piešķir šiem objektiem (loterijām vai rezultātiem), lietderības funkcija ir jāierobežo.

Vai tas atrisina Sanktpēterburgas paradoksu? Atbilde ir atkarīga no tā, vai mēs domājam, ka racionālajam aģentam, kurš piedāvāts spēlēt Sanktpēterburgas spēli, ir kāds iemesls pieņemt nepārtrauktības aksiomu. Iespējams uzskats, ka ikvienam, kuram tiek piedāvāts spēlēt Sanktpēterburgas spēli, ir iemesls noraidīt nepārtrauktības aksiomu. Tā kā Sanktpēterburgas spēlei ir bezgalīga lietderība, aģentam nav pamata vērtēt loterijas šīs aksiomas noteiktajā veidā. Kā paskaidrots 3. sadaļā, mēs varam iedomāties neaprobežoti vērtīgas izmaksas.

Daži varētu iebilst, ka nepārtrauktības aksioma, kā arī citas aksiomas, kuras ierosinājuši fon Neimans un Morgensterns (un Ramsey and Savage), ir būtiskas, lai lietderību definētu matemātiski precīzi. Tāpēc nebūtu jēgas runāt par lietderību, ja mēs noraidītu nepārtrauktības aksiomu. Šī aksioma ir daļa no tā, ko nozīmē teikt, ka kādam ir augstāka lietderība nekā citam. Laba reakcija varētu būt lietderības teorijas izstrāde, kurā jēdziena nozīmes noteikšanai neizmanto preferences, nevis loterijas; šādas teorijas agrīnu piemēru skat. Luce (1959). Vēl viena atbilde varētu būt lietderības teorijas izstrāde, kurā nepārprotami tiek noraidīta nepārtrauktības aksioma; sk. Skala (1975).

5. Vai ignorēt mazas varbūtības?

Bufons 1777. gadā apgalvoja, ka saprātīgam lēmumu pieņēmējam nav jāņem vērā iespēja laimēt daudz naudas Sanktpēterburgas spēlē, jo varbūtība to izdarīt ir ļoti maza. Pēc Bufona domām, daži pietiekami neiespējami rezultāti ir “morāli neiespējami”, un tāpēc tie būtu jāignorē. No tehniskā viedokļa šis risinājums ir ļoti vienkāršs: Sanktpēterburgas paradokss rodas tāpēc, ka lēmumu pieņēmējs ir gatavs apkopot bezgalīgi daudz ārkārtīgi vērtīgu, bet ļoti neiespējamu rezultātu, tāpēc, ja mēs ierobežojam “iespējamo” rezultātu kopumu, pietiekami izslēdzot maz ticams, ka paredzamā lietderība, protams, būs ierobežota.

Bet kāpēc gan nevajadzētu ņemt vērā mazas varbūtības? Un kā mēs varam novilkt robežu starp nelielām varbūtībām, kuras nesatrauc, un citām, kuras nerada? Dutka apkopo Buffona garo atbildi šādi:

Lai sasniegtu piemērotu sliekšņa vērtību, [Bufons] atzīmē, ka piecdesmit sešus gadus vecs vīrietis, uzskatot, ka viņa veselība ir laba, neņemtu vērā varbūtību, ka viņš mirs divdesmit četru stundu laikā, lai gan mirstības tabulas norāda, ka viņa mirst šajā periodā ir tikai no 10189 līdz 1. Bufons tādējādi pieņem varbūtību 1/10 000 vai mazāku notikumu kā varbūtību, kuru var neņemt vērā. (Dutka 1988: 33)

Vai tas ir pārliecinošs arguments? Pēc Bufona domām, mums vajadzētu ignorēt dažas nelielas varbūtības, jo tādi cilvēki kā viņš (56 gadus veci vīrieši) patiesībā tos ignorē. Tādējādi Bufonu var apsūdzēt par mēģinājumu iegūt "vajadzētu" no "ir". Lai izvairītos no Hjū iebildumiem pret to, ka neko nevajag, Bufonam būtu jāpievieno pieņēmums, ka cilvēku ikdienas reakcija uz risku vienmēr ir racionāla. Bet kāpēc mums vajadzētu pieņemt šādu pieņēmumu?

Vēl viens iebildums ir tāds, ka, ja mēs ignorējam nelielas varbūtības, tad mums dažreiz būs jāignorē visi iespējamie notikuma rezultāti. Apsveriet šo piemēru: Parastā kāršu klājā ir 52 kartes, tāpēc to var izkārtot tieši 52! Dažādi ceļi. Tādējādi jebkura dotā izkārtojuma varbūtība ir aptuveni 1 ((8 / cdot 10 ^ {67}). Tā ir ļoti maza varbūtība. (Ja pievienotu klājam sešas kārtis, tad iespējamo pasūtījumu skaits pārsniegtu atomu skaitu zināmajā, novērojamajā Visumā.) Tomēr katru reizi, sajaucot kāršu klāju, mēs zinām, ka tieši viena no iespējamie rezultāti materializēsies, tad kāpēc mums vajadzētu ignorēt visus šādus ļoti maz ticamus rezultātus?

