Nededucējošās Metodes Matemātikā

Satura rādītājs:

Nededucējošās Metodes Matemātikā
Nededucējošās Metodes Matemātikā

Video: Nededucējošās Metodes Matemātikā

Video: Nededucējošās Metodes Matemātikā
Video: Метод Фрейда / Freud's Method. Сериал. 1 Серия. StarMedia. Детектив 2024, Marts
Anonim

Ieejas navigācija

  • Iestāšanās saturs
  • Bibliogrāfija
  • Akadēmiskie rīki
  • Draugu PDF priekšskatījums
  • Informācija par autoru un atsauce
  • Atpakaļ uz augšu

Nededucējošās metodes matemātikā

Pirmoreiz publicēts Pirmdien, 2009. gada 17. augustā; būtiska pārskatīšana otrdien, 2020. gada 21. aprīlī

Pašreizējā situācijā nav viena precīzi definēta filozofiska apakšnozares, kas būtu veltīta ne deduktīvo metožu izpētei matemātikā. Tā kā šeit tiek lietots termins, tas ietver dažādu filozofisko pozīciju, pieeju un pētījumu programmu kopu, kuras kopējais motivācija ir uzskats, ka i) matemātiskajā metodikā ir ne deduktīvi aspekti, un ka ii) identificēšana un analīze no šiem aspektiem var būt filozofiski auglīga.

  • 1. Ievads

    • 1.1 Atklājums pretstatā pamatojumam
    • 1.2. Atskaitīšana un formalizēšana
    • 1.3 Deductivism un pamati
  • 2. Deduktīvās metodes ne deduktīvie aspekti

    • 2.1. Neformālitātes aspekti

      • 2.1.1. Pusformāli pierādījumi
      • 2.1.2. Trūkumi pierādījumos
      • 2.1.3. Diagrammas
    • 2.2. Atskaitījuma attaisnošana

      • 2.2.1 Noteikumu pamatojums
      • 2.2.2 Aksiomu statuss
    • 2.3 Gēdela rezultāti
  • 3. Alternatīvas ne deduktīvās metodes

    • 3.1. Eksperimentālā matemātika
    • 3.2. Enumeratīvā indukcija
    • 3.3 Datoru pierādījumi
    • 3.4. Varbūtības pierādījumi
  • 4. Kopsavilkums / secinājumi
  • Bibliogrāfija
  • Akadēmiskie rīki
  • Citi interneta resursi
  • Saistītie ieraksti

1. Ievads

Filozofiski uzskati par matemātikas ontoloģiju izslēdz platonismu (matemātika ir saistīta ar abstraktiem objektiem), fikcionālismu (matemātika ir fikcija, kura priekšmets nepastāv), formālismu (matemātiskie apgalvojumi ir bezjēdzīgas virknes, kas tiek manipulētas ar formālu noteikumi), bez vienprātības par to, kurš ir pareizs. Turpretim šķiet taisnīgi apgalvot, ka pastāv matemātikas pamatmetodoloģijas filozofiski izveidots uzskats. Aptuveni runājot, tas ir tas, ka matemātiķu mērķis ir pierādīt dažāda veida matemātiskos apgalvojumus, un šis pierādījums sastāv no attiecīgā apgalvojuma loģiskas atvasināšanas no aksiomām. Šim viedoklim ir sena vēsture;tādejādi Dekarts savos prāta virziena noteikumos (1627–28) raksta, ka matemātiskais piedāvājums ir “jānovērš no patiesajiem un zināmajiem principiem ar nepārtrauktu un nepārtrauktu prāta darbību, kam ir skaidrs redzējums par katru procesa posmu”(47). Svarīga šī viedokļa nozīme ir tā, ka matemātikā vismaz ideālā gadījumā nav vietas ne deduktīvām metodēm. Piemēram, Frege paziņo, ka “matemātikas raksturs vienmēr dod priekšroku pierādījumiem, ja pierādīšana ir iespējama, jebkuram apstiprinājumam ar indukciju” (1884, 2). Berijs (2016) piedāvā nesenāku pierādījumu aizstāvēšanu, jo tas veicina matemātikas kopienas kopīgās aptaujas galvenos tikumus.vismaz ideālā gadījumā matemātikā, izmantojot ne deduktīvās metodes. Piemēram, Frege paziņo, ka “matemātikas raksturs vienmēr dod priekšroku pierādījumiem, ja pierādīšana ir iespējama, jebkuram apstiprinājumam ar indukciju” (1884, 2). Berijs (2016) piedāvā nesenāku pierādījumu aizstāvēšanu, jo tas veicina matemātikas kopienas kopīgās aptaujas galvenos tikumus.vismaz ideālā gadījumā matemātikā, izmantojot ne deduktīvās metodes. Piemēram, Frege paziņo, ka “matemātikas raksturs vienmēr dod priekšroku pierādījumiem, ja pierādīšana ir iespējama, jebkuram apstiprinājumam ar indukciju” (1884, 2). Berijs (2016) piedāvā nesenāku pierādījumu aizstāvēšanu, jo tas veicina matemātikas kopienas kopīgās aptaujas galvenos tikumus.

Filozofiskajā literatūrā, iespējams, visslavenākais izaicinājums šim saņemtajam skatam ir bijis Imre Lakatos savā ietekmīgajā (pēcnāves laikā publicētajā) 1976. gada grāmatā “Proofs and Refutations:

Eiklīda metodoloģijā ir izstrādāts noteikts obligāts pasniegšanas stils. Es to nosaukšu par “deduktīvisma stilu”. Šis stils sākas ar rūpīgi sastādītu aksiomu, lemmu un / vai definīciju sarakstu. Aksiomas un definīcijas bieži izskatās mākslīgas un mistifikācijas ziņā sarežģītas. Nekad netiek stāstīts, kā radās šīs komplikācijas. Aksiomu un definīciju sarakstam seko rūpīgi formulētas teorēmas. Tie ir noslogoti smagos apstākļos; šķiet neiespējami, ka kāds tos kādreiz būtu uzminējis. Pēc teorēmas seko pierādījums.

Deductivistiskā stilā visi apgalvojumi ir patiesi un visi secinājumi ir spēkā. Matemātika tiek pasniegta kā arvien lielāks mūžīgo, negrozāmo patiesību kopums.

Deductivist stils slēpj cīņu, slēpj piedzīvojumu. Viss stāsts izzūd, secīgie teorēmas provizoriskie formulējumi pierādīšanas procedūras laikā ir lemti aizmirstībai, kamēr gala rezultāts tiek pacilāts svētā nekļūdīgumā (Lakatos 1976, 142).

Pirms turpināt, būs vērts veikt dažas atšķirības, lai pievērstos nākamās diskusijas tēmām.

1.1 Atklājums pretstatā pamatojumam

Plašais apgalvojums, ka ir daži matemātiskās aktivitātes ne deduktīvie aspekti, šķiet samērā pretrunīgs. Tas tikai nozīmē apgalvojumu, ka ne viss, ko matemātiķi dara, veicot matemātiku, sastāv no apgalvojumu iegūšanas no citiem apgalvojumiem. Kā saka Džeimss Franklins:

Matemātika nevar sastāvēt tikai no minējumiem, atspēkojumiem un pierādījumiem. Ikviens var ģenerēt minējumus, bet kurus no tiem ir vērts izpētīt? … Kuru varētu pierādīt ar metodi matemātiķa repertuārā? … Uz kuriem diez vai tiks sniegta atbilde līdz nākamajai īpašumtiesību pārskatīšanai? Matemātiķim ir jāatbild uz šiem jautājumiem, lai atvēlētu laiku un pūles. (Franklins 1987, 2)

Viens no veidiem, kā sašaurināt vispārīgo apgalvojumu, lai padarītu to būtiskāku, ir izmantot pazīstamo (lai arī ne pilnīgi neproblemātisko) atšķirību starp “atklāšanas kontekstu” un “pamatojuma kontekstu”. No vienas puses, šī atšķirība var ļaut saglabāt tradicionālo deductivistisko uzskatu, saskaroties ar Lakatos kritiku, apgalvojot, ka tas, ko norāda Lakatos, attiecas uz atklāšanas kontekstu matemātikā. Attaisnošanas kontekstā rezultātu atvasināšana no aksiomām joprojām var būt pareizais un pilnīgais stāsts. Dažām matemātiķu reakcijām uz Lakatos uzskatiem ir šāds raksturs, piemēram, šāds Morisa Klīna izteikums Lakatos rakstītā vēstulē:

Es uzskatu, ka mums ir vajadzīga daudz vairāk literatūras, uzsverot matemātikas atklājumu pusi. Viss uzsvars, kā jūs zināt un kā jūs domājat, ir uz matemātikas deduktīvo struktūru, un iespaids, kas tiek radīts studentiem, ir tāds, ka no veciem tiek izdarīti jauni secinājumi. [1]

Arī Poļjas darbā, kurš bija liela ietekme uz Lakatosu, ir iespējams atrast fragmentus līdzīgā veidā:

Studējot problēmu risināšanas metodes, mēs uztveram citu matemātikas seju. Jā, matemātikai ir divas sejas; tā ir precīza Eiklida zinātne, bet tā ir arī kaut kas cits. Matemātika, kas pasniegta Eiklīda veidā, parādās kā sistemātiska, deduktīva zinātne, bet matemātika veidošanā šķiet eksperimentāla, induktīva zinātne. (Pólya 1945, vii) [oriģināls slīpraksts]

Un otrādi, lai izvirzītu patiesu izaicinājumu pazīstamajai deductivistiskajai pozīcijai, pretprasībai ir jābūt tādai, ka ne deduktīvām metodēm ir nozīme matemātisko rezultātu attaisnošanā (Paseau 2015). Tāpēc atlikušajā šīs aptaujas daļā galvenā uzmanība tiks pievērsta pamatojumam. [2]

1.2. Atskaitīšana un formalizēšana

Šī nav vieta detalizētai atskaitījuma analīzei. Pašreizējiem mērķiem šis jēdziens vismaz principā tiks uzskatīts par diezgan skaidru. Atskaitīšana ir jebkura paziņojumu virkne, no kurām katra ir iegūta no kaut kāda sākotnējā apgalvojumu kopuma (telpas) vai no iepriekšējā secības secības. Tomēr viens jautājums, kas jārisina, ir saistība starp atskaitīšanu un formalizēšanu (sk., Piem., Azzouni 2013).

Arguments var būt deduktīvs, ja tas nav formāls. Kaut arī atskaitīšanas paradigmas gadījumi mēdz notikt ļoti formalizētās sistēmās, tas nav nepieciešams. “Visi pāra skaitļi, kas lielāki par 2, ir salikti; 1058 ir lielāks par 2; 1058 ir pat; tātad 1058 ir salikts”ir pilnīgi labs atskaitījums, neskatoties uz to, ka tas nav formalizēts. Tādējādi, pretēji tam, kas dažreiz tiek pieņemts diskusijās par šiem jautājumiem, nav taisnība, ka visi neformālie matemātiskās prakses aspekti tādējādi nav deduktīvi.

No otras puses, formālās loģikas attīstība ir cieši saistīta ar skaidras valodas nodrošināšanu deduktīvās matemātiskās argumentācijas iesniegšanai (un novērtēšanai). Patiešām, kā Džons Burgess apgalvo savā (1992), mūsdienu klasiskā loģika lielākoties attīstījās kā pamats matemātiskai spriešanai, it īpaši pierādījumiem. Ar stingrību skaita pieaugums matemātikā ar 19 laikā th Century ir pareizi uzskatīt par iemeslu, nevis efektu, no loģiskā revolūcijas ieskaitīt ar Frēges darbu. Loģika, pēc Burgess domām, ir aprakstoša: tās mērķis ir konstruēt spriešanas matemātiskos modeļus. Klasiskā loģika ir idealizēts klasiskās matemātiskās pierādīšanas apraksts.

Var būt arī svarīgi atšķirt dotā matemātiskā pierādījuma neformālos elementus no neformalizējamiem elementiem (ja tādas ir). [3] 4. iedaļā šis jautājums tiks apskatīts saistībā ar diagrammu izmantošanu matemātiskajā spriešanā.

1.3 Deductivism un pamati

Papildus formālās loģikas attīstībai vēl viens deduktīvisma aspekts ir uzsvars uz “pamatiem”. Iemesls tam ir tas, ka principā pāreja no aksiomām uz teorēmu ir vienkārša, jo tas ir loģiskas atvasināšanas jautājums. Patiešām, šajā pārejā nav nekā izteikti matemātiska. Tādējādi uzmanība tiek novirzīta uz deduktīvā procesa sākumpunktu, proti, aksiomām. Un, ja šīs aksiomas pašas par sevi ir teorijas par dažām pamatteorijām, tad šo droša sākumpunkta sasniegšanu var turpināt, izmantojot arvien pamatotāku matemātisko teoriju hierarhiju.

Nav noliedzams, ka jautājumi pamatus matemātikā bijis galvenais pamatjēga filozofiem matemātikas cauri lielākajai daļai 20 th Century. Tas, protams, nav tāpēc, ka pamatjomas, piemēram, kopu teorija, ir vienīgās matemātikas jomas, kurās filozofi domā, ka dedukcija notiek, bet gan tāpēc, ka, kā jau tika norādīts iepriekš, koncentrēšanās uz dedukciju īpašu uzsvaru liek uz pierādījumu sākumpunktu. Pat tie, kas simpatizē šādam uzsvaram uz pamatjautājumiem, visticamāk, atzīs, ka daudzas matemātiskās prakses jomas tādējādi tiek ignorētas. Jautājums ir par to, vai filozofijas intereses šajā procesā tiek zaudētas.

2. Deduktīvās metodes ne deduktīvie aspekti

2.1. Neformālitātes aspekti

2.1.1. Pusformāli pierādījumi

Kā minēts 1.2. Punktā, viena no deduktīvisma stila iezīmēm ir tā, ka matemātiskie paradigmatiskie pierādījumi tiek izteikti pilnībā kādā piemērotā formālā valodā (piemēram, pirmās kārtas predikāta loģika ar identitāti). Tas ļauj viegli, pat mehāniski, pārliecināties par attiecīgā pierādījuma derīgumu. Bet, protams, mazam no matemātiķu izplatītajiem un publicētajiem pierādījumiem, ja tādi ir, ir šāda forma. Kas uzskatāms par pierādījumu strādājošiem matemātiķiem, svārstās no pilnīgi neoficiāla līdz detalizētam un precīzam, aizpildot katru (vai gandrīz katru) spraugu. Tomēr pat detalizēti un precīzi pierādījumi reti tiek izteikti tikai loģikas valodā; drīzāk tie ir parasto valodu, matemātisko un loģisko simbolu un terminoloģijas sajaukums.

Dažreiz filozofi, kas raksta deductivist tradīcijās, liek izklausīties tā, it kā tas būtu diezgan triviāls punkts; tas ir tikai jautājums par to, kā matemātiķiem ir pieejama “tulkošanas shēma”, bet neizraksta pierādījumus tīrā loģikā, lai tie būtu pieejamāki un vieglāk lasāmi. Faktiski bieži vien nav tālu skaidrs, kā konkrēto pierādījumu pārveidot formālā loģikā. Turklāt nav skaidrs, vai neformāla pierādījuma “tulkošanas” formālā valodā jēdziens noteikti ir pareizais veids, kā aplūkot situāciju. Stjuarts Šapiro būtībā izklāsta šo viedokli savas 1991. gada grāmatas “Pamati bez fundamentālisma” sākumā, rakstot, ka:

Pilnīgas loģikas valodas vismaz daļēji ir parasto dabisko valodu fragmentu matemātiskie modeļi, piemēram, angļu, vai varbūt parastās valodas, kas papildinātas ar matemātikā izmantotajiem izteicieniem. Pēdējo var saukt par “matemātikas dabiskajām valodām”. Lai uzsvērtu vai izvairītos no neskaidrībām, pilnīgas loģikas valodu dažreiz sauc par “formālo valodu”.

Kā matemātiskais modelis vienmēr pastāv plaisa starp loģikas valodu un tās dabisko valodas ekvivalentu. Piemērotība starp modeli un modelēto var būt laba vai slikta, noderīga vai maldinoša jebkuram mērķim. (Šapiro 1991, 3)

Alternatīvs attēls ir tāds, ka formālās un neoficiālās valodas piedāvā dažādus matemātisko teorēmu un pierādījumu izteikšanas veidus. Oficiālā valoda netiek izmantota “tulkošanai”, un tāpēc tā nav jāmēra, salīdzinot ar to, kas izteikts neformālā pierādījumā. Drīzāk tā piedāvā savus, domājams, pārākos resursus matemātisko paziņojumu satura izteikšanai precīzā un stingrā vidē, kas ir īpaši paredzēta šim mērķim. Neatkarīgi no tā, kāds attēls ir par matemātikas formālo un neoficiālo prezentāciju attiecībām, paliek divi punkti. Pirmkārt, deduktīvie matemātiskie argumenti - argumenti, kurus izstrādā, pārraida un izmanto matemātiķi - var būt formāli vai neoficiāli. Otrkārt,šādus argumentus kā deduktīvi pamatotus vai nederīgus ir vieglāk veikt galīgi kaut kādas formālas sistēmas kontekstā.

Ir arī vērts atzīmēt, ka Lakatos papildus oficiālajam un neoficiālajam apgalvo arī trešo pierādījumu kategoriju, ko viņš sauc par “kvaziformālu”. Lakatos raksta, ka:

ierosināt, ka neoficiāls pierādījums ir tikai nepilnīgs formāls pierādījums, man šķiet, ir pieļāvis to pašu kļūdu, ko izdarīja agrīnās izglītības speciālisti, kad, pieņemot, ka bērns bija tikai maza auguma pieaudzis, viņi atstāja novārtā tiešu bērna uzvedības izpēti par labu teorija, kuras pamatā ir vienkāršas pieaugušo uzvedības analoģijas. (Lakatos 1980, 63)

2.1.2. Trūkumi pierādījumos

Iepriekš runātā par “katras nepilnības aizpildīšanu” pārejā uz ideālu pierādījumu norāda uz faktu, ka jēdziens “plaisa” pierādījumā pats par sevi ir jāprecizē. Pirmkārt, visvienkāršākais pierādīšanas plaisas noteikšanas veids, kā norādīts zemāk, ir piemērojams tikai pilnīgi formālām sistēmām.

Nepilnība ir jebkurš pierādījuma punkts, kurā rakstītā rinda neizriet no dažām iepriekšējo rindu apakškopām (kopā ar aksiomām), piemērojot formāli derīgu un skaidri noteiktu secināšanas noteikumu sistēmai.

Iemesls nosacījumam, ka jebkurš noteikums ir skaidri noteikts secināšanas princips attiecībā uz sistēmu, ir tāpēc, ka mēs vēlamies dot vietu krāpnieciskiem, bet derīgiem pierādījumiem. Piemēram, “2 + 2 = 4, tātad, ir ļoti daudz primu” ir pamatots arguments, taču acīmredzami pastāv liela atšķirība starp tā premisu un secinājumu. No otras puses, neskatoties uz iepriekšminēto definīciju, kas strādā tikai formālu pierādījumu iegūšanai, gaplessness un formalitāte ne vienmēr ir kopā. Tādējādi tāds tradicionāls sylogisms kā: “Visi cilvēki ir mirstīgi; Sokrats ir cilvēks; tātad Sokrats ir mirstīgs”ir nepilnīga neoficiāla pierādījuma piemērs. Viens no veidiem, kā paplašināt jēgu par gappiness (un gaplessness) līdz neoficiāliem pierādījumiem, ir matemātikas pamatnoteikumu jēdziens,citiem vārdiem sakot, secinājums, ko “matemātiskā sabiedrība ir pieņēmusi kā pierādījumu izmantojamu bez papildu argumentācijas nepieciešamības” (Fallis 2003, 49).

Lai kā mēs galu galā raksturotu nepilnības, nenoliedzami ir tas, ka lielākajai daļai matemātiķu iesniegto pierādījumu ir nepilnības. Dons Faliss piedāvā taksonomiju dažādajiem pierādījumu trūkumiem savā (2003. gadā):

  1. Inferenciālās nepilnības

    “Matemātiķis ir atstājis secinošu plaisu ikreiz, kad noteiktā secinājumu virkne, kas matemātiķim ir prātā (kā pierādījums), nav pierādījums” (Fallis 2003, 53).

  2. Entimēmiskās nepilnības

    “Matemātiķis ir atstājis entimēmisku plaisu ikreiz, kad viņš tieši neizsaka konkrēto piedāvājuma secību, kas viņam ir prātā” (Fallis 2003, 54). [4]

  3. Nepārvērstas nepilnības

    “Matemātiķis ir atstājis neiztrūkstošu plaisu, kad vien viņš nav mēģinājis tieši pārbaudīt, vai katrs piedāvājums secinājumu secībā, kas viņam ir prātā (kā pierādījums tam), izriet no iepriekšējiem piedāvājumiem secībā ar matemātikas pamata secinājumu”. (Fallis 2003, 56–7).

Papildus šim taksonomijas darbam Fallis arī filozofijas darbā apgalvo, ka pierādījumu nepilnības nebūt nav slikta lieta. Balstoties uz iepriekš (iii) punktu, viņš iepazīstina ar vispārēji neapgrieztu plaisu, citiem vārdiem sakot, tādu plaisu, kuru nav pārvarējis neviens matemātiskās kopienas loceklis. Faliss apgalvo, ka šādas nepilnības nav neparastas un ka matemātiķi pamatotajā kontekstā pieņem vismaz dažus no laika pierādījumiem, kas tos satur. Šis uzskats ir apstiprināts jaunākā Andersena darbā (2018).

Viena no šobrīd aktīvajām darba jomām, kuru rezultātā ir atklāti līdz šim neatzīti dažāda veida trūkumi, ir automatizēta pierādījumu pārbaude. Īpašumā izstrādātas datorprogrammas tiek izmantotas, lai pārbaudītu pierādījumu derīgumu, kas sniegti atbilstošā oficiālajā valodā. Pagaidām galvenā uzmanība nav pievērsta jaunu rezultātu atklāšanai, bet gan jau pārbaudītu rezultātu pierādījumu statusa pārbaudei. Džordžs Gontjē ir izmantojis šo pieeju, lai pārbaudītu četru krāsu teorēmas pierādījumu (Gonthier 2008) un nepāra kārtas teorēmas pierādījumu grupas teorijā (Gonthier et al. 2013), un Tomass Haless pārbaudīja Jordānijas līknes teorēmas pierādījumu. (Hales 2007). Katrā ziņā tika atrastas vairākas nepilnības, un pēc tam tās tika novērstas. Šāda veida formāla pārbaude var atklāt arī citu informāciju, kas slēpta parasto matemātisko argumentu saturā. Georgs Kreisels raksturoja šo vispārējo procesu kā “pierādījumu izvilkšanu”, savukārt Ulrihs Kohlenbahs nesen izgudroja terminu “pierādījumu iegūšana”. Saistībā ar iepriekš aprakstītajām metodēm Avigad to raksta

… Teorētiskās metodes un atziņas var izmantot… automatizētās spriešanas un formālās verifikācijas jomā. Kopš divdesmitā gadsimta sākuma ir saprasts, ka parastos matemātiskos argumentus vismaz principā var attēlot formālās aksiomātiskās teorijās. Sarežģītība, kas saistīta pat ar visvienkāršākajiem matemātiskajiem argumentiem, tomēr padarīja lielāko daļu formalizēšanas praktiski nepieejamu. Skaitļojošo pierādījumu asistentu ienākšana to ir sākusi mainīt, dodot iespēju formalizēt arvien sarežģītākus matemātiskos pierādījumus. [..] Šīs metodes var izmantot arī tradicionālākiem uzdevumiem - parasto matemātisko pierādījumu pārbaudei -, un tie ir īpaši svarīgi gadījumos, kad pierādījumi balstās uz aprēķiniem, kas ir pārāk plaši, lai tos pārbaudītu ar roku. (Avigad 2007, 7)

Delariviere un Van Kerkhove (2017) tomēr norāda, ka, kaut arī datormetodes var spēlēt aizvien svarīgāku noteikumu pierādīšanas pārbaudē, ir daudz mazāk skaidrs, ka šādām metodēm var būt attiecīgi galvenā loma matemātiskās izpratnes attīstībā.

2.1.3. Diagrammas

Vēl viens neoficiālas pierādīšanas aspekts, kam nesenajā filozofiskajā literatūrā ir pievērsta pastiprināta uzmanība, ir diagrammu loma (Giaquinto 2007; Shin & Lemon 2008). Nav strīda par to, ka pierādījumiem - it īpaši ģeometrijā, bet arī citās jomās, sākot no analīzes līdz grupas teorijai - bieži tiek pievienotas diagrammas. Viens jautājums ir par to, vai šādām diagrammām ir neaizstājama loma argumentācijas ķēdē, kas ved no dotā pierādījuma telpām līdz tā secinājumiem. Prima facie, šķiet, ir trīs iespējamās situācijas:

  1. Diagrammām nav būtiskas nozīmes pierādījumos, un tās kalpo tikai kā “ilustrācijas” tiem subjekta aspektiem, ar kuriem tās tiek aplūkotas.
  2. Praktiski ir grūti (vai pat neiespējami) aptvert pierādījumus, neizmantojot diagrammas, taču šī neaizstājamība ir drīzāk psiholoģiska nekā loģiska.
  3. Diagrammām ir būtiska loma pierādījuma loģiskajā struktūrā.

Sākotnējais filozofiskā darba vilnis, kas veikts pie shematiskas spriešanas, koncentrējās uz Eiklida elementiem, daļēji šī darba centrālās un vēsturiskās nozīmes dēļ, un daļēji tāpēc, ka tas tik bieži tiek turēts kā deduktīvās metodes kanonisks piemērs (sk., Piem., Mumma 2010). Ja uz dažām vai visām elementu diagrammām attiecas iepriekšminētā (iii) opcija, izdzēšot visas diagrammas, daudzi no pierādījumiem kļūs nederīgi. Tas rada turpmāku jautājumu par to, vai var identificēt un analizēt atšķirīgi shematisku argumentācijas veidu un, ja tā, vai to var uztvert tīri deduktīvā sistēmā. Viena no ierosinātās precizēšanas grūtībām ir “vispārināšanas problēma”: kā pierādījumus, kas saistīti ar konkrētu shēmu, var vispārināt citos gadījumos? Tas ir savstarpēji saistīts ar jautājumu par formālā atšķiršanustarp dotās diagrammas būtiskajām un nejaušajām iezīmēm.

Jaunākā darbā par diagrammu lomu pierādījumos ir ietverta nostājas aizstāvēšana, ka diagrammatiskie pierādījumi dažkārt var būt pilnīgi stingri (Azzouni, 2013), un uz diagrammām balstītas spriešanas izpēte matemātiskās prakses jomās, kas nav ģeometrija (de Toffoli un Giardino, 2014; de Toffoli, 2017).

2.2. Atskaitījuma attaisnošana

Pat ja mēs ierobežojam uzmanību uz attaisnojuma kontekstu, deduktīvs pierādījums sniedz kategoriskas zināšanas tikai tad, ja tas nāk no droša sākuma punkta un ja secinājumu likumi saglabā patiesību. Vai mūsu pārliecību par šo divu nosacījumu iegūšanu var pamatot tikai deduktīvi? Šie apstākļi tiks izskatīti pēc kārtas.

2.2.1 Noteikumu pamatojums

Vienā ziņā šķiet diezgan vienkārši sniegt deduktīvu pamatojumu dažiem labvēlīgajiem secinājumu noteikumiem. Var parādīt, piemēram, ka, ja Modus Ponens lietojuma pieņēmumi ir patiesi, tad arī secinājumam ir jābūt patiesam. Vismaz potenciāli problēma ir tāda, ka šādos attaisnojumos parasti tiek izmantots pats noteikums, kuru tie cenšas attaisnot. Iepriekš minētajā gadījumā: ja MP tiek piemērots patiesām telpām, secinājums ir taisnība; MP tiek piemērots patiesām telpām; tātad secinājums ir taisnība. Haaks (1976) un citi ir diskutējuši par to, vai apļveida principi šeit ir ļauni. Viens no svarīgākajiem apsvērumiem ir tas, vai nederīgiem noteikumiem var sniegt analoģiskus “attaisnojumus”, piemēram, “Prior” ieviešanas un atcelšanas noteikumi “tonk”, kuriem ir arī šī īpašību izmantošanas kārtība, lai sevi attaisnotu.[5] (Cieši saistītu jautājumu var izsekot līdz Lūisa Kerola un viņa klasiskā (1895. gada) rakstam.)

2.2.2 Aksiomu statuss

Pieņemsim, ka idealizēts deduktīvs pierādījums nodrošina viena veida drošību: katra soļa caurspīdīgums nodrošina argumenta pamatotību kopumā un tādējādi garantē - ja visas telpas ir patiesas, secinājumam ir jābūt patiesam. Bet kas no tām aksiomām, kuras tiek ieviestas pierādīšanas procesa sākumā? Tradicionālā atbilde uz šo jautājumu ir apgalvojums, ka aksiomu patiesība ir droša, jo aksiomas ir “pašsaprotamas”. Šķiet, ka tas, piemēram, ir vispārpieņemts uzskats par Eiklīda ģeometrijas aksiomām. Tomēr šī attieksme dažādu iemeslu dēļ mūsdienu matemātikā ir daudz mazāk izplatīta. Pirmkārt, atklājums nav Eiklīda ģeometrija sākumā 19 thGadsimts parādīja, ka acīmredzamie sevis pierādījumi, vismaz Paralēlā postulāta gadījumā, negarantē nepieciešamo patiesību. Otrkārt, pieaugošais matemātisko teoriju klāsts un sarežģītība, kā arī to aksiomatizācijas padarīja daudz mazāk ticamu apgalvojumu, ka katra atsevišķa aksioma ir pārredzami patiesa. Treškārt, daudzas matemātiskās apakšnozares ir lielā mērā abstrahētas no visiem konkrētajiem modeļiem, un tas ir cieši saistīts ar tendenci, ka vismaz daži matemātiķi pieņem formālistisku attieksmi pret viņu izstrādātajām teorijām. Tā vietā, lai paustu pamatpatiesības, šī viedokļa aksiomas kalpo vienkārši oficiālas spēles sākuma stāvokļa nodrošināšanai.

Slīdēšanu uz šāda veida formālisma attieksmi pret aksiomām var izsekot arī caur Frege loģiku. Loģistikas programma centās parādīt, ka matemātika ir reducējama līdz loģikai, citiem vārdiem sakot, var pierādīt, ka matemātiskie pierādījumi sastāv no loģiskiem atskaitījumiem no loģiski patiesām telpām. Frege šīs loģiski patiesās telpas ir tajās sastopamo terminu definīcijas. Bet tas atkal rada jautājumu par to, kas atšķir pieņemamas un nepieņemamas definīcijas. Šeit jāuztraucas ne tikai par to, vai mūsu aksiomas ir patiesas, bet arī par to, vai tās ir pat konsekventas (kļūda, kas, protams, satrauc Frege sistēmu). Un tā ir problēma, tiklīdz tiek atmesta pašapliecināšanās kā aksiomu “zelta standarts” neatkarīgi no tā, vai mēs pārietam no šejienes uz formālisma vai loģikas skatījumu. Abos gadījumosjāparedz dažas citas robežas kandidātu aksiomu pieņemamībā.

Vai tad ir kāds vidusceļš starp augsto pašapliecināšanās līmeni, no vienas puses, un attieksmi “jebkas notiek”, no otras puses? Viena ideja, kuras versiju var izsekot Bertrandam Raselam, ir atsaukties uz labāko skaidrojumu versiju. Rasela uzskats, pietiekami ticami, ir tāds, ka elementārā aritmētika - “2 + 2 = 4”, “7 ir galvenā” utt. - ir daudz pašsaprotamāki nekā jebkuras loģiskās vai kopu teorētiskās sistēmas aksiomas. nākt klajā ar viņiem. Tā vietā, lai apskatītu aksiomas kā maksimāli pašsaprotamas, mums drīzāk vajadzētu domāt par tām, kas izvēlētas, pamatojoties uz viņu (kolektīvo) spēju sistematizēt, atvasināt un izskaidrot pamata aritmētiskos faktus. Citiem vārdiem sakot, loģiskās implicēšanas virziens paliek no aksiomām līdz aritmētiskiem faktiem,bet attaisnojuma virziens var būt citāds, vismaz ļoti vienkāršu, acīmredzamu aritmētisko faktu gadījumā. Atvasinot “2 + 2 = 4” no mūsu kopu teorētiskajām aksiomām, nevis palielinās mūsu pārliecība par “2 + 2 = 4” patiesību, bet tas, ka mēs varam iegūt šo iepriekš zināmo faktu (nevis atvasināt citus priekšlikumus, kurus mēs zināt, ka ir nepatiess) vairo mūsu pārliecību par aksiomu patiesumu.

Attaisnošanas virziens šeit atspoguļo attaisnojuma virzienu, no kura izriet vislabākais skaidrojums. Kad mums ir ticamības pakāpe noteiktā aksiomu izvēlē, tad attaisnojuma virziens var plūst arī konvencionālākā virzienā, solī ar pierādījuma deduktīvajiem secinājumiem. Tas notiks tad, kad pierādītā teorēma nebija tāda, kuras patiesība bija antecedently acīmredzama. Easwaran (2005), Mancosu (2008) un Schlimm (2013) šo aksiomu izvēles pamata pārskatu ir izstrādājuši dažādos veidos. Piemēram, Mancosu apgalvo, ka līdzīgs process var būt pamatā jaunu matemātisko teoriju izstrādei, kas paplašina piemērošanas jomu vai iepriekšējo teoriju ontoloģiju. Turpmāka šī procesa analīzes panākšana būs atkarīga no tā, vai būs sniegts pietiekams matemātisko skaidrojumu pārskats,un šī ir kļuvusi par jomu, kas izraisa ievērojamu interesi nesenajā literatūrā par matemātikas filozofiju.

Vēl viena pieeja, kuru izmantoja Maddijs (1988, 1997, 2001, 2011), ir sīkāk aplūkot matemātiķu faktisko praksi un iemeslus, kādēļ viņi sniedz dažādu kandidātu aksiomu akceptēšanu vai noraidīšanu. Maddy galvenā uzmanība ir vērsta uz noteiktas teorijas aksiomām, un viņa apgalvo, ka pastāv dažādas teorētiskās priekšrocības, kurām nav tiešas saiknes ar “sevis pierādījumiem”, kas varētu būt aksiomas. Kas ir šie tikumi un kā tie tiek savstarpēji svērti, dažādās matemātikas jomās var būt atšķirīgi. Divi galvenie tikumi, kurus Maddy identificē kopu teorētiskajām aksiomām, ir VIENOTI (ti, ka tie nodrošina vienotu pamat teoriju kopumu teorētisko jautājumu izlemšanai) un MAKSIMIZĒT (ti, tie patvaļīgi neierobežo izomorfisma tipu diapazonu). Jautājums par aksiomu izvēli kopu teorijā ir ņemts vērā arī Lingamneni (2017) un Fontanella (2019) nesenajos darbos.

2.3 Gēdela rezultāti

Neapšaubāmi visbēdīgākie no deduktīvās metodes ierobežojumiem matemātikā ir tie, kas izriet no Gēdela nepilnības rezultātiem. Lai arī šie rezultāti attiecas tikai uz matemātiskām teorijām, kas ir pietiekami spēcīgas, lai iegultu aritmētiku, dabisko skaitļu (un to paplašinājumu racionālos, reālos, kompleksos utt.) Kā matemātiskās aktivitātes uzmanības centrā ir tas, ka sekas ir plaši izplatītas.

Nevajadzētu arī pārspīlēt precīzās Gēdela darba sekas. Svarīga ir skaitļu secība. Gēdels parādīja, ka jebkurai konsekventai, rekursīvi aksiomatizētai formālajai sistēmai, F, kas ir pietiekami stipra aritmētikai, ir tādas patiesības, kuras ir izteiktas tīri aritmētiskā valodā un kuras nav pierādāmas F. Viņš neuzrādīja, ka ir aritmētiskas patiesības, kuras nav pierādāmas jebkura formāla sistēma. Neskatoties uz to, Gēdela rezultāti tomēr iesita dažus nozīmīgus nagus zārkā vienas matemātikas deduktīvā ideāla versijas zārkā. Visai matemātikai nevar būt viena rekursīvi aksiomatizējama formāla sistēma, kas būtu a) konsekventa, b) tīri deduktīva un c) pilnīga. Viena reakcijas līnija uz šo grūtību ir izpētīt ne deduktīvās attaisnošanas metožu iespējas matemātikā.

3. Alternatīvas ne deduktīvās metodes

3.1. Eksperimentālā matemātika

Ne deduktīvo metožu loma empīriskajā zinātnē ir skaidri redzama un samērā pretrunīga (temps Kārlis Popers). Patiešām, kanoniskais attaisnojuma modelis zinātnē ir a posteriori un induktīvs. Tas, kas padara empīrisko zinātni empīrisku, ir novērošanas un jo īpaši eksperimenta izšķirošā loma. Tāpēc dabisks sākumpunkts matemātikas ne deduktīvo metožu aptaujā ir aplūkot žanra, kas pazīstams kā “eksperimentālā matemātika”, pieaugumu. Apmēram pēdējo 15 gadu laikā ir parādījušies žurnāli (piemēram, The Journal of Experimental Mathematics), institūti (piemēram, Esenes Universitātes Eksperimentālās matemātikas institūts), kolokviji (piemēram, Rutgers Universitātes Eksperimentālās matemātikas kolokvijs)., un grāmatas (piemēram, Borveins un Beilijs 2003. un 2004. gadā), kas veltītas šai tēmai. Šie pēdējie autori Borwein un Bailey (2015) argumentē arī par eksperimentālās matemātikas nozīmīgumu matemātiskajā praksē vispārīgāk, savukārt Sorensen (2016) sniedz plašāku eksperimentālās matemātikas vēsturisko un socioloģisko analīzi.

Uz tradicionālās dihotomijas starp matemātiskajiem un empīriskajiem ceļiem uz zināšanām pats termins “eksperimentālā matemātika” labākajā gadījumā šķiet oksimoronisks un sliktākajā gadījumā tieši paradoksāls. Viens dabisks ieteikums ir tāds, ka eksperimentālā matemātika ietver matemātisko eksperimentu veikšanu, kur termins “eksperiments” šeit tiek interpretēts pēc iespējas burtiski. Tādu pieeju ir pieņēmis van Bendegem (1998). Pēc van Bendegema teiktā, eksperiments ietver “manipulācijas ar objektiem,… procesu iestatīšanu“reālajā”pasaulē un… šo procesu iespējamo rezultātu novērošanu” (Van Bendegem 1998, 172). Viņa ieteikums ir tāds, ka dabisks veids, kā iegūt sākotnēju ieskatu matemātiskā eksperimentā, ir apsvērt, kā eksperimentam šajā paradigmatiskajā nozīmē varētu būt matemātiskas sekas.

Viens piemērs, ka van Bendegem citē aizsākās darbu ar 19 th -century Beļģijas fiziķis Plateau par minimālu virsmas zonas problēmām. Izgatavojot no stieples dažādas ģeometriskas formas un iemērcot šos stiepļu rāmjus ziepju šķīdumā, Plateau spēja atbildēt uz konkrētiem jautājumiem par minimālo virsmu, kas ierobežo dažādas konkrētas formas, un galu galā formulēt dažus vispārīgus principus, kas regulē šādu virsmu konfigurāciju. [6]Viens veids, kā izprast šajā piemērā notiekošo, ir tāds, ka fizisks eksperiments - stieples rāmja iegremdēšana ziepju šķīdumā - dod rezultātus, kas ir tieši saistīti ar noteiktu matemātisko problēmu klasi. Šā eksperimentālā matemātikas raksturojuma veida galvenais trūkums ir tas, ka tas ir pārāk ierobežojošs. Van Bendegema norāžu piemēri ir ārkārtīgi reti, tāpēc šāda veida matemātisko eksperimentu ietekme uz reālo matemātisko praksi labākajā gadījumā var būt ļoti ierobežota. Turklāt tas nevar būt tikai šī burtiskā eksperimenta izjūta, kas matemātiķiem ir prātā, runājot par eksperimentālo matemātiku.

Tik daudz par burtiskāko “matemātiskā eksperimenta” lasījumu. Potenciāli auglīgāka pieeja ir domāt analogā vai funkcionālā izteiksmē. Citiem vārdiem sakot, iespējams, “eksperimentālā matemātika” tiek izmantota, lai apzīmētu darbības, kas matemātikā darbojas līdzīgi eksperimenta lomai empīriskajā zinātnē. Tādējādi matemātiskajiem eksperimentiem var būt dažas funkcijas ar burtiskiem eksperimentiem, bet ne citām (Baker 2008; McEvoy 2008, 2013; Sorensen 2010; van Kerkhove 2008). Pirms turpināt šo analīzes virzienu, varētu būt noderīgi īsi izpētīt gadījuma izpēti.

Jauks pašreizējā darba piemērs eksperimentālajā matemātikā parādās vienā no divām nesenajām Borveina un Beilija grāmatām (1995b, 4. z.). Reālais skaitlis tiek uzskatīts par normālu bāzē n, ja pamatnes n (jebkura noteikta garuma) ciparu virkne vienādi bieži notiek tās bāzes-n paplašināšanās laikā. Skaitlis ir absolūti normāls, ja tas ir normāls katrā bāzē. Apsveriet šo hipotēzi:

Minējumi: katrs neracionālais algebriskais skaitlis ir absolūti normāls.

Borveins un Beilijs izmantoja datoru, lai aprēķinātu līdz 10 000 cipariem aiz komata pozitīvo skaitļu, kas mazāki par 1000, kvadrātsaknes un kuba saknes, un pēc tam viņi šos datus pakļāva noteiktiem statistiskiem testiem.

Šajā piemērā ir pāris pārsteidzošas iezīmes, kas var norādīt uz vispārīgāku eksperimentālās matemātikas raksturojumu. Pirmkārt, ceļš no pierādījumiem uz hipotēzi tiek veikts ar uzskaites indukcijas palīdzību. Otrkārt, tas ietver datoru izmantošanu. Turpmāk šīs divas pazīmes tiks pārbaudītas pēc kārtas.

3.2. Enumeratīvā indukcija

1742. gadā vēstulē Euleram Kristiāns Goldbahs uzskatīja, ka visi pāra skaitļi, kas lielāki par 2, ir izteikti kā divu PRIMES summa. [7] Turpmāko divarpus gadsimtu laikā matemātiķi nav spējuši pierādīt Goldbaha minējumus. Tomēr tas ir pārbaudīts daudzos miljardos piemēru, un šķiet, ka matemātiķi ir vienisprātis, ka minējumi, visticamāk, ir patiesi. Zemāk ir daļējs saraksts (sākot ar 2007. gada oktobri), norādot lieluma secību, līdz kurai visi pāra skaitļi ir pārbaudīti un parādīti kā atbilstoši GC.

Saistīts Datums Autore
1 × 10 3 1742. gads Eulers
1 × 10 4 1885. gads Desboves
1 × 10 5 1938. gads Cauruļvadi
1 × 10 8 1965. gads Šteins un Šteins
2 × 10 10 1989. gads Granville
1 × 10 14 1998. gads Deshouillers
1 × 10 18 2007. gads Oliveira un Silva

Neskatoties uz šo milzīgo individuālo pozitīvo GC gadījumu uzkrāšanos, kam kopš 1960. gadu sākuma palīdz ieviest un pēc tam strauji palielināties digitālais dators, līdz šim GC pierādījumi nav atrasti. Ne tikai tas, bet arī daži numuru teorētiķi ir optimistiski noskaņoti, ka izklāstam ir kādi pierādījumi. Laukumu medaļnieks Alans Beikers 2000. gada intervijā sacīja: “Maz ticams, ka mēs nonāksim tālāk [pierādot GC] bez liela izrāviena. Diemžēl pie horizonta nav tik lielas idejas.” Arī 2000. gadā izdevēji Faber un Faber piedāvāja USD 1 000 000 balvu ikvienam, kurš pierādīja GC laikā no 2000. gada 20. marta līdz 2002. gada 20. martam, pārliecinoties, ka viņu nauda ir salīdzinoši droša.

Tas, kas padara šo situāciju īpaši interesantu, ir tas, ka matemātiķi jau sen ir pārliecināti par GC patiesību. Hardy & Littlewood jau 1922. gadā apgalvoja, ka “nav pamatotu šaubu, ka teorēma ir pareiza”, un Echeverria nesenā aptaujas rakstā raksta, ka “matemātiķu pārliecība par GC patiesību ir pilnīga” (Echeverria 1996, 42). Turklāt šī pārliecība par GC patiesību parasti ir tieši saistīta ar induktīvajiem pierādījumiem: piemēram, GH Hardijs aprakstīja skaitliskos pierādījumus, kas apstiprina GC patiesību, kā “milzīgu”. Tāpēc šķiet pamatoti secināt, ka matemātiķu ticības GC pamats ir uzskatāmi induktīvi pierādījumi.

Viena no matemātiskā gadījuma atšķirīgajām iezīmēm, kas var izmainīt uzskaites indukcijas attaisnojošo spēku, ir kārtības nozīme. Gadījumi, uz kuriem attiecas noteiktā matemātiskā hipotēze (vismaz skaitļu teorijā), ir iekšēji sakārtoti, turklāt pozīcija šādā secībā var būtiski mainīt iesaistītās matemātiskās īpašības. Kā Frege raksta attiecībā uz matemātiku:

[T] grunts ir nelabvēlīgs indukcijai; jo šeit nav nevienas vienveidības, kas citās jomās varētu sniegt metodei augstu ticamības pakāpi. (Frege, aritmētikas pamati)

Pēc tam Frege turpina citēt Leibnizu, kurš apgalvo, ka lieluma atšķirības rada visu veidu citas būtiskas atšķirības starp skaitļiem:

Pāra skaitli var sadalīt divās vienādās daļās, nepāra skaitli nevar; trīs un seši ir trīsstūrveida skaitļi, četri un deviņi ir kvadrāti, astoņi ir kubs utt. (Frege, aritmētikas pamati)

Frege arī skaidri salīdzina matemātisko un nematemātisko indukcijas kontekstu:

Parastās indukcijās mēs bieži izmantojam pieņēmumu, ka katra pozīcija telpā un katrs laika moments pats par sevi ir tikpat laba kā jebkura cita. … Pozīcija ciparu sērijās nav vienaldzīgs jautājums, tāpat kā pozīcija telpā. (Frege, aritmētikas pamati)

Kā norāda Frege piezīmes, viens no veidiem, kā pamatot argumentu pret uzskaites indukcijas izmantošanu matemātikā, ir kaut kāds neviendabības princips: ja nav pierādījumu, mums nevajadzētu gaidīt, ka skaitļi (vispārīgi) dalīsies ar kādām interesantām īpašībām. Tādējādi, nosakot, ka īpašums pieder noteiktam skaitlim, nav pamata domāt, ka arī otram, patvaļīgi izvēlētam skaitlim būs šis īpašums. [8] Tā kā Hume ierosinātais vienveidības princips ir vienīgais zemes indukcijas veids, mums ir gandrīz precīzi pretējs princips! Šķiet, ka no šī principa izriet, ka skaitliskā indukcija nav pamatota, jo mums nevajadzētu gaidīt, ka (ierobežotie) paraugi no dabisko skaitļu kopskaita norāda uz universālajām īpašībām.

Potenciāli vēl nopietnāka problēma GC un visos pārējos indukcijas gadījumos matemātikā ir tā, ka paraugs, uz kuru mēs skatāmies, ir neobjektīvs. Vispirms ņemiet vērā, ka visi zināmie GC gadījumi (un tiešām visi gadījumi, kurus ir iespējams uzzināt) nozīmīgā nozīmē ir mazi.

Patiesībā tas nozīmē, ka nav lielu skaitļu: Par jebkuru skaidru skaitli var teikt, ka tas ir “mazs”. Patiešām, neatkarīgi no tā, cik ciparu vai eksponentu torņu jūs pierakstāt, ir tikai bezgalīgi daudz dabisko skaitļu, kas ir mazāki par jūsu kandidātu, un bezgalīgi daudzi, kas ir lielāki (Crandall un Pomerance 2001, 2).

Protams, nebūtu pareizi vienkārši sūdzēties par to, ka visi GK gadījumi ir ierobežoti. Galu galā katrs skaitlis ir ierobežots, tāpēc, ja GC pieder visiem ierobežotajiem skaitļiem, tad GC satur simplitatoru. [9] Bet mēs varam izdalīt ekstrēmāku mazuma sajūtu, ko varētu saukt par sīkumu.

Definīcija: pozitīvs vesels skaitlis n ir minūte, ja n ir skaitļu diapazonā, kuru mēs varam pierakstīt, izmantojot parasto decimālo notāciju, ieskaitot (ne iterētu) eksponenci.

Līdz šim pārbaudītie GC gadījumi nav tikai mazi, tie ir minimāli. Un smalkums, kaut arī tas ir diezgan neskaidri definēts, tomēr ir zināms, ka tas izmaina. Apsveriet, piemēram, sākotnējā blīvuma logaritmisko aplēsi (ti, to skaitļu proporciju, kas ir mazāki par doto n un ir sākotnējie), kas, kā zināms, kļūst par zemu pietiekami lielam n. Ļaujiet n * būt pirmajam skaitlim, kuram logaritmiskais aprēķins ir pārāk mazs. Ja Riemana hipotēze ir patiesa, tad var pierādīt, ka n * (pirmais Skewes skaitlis) augšējā robeža ir 8 × 10 370. Lai arī tas ir iespaidīgi liels, tas tomēr ir mazs saskaņā ar iepriekšminēto definīciju. Tomēr, ja Riemann hipotēze ir nepatiesa nekā mūsu vispazīstamākā n * augšējā robeža(otrais Skewes numurs) ir 10 ↑ 10 ↑ 10 ↑ 10 ↑ 3. [10] Nepieciešamība šeit izgudrot “bultiņas” apzīmējumu, lai attēlotu šo skaitli, norāda, ka tas nav mazsvarīgs. Šī rezultāta otrā daļa, lai arī ir pieļaujama ar nosacījumu, ka rezultāts tiek uzskatīts par maz ticamu (ti, RH nepatiesība), nozīmē, ka ir īpašums, kurā ir visi minūtes skaitļi, bet tas nav derīgs visiem numuriem. Minuteness var mainīt.

Kā ir ar šķietamo pārliecību, ka numuru teorētiķiem ir GC patiesība? Echeverria (1996) aplūko nozīmīgo lomu, kādu Kantora 1894. gadā publicē Goldbaha nodalījuma funkcijas vērtību tabulā G (n) ir n = 2 līdz 1000 (Echeverria 1996, 29–30). Sadalīšanas funkcija mēra dažādu veidu skaitu, kā doto (pāra) skaitli var izteikt kā divu PRIMES summu. Tādējādi G (4) = 1, G (6) = 1, G (8) = 1, G (10) = 2 utt. Šī fokusa maiņa uz nodalījuma funkciju sakrita ar dramatisku matemātiķu pārliecības palielināšanos par GC.. Kantora darbā kļuva redzams, ka G (n) ir tendence pieaugt, palielinoties n. Ņemiet vērā, ka GC šajā kontekstā ir tāds, ka G (n) nekad neuzņem vērtību 0 (jebkuram pat n lielākam par 2). Pārliecinošs iespaids, ko rada dati par nodalījuma funkciju, ir tāds, ka ir maz ticams, ka GC varētu neizdoties kādam lielam n. Piemēram, skaitļiem, kuru lielums ir 100 000, vienmēr ir vismaz 500 atšķirīgi veidi, kā katru pāra skaitli izteikt kā divu PRIMES summu!

Tomēr pašreizējie rezultāti ir tīri heiristiski. Trīsdesmit gadus pēc tam, kad Kantors publicēja savu vērtību tabulu (Echeverria raksturoja kā GC pētījumu “otro periodu”), tika piedzīvoti daudzi mēģinājumi atrast analītisku izteiksmi G (n). Ja to varētu izdarīt, tad, domājams, būtu samērā vienkārši pierādīt, ka šī analītiskā funkcija nekad nenoņem vērtību 0 (Echeverria 1996, 31). Ap 1921. gadu pesimisms par iespējām atrast šādu izteicienu mainīja uzsvaru, un matemātiķi sāka pievērst uzmanību tam, lai mēģinātu atrast zemākas robežas G (n). Arī tas vismaz līdz šim ir izrādījies neveiksmīgs.

Tādējādi sadalīšanas funkcijas apsvēršana nav tuvinājusi GC pierādījumu. Tomēr tas ļauj mums interesanti grozīt iepriekšējās sadaļas argumentus. Diagramma liecina, ka visgrūtākie GC testa gadījumi, iespējams, notiks starp vismazākajiem skaitļiem; līdz ar to induktīvais GC paraugs ir neobjektīvs, bet tas ir neobjektīvs attiecībā pret GC iespējamību. Matemātiķu pārliecība par GC patiesību nav balstīta tikai uz uzskaites indukciju. Nodalījuma funkcijas iegūtās vērtības norāda, ka GC pozitīvo gadījumu paraugs patiešām ir neobjektīvs, un neobjektīvi paraugi parasti nesniedz lielu atbalstu hipotēzei. Bet šajā konkrētajā gadījumā aizspriedumu raksturs padara pierādījumus stiprākus, nevis vājākus. Tātad ir iespējams apgalvot, ka uzskaitījuma ievadīšana nav pamatota, vienlaikus piekrītot, ka matemātiķiem ir racionāli ticēt GC, pamatojoties uz pieejamajiem pierādījumiem. (Ņemiet vērā, ka šeit ir jāuztur smalks līdzsvars, jo pierādījumi par sadalīšanas funkcijas izturēšanos pati par sevi nav deduktīvi. Tomēr iespaids, ka G (n), visticamāk, turpmāk ir ierobežota ar kādu pieaugošu analītisko funkciju, nav pamatots ar uzskaitījumu indukcija pati par sevi, tāpēc pamatojums, kaut arī nav deduktīvs, nav apļveida.)Tomēr iespaids, ka G (n), iespējams, ir ierobežota zemāk ar kādu pieaugošu analītisko funkciju, nav pamatots ar uzskaites indukciju per se, tāpēc pamatojums, kaut arī nav deduktīvs, nav apļveida.)Tomēr iespaids, ka G (n), iespējams, ir ierobežota zemāk ar kādu pieaugošu analītisko funkciju, nav pamatots ar uzskaites indukciju per se, tāpēc pamatojums, kaut arī nav deduktīvs, nav apļveida.)

Iepriekšminētās diskusijas rezultāts, kaut arī tas ir balstīts uz atsevišķa gadījuma pētījumu, ir tāds, ka matemātiķiem matemātisko apgalvojumu attaisnošanā nevajadzētu un parasti nevajadzētu dot nozīmi skaitļošanas indukcijai per se. (Cik lielā mērā skaitliskai indukcijai ir nozīme jaunu hipotēžu atklāšanā vai to matemātiķu izvēlēto atvērto problēmu izvēlē, kas nav apskatīta.) Atsevišķs jautājums ir divās daļās. daļas:

  1. Uzskaitīšanas indukcijai nevajadzētu palielināt pārliecību par universāliem matemātiskiem vispārinājumiem (pāri bezgalīgam domēnam).
  2. Enumeratīvā indukcija (vispārīgi) neliecina matemātiķiem būt pārliecinātākiem par šādu vispārinājumu secinājumu patiesumu.

3.3 Datoru pierādījumi

Mūsdienu darba eksperimentālā matemātikā pārsteidzošā iezīme ir tā, ka tas tiek veikts, izmantojot datorus. Vai šī paļaušanās uz sarežģītiem elektronikas elementiem padara lauku par “eksperimentālu”? Ja aplūko, kas tiek publicēts mūsdienu žurnālos, grāmatās un konferencēs, kas veltītas eksperimentālajai matemātikai, rodas iespaids, ka visi priekšmeti ir cieši saistīti ar datoriem. Piemēram, nešķiet, ka būtu publicēts vairāk nekā desmit gadus ilgs Eksperimentālās matemātikas izlaidumu dokuments, kas nav saistīts ar datoru izmantošanu. Kā ir ar piemēriem, kurus matemātiķi mēdz piedāvāt kā eksperimentālās matemātikas paradigmas? Šeit dati nav tik skaidri. No vienas puses, neoficiāls apsekojums liecina, ka vairums šādu piemēru ir tieši saistīti ar datoru izmantošanu. No otras puses, tas nav nekas neparasts, ka matemātiķi arī citē vienu vai vairākus vēsturiskus piemērus,jau krietni pirms datoru laikmeta, lai ilustrētu apgalvoto subdisciplīnas ciltsrakstu.

Lielākais uz praksi balstītais izaicinājums, pielīdzinot eksperimentālo matemātiku ar datorizētu matemātiku, izriet no tā, ko par pašiem veidoti eksperimentālie matemātiķi saka par topošo disciplīnu. Kad matemātiķi apzināti pārdomā eksperimentālās matemātikas jēdzienu, viņi mēdz noraidīt apgalvojumu, ka datora lietošana ir nepieciešama iezīme. Piemēram, žurnāla Experimental Mathematics redaktori savā “filozofijas paziņojumā” par žurnāla darbības jomu un raksturu izdara šādas piezīmes:

Vārds “eksperimentāls” ir iecerēts plaši: daudzus matemātiskus eksperimentus mūsdienās veic ar datoriem, bet citi joprojām ir zīmuļu un papīra darba rezultāts, un ir arī citi eksperimentālie paņēmieni, piemēram, fizisko modeļu veidošana. (“Mērķi un darbības joma”, eksperimentālā matemātika - skat. Citus interneta resursus)

Un šeit ir vēl viens fragments ar līdzīgu garšu no matemātiķa Dorona Zeilbergera:

[T] tradicionālo eksperimentālo matemātiku … gadsimtiem ilgi veica visi lielie un mazāk izcilie matemātiķi, izmantojot zīmuli un papīru. (Gallian and Pearson 2007, 14)

Šķiet godīgi teikt, ka eksperimentālās matemātikas sasaistīšana ar datoru ir labi piemērota tam, ko dara mūsdienu eksperimentālie matemātiķi, bet ne tik labi ar viņu teikto. [11]

Otrā piedāvātā raksturojuma problēma ir vairāk filozofiska. Apsveriet vēl vienu plaši citētu eksperimentālās matemātikas piemēru, kas rodas saistībā ar Goldbaha minējumiem. Kopš 2007. gada aprīļa visi pāra numuri līdz 10 18 bija pārbaudīti, lai tie atbilstu GC, un šis projekts (Oliveira e Silva vadībā) turpinās. Šis apjomīgais aprēķināšanas uzdevums parasti tiek uzskatīts par eksperimentālās matemātikas paradigmas piemēru. Un šķiet skaidrs, ka datoriem šeit ir būtiska loma: neviens matemātiķis vai matemātiķu grupa nevarētu cerēt ar roku dublēt 10 18 aprēķinus.

Pašreizējā kontekstā centrālais jautājums nav par to, vai datorizēta matemātika ir “eksperimentāla”, bet gan par to, vai tā vismaz dažreiz nav deduktīva. Vienā nozīmē, protams, visi datora veiktie individuālie aprēķini ir deduktīvi vai vismaz ir izomorfiski tīri deduktīvās formālās sistēmas operācijām. Kad dators pārbauda GC gadījumu, šī pārbaude ir pilnīgi deduktīva. Pēc tam mēs varam izdalīt divus atšķirīgus jautājumus. Pirmkārt, vai šiem aprēķiniem ir nevis deduktīva loma kādā no lielākiem matemātiskajiem argumentiem? Un, otrkārt, vai uzskati, kurus mēs veidojam tieši no datoru aprēķinu rezultātiem, ir deduktīvi pamatoti? Pirmais no šiem jautājumiem neieslēdz neko īpašu attiecībā uz datoriem,un līdz ar to atgriežas pie 3. iedaļas B daļā apskatītā jautājuma par uzskaites indukciju. Otrais jautājums tiks apskatīts turpmāk.

Datorproduktu statusa filozofisku diskusiju lielā mērā pamudināja Apela un Hakena datorizētais četru krāsu teorēmas pierādījums 1976. gadā. Savā (1979) Timočko pretrunīgi apgalvo, ka matemātiskās zināšanas, kuru pamatā ir datoru pierādījumi, būtībā ir empīriskas. raksturā. Tas ir tāpēc, ka šādi pierādījumi nav a priori, nav droši, nav pārbaudāmi un nav pārbaudāmi cilvēku matemātiķu starpā. Visos šajos aspektos, pēc Timočko teiktā, datoru pierādījumi ir atšķirībā no tradicionālajiem “zīmuļu un papīra” pierādījumiem. Par apsekojamību Timočko raksta:

Pierādījums ir konstrukcija, kuru racionālais pārstāvis var pārskatīt, pārskatīt, pārbaudīt. Mēs bieži sakām, ka pierādījumam jābūt pārliecinošam vai pārbaudāmam ar rokām. Tā ir izstāde, secinājuma atvasinājums, un tai nekas nav vajadzīgs, lai būtu pārliecinošs. Matemātiķis apseko pierādījumus kopumā un tādējādi iepazīstas ar secinājumu. (Timočko, 1979., 59. lpp.)

Argumenta dēļ pieņemsim, ka attiecīgais datorizētais pierādījums ir deduktīvi pareizs, bet arī nav derīgs iepriekšminētajā nozīmē. Vai mūsu lēmums paļauties uz datora izvadi šeit ir deduktīva metode? Viens veids, kā aplūkot šāda veida piemērus, ir ķīļa vadīšana starp deduktīvo metodi un mūsu ne deduktīvo piekļuvi šīs metodes rezultātiem. Salīdziniet, piemēram, to, kā eksperts matemātiķis ir teicis par konkrētu matemātisko rezultātu (ar labiem sasniegumiem). Vai šī ir “ne deduktīvā metode”? [12]

3.4. Varbūtības pierādījumi

Ir maza, bet augoša matemātisko metožu apakškopa, kurai pēc būtības ir varbūtība. Attaisnojuma kontekstā šīs metodes secinoši nenozīmē secinājumu, bet gan norāda, ka pastāv kāda (bieži precīzi precizējama) liela varbūtība, ka secinājums ir patiess. Šo metožu filozofiskā diskusija sākās ar Fallis (1997, 2002), savukārt Berijs (2019) ir nesens noderīgs ieguldījums debatēs.

Viena veida varbūtības metode ir saistīta ar agrāku diskusiju par eksperimentālo matemātiku, jo tā ietver eksperimentu veikšanu diezgan burtiskā nozīmē. Ideja ir izmantot DNS apstrādes jaudu, lai efektīvi izveidotu masveidā paralēlu datoru, lai risinātu noteiktas citādi grūti pievilināmas kombinatoriskas problēmas. Visslavenākā no tām ir “Ceļojošā pārdevēja” problēma, kas paredz noteikt, vai ir kāds iespējams maršruts caur diagrammas mezgliem, kas savienoti ar vienvirziena bultiņām, kuras katru mezglu apmeklē precīzi vienreiz. Adlemans (1994) parāda, kā problēmu var kodēt, izmantojot DNS virknes, kuras pēc tam var sašķelt un rekombinēt, izmantojot dažādas ķīmiskas reakcijas. Dažu garāku DNS virkņu parādīšanās procesa beigās atbilst šķīduma ceļa atrašanai caur grafiku. Varbūtības apsvērumi visskaidrāk parādās tad, ja vairs nav atrasti DNS virzieni. Tas norāda, ka nav nekāda ceļa caur diagrammu, bet pat tad, ja eksperiments tiek veikts pareizi, šeit sniegtais atbalsts neatbilst pilnīgai noteiktībai. Ir neliela iespēja, ka ir risinājums, bet eksperimenta sākumā to nevar kodēt neviena DNS virkne.

Matemātikā ir arī varbūtīgas metodes, kas nav eksperimentālas iepriekšminētajā nozīmē. Piemēram, ir salikto (ti, nesvarīgo) skaitļu īpašības, kuras var pierādīt turēt attiecībā pret apmēram pusi no skaitļiem, kas ir mazāki par doto salikto numuru. Ja pēc nejaušības principa tiek izvēlēti dažādi skaitļi, kas mazāki par N, un nevienam no tiem nav šīs attiecības ar N, tad izriet, ka N gandrīz noteikti ir galvenais. Varbūtības līmeni šeit var precīzi aprēķināt, un to var sasniegt tik augstu, cik nepieciešams, izvēloties vairāk “liecinieku” numuru, lai pārbaudītu.

Ņemiet vērā, ka šāda veida varbūtības metodēs ir daudz tīri deduktīvu apsvērumu. Patiešām, otrajā piemērā fakts, ka N varbūtība ir galvenā ir 0,99, tiek noteikts tīri deduktīvi. Neskatoties uz to, matemātikas aprindās valda vispārēja vienprātība, ka šādas metodes nav pieņemami secinājumu secinošā pierādījuma aizstājēji. Fallis (1997, 2002) apgalvo, ka šis noraidījums nav pamatots, jo varbūtības metožu īpašībām, kuras var norādīt kā uz problemātiskām, ir daži pierādījumi, ko matemātiskā sabiedrība pieņem. Fallis uzmanības centrā ir patiesības kā galvenā matemātikas episteēmiskā mērķa noteikšana. Tomēr šķiet ticams, ka viens no galvenajiem matemātiķu neapmierinātības ar varbūtības metodēm iemesls ir tas, ka viņi neizskaidro, kāpēc viņu secinājumi ir patiesi. Turklāt Easwaran iebilst pret Fallis, ka pastāv īpašums, kuru viņš dēvē par “nodošanu”, ka trūkst varbūtēju pierādījumu un pieņemamu pierādījumu (Easwaran 2009; Jackson 2009). Fallis (2011) ir atbilde uz dažiem no šiem iebildumiem.

No otras puses, var būt gadījumi, kad skaidra apgalvojuma patiesība vai nepatiesība ir svarīga pat tad, ja nav pievienota paskaidrojuma. Piemēram, var iedomāties situāciju, kad tiek apsvērts svarīgs un interesants pieņēmums - teiksim Riemana hipotēze -, un tiek izmantota varbūtības metode, lai parādītu, ka kāds skaitlis, ļoti iespējams, ir tam līdzīgs paraugs. Ir interesanti spekulēt, kāda varētu būt matemātiskās sabiedrības reakcija uz šo situāciju. Vai darbs pie mēģinājuma pierādīt RH pārtraukšanu? Vai tas turpinātos, līdz tiks izveidots precīzs deduktīvs pierādījums par pretparaugu?

4. Kopsavilkums / secinājumi

Nav skaidrs, kāpēc jārēķinās, ka dažādām matemātikā izmantotajām ne deduktīvajām metodēm piemīt visas būtiskās pazīmes, kas nav to deduktivitāte. Filozofi, kas aplūko ne deduktīvās spriešanas lomu atklājuma kontekstā, bieži ir runājuši tā, it kā būtu kāda vienotība, kas jāatrod (piemēram, Lakatos Proofs and Refutations apakšvirsraksts ir “Matemātisko atklājumu loģika”. Visticamāk, ka ka ne deduktīvo metožu klāsts ir daudzveidīgs un neviendabīgs. (Salīdziniet Staņislava Ūlama piezīmi, ka “nelineārās fizikas izpēte ir kā ne-ziloņu bioloģijas izpēte.”)

Mūsdienu matemātikas filozofu darbs turpina virzīt nemainīgu matemātisko metožu izpēti jaunos virzienos. Viena no interešu jomām ir “matemātiski dabiskie veidi” un tas, vai šādu jēdzienu var izmantot, lai pamatotu analoģijas izmantošanu matemātiskajā spriešanā (Corfield 2004 [Other Internet Resources]). Vēl viena pētāmā joma ir heiristisko principu domājamā loma matemātikā. (Liela daļa šo darbu meklējami Poļjā (1945).)

Pamatjautājums visās šajās debatēs attiecas uz to, cik lielā mērā katrai konkrētai ne deduktīvai metodei ir būtiska loma matemātikas attaisnojošajā praksē. Šis jautājums rodas gan vietējā, gan globālā līmenī. Vietējā līmenī noteikts pamatojums, kas attaisno doto rezultātu, var neizbēgami būt deduktīvs, tomēr rezultātu var noteikt arī kāds cits, tīri deduktīvs pamatojums. Globālā līmenī var būt, ka mūsu vienīgais noteiktu matemātisko apgalvojumu pamatojums nav deduktīvs. Tas, cik lielā mērā mūsu ne deduktīvās metodes tiek izmantotas ierobežojumu dēļ praksē, nevis principā, joprojām ir jautājums, kas jāizpēta sīkāk.

Bibliogrāfija

  • Adleman, L., 1994, “Kombinatorisko problēmu risinājumu molekulārā aprēķināšana”, Zinātne, CCLXVI: 1021–1024.
  • Andersens, L., 2018, “Pieņemamās nepilnības matemātiskajos pierādījumos”, Synthese, URL = .
  • Avigad, J., 2006, “Matemātiskā metode un pierādījums”, Synthese, 153: 105–159.
  • –––, 2007, “5 jautājumi”, matemātikas filozofijā: 5 jautājumi, V. Hendricks un H. Leitgeb (ed.), Kopenhāgena: Automātiskā prese, 1. – 10. Lpp.
  • Azzouni, J., 2013, “Mākslīgo valodu atvasinājumu saistība ar parasto stingro matemātisko pierādījumu”, Philosophia Mathematica, 21: 247–254.
  • –––, 2013, “Tas, kā mēs redzam, ka daži diagrammatiski pierādījumi ir pilnīgi stingri”, Philosophia Mathematica, 21: 323–338.
  • Beikers, A., 2007, “Vai ir kāda problēma ar indukciju matemātikā?”, Matemātikas zināšanās, M. Lengs, A. Paseau un M. Poters (red.), Oksforda: Oxford University Press, 59. lpp. 73
  • –––, 2008, “Eksperimentālā matemātika”, Erkenntnis, 68: 331–344.
  • Berijs, D., 2016, “Kopīgās izmeklēšanas pierādījumi un tikumi”, Philosophia Mathematica, 26: 112–130.
  • –––, 2019. gads, “Vai matemātiķiem būtu jāspēlē kauliņi?”, Logique et Analyze, 246: 135–160.
  • Borwein, J., un D. Bailey, 2003, Matemātika ar eksperimentā ticams spriešanas par 21 st Century, Natick, MA: AK Peters.
  • –––, 2004, Eksperiments matemātikā: skaitļošanas ceļi līdz atklāšanai, Natick, MA: AK Peters.
  • –––, 2015, “Eksperimentālā matemātika kā ontoloģisko spēļu mainītājs: mūsdienīgu matemātisko skaitļošanas rīku ietekme uz matemātikas ontoloģiju”, matemātikā, pēc būtības un pieņēmumiem, E. Deiviss un P. Deiviss (red.), Springers, 25. – 68.
  • Brown, J. 2008, filozofija matemātikas: Mūsdienu Ievads World of apliecinājumus un Pictures, 2 nd izdevums, New York: Routledge.
  • Burgess, J., 1992, “Pierādījumi par pierādījumiem: klasiskās loģikas aizsardzība. 1. daļa: klasiskās loģikas mērķi”, pierādījumos, loģikā un formalizācijā, M. Detlefsens (red.), Londona un Ņujorka: Routledge, 8. – 23. Lpp.
  • Carroll, L. [CL Dodgson], 1895. gads, “Ko bruņurupucis teica Ahilejam”, Prāts, 4: 278–280.
  • Corfield, D., 2003, Ceļā uz reālās matemātikas filozofiju, Kembridža: Cambridge University Press.
  • Courant, R., & H. Robbins, 1941, Kas ir matemātika?, Oxford: Oxford University Press.
  • Crandall, R., and C. Pomerance, 2001, Prime Numbers: Computational Perspective, Ņujorka: Springer-Verlag.
  • De Toffoli, S., un V. Giardino, 2014, “Diagrammu formas un lomas mezglu teorijā”, Erkenntnis, 79 (4): 829–842.
  • De Toffoli, S., 2017, “Diagrammas“pakaļdzīšanās”: vizualizāciju izmantošana algebriskā spriešanā”, Symbolic Logic apskats, 10: 158–186.
  • Delariviere, S., & Van Kerkhove, B., 2017, “Mākslīgais matemātiķa iebildums: izpētīt matemātiskās izpratnes automatizācijas (im) iespēju”, matemātikas un tās filozofijas humanizēšanā, B. Sriraman (red.), Springer International Publishing, 173. – 198.
  • Descartes, R., 1627–28, Prāta virziena noteikumi, Descartes: Selections, R. Eaton (tr.), New York: Charles Scribner's Sons, 1927, 38. – 83. Lpp.
  • Detlefsen, M. (ed.), 1992, Proof, Logic and Formalization, London and New York: Routledge.
  • Dummett, M., 1978, “Vangas paradokss”, Truth and Other Enigmas, London: Duckworth, 248. – 268. Lpp.
  • Easwaran, K., 2005, “Aksiomu loma matemātikā”, Erkenntnis, 68: 381–391.
  • –––, 2009, “Varbūtības pierādījumi un pārnesamība”, Philosophia Mathematica, 17: 341–362.
  • Echeverria, J., 1996, “Empīriskās metodes matemātikā. Gadījuma izpēte: Goldbaha minējumi”, spāņu zinātnes filozofijas pētījumos, G. Munévar (red.), Dordrecht: Kluwer, 19. – 55. Lpp.
  • Fallis, D., 1997, “Varbūtības pierādījuma epistēmiskais statuss”, Journal of Philosophy, 94 (4): 165–186.
  • –––, 2002, “Ko vēlas matemātiķi? Varbūtīgi pierādījumi un matemātiķu epistēmiskie mērķi”, Logique et Analyze, 45: 373–388.
  • –––, 2003, “Tīša nepilnības matemātiskos pierādījumos”, Synthese, 134: 45–69.
  • –––, 2011, “Probabilistic Proofs and the Collective Epistemic Goals of Mathematicians”, in Collective Epistemology, HB Schmid, D. Sirtes & M. Weber (red.), Ontos Verlag, 157. – 176. Lpp.
  • Fontanella, L., 2019, “Kā izvēlēties jaunas aksiomas kopu teorijai?”, Pārdomās par matemātikas pamatiem, D. Sarikaya, D. Kant & S. Centrone (red.), Springer Verlag.
  • Franklins, Dž., 1987. gads, “Neizvadošā loģika matemātikā”, Lielbritānijas žurnāls par zinātnes filozofiju, 38: 1–18.
  • Frege, G., 1884, Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch -hematische Untersuchung über den Begriff der Zahl, Breslau: W. Koebner. JL Ostins, Oksforda, Blekvela, otrais pārskatītais izdevums, 1974. gads. Tika tulkots kā aritmētikas pamati: skaitļa jēdziena loģiski matemātiskais pētījums.
  • Gallian, J., & M. Pearson, 2007, “Intervija ar Doronu Zeilbergeru”, FOCUS (Amerikas Matemātikas asociācijas biļetens), 27. (5): 14–17.
  • Giaquinto, M., 2007, Vizuālā domāšana matemātikā: epistemoloģisks pētījums, Oksforda: Oxford University Press.
  • Gonthier, G., et al., 2008, “Formal Proof - the Four-Color Theorem”, Notices of the American Mathematical Society, 55 (11): 1382–1393.
  • Gonthier, G., 2013, “Mašīnu pārbaudīts nepāra kārtības teorēmas pierādījums”, interaktīvajā teorēmā, kas pierāda: 4. starptautiskās konferences rakstu krājums, S. Blazy, C. Paulin-Mohring un D. Pichardie (red.), Berlin / Heidelberga: Springer-Verlag, 163. – 179.
  • Haack, S., 1976, “Atskaitījuma pamatojums”, Mind, 85: 112–119.
  • Džeksons, Dž., 2009, “Randomizētie argumenti ir nododami”, Philosophia Mathematica, 17: 363–368.
  • Lakatos, I., 1976, Proofs and Refutations, Cambridge: Cambridge University Press.
  • –––, 1980, “Ko pierāda matemātisks pierādījums?”, Matemātikā, zinātnē un epistemoloģijā (Imre Lakatos: Philosophical Papers, 2. sējums), J. Worrall & G. Currie (red.), Cambridge: Cambridge University Press, 61. – 69.
  • Lingamneni, S., 2017, “Vai mēs varam atrisināt kontinuācijas hipotēzi?”, Synthese, URL = <https://doi.org/10.1007/s11229-017-1648-9>.
  • Maddy, P., 1988, “Ticot aksiomām. I & II”, Journal of Symbolic Logic, 53 (2): 481–511, 736–764.
  • –––, 1997, Naturālisms matemātikā, Oksforda: Oxford University Press.
  • –––, 2001, “Dažas naturālistiskas piezīmes par kopu teorētisko metodi”, Topoi, 20: 17–27.
  • –––, 2011, Aksiomu aizstāvēšana: uz kopas teorijas filozofiskajiem pamatiem, Oksforda: Oxford University Press.
  • Mancosu, P., 2008, “Matemātiskais skaidrojums: kāpēc tas ir svarīgi”, matemātiskās prakses filozofijā, P. Mancosu (red.), Oksforda: Oxford University Press, 134. – 149.
  • McEvoy, M., 2008, “Datoru pierādījumu epistemoloģiskais statuss”, Philosophia Mathematica, 16: 374–387.
  • –––, 2013, “Eksperimentālā matemātika, datori un Priori”, Synthese, 190: 397–412.
  • Mumma, J., 2010, “Pierādījumi, attēli un Eiklida”, Synthese, 175: 255–287.
  • Paseau, A., 2015, “Zināšanas par matemātiku bez pierādījumiem”, Lielbritānijas žurnāls par zinātnes filozofiju, 66: 775–799.
  • Pólya, G., 1945, Kā to atrisināt, Princeton: Princeton University Press.
  • Schlimm, D., 2013, “Aksiomas matemātiskajā praksē”, Philosophia Mathematica, 21: 37–92.
  • Šīns, S., un O. Lemons, 2008. gads, “Diagrammas”, Stenforda filozofijas enciklopēdija (2008. gada ziemas izdevums), Edvards N. Zalta (red.), URL = .
  • Sorensens, HK, 2010, “Pētnieciskais eksperiments eksperimentālajā matemātikā: ieskats PSLQ algoritmā”, matemātikas filozofijā: socioloģiskie aspekti un matemātiskā prakse, B. Lowe & T. Muller (red.), London: College Publications, pp 341–360.
  • –––, 2016, “'Pierādījuma beigas'? Dažādu matemātisko kultūru integrācija kā vecuma eksperimentālā matemātika”, matemātiskajās kultūrās, B. Larvor (red.), Cham: Birkhauser, 139. – 160. Lpp.
  • Šteiners, M., 1993. gads, “Proof, Logic and Formalization Review”, Journal of Symbolic Logic, 58 (4): 1459–1462.
  • Tennant, N., 2005, “Noteikumu apkārtraksts un atskaitīšanas pamatojums”, Filozofiskais ceturksnis, 55: 625–648.
  • te Riele, H., 1987, “Par atšķirības zīmi p (x) –Li (x)”, Matemātika skaitļošanai, 48: 323–328.
  • Tymoczko, T., 1979, “Četru krāsu problēma un tās filozofiskā nozīme”, Journal of Philosophy, 76 (2): 57–83.
  • van Bendegem, J., 1998, “Kas, ja kaut kas, ir eksperiments matemātikā?”, filozofijā un zinātnes daudzajās sejās, D. Anapolitanos, et al. (red.), London: Rowman & Littlefield, 172. – 182. lpp.
  • van Kerkhove, B., & J. van Bendegem, 2008, “Pi on Earth”, Erkenntnis, 68: 421–435.

Akadēmiskie rīki

sep cilvēks ikona
sep cilvēks ikona
Kā citēt šo ierakstu.
sep cilvēks ikona
sep cilvēks ikona
Priekšskatiet šī ieraksta PDF versiju vietnē SEP Friends.
inpho ikona
inpho ikona
Uzmeklējiet šo ierakstu tēmu interneta filozofijas ontoloģijas projektā (InPhO).
phil papīru ikona
phil papīru ikona
Uzlabota šī ieraksta bibliogrāfija vietnē PhilPapers ar saitēm uz tā datu bāzi.

Citi interneta resursi

  • Dāvida Epšteina 1992. gadā dibinātā žurnāla Eksperimentālā matemātika mērķi un darbības joma.
  • Matemātikas filozofija: socioloģiskie aspekti un matemātiskā prakse, Benedikt Löwe un Thomas Müller (koordinācija).
  • Corfield, D., 2004, “Mathematical Kinds and Being Kind to Mathematics”, PhilSci arhīvā, Pitsburgas Universitātē.

Ieteicams: