Matemātiskais Stils

Satura rādītājs:

Matemātiskais Stils
Matemātiskais Stils

Video: Matemātiskais Stils

Video: Matemātiskais Stils
Video: Звуки природы, пение птиц, Звуки Леса, для релаксации, сна, Медитации, Relax 8 часов 2024, Marts
Anonim

Ieejas navigācija

  • Iestāšanās saturs
  • Bibliogrāfija
  • Akadēmiskie rīki
  • Draugu PDF priekšskatījums
  • Informācija par autoru un atsauce
  • Atpakaļ uz augšu

Matemātiskais stils

Pirmoreiz publicēts 2009. gada 2. jūlijā; būtiska pārskatīšana Wed 2017. gada 9. augusts

Eseja sākas ar galveno kontekstu taksonomiju, kurā jēdziens “stils” matemātikā tiek pielietots kopš divdesmitā gadsimta sākuma. Tie ietver stila jēdziena izmantošanu matemātikas salīdzinošajā kultūras vēsturē, nacionālā stila raksturošanā un matemātiskās prakses aprakstīšanā. Pēc tam šīs norises ir saistītas ar vairāk pazīstamu stila traktējumu dabaszinātņu vēsturē un filozofijā, kur var nošķirt “vietējo” un “metodisko” stilu. Tiek apgalvots, ka dabiskais “stila” matemātika ir starp “vietējo” un “metodisko” stilu, ko aprakstījuši vēsturnieki un zinātnes filozofi. Visbeidzot, esejas pēdējā daļā ir apskatīti daži no galvenajiem matemātikas stila aprakstiem, kas saistīti ar Datorurķēšanu un Gringeru,un pārbauda to epistemoloģisko un ontoloģisko nozīmi.

  • 1. Ievads
  • 2. Stils kā centrālais jēdziens salīdzinošajā kultūras vēsturē
  • 3. Nacionālie stili matemātikā
  • 4. Matemātiķi par stilu
  • 5. Stila lokuss
  • 6. Ceļā uz stila epistemoloģiju
  • 7. Secinājums
  • Bibliogrāfija
  • Akadēmiskie rīki
  • Citi interneta resursi
  • Saistītie ieraksti

1. Ievads

Šīs esejas mērķis ir izpētīt un analizēt literatūru par stilu vēsturē un matemātikas filozofiju. Jo īpaši tā problēma, kā filozofiski var pietuvoties jēdzienam “stils” matemātikā, tiks risināta līdz beigām. Lai arī šī nav viena no matemātikas filozofijas kanoniskajām tēmām, prezentācijā tiks izmantotas atbilstošas diskusijas par stilu zinātnes vēsturē un filozofijā.

Runāšana par matemātiku stila ziņā ir pietiekami izplatīta parādība. Ar šādiem matemātikas stilistisko iezīmju izaicinājumiem var saskarties jau septiņpadsmitā gadsimta sākumā. Piemēram, Bonaventura Cavalieri, piemēram, jau 1635. gadā pretstata viņa individuālistu paņēmieniem ar arhimēdu stilu:

Faktiski es zinu, ka visas iepriekš minētās lietas [paša Cavalieri teorēmas, kas iegūtas ar indiviibilistu pierādījumiem], var reducēt līdz arhimēdiešu stilam. (Sākotnējā latīņu valodā: “Scio autem praefata omnia ad stylum Archimedeum reduci posse.” (Cavalieri 1635, 235)).

Gadsimta beigās ir vieglāk atrast piemērus. Piemēram, Leibnica (1701, 270–71) raksta: “Analīze neatšķiras no Arhimēda stila, izņemot izteiksmes, kas ir tiešāki un piemērotāki atklāšanas mākslai” (franču: “L'analyse ne diffère du style d “Archimède que dans les expressions, qui sont plus directes et plus conformes à l'art d'inventer”). Interesants ir fakts, ka šādi notikumi notiek pirms stila jēdziena vispārināta lietojuma glezniecībā, kas radies tikai no 1660. gadiem (sporādiski gadījumi, kā uzsvērts Sauerländer 1983, ir sastopami arī sešpadsmitajā gadsimtā). Agrāk septiņpadsmitajā gadsimtā izvēlētais vārds glezniecībā bija “manière” (sk. Panofsky 1924; tulkojums angļu valodā (1968, 240)). Šeit ir pāris papildu piemēri no deviņpadsmitā un divdesmitā gadsimta. Chasles savā Aperçu historique (1837), runājot par Monge, saka:

Viņš ierosināja jaunu veidu, kā rakstīt un runāt par šo zinātni. Faktiski stils ir tik cieši pievilkts metodoloģijas garam, ka tam ir jāvirzās uz priekšu; tāpat, ja stils to ir paredzējis, stilam noteikti ir jābūt spēcīgai ietekmei uz to un uz vispārējo zinātnes progresu. (Chasles, 1837, 18., 207. paragrāfs)

Vēl viens piemērs nāk no Edvarda novērtējuma par Dedekind pieeju matemātikai:

Kronekera spožumā nevar apšaubīt. Ja viņam būtu desmitā daļa no Dedekind spējas skaidri formulēt un izteikt savas idejas, viņa ieguldījums matemātikā varētu būt pat lielāks nekā Dedekind's. Lai kā būtu, viņa spožums lielākoties nomira kopā ar viņu. No otras puses, Dedekind mantojums sastāvēja no ne tikai svarīgām teorēmām, piemēriem un jēdzieniem, bet no visa matemātikas stila, kas ir iedvesma katrai nākamajai paaudzei. (Edvards 1980, 20)

Acīmredzot varētu uzkrāt tāda paša veida citātus (sk., Cita starpā, Cohen 1992, de Gandt 1986, Dhombres 1993, Epple 1997, Fleckenstein 1955, Granger 2003, Høyrup 2005, Laugwitz 1993, Novy 1981, Reck 2009, Tappenden 2005)., Weiss 1939, Wisan 1981), bet tas nebūtu ļoti interesanti. Pat matemātikā stils, cita starpā, svārstās no “individuālajiem stiliem” līdz “nacionālajiem stiliem” līdz “epistemiskajiem stiliem”. Pirmkārt, ir vajadzīga izpratne par galvenajiem kontekstiem, kuros matemātikā tiek pievērsta uzmanība “stilam”, kaut arī šajā esejā nebūs daudz diskusiju par “atsevišķiem stiliem” (piemēram, piemēram, jāseko Enrico ieteikumam) Bombieri, Eulera, Ramanujan, Riemann, Serre un A. Weil “ļoti personīgie” stili).

Daudzos gadījumos pievilcība stila jēdzienam tiek uztverta kā aizgūta no tēlotājmākslas, un daži gadījumi tiks apspriesti nekavējoties. Harwood 1993 apgalvo, ka “stila jēdziens tika izveidots, lai klasificētu tēlotājmākslas studijās novērotos kultūras modeļus”. Wessely 1991 runā par “šī stila jēdziena pārnešanu zinātnes vēsturē” (265). Kaut arī tas varētu būt taisnība attiecībā uz divdesmito gadsimtu (sk. Arī Kwa 2012), tomēr jāpatur prātā, kā tika norādīts iepriekš, ka šim apgalvojumam ir jābūt kvalificētam septiņpadsmitā gadsimta laikā.

2. Stils kā centrālais jēdziens salīdzinošajā kultūras vēsturē

Neskatoties uz iepriekšējiem brīdinājumiem, ir taisnība, ka daži nozīmīgi divdesmitā gadsimta aicinājumi uz stila kategoriju matemātikā to ir izdarījuši, atsaucoties uz mākslu. Tas jo īpaši attiecas uz tiem autoriem, kurus vienoti uzskatāmi motivēja cilvēces kultūras produkcija un kuri tādējādi saskatīja zinātniskās un mākslinieciskās ražošanas procesu vienveidību. Tieši šādā kontekstā Osvalds Špenglers filmā “Rietumu kritums” (1919, 1921) mēģināja noteikt pasaules vēstures morfoloģiju un apgalvoja, ka matemātikas vēsturei raksturīgas dažādas stilistiskās epopejas, kas ir atkarīgas no kultūras, kas to radīja:

Jebkuras matemātikas stils, kas rodas, pilnībā atkarīgs no kultūras, kurā tā sakņojas, - kāda cilvēce to pārdomā. Dvēsele var dot tai raksturīgās iespējas zinātnes attīstībā, var tās praktiski vadīt, var izturēties ar visaugstāko līmeni, izturoties pret tām, bet ir diezgan bezspēcīga, lai tās mainītu. Eiklīda ģeometrijas ideja tiek aktualizēta agrākajās klasiskā ornamenta formās, bet Infinitesimal Calculus - agrīnākajās gotiskās arhitektūras formās, gadsimtiem pirms attiecīgo kultūru pirmie iemācījušies matemātiķi. (Špenglers 1919, 59)

Ir ne tikai paralēles starp matemātiku un citiem kultūras mākslas darbiem. Balstoties uz Gētes apgalvojumu, ka pilnīgais matemātiķis “sevī izjūt patiesā skaistumu”, un uz Veirstras teikto, ka “kurš vienlaikus nav arī dzejnieks, nekad nebūs īsts matemātiķis”, Spenglers turpināja raksturot matemātiku. pati par sevi kā māksla:

Tad matemātika ir māksla. Kā tāds tam ir savi stili un stila periodi. Tas, kā iedomājas nespeciālists un filozofs (kas šajā sakarā ir arī nespeciālists), nav būtiski nemaināms, bet gan tāds pats kā katra māksla, kam nepamanītas pārmaiņas notiek no laika uz laikmetu. (Špenglers 1919, 62)

Visplašākais traktējums, kas balstās uz mākslas un matemātikas paralēli un kurā stila jēdziens tiek izmantots kā galvenā matemātikas vēstures analīzes kategorija, ir Makss Bense. Grāmatā, kuras nosaukums ir Konturen einer Geistesgeschichte der Mathematik (1946), Bense veltīja visu nodaļu (2. nodaļa), lai aprakstītu, kā stila jēdziens attiecas uz matemātiku. For Bense stils ir forma:

Jo stils ir forma, būtiska forma, un mēs to nosauksim par “estētisko”, ja tas kategoriski kontrolē saprātīgo, materiālu. (Bense 1946, 118)

Bense uzskatīja mākslas un matemātikas vēsturi par prāta vēstures aspektiem [Geistesgeschichte]. Faktiski “stils tiek dots visur, kur rodas cilvēka iztēle un izteiksmes spēja”. Bensei noteikti bija tieksme vilkt paralēles starp stiliem mākslas vēsturē un stiliem matemātikā (viņš savā grāmatā īpaši izturējās pret baroka un romantiskajiem stiliem), taču, iebilstot pret Spengleru, mākslas un matemātikas daba bija atšķirīga. Patiešām, viņš atzina, ka matemātikas stilistisko vēsturi nevar reducēt “līdz sakritībai starp noteiktām matemātiskām formālām tendencēm un lielo māksliniecisko pasaules uzskatu un garīgo stilu, kas piemīt atsevišķiem laikmetiem, piemēram, renesanses, klasicisma, baroka vai romantisma stilam” (132. lpp.);jaunākas paralēles starp baroka mākslu mākslā un septiņpadsmitā gadsimta matemātiku sk. Fleckenstein 1955 un Wisan 1981. Viņš atsaucās uz Fēliksa Kleina “Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus”, lai norādītu, ka noteiktas attīstības līnijas, kuras raksturo Kleins, var uzskatīt par norādēm uz stiliem matemātikas attīstības vēsturē (sk. Klein 1924, 91).

Mēģinājumi, piemēram, Špenglera un Bensas pievilcība, protams, pie tiem teorētiķiem, kuri stila kategoriju vēlētos izmantot kā instrumentu, lai aprakstītu un, iespējams, uzskaitītu kultūras modeļus. Tomēr matemātiku un / vai mākslas vēsturi pārzinošu lasītāju skeptiski atstāj skeptiski, ņemot vērā parasti tālās paralēles, kurām it kā vajadzētu sniegt pierādījumus par kontu. Protams, tas nenozīmē, ka galu galā tiek noraidīta stila kategorijas piemērotības pieeja vai lietderība matemātikā, bet gribētos, lai tās izmantošana būtu tiešāk saistīta ar matemātiskās prakses aspektiem.

Kopumā var atšķirt divus teorēšanas veidus, kurus var saistīt ar šādiem mēģinājumiem. Pirmais ir tikai aprakstošs vai taksonomisks un pats par sevi parāda noteiktu kopīgu modeļu parādīšanos starp noteiktu domu apgabalu, piemēram, matemātiku, un citiem noteiktas sabiedrības kultūras produktiem. Otrā pieeja paredz pirmo, bet arī noskaidro cēloņus, kas norāda uz noteikta domāšanas vai ražošanas stila esamību, un parasti mēģina to attiecināt uz psiholoģiskiem vai socioloģiskiem faktoriem. Špenglerā un Bense ir elementi abos, kaut arī uzsvars vairāk tiek likts uz paralēlēm, nevis uz cēloņiem, kas ir paralēlu pamatā vai izskaidro.

Divdesmitajā gadsimta sākumā mēģinājumi paplašināt stila jēdziena izmantošanu mākslā arī citās cilvēka centienu jomās. Plaši pazīstams gadījums ir Manheima socioloģiskais mēģinājums raksturot domāšanas stilus dažādās sociālajās grupās (Manheima 1928). Lai gan Manheims nebija izslēdzis zinātnisko domu no zināšanu socioloģiskās analīzes jomas, viņš aktīvi neveica šādu analīzi. Turpretī Ludviks Fleks praktizēja zinātnes socioloģisko analīzi, kurā galvenā loma bija “domāšanas stiliem”. Fleks tomēr koncentrējās uz medicīnu (Fleck 1935).

Šeit ir svarīgi norādīt, ka domāšanas stila jēdziens kopumā ir saņēmis divas atšķirīgas mūsdienu pētījumu tendences, kas ietekmē arī matemātiku. Pirmkārt, tas ir priekšstats, ar kuru sastopas Fleks. Atkarībā no tā, cik dāsns vēlas būt savienojumu veidošanā, varēja redzēt, ka šī pieeja domāšanas stiliem ir saistīta ar Kuhna, Foucault un Hacking vēlāko darbu (skat. Zemāk diskusiju par Datorurķēšanu). Tomēr pastāv atšķirīgs domāšanas veids par domāšanas stiliem, kas parasti tiek dēvēti par izziņas stiliem. Šī ir interešu joma kognitīvajiem psihologiem un matemātikas pedagogiem (pārskatu par psiholoģiskajiem pētījumiem šajā jomā skat. Riding 2000 un Stenberg and Grigorenko 2001). Šeit galvenā uzmanība tiek pievērsta indivīda psiholoģiskajam veidojumam, kurš dod priekšroku noteiktam kognitīvajam stilam vai nu mācoties, saprotot vai domājot par matemātiku (ti, apstrādājot un organizējot matemātisko informāciju). Vecā atšķirība starp vizuālo un analītisko matemātiķi, ko uzsvēra Poincaré (sk. Poincaré 1905), joprojām ir daļa no attēla, lai gan ir ļoti daudz modeļu un klasifikāciju. Vēsturisku pārskatu un matemātikas centrālo teorētisko priekšlikumu skatīt Borromeo Ferri 2005. Vecā atšķirība starp vizuālo un analītisko matemātiķi, ko uzsvēra Poincaré (sk. Poincaré 1905), joprojām ir daļa no attēla, lai gan ir ļoti daudz modeļu un klasifikāciju. Vēsturisku pārskatu un matemātikas centrālo teorētisko priekšlikumu skatīt Borromeo Ferri 2005. Vecā atšķirība starp vizuālo un analītisko matemātiķi, ko uzsvēra Poincaré (sk. Poincaré 1905), joprojām ir daļa no attēla, lai gan ir ļoti daudz modeļu un klasifikāciju. Vēsturisku pārskatu un matemātikas centrālo teorētisko priekšlikumu skatīt Borromeo Ferri 2005.

Matemātikas vēstures un filozofijas jomā nav matemātisko stilu grāmatvedības uzskaites, kas noteiktu stilu parādīšanos izskaidro ar socioloģiskām vai psiholoģiskām kategorijām (lai gan Netz 1999 ir interesējis stila teorētiķus kā mēģinājumu izziņas vēstures jomā). svarīgs grieķu matemātikas segments). Tas ir pretstatā grāmatām dabaszinātņu vēsturē, piemēram, Harwood 1993, kuru mērķis ir izskaidrot vācu ģenētikas kopienas domāšanas stila rašanos, izmantojot socioloģiskus argumentus. Vistuvāk šādam uzskatam ir Bīberbaha uzskats, ka matemātikā stils ir atkarīgs no psiholoģiskiem un rasu faktoriem. Viņš tiks apspriests nākamajā sadaļā par nacionālajiem stiliem.

3. Nacionālie stili matemātikā

Kaut kas mazāk ambiciozs nekā iepriekšējie mēģinājumi iegūt vispārēju cilvēku kultūras darbu vēsturi vai tālejošas paralēles starp mākslu un matemātiku nozīmē stila kā historiogrāfiskas kategorijas jēdziena izmantošanu matemātikas vēsturē bez īpašas atsauces uz mākslu vai citu cilvēku kultūras aktivitātes. Ja runājam par divdesmitā gadsimta sākumu, var secināt, ka “nacionālie stili” bieži tika minēti, lai klasificētu noteiktas pazīmes, kas raksturo matemātisko ražošanu, kas šķita pilnīgi iekļaujamas nacionālās līnijās. Zinātnes vēsturē šādi “nacionālā stila” gadījumi ir bieži pētīti. Jāatgādina J. Harwood grāmata Zinātniskās domas stili (1993) un Nye 1986, Maienschein 1991 un Elwick 2007. Matemātikas intereses gadījums ir pretrunas starp franču un vācu stilu matemātikā, ko pētījis Herberts Mehrtens.

Mehrtens (1990a, 1990b, 1996) stilu izteiksmē matemātikas konfliktu starp “formālistiem” un “loģiķiem”, no vienas puses, un “intuitīvisti”, no otras puses, raksturo kā cīņu starp diviem matemātikas jēdzieniem (sk. Arī Pelēks 2008 par Mehrtensas pieejas kritisku pārņemšanu, vienlaikus uzsverot matemātikas “modernisma” pārveidi). Hilberts un Poincaré tiek izmantoti kā opozīcijas avotu paradigmas, kas 1920. gados vēlāk izraisīja Hilbert-Brouwer pamata debates (par Brouwer-Hilbert debašu vēsturi skat. Mancosu 1998). Mehrtens arī norāda, ka šī opozīcija ne vienmēr notika pēc valsts principa, jo, piemēram, Kleinu varēja uzskatīt par tuvu Poincaré. Patiešām,zināms matemātikas internacionālisms bija dominējošs deviņpadsmitā gadsimta beigās un divdesmitā gadsimta sākumā. Tomēr WWI mainīja situāciju un izraisīja spēcīgus nacionālistiskus konfliktus. Centrālais spēlētājs opozīcijas “nacionalizēšanā” bija Pjērs Duhems, kurš iebilda pret franču esprit de finesse pret vāciešu esprit de géométrie:

Sākot no skaidriem principiem… tad soli pa solim, pacietīgi un saudzīgi, tādā tempā, kādā ievēro deduktīvās loģikas disciplīnas noteikumus ar visnotaļ nopietnību: tieši tas izceļas ar vācu ģēniju; vācu esprit būtībā ir esprit de géométrie… Vācieši ir ģeometriski, tie nav smalki; vāciešiem pilnīgi trūkst esprit de finesse. (Duhems 1915, 31–32)

Duhems savu modeli paredzēja piemērot gan dabaszinātnēm, gan matemātikai. Kleinerts 1978. gadā parādīja, ka Duhema grāmata bija tikai daļa no franču zinātnieku reakcijas uz 1914. gada deklarāciju “Aufruf an die Kulturwelt”, kuru parakstīja 93 ievērojami vācu inteliģenti. Tas noveda pie tā saucamā “Krieg der Geister”, kurā polarizācija starp Vāciju un Franciju sasniedza punktu ne tikai par konkrētu zinātnes izmantošanas veidu (piemēram, zinātnes praktizēšana ar militāriem mērķiem) kritizēšanu, bet arī par zinātniskās pētniecības raksturojumu. zināšanas, kuras būtībā nosaka nacionālās īpatnības. Faktiski šo stratēģiju galvenokārt izmantoja franči, kritizējot “La Science Allemande”, bet divdesmit gadus vēlāk vācieši to izmantos, aizstājot “nacionālo” ar “rassisch”. Vispazīstamākais gadījums ir “Deutsche Physik”, taču šeit galvenā uzmanība tiks pievērsta “Deutsche Mathematik” (sk. Arī Segal 2003 un Peckhaus 2005).

Šīs ideoloģiskās konfrontācijas ekstrēmākais veids, kas ironiski mainīja vāciešu un franču lomu Duhema izmantotajā salīdzinājumā, ir atrodams tā dēvētā “Deutsche Mathematik” dibinātāja Ludviga Bīberbaha rakstos. Sākot ar Landau atlaišanu no Getingenes matemātiskās fakultātes, Bīberbahs centās racionalizēt, kāpēc studenti bija piespieduši Landau atlaist. Kurzreferatā par sarunu viņš savus mērķus apkopoja šādi:

Manu apsvērumu mērķis ir, izmantojot vairākus piemērus, aprakstīt radošuma stila ietekmi uz savas zinātnes, matemātikas, cilvēku [asinīm un rasi], asins un rasi. Nacionālsociālistam tas, protams, neprasa pierādījumus. Tas drīzāk ir ieskats lielā acīmredzamībā. Jo visas mūsu darbības un domas sakņojas asinīs un sacīkstēs un no tām saņem viņu specifiku. Tas, ka ir šādi stili, ir pazīstams arī katram matemātiķim. (Bieberbach, 1934a, 235)

Savos divos dokumentos 1934b un 1934c viņš apgalvoja, ka Landau praktizētā matemātika vācu garam bija sveša. Viņš salīdzināja Erhardu Šmitu un Landau un apgalvoja, ka pirmajā gadījumā

Sistēma ir vērsta uz objektiem, konstrukcija ir organiska. Turpretī Landau stils ir svešs realitātei, dzīves antagonists, neorganisks. Erharda Šmita stils ir konkrēts, intuitīvs un tajā pašā laikā tas atbilst visām loģiskajām prasībām. (Bieberbach 1934b, 237)

Citas svarīgas opozīcijas, kuras Bieberbaha izvirzīja kā “pierādījumus” viņa prasījumiem, bija Gauss pret Kaučiju-Goursātu par sarežģītu numuru; Poincaré pret Maxwell matemātiskajā fizikā; Landau pret Šmitu; un Džeikobi pret Kleinu.

Paļaujoties uz bēdīgi slavenā Marburgas psihologa Jaenša tipu psiholoģiju, viņš turpināja iebilst pret ebreju / latīņu un vācu psiholoģiskajiem tipiem. Kļūdas līnija, tā sakot, bija starp intuīcijas virzītu matemātiku, kas raksturīga vācu matemātikai, un formālismu, kuru, domājams, atbalstīja ebreju / latīņu matemātiķi. Acīmredzot Bīberbahs bija spiests veikt daudz ģermāņu veidošanas, lai pārliecinātos, ka svarīgi vācu matemātiķi nenonāk vienādojuma nepareizajā pusē (skat., Ko viņš saka par Veierstrassu, Euleru un Hilbertu). Šo matemātisko atšķirību pamatā bija rases raksturlielumi:

Savos apsvērumos es esmu mēģinājis parādīt, ka matemātiskajā darbībā ir problēmas ar stilu un ka tāpēc asinis un rase ietekmē matemātisko radīšanu. (Bieberbach 1934c, 358–359)

Bieberbaha diskusijas iemesls šajā kontekstā ir tāds, ka viņa gadījums uzskatāms par mēģinājumu iesakņot stila jēdzienu kaut ko fundamentālāku, piemēram, nacionālās iezīmes, kas interpretētas psiholoģijas un rasu iezīmju izteiksmē. Turklāt viņa lieta arī interesē, jo viņa pieeja stilam parāda, kā šādu teoriju var izmantot savītas politiskās programmas kalpošanā.

Par laimi, runājot par matemātikas nacionālajiem stiliem, nav jāņem vērā visas sekas, kas tika konstatētas Bīberbahā. Patiešām, kad vēsturnieki šodien atsaucas uz nacionālajiem stiliem, viņi to dara bez nacionālisma, kas motivēja vecākus ieguldījumus. Viņiem drīzāk ir jāapraksta, kā “vietējām” kultūrām ir loma zināšanu veidošanā (sk. Arī Larvor 2016). Lai gan palielināta mobilitāte un e-pasta komunikācijas apgrūtina nacionālo stilu uzplaukumu, īpašie politiskie apstākļi varētu arī veicināt šāda stila saglabāšanos. Tas attiecas, piemēram, uz krievu valodas stilu algebriskajā ģeometrijā un attēlojuma teorijā. Kā Roberts Makpersons ir norādījis autoram,šis nacionālā stila gadījums būtu pelnījis plašāku izpēti, un būtu interesanti izpētīt, kā Padomju Savienības krišana ietekmēja šo stilu. Turpretī plaši pētīts nacionālā stila piemērs ir itāļu stila algebriskā ģeometrija. Šo gadījumu ir uzmanīgi izpētījuši vairāki matemātikas vēsturnieki un jo īpaši Aldo Brigaglia (sk. Arī Casnati et al. 2016). Piemēram, nesenajā rakstā Brigaglia raksta:

Turklāt itāļu skola nebija stingri nacionāla “skola”, bet drīzāk darba stils un metodika, kas galvenokārt atradās Itālijā, bet kuru pārstāvji bija atrodami citur pasaulē. (Brigaglia 2001, 189)

Biedējošie citāti izceļ problēmu, mēģinot aptvert atšķirību starp “skolām”, “stiliem”, “metodoloģijām” utt. (Sk. Rowe 2003). Valsts vēstures vēsturē nav mēģināts analītiski apspriest “nacionālā stila” jēdzienu. matemātika - katrā ziņā nekas nav salīdzināms ar to, ko Harvuds 1993. gadā dara savas grāmatas pirmajā nodaļā. Situāciju sarežģī arī tas, ka dažādi autori izmanto atšķirīgu terminoloģiju, varbūt atsaucoties uz vienu un to pašu jautājumu. Piemēram, pēdējā laikā daudz tiek runāts par “matemātikas attēliem” (Corry 2004a, 2004b, Bottazzini un Dahan Dalmedico, 2001). Pēdējā sadaļā mēs atgriezīsimies, lai pārdomātu šos dažādos stila pielietojumus historiogrāfiskajā matemātikas literatūrā un to salīdzināšanu ar dabaszinātņu paradumiem.

4. Matemātiķi par stilu

Līdz šim diskusijā galvenā uzmanība tika pievērsta stilam kā instrumentam kultūras filozofiem un matemātikas vēsturniekiem. Bet vai matemātiķi atzīst stilu esamību matemātikā? Atkal nebūtu grūti sniegt atsevišķus citāti, kur matemātiķi varētu runāt par senču stilu vai abstraktu algebrisko stilu vai kategoriju stilu. Loģiskajā darbā tiek atrasti stila gadījumi tādās konfesijās kā 'Bīskapa stila konstruktīvā matemātika'. Grūti atrast ir matemātiķu sistemātiskas diskusijas par stila jēdzienu. Bieberbaha lieta tika pieminēta iepriekš, bet tur netika sniegta sīka diskusija par piemēriem, kurus viņš iesniedza kā pierādījumus par stila atšķirībām,daļēji tāpēc, ka viņus tik ļoti sagroza vēlme sniegt atbalstu viņa ideoloģiskajam viedoklim, ka ir pamats šaubīties, ka kāds varētu iegūt daudz, analizējot viņa gadījumu izpēti.

Interesants ieguldījums ir Kloda Čevallija 1935. gada raksts ar nosaukumu “Varianti du style mathématique”. Ševallijs uzskata stila esamību par pašsaprotamu. Viņš sāk šādi:

Matemātiskais stils, tāpat kā literārais stils, ir pakļauts nozīmīgām svārstībām, pārejot no viena vēsturiskā laikmeta uz otru. Bez šaubām, katram autoram piemīt individuāls stils; taču katrā vēsturiskajā laikmetā var pamanīt arī diezgan labi atpazīstamu vispārēju tendenci. Šis stils spēcīgu matemātisku personību ietekmē katru reizi pa reizei tiek pakļauts revolūcijām, kas ievelk rakstīšanu un tādējādi domā par nākamajiem periodiem. (Čevallijs 1935, 375)

Tomēr Čivallijs nemēģināja atspoguļot šeit iesaistīto stila jēdzienu. Drīzāk viņš bija norūpējies, izmantojot svarīgu piemēru, parādīt pārejas pazīmes starp diviem matemātikas darbošanas stiliem, kas raksturoja pāreju no deviņpadsmitā gadsimta matemātikas uz divdesmitā gadsimta pieejām. Pirmais Čivallija aprakstītais stils ir Veirštrūsijas stils, “ε stils”. Tā uzskata savu “raison d'être” par nepieciešamību pilnveidot aprēķinus, atkāpjoties no neatbilstībām, kas saistītas ar tādiem jēdzieniem kā “bezgala mazs daudzums” utt. Analīzes attīstība deviņpadsmitajā gadsimtā (analītiskās funkcijas, Furjē sērija, Gausa) virsmu teorijas, Lagrangas vienādojumi mehānikā uc) noveda pie kritiskas analīzes

algebriski-analītisko ietvaru, kura priekšā viņi atradās; un tieši no šī kritiskā eksāmena bija jāizveido pilnīgi jauns matemātiskais stils. (Čevallijs 1935, 377)

Čivallijs turpināja izcelt nepārtrauktas nekur atšķirīgas funkcijas atklāšanu Veierstrasas dēļ kā šīs revolūcijas vissvarīgāko elementu. Tā kā Veierstrasa funkciju var attiecināt uz Furjē izplešanos ar diezgan normālu izskatu, kļuva acīmredzams, ka daudzas demonstrācijas matemātikā pieņēma slēgšanas nosacījumu, kas bija stingri jānosaka. Ierobežojuma jēdziens, kā to definēja Veijerstruss, bija spēcīgs instruments, kas ļāva veikt šādas izmeklēšanas. Veierstrass un viņa sekotāju veiktās analīzes rekonstrukcija izrādījās ne tikai veiksmīga, bet arī matemātiski auglīga. Lūk, cik tuvu Chevalley nonāk šī stila raksturošanā:

Šīs skolas matemātiķu izmantotā robežas definīcija Veierstrasas dēļ ir pamanāma viņu rakstu ārējā izskatā. Pirmkārt, intensīvā un brīžiem nesakarīgā “ε” lietošanā, kas aprīkots ar dažādiem indeksiem (tas ir iemesls, kāpēc mēs iepriekš runājām par „ε” stilu). Otrkārt, pakāpeniski aizstājot vienlīdzību ar nevienlīdzību demonstrācijās, kā arī rezultātos (tuvināšanas teorēmas; augšējās robežas teorēmas; pieauguma teorija utt.). Šis pēdējais aspekts mūs aizņems, jo tas liks mums saprast iemeslus, kas piespieda pārvarēt Veiristrāzijas domāšanas stilu. Patiešām, kaut arī vienlīdzība ir sakarība, kurai ir nozīme matemātiskām būtnēm, nevienlīdzību var attiecināt tikai uz objektiem, kas aprīkoti ar kārtas saikni,praktiski tikai uz reālajiem skaitļiem. Tādā veidā viens tika vadīts, lai aptvertu visu analīzi, lai to pilnībā rekonstruētu no reālajiem skaitļiem un no reālo skaitļu funkcijām. (Čevallijs 1935, 378–379)

No šīs pieejas varētu izveidot arī sarežģītu skaitļu sistēmu kā reālu pāri un atstarpes punktus n dimensijās kā n-reālu paraugus. Tas radīja iespaidu, ka matemātiku var apvienot, izmantojot konstruktīvas definīcijas, sākot no reālajiem skaitļiem. Tomēr viss gāja savādāk, un Čevallijs mēģina atskaitīties par iemesliem, kas noveda pie atteikšanās no šīs “konstruktīvās” pieejas par labu aksiomātiskai pieejai. Dažādas algebriskas teorijas, piemēram, grupu teorija, radīja attiecības, kuras nevarēja izveidot, sākot no reālajiem skaitļiem. Turklāt sarežģītu skaitļu konstruktīvā definīcija bija līdzvērtīga patvaļīgas atsauces sistēmas noteikšanai un tādējādi šiem objektiem piešķīra īpašības, kas slēpja to reālo raksturu. No otras puses, bija pazīstams ar Hilberta ģeometrijas aksiomatizāciju, kas,lai arī stingrs, tam nebija konstruktīvo teoriju mākslīguma. Šajā gadījumā entītijas nav konstruētas, bet drīzāk noteiktas caur aksiomām. Šī pieeja tika izstrādāta, lai ietekmētu pašu analīzi. Chevalley pieminēja Lebesgue integrala teoriju, kas tika iegūta, vispirms nosakot, kādām īpašībām integralam bija jāatbilst, un pēc tam parādot, ka pastāv objekts, kas šīm īpašībām atbilst. To pašu ideju izmantoja Frešets, nosakot īpašības, kurām vajadzētu raksturot robežas darbību, tādējādi iegūstot vispārēju topoloģisko telpu teoriju. Vēl viens piemērs, ko pieminēja Švallijs, ir lauka teorijas aksiomatizācija, ko 1910. gadā sniedza Šteinica. Čevallijs secināja, kaŠajā gadījumā entītijas nav konstruētas, bet drīzāk noteiktas caur aksiomām. Šī pieeja tika izstrādāta, lai ietekmētu pašu analīzi. Chevalley pieminēja Lebesgue integrala teoriju, kas tika iegūta, vispirms nosakot, kādām īpašībām integralam bija jāatbilst, un pēc tam parādot, ka pastāv objekts, kas šīm īpašībām atbilst. To pašu ideju izmantoja Frešets, nosakot īpašības, kurām vajadzētu raksturot robežas darbību, tādējādi iegūstot vispārēju topoloģisko telpu teoriju. Vēl viens piemērs, ko pieminēja Švallijs, ir lauka teorijas aksiomatizācija, ko 1910. gadā sniedza Šteinica. Čevallijs secināja, kaŠajā gadījumā entītijas nav konstruētas, bet drīzāk noteiktas caur aksiomām. Šī pieeja tika izstrādāta, lai ietekmētu pašu analīzi. Chevalley pieminēja Lebesgue integrala teoriju, kas tika iegūta, vispirms nosakot, kādām īpašībām integralam bija jāatbilst, un pēc tam parādot, ka pastāv objekts, kas šīm īpašībām atbilst. To pašu ideju izmantoja Frešets, nosakot īpašības, kurām vajadzētu raksturot robežas darbību, tādējādi iegūstot vispārēju topoloģisko telpu teoriju. Vēl viens piemērs, ko pieminēja Švallijs, ir lauka teorijas aksiomatizācija, ko 1910. gadā sniedza Šteinica. Čevallijs secināja, kaChevalley pieminēja Lebesgue integrala teoriju, kas tika iegūta, vispirms nosakot, kādām īpašībām integralam bija jāatbilst, un pēc tam parādot, ka pastāv objekts, kas šīm īpašībām atbilst. To pašu ideju izmantoja Frešets, nosakot īpašības, kurām vajadzētu raksturot robežas darbību, tādējādi iegūstot vispārēju topoloģisko telpu teoriju. Vēl viens piemērs, ko pieminēja Švallijs, ir lauka teorijas aksiomatizācija, ko 1910. gadā sniedza Šteinica. Čevallijs secināja, kaChevalley pieminēja Lebesgue integrala teoriju, kas tika iegūta, vispirms nosakot, kādām īpašībām integralam bija jāatbilst, un pēc tam parādot, ka pastāv objekts, kas šīm īpašībām atbilst. To pašu ideju izmantoja Frešets, nosakot īpašības, kurām vajadzētu raksturot robežas darbību, tādējādi iegūstot vispārēju topoloģisko telpu teoriju. Vēl viens piemērs, ko pieminēja Švallijs, ir lauka teorijas aksiomatizācija, ko 1910. gadā sniedza Šteinica. Čevallijs secināja, kaVēl viens piemērs, ko pieminēja Švallijs, ir lauka teorijas aksiomatizācija, ko 1910. gadā sniedza Šteinica. Čevallijs secināja, kaVēl viens piemērs, ko pieminēja Švallijs, ir lauka teorijas aksiomatizācija, ko 1910. gadā sniedza Šteinica. Čevallijs secināja, ka

Teoriju aksiomatizācija ir ļoti dziļi pārveidojusi mūsdienu matemātisko rakstu stilu. Pirmkārt, par katru iegūto rezultātu vienmēr ir jānoskaidro, kuras ir stingri neaizstājamās īpašības, kas vajadzīgas tā noteikšanai. Var nopietni pievērsties šāda rezultāta minimālas demonstrēšanas problēmai, un šajā nolūkā būs precīzi jādefinē, kurā matemātikas jomā darbojas tā, lai noraidītu metodes, kas šajā jomā ir svešas, jo pēdējās ir iespējams, ieviesīs bezjēdzīgas hipotēzes. (Čevallijs 1935, 382)

Turklāt tādu domēnu izveidošana, kas ir pilnīgi piemēroti noteiktām operācijām, ļauj izveidot vispārīgas teorēmas par apskatāmajiem objektiem. Tādā veidā bezgalīgas analīzes operācijas var raksturot algebriski, bet bez neviena no naivuma, kas raksturoja iepriekšējās algebriskās pieejas.

Ševallija raksts ir vērtīgs mūsdienu matemātiķa avots par stila tēmu. Viņš pārliecinoši parāda atšķirību starp deviņpadsmitā gadsimta beigu analīzes aritmetizāciju un divdesmitā gadsimta sākuma aksiomātiski-algebrisko pieeju. Tomēr tam ir savi ierobežojumi. Stila jēdziens pats par sevi nav tematisks, un nav skaidrs, vai īpašās vēsturisko notikumu skaidrošanai sniegtās pazīmes varētu būt vispārīgi rīki citu pāreju analīzei matemātiskā stilā. Bet varbūt tam vajadzētu būt, ja kaut kas, būtu matemātikas filozofa uzdevums (sīkāku Čevallijas pieejas stila analīzi skat. Rabouin 2017).

5. Stila lokuss

Spāņu filozofs Havjers de Lorenzo grāmatā ar nosaukumu “Introducción al estilo matematico” (1971) mēģināja uzrakstīt matemātikas (protams, daļējas) vēsturi stila ziņā. Lai gan līdz 1971. gadam Gingera darbs, kas tiks apspriests 5. sadaļā, jau bija parādījies, de Lorenzo par to nezināja, un vienīgais avots par viņa izmantoto stilu ir Čivallija raksts. Patiešām, šī grāmata ir tikai Čevallija pētījuma turpinājums, iekļaujot daudz vairāk “stilu”, kas parādījušies matemātikas vēsturē. De Lorenzo izpētīto matemātisko stilu saraksts ir šāds:

  • Ģeometriskais stils;
  • Poētiskais stils;
  • Kossikas stils;
  • Dekarta-algebriskais stils;
  • Nedalāmo stils;
  • Darbības stils;
  • Epsilona stils;
  • Sintētiskie un analītiskie stili ģeometrijā;
  • Aksiomatisks stils;
  • Formālais stils.

Ģenerāldirektors ļoti atgādina Čevallija pieeju, un de Lorenzo grāmatā veltīgi izskatās, ka ir pietiekami raksturots, kāds ir stils. Ir taisnība, ka ir daži interesanti novērojumi par valodas lomu stila noteikšanā, taču trūkst vispārīgas filozofiskas analīzes. Tomēr ir jāuzsver svarīgs punkts attiecībā uz Čevallija un de Lorenzo attieksmi, kas, šķiet, norāda uz svarīgu “stila” lietošanas iezīmi matemātikā.

Savā dokumentā “De la catégorie de style en histoire des sciences” (Gayon 1996) un vēlākajā Gajonā 1999 Žans Gajons iepazīstina ar atšķirīgajiem “stila” lietojumiem zinātnes historiogrāfijā kā starp divām nometnēm (savā ziņā viņš seko Hacking 1992 šeit). Pirmkārt, tiek izmantots “zinātniskais stils” tiem, kas seko “vietējai zinātnes vēsturei”. Parasti šāda veida analīze koncentrējas uz “vietējām grupām vai skolām” vai “valstīm”. Piemēram, šāda veida vēsture mazina zināšanu universālo komponentu un uzsver grūtības, kas saistītas ar eksperimentu pārnešanu no viena konteksta uz otru. Tiek pierādīts, ka šādas grūtības ir atkarīgas no “vietējām” tradīcijām, kas ietver īpašas tehniskas un teorētiskas zināšanas, kuras ir “būtiskas, lai izveidotu, realizētu,un šo eksperimentu rezultātu analīze”(Corry 2004b) Otrkārt, tiek izmantots“zinātniskais stils”, kas ir parādīts tādos darbos kā Crombie 1994. gada“Zinātniskās domāšanas stili Eiropas tradīcijās”. Crombie uzskaita šādus zinātniskos stilus:

  1. postulācija aksiomātiskās matemātikas zinātnēs
  2. sarežģītu nosakāmo attiecību eksperimentāla izpēte un mērīšana
  3. hipotētiskā modelēšana
  4. pasūtot šķirni pēc salīdzināšanas un taksonomijas
  5. - populāciju statistiskā analīze un -
  6. ģenētiskās attīstības vēsturiskie atvasinājumi (citēts no Hacking 1996, 65)

Gajs piebilst, ka šo pēdējo jēdzienu “stils” varētu aizstāt ar “metodi” un ka “šeit apskatītajiem stiliem nav nekā kopīga ar vietējiem stiliem”. Viņš arī atzīmē, ka, runājot par vietējo stilu, grupas, kas darbojas kā socioloģisks atbalsts šādām analīzēm, ir vai nu “pētniecības grupas”, vai “tautas”. Nesenā eksperimentālo zinātņu vēsturē ir uzsvērti šādi vietējie faktori (skat., Piemēram, Gavroglu 1990. gadu par divu zemas temperatūras laboratoriju “argumentācijas stilu” - Dewar (Londona) un Kamerlingh Onnes (Leiden).)).

Matemātikas vēsturnieki tagad mēģina piemērot šādu historiogrāfisko pieeju arī tīrai matemātikai. Nesenais mēģinājums šajā virzienā ir Epple darbs “epistemisko konfigurāciju” izteiksmē, piemēram, viņa nesenais raksts par Aleksandra un Reidemeistera agrīno darbu mezglu teorijā (Epple 2004; bet skatīt arī Rowe 2003 un 2004, un Epple 2011). Šādu pētījumu atbalsta grupas netiek sauktas par “skolām”, bet drīzāk par “matemātiskām tradīcijām” vai “matemātiskām kultūrām”.

Kā ir ar “metodisko” jēdzienu à la Crombie? Vai matemātikas vēsturnieki to ir daudz izmantojuši? Neatkarīgi no neskaitāmajiem pirmā stila ārstēšanas veidiem (aksiomātiskā metode) šajā jomā nav daudz, bet interesants vēsturisks ieguldījums ir Goldsteina darbs pie Frenikula de Besija (2001). Viņa apgalvo, ka tīrai matemātikai, kā to praktizē Frenikuls de Besijs, bija daudz kopīga ar eksperimentālās zinātnes bakonu stilu. Varbūt šeit jāpiemin, ka eksperimentālā matemātika tagad ir ziedošs lauks, kurā drīz varētu atrast vēsturnieku (skat. Baker 2008 par eksperimentālās matemātikas filozofisko pārskatu un Sørensen 2016 par matemātisko kultūru analīzi). Šī parasti ir filozofu ļoti interesanta tēma, jo tā attiecas uz matemātiskās metodes jautājumiem. Problēmu var vienkārši izteikt šādi: papildus tam, ko Krombijs uzskaita kā metodisko stilu (a) [aksiomātiskais], kādus citus stilus izmanto matemātikas praksē? Corfield 2003 šo problēmu skar savas grāmatas “Ceļā uz“īstas”matemātikas filozofiju” ievadā, kad viņš, atsaucoties uz iepriekšminēto Krombiju sarakstu, saka:

Datorurķēšana apsveic Krombija iekļaušanu a) apakšpunktā kā “matemātikas atjaunošanu zinātnēs” (Datorurķēšana 1996) pēc loģisko pozitīvistu atdalīšanas un paplašina tā stilu skaitu līdz diviem, atzīstot indiāņu un arābu matemātikas algoritmisko stilu. Esmu apmierināts ar šo argumentāciju, it īpaši, ja tas neļauj matemātiku uzskatīt par darbību, kas pilnīgi atšķiras no jebkuras citas. Patiešām, matemātiķi iesaistās arī stilos (b) (sk. 3. nodaļu), c) un d) [7], un līdzīgi kā (e) matemātiķi šobrīd analizē Riemann zeta funkcijas nulles statistiku. (Corfield, 2003, 19)

7. piezīmē Korfils min Džona Tompsona komentāru, ka ierobežoto vienkāršo grupu klasifikācija ir taksonomijas vingrinājums.

Šīs esejas mērķis nav precīzi pievērsties plašajam jautājumu kopumam, kas izriet no iepriekšējām pēdiņām. Bet jāuzsver, ka šie jautājumi ir jauna un stimulējoša teritorija matemātikas aprakstošajai epistemoloģijai un ka šajā virzienā jau ir veikts kāds darbs (sk. Etcheverría 1996; van Bendegem 1998; Baker 2008).

Visbeidzot, kā salikt “vietējo” un “metodisko” stilu ar to, kas atrodams Ševallijā un de Lorenzo? Matemātikas gadījumā ir pamatoti pierādījumi tam, ka dabiskākais “stilu” lokuss ir, starp citu, starp šīm divām kategorijām. Patiešām, matemātiskie stili lielākoties pārsniedz jebkuru vietējo sabiedrību, kas definēta vienkāršākos socioloģiskos terminos (tautība, tieša dalība skolā utt.), Un ir tāda, ka atbalsta grupu var raksturot tikai ar īpašu izmeklēšanas metodi. No otras puses, šī metode nav tik universāla, lai būtu identificējama kā viena no sešām metodēm, kuras aprakstījis Krombijs vai paplašinātajā sarakstā, kuru devis Hačings. Šeit ir daži iespējamie piemēri, kad katrai pozīcijai pievienotie nosaukumi nedrīkst maldināt lasītāju domāt, ka viens attiecas tikai uz “individuāliem” stiliem.

  1. Tiešie vai netiešie paņēmieni ģeometrijā (Cavalieri un Torricelli vs Archimedes)
  2. Algebriskās un ģeometriskās pieejas analīzē septiņpadsmitajā un astoņpadsmitajā gadsimtā (Eulers pret Maklaurinu)
  3. Ģeometriskās un analītiskās pieejas sarežģītā analīzē deviņpadsmitajā gadsimtā (Riemann vs Weierstrass)
  4. Konceptuālās un skaitļošanas pieejas algebrisko skaitļu teorijā (Dedekind vs. Kronecker)
  5. strukturālie vs intuitīvie stili algebriskajā ģeometrijā (vācu skola pret itāļu skolu)

Protams, var vienkārši būt, ka arī vēsturē un zinātnes filozofijā ir “starpposma” stila līmeņi, piemēram, šeit aprakstītie (viens piemērs, kas nāk prātā, ir “ņūtoniešu stils” matemātiskajā fizikā), bet fakts, ka Žans Gejons tos neatklāja kā centrālos, šķiet, norāda uz faktu, ka situācija vēsturē un matemātikas filozofijā ir diezgan atšķirīga, jo šie “starpposma” stili ir tie, par kuriem ir padziļināti diskutēts un kas atbilst analizētajiem stiliem autori Švallijs un de Lorenzo. Turklāt diskusijas par vietējām matemātiskajām kultūrām mēdz iztikt bez stila jēdziena.

6. Ceļā uz stila epistemoloģiju

Stila epistemoloģijas problēmu var aptuveni izteikt šādi. Vai matemātiskajā diskursā esošajiem stilistiskajiem elementiem nav kognitīvas vērtības un tātad tikai daļa no matemātiskā diskursa krāsojuma ir raksturīgi vai arī tos var uzskatīt par ciešāk saistītiem ar tā izziņas saturu? Krāsošanas jēdziens šeit nāk no Frege, kurš “Domā” nošķīra paziņojuma patiesības stāvokli no tiem apgalvojuma aspektiem, kas varētu sniegt informāciju par runātāja vai klausītāja prāta stāvokli, bet neveicina tā patiesības nosacījumus. Dabiskajā valodā tipiski krāsošanas elementi ir nožēlas izpausmes, piemēram, “diemžēl”. “Diemžēl snigs” ir tādi paši patiesības apstākļi kā “snigs”, un pirmajā teikumā “diemžēl” ir tikai daļa no krāsojuma. Žaks un Monika Dubuči šo atšķirību ir vispārinājuši pierādījumos dokumentā “La couleur des preuves” (Dubucs and Dubucs 1994), kur viņi risina “matemātikas retorikas” problēmu, diezgan tuvu stila analīzes problēmai. Pārrunājot tradicionālo retoriku par “atlikumu”, jo tajā tiek ņemtas vērā tikai tādas izziņas nenozīmīgas parādības kā matemātiskā teksta rotājumi utt., Bet objekts (piemēram, demonstrācijas saturs) tiek atstāts neskarts, viņi izpētīja iespējas vērienīgāka “matemātikas retorika”.tā kā tajā tiek ņemtas vērā tikai tādas parādības, kurām nav kognitīvas nozīmes, piemēram, matemātiskā teksta rotājumi utt., bet objekts (piemēram, demonstrācijas saturs) paliek neskarts, viņi izpētīja iespējas vērienīgākai “matemātikas retorikai”.tā kā tajā tiek ņemtas vērā tikai tādas parādības, kurām nav kognitīvas nozīmes, piemēram, matemātiskā teksta rotājumi utt., bet objekts (piemēram, demonstrācijas saturs) paliek neskarts, viņi izpētīja iespējas vērienīgākai “matemātikas retorikai”.

Tādējādi var sākt formulēt pirmo nostāju, kuru var aizstāvēt, ņemot vērā stila epistemoloģisko nozīmi. Tā ir pozīcija, kas noliedz stilam jebkādu būtisku izziņas lomu un samazina to līdz subjektīvās krāsošanās parādībai. Saskaņā ar šo nostāju stilistiskās variācijas atklātu tikai virspusējas izteiksmes atšķirības, kas diskursa saturu neskar.

Literatūrā ir aizstāvētas vēl divas vērienīgas nostājas par stila izziņas saturu. Pirmais, šķiet, ir savietojams ar matemātikas platonismu vai reālismu, turpretim otrais tam noteikti ir pretstats. Tiek pieminēti divi galvenie literatūrā pieejamie priekšlikumi, proti, Grangera 1968. gada un Hakera 1992. gada priekšlikumi, kas tagad tiks īsi aprakstīti.

Gingera eseja par stila filozofiju (Essai d'une philosophie du style 1968) ir sistemātiskākais un pamatīgākais darbs, lai izstrādātu stila teoriju matemātikā. Gingera programma ir tik ambicioza un bagāta, ka padziļinātai diskusijai par viņa grāmatas struktūru un detalizētajām analīzēm būtu nepieciešams pats dokuments. Vietas ierobežotības dēļ šeit mērķis ir sniegt tikai aptuvenu priekšstatu par projekta saturu un parādīt, ka Gangera aizstāvētā stila epistemoloģiskā loma ir savietojama ar reālismu par matemātiskām vienībām vai struktūrām.

Gingera mērķis ir sniegt “zinātniskās prakses” analīzi. Viņš definē praksi kā “darbību, kas tiek apskatīta tās sarežģītajā kontekstā, un jo īpaši ar sociālajiem apstākļiem, kas tai piešķir nozīmi efektīvi pieredzētā pasaulē (vécu)” (1968, 6). Zinātne, ko viņš definē kā “abstraktu, konsekventu un efektīvu parādību modeļu konstruēšanu” (13). Tādējādi zinātniskajā praksē ir gan “universālie”, gan “vispārējie” komponenti, gan “individuālie” komponenti. Zinātniskās prakses analīzei nepieciešami vismaz trīs pētījumu veidi:

  1. Ir daudzi veidi, kā, izmantojot modeļus, strukturēt noteiktu parādību; un tos pašus modeļus var izmantot dažādām parādībām. Turklāt zinātniskās konstrukcijas, ieskaitot matemātiskās, atklāj zināmu “strukturālo vienotību”. Abi šie aspekti būs stilistiskās analīzes tēma.
  2. Otrais pētījums attiecas uz “zinātnisko raksturojumu”, kura mērķis ir izpētīt psiholoģiskos komponentus, kas ir svarīgi zinātniskās prakses individualizācijā;
  3. Trešais pētījums attiecas uz zinātniskās jaunrades “neparedzamības” izpēti, kas vienmēr atrodas telpā un laikā.

Visi trīs aspekti būtu nepieciešami “zinātniskās prakses” analīzei, bet savā grāmatā Grangers pievērš uzmanību tikai 1. Kur ir stils un matemātika? Matemātika ir viena no izpētes jomām, kurai var pakļaut zinātnes stilistisko analīzi (Gingera grāmata piedāvā pielietojumu ne tikai matemātikā, bet arī valodniecībā un sociālajās zinātnēs). Kas par stilu? Katru sociālo praksi, pēc Gingera teiktā, var izpētīt no stila viedokļa. Tas ietver politisko darbību, māksliniecisko jaunradi un zinātnisko darbību. Tādējādi pastāv vispārēja stilistika, kas mēģinās aptvert vispārīgākās šādu darbību stilistiskās iezīmes un pēc tam vairāk “lokālas” stilistiskās analīzes, piemēram, tādu, ko Grangers nodrošina zinātniskām darbībām. Acīmredzotšeit minētajam stila jēdzienam ir jābūt daudz aptverošākam nekā tas, kas parasti tiek asociēts ar šo terminu, un tas patiešām jāpiemēro tādām jomām kā politiskā darbība vai zinātniskā darbība ne tikai metaforiski, bet drīzāk “uzmundrinoši” šādām darbībām.

Gingera matemātiskā stila analīze aizņem viņa grāmatas 2., 3. un 4. nodaļu. 2. nodaļā apskatīts Eiklīda stils un lieluma jēdziens; 3. nodaļa ar iebildumiem starp “Dekarta stilu un Desarguian stilu” (par Dekarta stilu skat. arī Rabouin 2017); visbeidzot, 4. nodaļa attiecas uz “vektora stila rašanos”. Visas šīs analīzes koncentrējas uz “ģeometriskā lieluma” jēdzienu.

Labi izjūt, kas ir Grīgers pēc tam, vienkārši apskatot piemēru, ko viņš apraksta savā priekšvārdā. Šis ir piemērs attiecībā uz sarežģītajiem skaitļiem.

Pēc Grendžera teiktā, stils ir veids, kā uzspiest struktūru kādai pieredzei. Šeit ir jāpieņem pieredze, kas pārsniedz empīrisko pieredzi. Parasti tāda veida pieredze, kā matemātiķis pieprasa, nav empīriska. No šīs pieredzes nāk “intuitīvie” komponenti, kas strukturēti matemātiskajā darbībā. Bet nevajadzētu domāt, ka pastāv “intuīcija”, kurai, tāpat kā ārēji, ir piemērojama forma. Matemātiskā darbība vienlaikus rada formu un saturu noteiktas pieredzes fona apstākļos.

Stils mums šeit parādās, no vienas puses, kā veids, kā ieviest teorijas jēdzienus, tos savienot, apvienot; un, no otras puses, kā veids, kā norobežot to, kāda intuīcija veicina šo jēdzienu noteikšanu. (Grendgers 1968, 20)

Kā piemēru Grangers sniedz trīs veidus, kā ieviest sarežģītos numurus; visos trīs veidos tiek ņemtas vērā struktūras īpašības, kas raksturo attiecīgo algebrisko struktūru. Pirmais veids ievieš sarežģītos skaitļus, izmantojot trigonometrisko attēlojumu, izmantojot leņķus un virzienus. Otrais tos iepazīstina ar operatoriem, kurus piemēro vektoriem. Pirmajā gadījumā komplekso skaitli definē kā reālo skaitļu pāri, un tad piedevu īpašības ir tūlītējas. Turpretī otrajā gadījumā uzreiz tiek izmantotas multiplikatīvās īpašības. Bet tas ir trešais veids, kā arī ar parasto kvadrātveida matricu palīdzību var ievadīt sarežģītus skaitļus. Tas liek redzēt sarežģītos skaitļus kā polinomu sistēmu x modulo x 2 +1.

Šie dažādie veidi, kā aptvert jēdzienu, integrēt to operatīvajā sistēmā un saistīt to ar dažām intuitīvām sekām, no kurām būs precīzi jānosaka robežas, veido to, ko mēs saucam par stila aspektiem. Ir acīmredzams, ka šeit netiek ietekmēts jēdziena strukturālais saturs, ka jēdziens qua matemātiskais objekts eksistē identiski caur šiem stila efektiem. Tomēr ne vienmēr tā ir, un mēs sastapsimies ar stilistiskām pozīcijām, kas prasa patiesas konceptuālas variācijas. Jebkurā gadījumā vienmēr mainās jēdziena orientācija uz šo vai citu lietojumu, šo vai citu paplašinājumu. Tādējādi stilam ir loma, kas, iespējams, ir būtiska gan attiecībā uz matemātikas iekšējās attīstības dialektiku, gan attiecībā uz tā saistību ar konkrētāku objektu pasaulēm. (Grendgers 1968, 21).

Tādējādi Gingera teorijā matemātiskie stili ir prezentācijas veidi vai matemātisko struktūru satveršanas veidi. Vismaz dažos gadījumos šī stila ietekme neietekmē matemātiskos objektus vai struktūras, lai gan tie ietekmēs izziņas režīmu, kurā tie tiek uztverti, tādējādi ietekmējot to, kā tos var paplašināt, piemērot dažādās jomās utt. Kaut arī Grangers varētu būt simpatizējot kantiānismam bez pārpasaulīga priekšmeta un tādējādi domājot par stilu kā konstitutīvu, šķiet, ka viņa nostāja ir vismaz saderīga ar reālisma formu par matemātiskām vienībām. Šķiet, ka tas nav gadījumā, ja tiek apspriesta trešā un pēdējā epistemoloģiskā nostāja, kuras iemesls ir Ians Hačings.

Kā jau tika norādīts iepriekš, Hacking, sekojot Crombie, ir ierosinājis izpētīt stila jēdzienu kā “jaunu analītisko instrumentu” vēstures un zinātnes filozofijas jomā. Viņš dod priekšroku runāt par spriešanas stiliem (sk. Arī Mancosu 2005) pretstatā Fleka domāšanas stiliem vai Krombija domāšanas stiliem (pēdējais viņa priekšroka ir runāt par “zinātniskās domāšanas un darīšanas stilu”; Datorurķēšanas programmu rakstīšanas laikā sk. Kusch 2010 un speciālo pētījumu par vēstures un zinātnes filozofijas studijām (2012. gada 43. izdevums), ieskaitot Datorurķēšanu 2012. gadā un vairākus citus ieguldījumus. Iemesls ir tas, ka Hacking vēlas attālināties no spriešanas psiholoģiskā līmeņa un strādāt ar vairāk “objektīvu” argumentu līmeni. Viņš skaidri definē savu projektu kā Kanta projekta turpinājumu, kura mērķis ir izskaidrot objektivitātes iespējamību. Hakena nostāja patiešām noraida reālismu un uzņemas stilistiski spēcīgu lomu. Pēc Hačinga domām, stilus nosaka nepieciešamo nosacījumu kopums (viņš neprātīgi nemēģina radīt pietiekamus nosacījumus):

Pirms spriešanas stila izstrādes nav ne teikumu, kas kandidētu uz patiesību, ne patstāvīgi identificētu objektu, par kuriem vajadzētu būt pareiziem. Katrs argumentācijas stils ievieš ļoti daudz jaunumu, ieskaitot jaunus veidus: Objekti; pierādījumi; teikumi, jauni veidi, kā kandidēt uz patiesību vai nepatiesību; likumus vai katrā ziņā kārtību; iespējas. Reizēm vajadzētu arī pamanīt jaunus klasifikācijas veidus un jaunus skaidrojumu veidus. (Datorurķēšana 1992, 11)

Jāsaprot, ka šis stila jēdziens, tāpat kā Gingera teiktais, piešķir stilam ļoti nozīmīgu lomu, lai pamatotu visas zinātniskās darbības jomas objektivitāti, bet atšķirībā no Gingera jēdziena ontoloģiski tas ir paredzēts reālisma noraidīšanai. Stiliem ir būtiska nozīme matemātisko objektu izveidē, un pēdējiem nav no tiem neatkarīgas eksistences formas. Datorurķēšana nav plaši apspriedusi matemātikas vēstures gadījumu izpēti, kaut arī viens no viņa dokumentiem (Datorurķēšana 1995) aplūko četrus matemātikas konstruktīvisma attēlus (vārds “konstruktīvisms” ir aizgūts no Nelsona Gudmena) un parāda, cik labi tie saskan ar viņa attēlu “domāšanas stili”. Nepārprotami ir arī skaidrs, ka stingrāk izpildītas reālistiskas pozīcijas nederēs Hekinga argumentācijas stila pārskatam.

Tādējādi ir apskatīti trīs iespējamie modeļi “stilu” epistemoloģiskās lomas skaidrošanai matemātikā. Noteikti ir vēl vairākas iespējamās pozīcijas, kuras gaida, lai varētu izteikties, bet pagaidām tas ir viss, kas atrodams literatūrā.

7. Secinājums

Kā sākumā tika norādīts, matemātiskā stila tēma nav viena no matemātikas filozofijas kanoniskajām izpētes jomām. Patiešām, šis ieraksts ir pirmais mēģinājums vienā dokumentā iekļaut daudzveidīgos ieguldījumus šajā tēmā. Neskatoties uz to, jau tagad vajadzētu būt skaidram, ka mūsdienu filozofiskajā darbībā ir pārdomas par matemātisko stilu un to ir vērts uztvert nopietni. Bet darbs vēl tikai sākas. Vajadzīgi vēl daudz matemātisko stilu gadījuma pētījumi un skaidrāks epistemoloģisko un ontoloģisko seku formulējums, ko rada dažādas stila konceptualizācijas. Turklāt gribētos redzēt visa šī darba labāku integrāciju ar darbu pie kognitīvajiem stiliem, kas atrodams kognitīvajā psiholoģijā un matemātiskajā izglītībā. Visbeidzot, parastie filozofiskie kastaņi,piemēram, formas un satura attiecības ar stilu, kā arī stila saistība ar normatīvismu un nodomu (ļoti labu diskusiju par šādām tēmām estētikā skat. Meskins 2005).

Bibliogrāfija

  • Beikers, A., 2008, “Eksperimentālā matemātika”, Erkenntnis, 68: 331–344.
  • Bense, M., 1946, Konturen einer Geistesgeschichte der Mathematik. Die Mathematik und die Wissenschaften, Hamburga: Claassen & Goverts. Tagad Max Bense, Ausgewählte Schriften, Band 2, Philosophie der Mathematik, Naturwissenschaft und Technik, Weimar: Verlag JB Metzler, Stuttgart, 1998 (sk. 2. sadaļu “Stilgeschichte in der Mathematik”).
  • –––, 1949. gads, Konturen einer Geistesgeschichte der Mathematik. II. Die Mathematik in der Kunst, Hamburga: Claassen & Goverts. Tagad Max Bense, Ausgewählte Schriften, Band 2, Philosophie der Mathematik, Naturwissenschaft und Technik, Weimar: Verlag JB Metzler, Stuttgart, 1998 (sk. 1. sadaļu “Zum Begriff des Stils”).
  • Bieberbach, L., 1934a, Kurzreferat, Forschungen und Fortschritte, 10: 235–237.
  • –––, 1934. g., “Persönlichkeitsstruktur undhematisches Schaffen”, Unterrichtblätter für Mathematik und Naturwissenschaften, 40: 236–243.
  • –––, 1934. g., “Stilarten MATEMISchen Schaffens”, Sitzungsbericht der preußischen Akademie der Wissenschaften, 351–360.
  • Borromeo Ferri, R., 2005, Mathematische Denkstile. Ergebnisse einer empirische Studie, Hildesheim: Verlag Franzbecker.
  • Bottazzini, U., 2001, “No Parīzes līdz Berlīnei: deviņpadsmitā gadsimta matemātikas kontrasti attēli”, U. Bottazzini, A. Dahan Dalmedico, (red.), 2001, 31. – 47. Lpp.
  • Bottazzini, U., un Dahan Dalmedico, A., (red.), 2001, Changing Images of Mathematics, London: Routledge.
  • Brigaglia, A., 2001, “Nacionālo skolu izveidošana un noturība: itāļu algebriskās ģeometrijas piemērs”, U. Bottazzini, A. Dahan Dalmedico, (red.), 2001, 187. – 206. Lpp.
  • Casnati, G., et al. (red.), 2016, No klasiskās līdz mūsdienu algebriskajai ģeometrijai. Corrado Segre meistarība un mantojums, Cham: Birkhäuser.
  • Cavalieri, B., 1635, Geometria Indivisibilibus Continuorum Nova Quadam Ratione Promota, Boloņa: Clemente Ferroni.
  • Chasles, M., 1837, Aperçu Historique sur l'Origine et le Développement des Méthodes en Géométrie, Bruxelles: M. Hayez.
  • Čevallijs, C., 1935. gads, “Varianti du style mathématique”, Revue de Metaphysique et de Morale, 3: 375–384.
  • Koens, IB, 1992, “Principija, universālā gravitācija un“Ņūtona stils”saistībā ar Ņūtona zinātnes revolūciju”, Behlers, Z., (red.), Mūsdienu Ņūtona pētījumi, Dordrehts: Reidels, lpp. 21–108.
  • Corfield, D., 2003, Ceļā uz “reālās” matemātikas filozofiju, Kembridža: Cambridge University Press.
  • Corry, L., 2004a, Mūsdienu algebra un matemātiskās struktūras pieaugums, Bāzele: Birkhäuser; 2. izdevums.
  • Corry, L., 2004b, “Ievads”, Zinātne kontekstā, 17: 1–22.
  • Crombie, A., 1994, Zinātniskās domāšanas stili Eiropas tradīcijās, Londona: Duckworth.
  • de Gandt, F., 1986, “Le style mathématique des“Principia”de Newton”, Revue d'Histoire des Sciences, 39 (3): 195–222.
  • de Lorenzo, J., 1971, Introducción al estilo matematico, Madrid: Tecnos redakcija.
  • Dhombres, J., 1993, La figūra ir kļuvusi par diskomforta modeli: stila falangas, Nante: Nantes Université.
  • Dubucs, J. and Dubucs, M., 1994, “La couleur des preuves”, V. de Coorebyter, (ed.), Struktūrzinātnes un zinātne, Parīze: PUF, 231. – 249. Lpp.
  • Duhems, P., 1915. gads, La Science Allemande, Parīze: Hermans. Tulkojums angļu valodā: vācu zinātne, Čikāga: Carus Publishing, 2000.
  • Edvards, HM, 1987, “Dedekind's's idea of idea”., Phillips, E., Pētījumi matemātikas vēsturē, Vašingtona: Amerikas matemātikas asociācija, 8. – 20. Lpp.
  • Elwick, J., 2007, Spriešanas stili Lielbritānijas dzīvības zinātnēs: kopīgi pieņēmumi, 1820–1858, Londona: Pickering & Chatto.
  • Epple, M., 1997, "Stili argumentācijas, kas 19. vēlu th gadsimta ģeometrija un struktūra matemātisko mūsdienīguma", jo M. Otte un M. Panza (eds.), Analīzes un sintēzes matemātikā, Dordrecht: Kluwer, pp 177–198.
  • –––, 2004, “Mezglu invarianti Vīnē un Prinstonā 1920. gados: matemātisko pētījumu epistēmiskās konfigurācijas”, Science in Context, 17: 131–164.
  • –––, 2011, “Starp mūžīgo un vēsturiskumu: par matemātikas epistemisko objektu dinamiku”, Isis, 102: 481–493.
  • Etcheverría, J., 1996, “Empīriskās metodes matemātikā. Gadījuma izpēte: Goldbaha minējumi”, G. Munēvarā (red.), Spānijas pētījumi zinātnes filozofijā, Dordrehta: Kluvers, 19. – 55. Lpp.
  • Fleck, L., 1935, Entstehung und Entwicklung einer wissenschaftlichen Tatsache. Einführung in die Lehre vom Denkstil und Denkkollektiv, Bāzele: Schwabe. Tulkojums angļu valodā: Genesis and a Science of Science (angļu valodā tulkojis Frederiks Bredlijs), Čikāga: University of Chicago Press, 1979. gads.
  • Fleckenstein, JO, 1955, “Stilprobleme des Barock bei der Entdeckung der Infinitesimalrechnung”, Studium Generale, 8: 159–166.
  • Freudenthal, H., 1975, Matemātika kā izglītības uzdevums, Dordrecht: Reidel.
  • Gavroglu, K., 1990, “Stila atšķirības kā veids, kā pārbaudīt atklājuma kontekstu”, Filozofija, 45: 53–75.
  • Gajons, Dž., 1996, “De la catégorie de style en histoire des sciences”, Alliage, 26: 13–25.
  • –––, 1998. gads, J. Dejons, et al., “De l'usage de la ideal et des de en en de histores des sciences”. (red.), La Rhétorique: Enjeux de ses Résurgences, Bruxelles: OUSIA, 162. – 181. lpp.
  • Goldstein, C., 2001, “L'expérience des nombres de Bernard Frenicle de Bessy”, Revue de Synthèse, 122: 425–454.
  • Gingera, GG, 1968. gads, Essai d'une filozofijas stils, Parīze: Armands Kolins, pārpublicēts ar Parīzes labojumiem: Odīla Jēkaba.
  • –––, 2003, “Le style mathématique de l'Académie platonicienne”, GG Granger, Philosophie, Langage, Science, Les Ulis: EDP Science, 267. – 294. Lpp.
  • Grejs, Dž., 2008, Platona spoks: Matemātikas modernistiskā transformācija, Prinstona: Princeton University Press.
  • Datorurķēšana, I., 1992. gads, “Vēsturnieku un filozofu“stils”, Vēstures un zinātnes filozofijas pētījumi, 23: 1–20.
  • ––– 1995. g., “Immagini radikalisti costruzionaliste del progresso matematico”, A. Pagnini, Realismo / Antirealismo, Firenze: La Nuova Italia, 59. – 92. Lpp.
  • –––, 1996, “Zinātnes atšėirības”, P. Galisons un D. Stūps, “Zinātnes atšėirības: robežas, konteksts un vara”, Stenforda: Stanford University Press, 37. – 74. Lpp.
  • –––, 2002, Vēsturiskā ontoloģija, Kembridža, MA: Harvard University Press.
  • –––, 2012, “Valoda, patiesība un iemesls” pēc 30 gadiem”, Vēstures un zinātnes filozofijas pētījumi, 43: 599–609.
  • Harwood, J., 1993, Zinātniskās domas stili - vācu ģenētikas kopiena, 1900–1933, Čikāga: The University of Chicago Press.
  • Høyrup, J., 2005, “Tertium non datur: par spriešanas stiliem agrīnā matemātikā”, P. Mancosu et al. (red.), Vizualizācija, skaidrojums un pamatojuma stili matemātikā, Dordrecht: Springer, 91. – 121. lpp.
  • Katz, S., 2004, “Berlīnes saknes - cionistu iemiesojums: tīras matemātikas ētika un Jeruzalemes ebreju universitātes Einšteina matemātikas institūta sākums”, Science in Context, 17: 199–234.
  • Kleins, F., 1924. gads, Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus. Erster Band. Arithmetik, algebra, analīze, 3 rd izdevums, Berlīne: Julius Springer.
  • Kleinerts, A., 1978. gads, “Von der Science Allemande zur Deutschen Physik”, Forschungen zur westeuropäischer Geschichte, 6: 509–525.
  • Kušs, M., 2010, “Datorurķēšanas vēsturiskā epistemoloģija: argumentācijas stilu kritika”, Pētījumi vēstures un zinātnes filozofijas pētījumos, 41: 158–173.
  • Kwa, C., 2012, “Ekoloģisks” skatījums uz zinātnes un mākslas stiliem: Aloisa Rigla stila jēdziena izpēte”, Pētījumi vēstures un zinātnes filozofijas pētījumos, 43: 610–618.
  • Larvor, B. (ed.), 2016, Mathematical Cultures. Londonas sapulces 2012. – 2014. Gadā, Cham: Birkhäuser.
  • Laugwitz, D., 1993, Zur Genese des Denkens matemātikā Begriffen: Bernhard Riemanns neir Stil in der Analysis, Darmštate.
  • Leibnica, GW, 1701. gads, “Mémoire de Leibniz kunga pieskāriena dēla sentiments par le calcul différentiel”, Vēstnesis de Trévoux, 270–272. Pārpublicēts GW Leibniz, Mathematische Schriften (edited by CI Gerhardt), Hildesheim: Georg Olms, 1962, vol. IV, 95. – 96.
  • Maienschein, J., 1991, “Epistemic Styles in German and American Embryology”, Science in Context, 4: 407–427.
  • Mancosu, P. (ed.), 1998, No Brouwer līdz Hilbert, New York and Oxford: Oxford University Press.
  • Mancosu, P., et al. (red.), 2005, Vizualizācija, skaidrojums un pamatojuma stili matemātikā, Dordrecht: Springer.
  • Manheims, K., 1929. gads, Ideologie und Utopie, Bonna: F. Koens. Tulkojums angļu valodā: Ideoloģija un utopija: ievads zināšanu socioloģijā, Ņujorka: Harcourt, Brace, and World, 1968.
  • Mehrtens, H., 1987, “Ludwig Bieberbach and 'Deutsche Mathematik'”, ER Philipps, Pētījumi matemātikas vēsturē, Vašingtona: Amerikas matemātikas asociācija, 195. – 241. Lpp.
  • –––, 1990. gads, “Der französische Stil und der deutsche Stil. Nationalismus, Nationalsozialismus und Mathematik, 1900–1940”, Y. Cohen un K. Manfrass (red.), Frankreich and Deutschland: Forschung, Technologie und industrielle Entwicklung im 19. und 20. Jahrhundert, Munich: CH Beck.
  • –––, 1990b, Moderne, Sprache, Mathematik, Frankfurte: Suhrkamp.
  • –––, 1996, “Modernisms vs pretmodernisms, nacionālisms pret internacionālismu: stils un politika matemātikā, 1900–1950”, C. Goldstein et al. (red.), L'Europe Mathématique. Histoires, Mythes, Identités, Éditions de la Maison de Sciences de l'Homme, Parīze, 519. – 530. Lpp.
  • Meskin, A., 2005, "Style", kas B. podagra un DM Lopes (eds.), The Routledge Companion estētikai, 2 nd izdevums, London: Routledge, pp 489-500..
  • Netz, R., 1999, atskaitīšanas veidošana grieķu matemātikā, Kembridža: Cambridge University Press.
  • Novy, L., 1981, “Piezīmes par Bolcāno matemātiskās domāšanas stilu”, Acta Historiae Rerum Naturalium, citur neklasificēts, nevis Technicarum, 16: 9–28.
  • Nye, MJ, 1993, “Nacionālie stili? Franču un angļu ķīmija deviņpadsmitajā un divdesmitā gadsimta sākumā”, Osiris, 8: 30–49.
  • Panofsky, E., 1924, Ideja, Berlīne: Erwins Panofsky und Bruno Hessling Verlag. Tulkojums angļu valodā: Idea, Ņujorka: Harper and Row, 1968.
  • Peckhaus, V., 2007, “Stilarten Mathematicschen Schaffens”, K. Robering (ed.), “Stil” den Wissenschaften, Münster: Nodus-Verlag, 39. – 49. Lpp.
  • JH Poincaré, 1905, La Valeur de la Science, Parīze: Flammarions. Tulkojums angļu valodā: Zinātnes vērtība, Ņujorka: Dover Publications, 1958.
  • Rabouin, D., 2017, “Stili matemātiskajā praksē”, K. Chemla un E. Fox-Keller (red.), Kultūras bez kulturālisma zinātnisko zināšanu iegūšanā, Durham: Duke University Press, 262. – 306. Lpp..
  • Reck, E., 2009, “Dedekinditāte, strukturālā spriešana un matemātiskā izpratne”, B. van Kerkovā (ed.), New Mathematical on Practice, Singapore: WSPC Press, 150. – 173. Lpp.
  • Riding, R., 2000, “Kognitīvais stils: pārskats”, RJ Riding un SG Rayner, Starptautiskās individuālo atšķirību perspektīvas, sēj. 1, Kognitīvie stili, Stamforda (CT): Ablex, 315–344. Lpp
  • Rowe, D., 2003, “Matemātiskās skolas, kopienas un tīkli”, Kembridžas zinātnes vēsturē, sēj. 5, Mūsdienu fizikālās un matemātiskās zinātnes, Mary Jo Nye (ed.), Kembridža: Cambridge University Press, 113. – 132. Lpp.
  • –––, 2004, “Matemātikas veidošana mutvārdu kultūrā: Getingene Kleina un Hilberta laikmetā”, Zinātne kontekstā, 17: 85–129.
  • Sauerländer, W., 1983, “No stila līdz stilam: pārdomas par jēdziena likteni”, mākslas vēsture, 6 (3): 253–270.
  • Segals, S., 2003, Matemātiķi nacistu pakļautībā, Prinstona: Princeton University Press.
  • Sørensen, HK, 2016, ““Pierādīšanas beigas”? Dažādu matemātisko kultūru integrācija kā eksperimentālā matemātika nāk no vecuma”, B. Larvor (ed.), Mathematical Cultures. Londonas sanāksmes no 2012. līdz 2014. gadam, Cham: Birkhäuser, 2016, 139. – 160. Lpp.
  • Špenglers, O., 1918 (1921) Der Untergang des Abenlandes, Vīne: Verlag Braumüller. Tulkojums angļu valodā: Deklarācija par rietumiem: forma un aktualitāte, 2 v., Londona: Allens un Unvins.
  • Šternbergs, RJ un Grigorenko, EL, 2001, “Kapsulas teorijas un stilu izpētes vēsture”, Šternbergs un Džans 2001, 1. – 22. Lpp.
  • Šternbergs, RJ un Džans, LF (red.), 2001, Domāšanas, mācīšanās un izziņas stila perspektīvas, Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.
  • Tappenden, J., 2005, “Pārbaudes stils un izpratne matemātikā I: vizualizācija, apvienošana un aksiomu izvēle”, Mancosu 2005, 147. – 214. Lpp.
  • van Bendegem, JP, 1998, “Kas, ja kas, ir eksperiments matemātikā?”, Anapolitanos, D. et al. (Red.), Filozofija un daudzās zinātnes sejas, Lanham: Rowman and Littlefeld, 172. – 182. lpp.
  • Veiss, EA, 1939. gads, “Über denhematischen Stil von Poncelet”, Deutsche Mathematik, 4: 126–127.
  • Wessely, A., 1991, “stila” pārnešana no mākslas vēstures uz zinātnes vēsturi”, Science in Context, 4: 265–278.
  • Wisan, W., 1981, “Galileo un jauna zinātniskā stila rašanās”, Theory Change, Anxi Axiomatics and Galileo's Methodology, Vol. 1, J. Hintikka, D. Gruender un E. Agazzi (red.), Dordrecht: Reidel, 311. – 339.

Akadēmiskie rīki

sep cilvēks ikona
sep cilvēks ikona
Kā citēt šo ierakstu.
sep cilvēks ikona
sep cilvēks ikona
Priekšskatiet šī ieraksta PDF versiju vietnē SEP Friends.
inpho ikona
inpho ikona
Uzmeklējiet šo ierakstu tēmu interneta filozofijas ontoloģijas projektā (InPhO).
phil papīru ikona
phil papīru ikona
Uzlabota šī ieraksta bibliogrāfija vietnē PhilPapers ar saitēm uz tā datu bāzi.

Citi interneta resursi

[Lūdzu, sazinieties ar autoru ar ieteikumiem.]