Nikolass Dž. Smits (2014) aizstāv Buffona risinājuma moderno versiju. Savu argumentu viņš pamato ar šādu principu:

Racionāli nenozīmīgas varbūtības (RNP): jebkurai loterijai, kas atspoguļo lēmumu pieņemšanas problēmu, ar kuru saskaras jebkurš aģents, pastāv (epsilon> 0) tāds, ka aģentam nav jāņem vērā varbūtības loterijas rezultāti, kas mazāki par (epsilon) pilnīgi racionāla lēmuma pieņemšana. (Smits 2014: 472)

Smits norāda, ka RNP ir ļoti svarīgi noteikt skaitļus. Tiek apgalvots, ka katrai loterijai ir noteikts varbūtības slieksnis (epsilon), zem kura visas varbūtības būtu jāignorē, taču būtu kļūdaini uzskatīt, ka katrai loterijai ir piemērojams viens un tas pats (epsilon).. Tas ir svarīgi, jo pretējā gadījumā mēs varētu apgalvot, ka RNP ļauj apvienot tūkstošiem vai miljoniem atsevišķu notikumu ar varbūtību mazāku par (epsilon.). Acīmredzami nebūtu jēgas ignorēt, teiksim, pusmiljonu viena collas -miljons notikumu. Paturot prātā, ka atbilstošais (epsilon) katrā gadījumā var atšķirties, šo satraukumu var noraidīt.

Smits arī norāda, ka, ja mēs ignorējam varbūtības, kas mazākas par (epsilon,), tad mums ir jāpalielina dažas citas varbūtības, lai nodrošinātu, ka visas varbūtības ir vienādas, kā to prasa varbūtību aksiomas (sk. Iedaļas 1. iedaļu varbūtības interpretācijas). Smits ierosina principu, kā to darīt sistemātiski.

Tomēr kāpēc mums vajadzētu pieņemt RNP? Kāds ir šī pretrunīgi vērtētā principa pieņemšanas arguments, izņemot to, ka tas atrisinās Sanktpēterburgas paradoksu? Smita arguments ir šāds:

Nevar pieprasīt bezgalīgu precizitāti: drīzāk katrā konkrētajā kontekstā ir jābūt zināmai ierobežotai pielaidei - pozitīvam slieksnim, lai ignorējot visus rezultātus, kuru varbūtība ir zem šī sliekšņa, tiek uzskatīts, ka tie atbilst normai. Pastāv lēmumu teorijas norma, kas saka ignorēt rezultātus, kuru varbūtība ir nulle. Tā kā šajā normā ir minēta noteikta varbūtības vērtība (nulle), tā ir norma, kurā ir jēga noteikt pielaidi: nulle plus vai mīnus (epsilon) (kas kļūst par nulli plus (epsilon,), ņemot vērā ka varbūtības visas ir no 0 līdz 1)… pamatā ir ideja, ka faktiskajā kontekstā, kurā jāpieņem lēmums, nekad nav jābūt šādā veidā bezgalīgi precīzam - ka tam nekad nav nozīmes. Ir (katrai lēmuma problēmai, katrai tajā esošajai loterijai,un katrs aģents) kādu slieksni, lai aģents nebūtu iracionāls, ja viņa vienkārši ignorētu rezultātus, kuru varbūtības ir zem šī sliekšņa. (Smits 2014: 472–474)

Pieņemsim, ka mēs pieņemam apgalvojumu, ka lēmumu teorijā nav nepieciešama bezgalīga precizitāte. Saskaņā ar Smita argumentu tas nozīmētu, ka ir racionāli pieļaujams ignorēt varbūtības, kas ir mazākas par (epsilon). Tomēr, lai nodrošinātu, ka lēmumu pieņēmējs nekad nemaksā laimi par Sanktpēterburgas spēles spēlēšanu, šķiet, ka Smitam nāksies aizstāvēt spēcīgāku apgalvojumu, ka lēmumu pieņēmējiem tiek prasīts racionāli ignorēt nelielas varbūtības, ti, ka nav pieļaujams ignorēt viņus. Lēmumu pieņēmēji, kuri ir vienisprātis ar Smita viedokli, riskē samaksāt ļoti lielu summu par Sanktpēterburgas spēles spēlēšanu, neko nedarījot par RNP iracionālu. Šis punkts ir svarīgs, jo ir apstrīdami grūtāk parādīt, ka lēmumu pieņēmējiem tiek prasīts racionāli izvairīties no “bezgalīgas precizitātes” lēmumos, kuros tas ir sasniedzams un pilnībā reālistisks mērķis, piemēram, Sanktpēterburgas spēle. Par RNP kritiku un diskusiju par dažiem saistītiem jautājumiem skat. Hájek (2014).

Vēl vienu iebildumu pret RNP ir ierosinājis Yoaav Isaacs (2016). Viņš parāda, ka RNP kopā ar Smita atbalstīto papildu principu (Vāja konsekvence) nozīmē, ka lēmumu pieņēmējs dažkārt patvaļīgi uzņemas lielu risku par patvaļīgi nelielu atlīdzību.

Lara Buchak (2013) ierosina, kas, iespējams, ir šī lēmuma elegantākā versija. Viņas ieteikums ir, ka, aprēķinot opcijas vērtību, nelielām varbūtībām jāpiešķir eksponenciāli mazāks svars. Iespējamā svēršanas funkcija r, kuru apsprieda Bušaka, ir (r (p) = p ^ 2.) Viņas priekšlikums tādējādi ir: ja varbūtība ir (frac {1} {8}), tad jūs iegūstat 8 USD papildus tam, kas jums jau ir, un naudas lietderība palielinās lineāri, tad tā vietā, lai lietderības pieaugumu reizinātu ar (frac {1} {8},), jums vajadzētu to reizināt ar ((frac {1} {8}) ^ 2 = / frac {1} {64}.) Turklāt, ja varbūtība ir (frac {1} {16}), ka jūs iegūstat 16 USD papildus jau esošajam, jums vajadzētu reiziniet ieguvumu ar (frac {1} {256},) un tā tālāk. Tas nozīmē, ka nelielas varbūtības ļoti maz veicina paredzamo riska svērto lietderību.

Bušaka priekšlikums neskaidri atgādina pazīstamo ideju, ka mūsu naudas lietderīgā vērtība samazinās. Kā uzsvēra Kramērs un Daniels Bernoulli, vairāk naudas vienmēr ir labāks nekā mazāk, bet no katra papildu dolāra iegūtā lietderība samazinās. Pēc Buchaka teiktā, arī svars, kas mums jāpiešķir iznākuma varbūtībai, ir nelineārs: mazām varbūtībām ir nozīme, jo mazākas tās ir, un to relatīvā nozīme eksponenciāli samazinās:

Riska novēršanas mazinošās lietderības mazās analīzes pamatā bija intuīcija, ka naudas pievienošana iznākumam ir mazāk vērtīga, jo vairāk naudas iznākums jau satur. Pašreizējās riska novēršanas analīzes pamatā ir intuīcija, ka varbūtības pievienošanai iznākumam ir lielāka vērtība, jo lielāka iespējamība, ka rezultāts jau būs iegūts. (Buchak 2014: 1099.)

Buchak norāda, ka šis solis pats par sevi neatrisina Sanktpēterburgas paradoksu. Tādu iemeslu dēļ, kas ir līdzīgi tiem, kurus Mengers (1934 [1979]) piemin savā komentārā par Bernelli risinājumu, paradoksu var atjaunot, pielāgojot iznākumus tā, lai summa pieaugtu lineāri (sīkāku informāciju skatīt Buchak 2013: 73–74). Bukaks šī iemesla dēļ ir apņēmies arī RNP, ti, pretrunīgi vērtētajā pieņēmumā, ka varbūtība būs tik maza, ka tā neko nemaina azartspēles kopējo vērtību.

Citas bažas rada tas, ka tāpēc, ka Buchak noraida paredzētās lietderības maksimizēšanas principu un aizvieto to ar riska svērtās maksimālās paredzamās lietderības palielināšanas principu, daudzus akciju iebildumu lēmumu teorētiķus, kas izvirzīti par paredzamās lietderības principa pārkāpumiem, var izvirzīt pret viņas principu kā labi. Piemēram, ja jūs piekrītat principam par riska svērtu maksimizēšanu paredzamajai lietderībai, jums jānoraida neatkarības aksioma. Tas nozīmē, ka jūs varat izmantot kādā gudri izstrādātā pragmatiskā argumentācijā. Skat. Briggs (2015), lai apskatītu dažus iebildumus pret Bukaka teoriju.

6. Paredzamā relatīvā lietderības teorija

Kolimana ieviestajā Petrogradas spēlē (2008) spēlētājs laimē par USD 1 vairāk nekā Sanktpēterburgas spēlē neatkarīgi no tā, cik reizes tiek monēta. Tātad, tā vietā, lai laimētu 2 lietderības vienības, ja monēta nokrīt uz pirmo mētāšanu, spēlētājs uzvar 3; un tā tālāk. Skatīt 1. tabulu.

1. tabula

Varbūtība (frac {1} {2}) (frac {1} {4}) (frac {1} {8})
Sanktpēterburga 2 4 8
Petrograda (2 + 1) (4 + 1) (8 + 1)

Šķiet acīmredzams, ka Petrogradas spēle ir vairāk vērta nekā Sanktpēterburgas spēle. Tomēr nav viegli izskaidrot, kāpēc. Abām spēlēm ir bezgalīga paredzamā lietderība, tāpēc gaidītā lietderības princips sniedz nepareizu atbildi. Nav taisnība, ka Petrogradas spēle ir vairāk vērts nekā Sanktpēterburgas spēle, jo tās paredzamā lietderība ir augstāka; abām spēlēm ir tieši tāda pati paredzētā lietderība. Tas parāda, ka paredzamais lietderības princips nav universāli piemērojams visām riskantām izvēlēm, kas pats par sevi ir interesants novērojums.

Vai Petrogradas spēle ir vērts vairāk nekā Sanktpēterburgas spēle, jo Petrogradas spēles rezultāti dominē Sanktpēterburgas spēles rezultātos? Šajā kontekstā dominance nozīmē to, ka spēlētājs vienmēr iegūs vairāk par USD 1 neatkarīgi no tā, kurš pasaules stāvoklis izrādās patiesais, tas ir, neatkarīgi no tā, cik reizes tiek monēta aplaista. Problēma ir tā, ka ir viegli iedomāties Petrogradas spēles versijas, kurām dominējošā stāvokļa princips nebūtu piemērojams. Iedomājieties, piemēram, versija Petrogradas spēli, kas ir tieši tāpat viens 1. tabulā, izņemot, ka daži ļoti neticams iznākumu (teiksim, ja monēta nolaižas galviņas pirmo reizi par 100 thuzsist) spēlētājs uzvar par 1 vienību mazāk nekā Sanktpēterburgas spēlē. Šī spēle, Petrogradskij spēle, nedominē Sanktpēterburgas spēlē. Tomēr, tā kā ir gandrīz skaidrs, ka spēlētājam būs labāk, spēlējot Petrogradskij spēli, ticamai lēmumu teorijai jāspēj izskaidrot, kāpēc Petrogradskij spēle ir vairāk vērta nekā Sanktpēterburgas spēle.

Koljans apgalvo, ka mēs varam atrisināt šo mīklu, ieviešot paredzamās lietderības teorijas jaunu versiju ar nosaukumu Relatīvā paredzamā lietderības teorija (RE rela). Saskaņā ar REUT mums vajadzētu aprēķināt paredzamās lietderības starpību starp abām iespējām katram iespējamajam rezultātam. Formāli akta (A_k) relatīvā paredzamā lietderība ((reu)) pār (A_l) ir

(reu (A_k, A_l) = / sum_ {i = 1} ^ n p_i (u_ {ki} - u_ {li}).)

Pēc Koljana vārdiem, ir racionāli izvēlēties (A_k) pār (A_l) tikai un tikai tad, ja (reu (A_k, A_l) gt 0).

Kolmānas REUT glīti izskaidro, kāpēc Petrogradas spēle ir vairāk vērtīga nekā Sanktpēterburgas spēle, jo relatīvā paredzamā lietderība ir 1. REUT arī izskaidro, kāpēc Petrogradskij spēle ir vairāk vērtīga nekā Sanktpēterburgas spēle: paredzamās lietderības atšķirība ir (1 - (frac {1} {2}) ^ {100}), kas ir> 0.

Tomēr Pētersons (2013) atzīmē, ka REUT nevar izskaidrot, kāpēc Ļeņingradskij spēle ir vairāk vērta nekā Ļeņingradas spēle (sk. 2. tabulu). Ļeņingradskij spēle ir Petrogradas spēles versija, kurā spēlētājs papildus ierobežota skaita lietderības vienību saņemšanai spēlē arī Sanktpēterburgas spēli (SP), ja monēta nolaižas otrajā pozīcijā. Ļeņingradas spēlē spēlētājs sāk spēlēt Sanktpēterburgas spēli (SP), ja trešajā kārtā monēta nonāk zemē.

2. tabula

Varbūtība (frac {1} {2}) (frac {1} {4}) (frac {1} {8}) (frac {1} {16})
Ļeņingrada 2 4 (8+ / textrm {SP}) 16
Ļeņingradskij 2 (4+ / textrm {SP}) 8 16

Ir acīmredzams, ka Ļeņingradskij spēle ir vairāk vērts nekā Ļeņingradas spēle, jo lielāka ir varbūtība, ka spēlētājs saņems SP spēlēt kā prēmiju (kurai ir bezgalīga paredzamā lietderība). Tomēr REUT nevar izskaidrot, kāpēc. Paredzamā stāvokļa lietderības atšķirība, kas 2. tabulā notiek ar varbūtību (frac {1} {4}), ir (- / infty), un tā ir (+ / infty) stāvoklim, kas rodas ar varbūtību (frac {1} {8}.) Tāpēc, jo (p / cdot / infty = / infty) visām pozitīvajām varbūtībām (p) un “(infty - / infty)”Nav definēts standarta analīzē, REUT šīm spēlēm nevar piemērot.

Bartha (2016) ierosina sarežģītāku Koljona teorijas versiju, kas paredzēta iepriekš aprakstīto satraukumu novēršanai. Viņa ieteikums ir lūgt aģentu salīdzināt “problemātisko” spēli ar loteriju starp divām citām spēlēm. Ja, piemēram, Petrograda + ir spēle, kurā spēlētājs vienmēr uzvar par 2 vienībām vairāk nekā Sanktpēterburgas spēlē neatkarīgi no tā, cik reizes tiek monēta, tad spēlētājs varētu salīdzināt Petrogradas spēli ar loteriju starp Petrogradu +. un Sanktpēterburgas spēle. Nosakot, pēc kādām varbūtībām loterija, kurā spēlē Petrogradu +ar p varbūtību un Sanktpēterburgas spēle ar varbūtību (1-p) ir labāka nekā Petrogradas spēles spēlēšana, noteikti var noteikt Petrogradas relatīvās vērtības izmēru, salīdzinot ar Petrogradu + vai Sanktpēterburgu. (Sīkāku informāciju skatīt 2016. gada Bartas 5. sadaļā. Skat. Arī Koljana un Hájeka 2016. gada diskusiju par Bartas teoriju.)

Pieminēsim arī vēl vienu, diezgan vienkāršu oriģinālās Sanktpēterburgas spēles variantu, kas tiek spēlēta šādi (sk. Pētersons 2015: 87): Monēta, kurai manipulē, nolaižas galvu ar varbūtību 0,4 un spēlētājs iegūst balvu, kuras vērtība ir (2 ^ n) lietderības vienības, kur n ir monētas nomestas reižu skaits. Šī spēle, Maskavas spēle, visticamāk, dod garu uzspēļu secību, un tāpēc ir vairāk vērts nekā Sanktpēterburgas spēle, taču abu spēļu paredzētā lietderība ir vienāda, jo abām spēlēm ir bezgalīga paredzamā lietderība. Varētu būt vilinoši teikt, ka Maskavas spēle ir pievilcīgāka, jo Maskavas spēle stohastiski dominē Sanktpēterburgas spēlē. (Tas, ka viena spēle stohastiski dominē citā spēlē, nozīmē, ka katram iespējamam iznākumam,pirmajai spēlei ir vismaz tikpat liela iespējamība iegūt balvu vismaz u lietderības vienību vērtībā kā otrajai spēlei; un dažiem u pirmā spēle dod u ar lielāku varbūtību nekā otrā.) Tomēr stohastiskās dominēšanas princips nav piemērojams spēlēm, kurās pastāv neliels risks, ka spēlētājs laimē balvu, kuras vērtība ir nedaudz mazāka nekā otrajā spēlē. Mēs, piemēram, varam iedomāties, ka tad, ja monēta nolaižas uz 100th flip Maskavas spēle maksā par vienu vienību mazāk nekā Sanktpēterburgas spēle; šajā scenārijā neviena spēle stohastiski nevalda pār otru. Neskatoties uz to, joprojām šķiet pamatoti uzstāt, ka spēle, kas gandrīz noteikti dod labāku rezultātu (iepriekš izskaidrotajā nozīmē), ir vairāk vērta. Izaicinājums ir izskaidrot, kāpēc tā noturīgā un patvaļīgā veidā.

7. Spēle Pasadena

Nover un Hájek (2004) ieviestais Pasadena paradokss ir iedvesmots no Sanktpēterburgas spēles, taču atmaksas grafiks ir atšķirīgs. Kā parasti, taisnīga monēta n reizes tiek aplaista, līdz tā pirmo reizi nāk uz galvas. Ja n ir nepāra, spēlētājs iegūst ((2 ^ n) / n) lietderības vienības; tomēr, ja n ir pat, spēlētājam ir jāmaksā ((2 ^ n) / n) vienības. Cik vajadzētu būt gatavam maksāt par šīs spēles spēlēšanu?

Ja summējam nosacījumus laika secībā, kādā rodas rezultāti, un parasti aprēķina paredzamo lietderību, mēs secinām, ka Pasadena spēle ir tā vērta:

(sākt {izlīdzināt} frac {1} {2} cdot / frac {2} {1} - / frac {1} {4} cdot / frac {4} {2} + / frac {1} {8} cdot / frac {8} {3} & - / frac {1} {16} cdot / frac {16} {4} + / frac {1} {32} cdot / frac {16} { 5} - / cdots \& = 1 - / frac {1} {2} + / frac {1} {3} - / frac {1} {4} + / frac {1} {5} - / cdots & = / sum_n / frac {(- 1) ^ {n-1}} {n} end {align})

Šī bezgalīgā summa saplūst ar ln 2 (aptuveni 0,69 lietderības vienības). Tomēr Nover un Hájek uzsver, ka mēs iegūtu ļoti atšķirīgu rezultātu, ja mēs pārkārtotu secību, kādā tiek summēti tie paši skaitļi. Šis ir viens no daudziem iespējamiem šī matemātiskā fakta piemēriem:

(sākt {izlīdzināt} 1 - / frac {1} {2} - / frac {1} {4} + / frac {1} {3} - / frac {1} {6} - / frac {1} {8} + / frac {1} {5} - / frac {1} {10} & - / frac {1} {12} + / frac {1} {7} - / frac {1} {14} - / frac {1} {16} cdots \& = / frac {1} {2} (ln 2). / beigas {izlīdzināt})

Protams, tas nav jaunums matemātiķiem. Pasadena spēles radītā bezgalīgā summa ir pazīstama kā mainīgās harmoniku sērijas, kas ir nosacīti saplūstošas sērijas. (Sērija (a_n) ir nosacīti konverģenta, ja (sum_ {j = 1} ^ { infty} a_n) saplūst, bet (sum_ {j = 1} ^ { infty} lvert a_n / rvert) atšķiras.) Tā kā ir teorēma, kas pazīstama kā Rīmana pārkārtošanās teorēma, mēs zinām, ka, ja bezgalīga virkne ir nosacīti konverģenta, tad tās nosacījumus vienmēr var pārkārtot tā, lai summa saplūst ar jebkuru galīgo skaitli vai uz (+ / infty) vai uz (- / infty).

Nekad un Hájeka teiktais ir tāds, ka šķiet patvaļīgi summēt spēles Pasadena terminus laika secībā, ko rada monētas atloks. Lai redzētu, kāpēc ir noderīgi iedomāties nedaudz modificētu spēles versiju. Sākotnējā rakstā Nover un Hájek lūdz mūs iedomāties, ka:

Mēs mētājam godīgu monētu, līdz tā pirmo reizi nolaižas galvā. Mēs esam secīgās kartēs ierakstījuši jūsu izmaksu par katru iespējamo iznākumu. Kārtis lasāmas šādi: (Augšējā kartīte) Ja pirmā = galvas ir uz 1. numura, mēs jums samaksājam 2 USD. […] Ja nejauši nolaižam kārtis, pēc paņemšanas un salikšanas uz galda mēs pamanām, ka tās ir pārkārtotas. Neatkarīgi no tā, jūs sakāt, acīmredzot spēle nav mainījusies, jo izmaksas grafiks paliek tāds pats. Galu galā spēli pareizi un pilnīgi nosaka uz kartēm rakstītie nosacījumi, un mēs esam tikai mainījuši nosacījumu iesniegšanas secību. (Nekad un Hájeks 2004: 237–239)

Šeit aprakstītajos apstākļos mums, šķiet, nav iemesla dot priekšroku kādai īpašai secībai, kurā apkopot bezgalīgās sērijas nosacījumus. Tā ir gaidāmā Pasadena spēles vērtība (ln 2) vai (frac {1} {2} (ln 2)) vai (frac {1} {3}) vai (- / infty) vai 345,68? Visi šie ieteikumi šķiet vienlīdz patvaļīgi. Turklāt tas pats attiecas uz spēli Altadena, kurā katra izmaksa tiek palielināta par vienu dolāru. Altadena spēle ir nepārprotami labāka nekā Pasadena spēle, taču gaidāmās lietderības teorijas aizstāvji, šķiet, nespēj izskaidrot, kāpēc.

Literatūra par spēli Pasadena ir plaša. Skatīt, piemēram, Hájeku un Noveru (2006), Smalko (2008), Smitu (2014) un Bartha (2016). Īpaši ietekmīgs risinājums ir saistīts ar Easwaran (2008). Viņš ievieš atšķirību starp paredzamo lietderības principa spēcīgo un vājo versiju, iedvesmojoties no visiem zināmā atšķirības starp lielo skaitu likuma spēcīgajām un vājajām versijām. Saskaņā ar lielo skaitļu stingro likumu vidējā spēles lietderība saplūst ar paredzamo lietderību ar varbūtību vienu, jo iterāciju skaits nonāk līdz bezgalībai. Vājš lielo skaitļu likums norāda, ka pietiekami lielam izmēģinājumu kopumam varbūtību var padarīt patvaļīgi mazu, ka vidējā lietderība neatšķirsies no paredzamās lietderības vairāk kā par nelielu, iepriekš noteiktu summu. Tātad saskaņā ar vājo paredzamo lietderības principu

iepriekš nosakot pietiekami lielu n atskaņojumu skaitu, var gandrīz garantēt, ka vidējā izmaksa par spēli ir patvaļīgi tuva ln 2,

savukārt spēcīgā principa versija to nozīmē

ja viena spēlētāja turpina izlemt, vai spēlēt atkal vai pārtraukt spēli, tad viņa gandrīz noteikti var garantēt tik lielu peļņu, cik vēlas, neatkarīgi no spēles (nemainīgās) cenas. (Easwaran 2008: 635)

Easwaran uzskata, ka aģenta izvēlei jāvadās no vājā sagaidāmā lietderības principa un taisnīga maksājamā cena ir 2 ln.

Tomēr Easwaran risinājumu nevar vispārināt ar citām spēlēm ar nedaudz atšķirīgām izmaksu shēmām. Bartha (2016: 805) apraksta Pasadena spēles versiju, kurai nav paredzamās vērtības. Šajā Arroyo spēlē spēlētājs uzvar (- 1 ^ {n + 1} (n + 1)) ar varbūtību (p_n = / frac {1} / {(n + 1)}). Ja aprēķinām paredzamo lietderību rezultātu iegūšanas secībā, iegūstam tādu pašu rezultātu kā spēlei Pasadena: (1 - / frac {1} {2} + / frac {1} {3} - / frac {1} {4} cdots) Ar Barto izskaidroto (un pierādīto) iemeslu dēļ Arroyo spēlei nav vāja paredzamā lietderība.

Ir arī vērts paturēt prātā, ka Pasadena līdzīgi scenāriji var rasties apstākļos, kas nav varbūtēji (sk. Pētersons 2013). Iedomājieties, piemēram, bezgalīgu populāciju, kurā individuālā skaitļa j lietderība ir (frac {(- 1) ^ {j-1}} {j}). Kāda ir šo iedzīvotāju kopējā lietderība? Vai arī iedomājieties, ka esat lepns Džeksona Polloka gleznas īpašnieks. Mākslas tirgotājs stāsta, ka gleznas vispārējā estētiskā vērtība ir dažu tās daļu summa. Gleznas punktus numurējat ar patvaļīgiem cipariem 1, 2, 3,… (iespējams, pierakstot numurus uz kartēm un pēc tam nometot visas kārtis uz grīdas); katra punkta j estētiskā vērtība ir (frac {(- 1) ^ {j-1}} {j}). Kāda ir gleznas kopējā estētiskā vērtība? Šie piemēri ir varbūtības nespējīgas Pasadena problēmas versijas,kuriem paredzētais lietderības princips nav piemērojams. Par jebkuru dabas stāvokli nav skaidrības; lēmumu pieņēmējs droši zina, kāda ir pasaule. Tas nozīmē, ka Easwaran atšķirība starp vājām un spēcīgām cerībām nav piemērojama.

Lai arī dažas no šīm problēmām var šķist nedaudz ezotēriskas, mēs nevaram tās noraidīt. Visas Pasadena līdzīgās problēmas ir neaizsargātas pret tādu pašu inficēšanās problēmu kā Sanktpēterburgas spēle (sk. 2. sadaļu). Hájeks un Smitsons piedāvā šādu krāsainu ilustrāciju:

Vakariņās varat izvēlēties picu vai ķīniešu. Katra varianta vēlamība ir atkarīga no tā, kā jūs, iespējams, nosverat dažādus scenārijus (sadedzināta pica, perfekti pagatavota pica,… ķīnieši ar pārāk garšvielām, ķīniešu ar perfektu garšvielu…) un komunālie pakalpojumi, kurus jūs tiem piešķirat. Norādīsim, ka neviena izvēle nedominē otru, tomēr jums vajadzētu būt pilnīgi taisnīgai, lai izdarītu izvēli. Bet tā nav, ja picas un ķīniešu cerības tiek piesārņotas pat ar niecīgu [sic] ticamības piešķiršanu Pasadena spēlei. Ja durvis tam tiek atvērtas tikai plaisājot, tas izsit durvis un pārņem visus paredzamos lietderības aprēķinus. Jūs pat nevarat izvēlēties starp picu un ķīniešu valodu. (Hájeks un Smitsons 2012: 42, emph. Pievienots.)

Koljans (2006) ierosina mums iekost aizdevi uz Pasadena spēli un pieņemt, ka tai nav gaidāmas lietderības. Piesārņojuma problēma parāda, ka, ja mēs to darītu, mums būtu jāatzīst, ka gaidāmās lietderības maksimizēšanas princips ir piemērojams gandrīz nevienam lēmumam. Turklāt, tā kā infekcijas izplatības problēma ir vienlīdz piemērojama visām šajā ierakstā apskatītajām spēlēm (Sanktpēterburga, Pasadena, Arroyo utt.), Šķiet, ka visām šīm problēmām var būt vajadzīgs vienots risinājums.

Simtiem gadu lēmumu teorētiķi ir vienojušies, ka racionālajiem aģentiem vajadzētu maksimizēt paredzamo lietderību. Diskusija lielākoties bija vērsta uz to, kā interpretēt šo principu, īpaši attiecībā uz izvēlēm, kurās pasaules cēloņsakarības struktūra ir neparasta. Tomēr vēl nesen neviens nav nopietni apšaubījis, vai pareizais princips ir paredzētās lietderības maksimizēšana. Bagātīgā un augošā literatūra par daudzajām mīklām, kuras iedvesmojis Sanktpēterburgas paradokss, norāda, ka tā varētu būt bijusi kļūda. Varbūt paredzētās lietderības maksimizēšanas princips būtu jāaizstāj ar kādu pavisam citu principu?

Bibliogrāfija

  • Aleksandrs, JM, 2011, “Cerības un izvēles piemērotība”, Mind, 120 (479): 803–817. doi: 10.1093 / mind / fzr049
  • Arrow, Kenneth J., 1970, Esejas riska uzņemšanās teorijā, Amsterdama: Ziemeļholande.
  • Aumann, Robert J., 1977, “Sanktpēterburgas paradokss: dažu nesenu komentāru diskusija”, Journal of Economic Theory, 14 (2): 443–445. doi: 10.1016 / 0022-0531 (77) 90143-0
  • Bartha, Paul FA, 2016, “Veicot darīšanu bez cerībām”, Mind, 125 (499): 799–827. doi: 10.1093 / mind / fzv152
  • Bassett, Gilbert W., 1987, “Sanktpēterburgas paradokss un ierobežotā lietderība”, Politiskās ekonomikas vēsture, 19 (4): 517–523. doi: 10.1215 / 00182702-19-4-517
  • Bernoulli, Daniel, 1738, [1954], “Specimen Theoriae Novae de Mensura Sortis”, Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, 5: 175–192. Tulkojums angļu valodā, 1954. gads, “Jaunas teorijas izklāsts par riska mērīšanu”, Econometrica, 22. (1): 23–36. doi: 10.2307 / 1909829
  • Bernoulli, Jakob, 1975, Die Werke von Jakob Bernoulli, III grupa, Bāzele: Birkhäuser. Nikolā Bernoulli vēstuļu par Sanktpēterburgas spēli Riharda J. Pulskampas tulkojums no tā ir pieejams tiešsaistē.
  • Briggs, Rachael, 2015, “Izmaksas par atteikšanos no pārliecināta principa”, Kanādas filozofijas žurnāls, 45 (5–6): 827–840. doi: 10.1080 / 00455091.2015.1122387
  • Brito, DL, 1975. gads, “Bekera laika piešķiršanas teorija un Sanktpēterburgas paradokss”, Journal of Economic Theory, 10 (1): 123–126. doi: 10.1016 / 0022-0531 (75) 90067-8
  • Buchak, Lara, 2013, Risks un racionalitāte, Ņujorka: Oxford University Press. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780199672165.001.0001
  • –––, 2014, “Risks un kompromisi”, Erkenntnis, 79 (S6): 1091–1117. doi: 10.1007 / s10670-013-9542-4
  • Bufons, GLL, 1777, “Essai d'Arithmdéétique Motale”, “Supplies” à l'Histoire Naturelle. Pārpublicēts Oeuvres Philosophiques de Buffon, Parīzē, 1954. gadā.
  • Chalmers, Deivids J., 2002. gads, “Sanktpēterburgas divu aplokšņu paradokss”, analīze, 62 (2): 155–157. doi: 10.1093 / analys / 62.2.155
  • Čens, Edijs Kemings un Daniels Rubio, gaidāmā filma “Sirreālie lēmumi”, filozofija un fenomenoloģiskie pētījumi, pirmais tiešsaistē: 2018. gada 5. jūnijā. Doi: 10.1111 / phpr.12510
  • Koljāns, Marks, 2006, “Bez cerībām”, Mind, 115 (459): 695–702. doi: 10.1093 / mind / fzl695
  • –––, 2008, “Relatīvo gaidu teorija”:, Filozofijas žurnāls, 105 (1): 37–44. doi: 10.5840 / jphil200810519
  • Koljāns, Marks un Alans Hájeki, 2016, “Padarīt Ado bez cerībām”:, Mind, 125 (499): 829–857. doi: 10.1093 / mind / fzv160
  • Kovens, Tailers un Džeks Heits, 1988. gads, “Laiks, ierobežota lietderība un Sanktpēterburgas paradokss”, teorija un lēmums, 25 (3): 219–223. doi: 10.1007 / BF00133163
  • Dutka, Žaks, 1988. gads, “Par Sanktpēterburgas paradoksu”, precīzo zinātņu vēstures arhīvs, 39 (1): 13–39. doi: 10.1007 / BF00329984
  • Easwaran, Kenny, 2008, “Spēcīgas un vājas cerības”, Mind, 117 (467): 633–641. doi: 10.1093 / mind / fzn053
  • Fine, Terrence L., 2008, “Pasadena, Altadena un Sanktpēterburgas spēļu novērtēšana”, Mind, 117 (467): 613–632. doi: 10.1093 / mind / fzn037
  • Hájeks, Alans, 2014, “Negaidītas cerības”, Prāts, 123 (490): 533–567. doi: 10.1093 / mind / fzu076
  • Hájeks, Alans un Hariss Novers, 2006. gads, “Neizprotamās cerības”, Mind, 115 (459): 703–720. doi: 10.1093 / mind / fzl703
  • –––, 2008, “Kompleksās cerības”, Mind, 117 (467): 643–664. doi: 10.1093 / mind / fzn086
  • Hájeks, Alans un Maikls Smitsons, 2012, “Racionalitāte un nenoteiktas varbūtības”, Synthese, 187 (1): 33–48. doi: 10.1007 / s11229-011-0033-3
  • Isaacs, Yoaav, 2016, “Varbūtības nevar racionāli novārtā atstāt”, Mind, 125 (499): 759–762. doi: 10.1093 / mind / fzv151
  • Džefrijs, Ričards C., 1983. gads, Lēmuma loģika, 2. izdevums, Čikāga: University of Chicago Press.
  • Jordānija, Džefs, 1994, “Sanktpēterburgas paradokss un Paskāla ķēriens”, Filozofija, 23 (1–4): 207–222. doi: 10.1007 / BF02379856
  • Džoiss, Džeimss M., 1999. gads, Cēloņsakarības lēmumu teorijas pamati, Kembridža: Cambridge University Press.
  • Lauwers, Luc un Peter Vallentyne, 2016, “Lēmumu teorija bez ierobežotas standarta sagaidāmās vērtības”, Ekonomika un filozofija, 32 (3): 383–407. doi: 10.1017 / S0266267115000334
  • Linnebo, Øystein un Stewart Shapiro, 2019. gads, “Faktiskā un potenciālā bezgalība: faktiskā un potenciālā bezgalība”, Noûs, 53 (1): 160–191. doi: 10.1111 / nous.12208
  • Luce, R. Duncan, 1959. gads, “Par iespējamiem psihofizikāliem likumiem”, psiholoģiskais apskats, 66 (2): 81–95. doi: 10.1037 / h0043178
  • Makkenlens, Edvards F., 1994. gads, “Paskāla cīkstoņa un ierobežoto lēmumu teorija”, spēlē par Dievu: Esejas par Paskāla vēderu, Džefs Džordans (red.), Bostona: Rowman & Littlefield, 115–138.
  • Mengers, Kārlis, 1934, [1979], “Das Unsicherheitsmoment in der Wertlehre: Betrachtungen im Anschluß an das sogenannte Petersburger Spiel”, Zeitschrift für Nationalökonomie, 5 (4): 459–485. Tika tulkots 1979. gadā kā “Nenoteiktības loma ekonomikā” Mengera atlasītajos rakstos loģikā un pamatos, didaktikā, ekonomikā, Dordrecht: Springer Nīderlande, 259. – 278. doi: 10.1007 / BF01311578 (de) doi: 10.1007 / 978-94-009-9347-1_25 (lv)
  • Nekad, Hariss un Alans Hájeki, 2004, “Vexing Expectations”, Mind, 113 (450): 237–249. doi: 10.1093 / mind / 113.450.237
  • Pētersons, Martins, 2011, “Jauns vēriens Sanktpēterburgas paradoksam”:, Filozofijas žurnāls, 108 (12): 697–699. doi: 10.5840 / jphil20111081239
  • –––, 2013, “Pasadena mīklas vispārinājums: Pasadena puzzle vispārinājums”, Dialektika, 67 (4): 597–603. doi: 10.1111 / 1746-8361.12046
  • –––, 2009 [2017], Ievads lēmumu pieņemšanas teorijā, Kembridža: Cambridge University Press; otrais izdevums 2017. doi: 10.1017 / CBO9780511800917 doi: 10.1017 / 9781316585061
  • –––, 2019. gads, “Intervāla vērtības un racionāla izvēle”, Ekonomika un filozofija, 35 (1): 159–166. doi: 10.1017 / S0266267118000147
  • Ramsey, Frank Plumpton, 1926. gadā [1931], “Patiesība un varbūtība”, iespiests matemātikas un citu loģisko eseju pamatos, RB Braithwaite (ed.), London: Kegan Paul, Trench, Trubner & Co., 156–198. Pārpublicēts varbūtības filozofijā: mūsdienu lasījumi, Antonijs Ērglis (red.), Ņujorka: Routledge, 2011: 52–94. [Ramsey 1926 [1931] pieejams tiešsaistē]
  • Samuelsons, Pols A., 1977. gads, “St. Pēterburgas paradoksi: nolemti, sadalīti un vēsturiski aprakstīti”, Ekonomiskās literatūras žurnāls, 15 (1): 24. – 55.
  • Savage, Leonard J., 1954, The Foundations of Statistics, (Wiley Publications in Statistics), Ņujorka: Wiley. Otrais izdevums, Kurjeru korporācija, 1974. gads.
  • Skala, Heinz J., 1975, Arhimīdiju lietderības teorija, Dordrehta: D. Reidels.
  • Smits, Nikolajs Dž., 2014. gads, “Vai novērtējamā kompozicionalitāte ir racionalitātes prasība?”, Mind, 123 (490): 457–502. doi: 10.1093 / mind / fzu072
  • fon Neimans, Džons un Oskars Morgensterns, 1947. gads, Spēļu teorija un ekonomiskā uzvedība, otrais pārskatītais labojums, Prinstona, Ņujorka: Princeton University Press.
  • Weirich, Paul, 1984, “Sanktpēterburgas azarts un risks”, teorija un lēmums, 17. (2): 193–202. doi: 10.1007 / BF00160983
  • Viljamsons, Timotejs, 2007, “Cik iespējams, ir bezgalīga galvu secība?”, Analīze, 67 (295): 173–180. doi: 10.1111 / j.1467-8284.2007.00671.x

Akadēmiskie rīki

sep cilvēks ikona
sep cilvēks ikona
Kā citēt šo ierakstu.
sep cilvēks ikona
sep cilvēks ikona
Priekšskatiet šī ieraksta PDF versiju vietnē SEP Friends.
inpho ikona
inpho ikona
Uzmeklējiet šo ierakstu tēmu interneta filozofijas ontoloģijas projektā (InPhO).
phil papīru ikona
phil papīru ikona
Uzlabota šī ieraksta bibliogrāfija vietnē PhilPapers ar saitēm uz tā datu bāzi.

Citi interneta resursi

[Lūdzu, sazinieties ar autoru ar ieteikumiem.]

Ieteicams: