Provability Logic

Satura rādītājs:

Provability Logic
Provability Logic

Video: Provability Logic

Video: Provability Logic
Video: Provability Logic and Modalised Fixed Points 2024, Marts
Anonim

Ieejas navigācija

  • Iestāšanās saturs
  • Bibliogrāfija
  • Akadēmiskie rīki
  • Draugu PDF priekšskatījums
  • Informācija par autoru un atsauce
  • Atpakaļ uz augšu

Provability Logic

Pirmoreiz publicēts trešdien, 2003. gada 2. aprīlī; būtiska pārskatīšana Wed 2017. gada 5. aprīlī

Pārliecinātības loģika ir modāla loģika, kuru izmanto, lai izpētītu, ko aritmētiskās teorijas var izteikt ierobežotā valodā par to prevadences predikātu. Loģiku ir iedvesmojuši tādi jauninājumi metamatemātikā kā Gēdela 1931. gada nepabeigtības teorēmas un 1953. gada Löba teorēma. Kā modālā loģika pierādāmības loģika ir pētīta kopš septiņdesmito gadu sākuma, un tai ir bijusi liela nozīme matemātikas pamatos.

No filozofiskā viedokļa provability loģika ir interesanta, jo provability jēdzienam fiksētā aritmētikas teorijā ir unikāla un neproblemātiska nozīme, izņemot tādus jēdzienus kā nepieciešamība un zināšanas, kas pētītas modālajā un epistemiskajā loģikā. Turklāt pierādāmības loģika nodrošina instrumentus paš atsauces jēdziena izpētei.

  • 1. Provability loģikas vēsture
  • 2. Piedāvājuma provalabitātes loģikas aksiomu sistēma

    • 2.1. Aksiomas un noteikumi
    • 2.2. Fiksētā punkta teorēma
  • 3. Iespējamā pasaules semantika un topoloģiskā semantika

    • 3.1. Raksturojums un modālā pamatotība
    • 3.2. Modālais pilnīgums
    • 3.3. Pilnīgas nepilnības
    • 3.4. Izveidojamības loģikas topoloģiskā semantika
  • 4. Izmērojamības loģika un Peano aritmētika

    • 4.1 Aritmētiskā pamatotība
    • 4.2 Aritmētiskais pilnīgums
  • 5. Pārbaudāmības loģikas tvērums

    • 5.1. Robežas
    • 5.2. Interpretācijas loģika
    • 5.3 Propozicionālie skaitļi
    • 5.4. Japaridzes bimodālās un polimodālās provabilitātes loģika
    • Prognozējamības loģika
    • 5.6. Citi vispārinājumi
  • 6. Filozofiskā nozīme
  • Bibliogrāfija
  • Akadēmiskie rīki
  • Citi interneta resursi

    • Referāti un prezentācijas
    • Citas vietnes
  • Saistītie ieraksti

1. Provability loģikas vēsture

Divi pētījumu virzieni ir radījuši provability loģiku. Pirmais izriet no K. Gēdela (1933) darba, kurā viņš iepazīstina tulkojumus no intuitīvās priekšlikuma loģikas modālajā loģikā (precīzāk, sistēmā, ko mūsdienās sauc par S4), un īsi piemin, ka provability var uzskatīt par modālu operatoru.. Vēl agrāk CI Lewis sāka moderno modālās loģikas izpēti, ieviešot stingru implikāciju kā sava veida atskaitāmību, kur viņš, iespējams, ir domājis atskaitāmību tādā formālā sistēmā kā Principia Mathematica, taču tas nav skaidrs no viņa rakstiem.

Otra virziena sākums ir pētījumi metamatemātikā: ko matemātiskās teorijas var pateikt par sevi, kodējot interesantas īpašības? 1952. gadā L. Henkins uzdeva maldinoši vienkāršu jautājumu, kuru iedvesmoja Gēdela nepabeigtības teorēmas. Lai formulētu Henkina jautājumu, ir nepieciešams vēl kāds pamats. Atgādinājumam, Gēdela pirmajā nepabeigtības teorēmā teikts, ka tik izteiktai formālai teorijai kā Peano Aritmētika jebkurš teikums, kas apgalvo, ka tā pati ir neprognozējama, faktiski nav pierādāms. No otras puses, no formālās teorijas “ārpuses” var redzēt, ka šāds teikums ir patiess standarta modelī, norādot uz svarīgu atšķirību starp patiesību un pierādāmību.

Formālāk apzīmējot, ka (ulcorner A / urcorner) apzīmē arēniskās formulas Gödel skaitli (A), kas ir skaitliskā koda piešķiršanas rezultātam (A). Ļaujiet, lai (Prov) būtu formalizēts Peano aritmētisko provativitātes predikāts, kura forma ir (eksistē p \, / Proof (p, x)). Šeit (Proof) ir Peano aritmētikas formalizēts pierādījuma predikāts, un (Proof (p, x)) apzīmē “Gödel skaitlis (p) kodē pareizu pierādījumu no Peano Aritmetic aksiomām no formula ar Gēdela numuru (x)”. (Lai iegūtu precīzāku formulējumu, skat. Smoryński (1985), Davis (1958).) Tagad pieņemsim, ka Peano Aritmētika pierāda (A / leftrightarrow / neg) (Prov (ulcorner A / urcorner)), pēc tam pēc Gēdela rezultāta, ((A)) nav pierādāms Peano aritmētikā, un tā ir taisnība, jo patiesībā pašreferenciālais teikums (A) saka: “Es neesmu pierādāms”.

Henkins, no otras puses, vēlējās uzzināt, vai kaut ko var teikt par teikumiem, kas apliecina viņu pašu pierādāmību: pieņemot, ka Peano Aritmētika pierāda (B / leftrightarrow / Prov (Ulcorner B / urcorner)), ko tas nozīmē par (B)? Trīs gadus vēlāk M. Löbs pieņēma izaicinājumu un pārsteidzoši atbildēja uz Henkina jautājumu. Lai arī visi teikumi, kas pierādāmi Peano aritmētikā, patiesi attiecas uz naturālajiem skaitļiem, Löbs parādīja, ka šī fakta formalizētā versija, (Prov (ulcorner B / urcorner) rightarrow B) ir pierādāma tikai Peano aritmētikā. triviālajā gadījumā, ko Peano Aritmētika jau pierāda pati (B). Šis rezultāts, ko tagad sauc par Lēba teorēmu, nekavējoties atbild uz Henkina jautājumu. (Lai iegūtu Löba teorēmas pierādījumu, skat. 4. sadaļu.) Löbs parādīja arī savas teorēmas oficiālu versiju,proti, ka Peano aritmētika pierāda

(Prov (ulcorner / Prov (ulcorner B / urcorner) rightarrow B / urcorner) rightarrow / Prov (ulcorner B / urcorner).)

Tajā pašā dokumentā Löbs formulēja trīs nosacījumus Peano aritmētikas provizoriskajam predikātam, kas veido noderīgu modifikāciju sarežģītajiem nosacījumiem, kurus Hilberts un Bernaiss ieviesa 1939. gadā, lai pierādītu Gēdela otro nepabeigtības teorēmu. Turpmāk (A) atvasināmība no Peano Aritmētikas tiek apzīmēta ar (PA / vdash A):

  1. Ja (PA / vdash A), tad (PA / vdash / Prov (ulcorner A / urcorner));
  2. (PA / vdash / Prov (ulcorner A / rightarrow B / urcorner) rightarrow (Prov (ulcorner A / urcorner) rightarrow / Prov (ulcorner B / urcorner));)
  3. (PA / vdash / Prov (ulcorner A / urcorner) rightarrow / Prov (ulcorner / Prov (ulcorner A / urcorner) urcorner).)

Šie Löb apstākļi, kā mūsdienās tos sauc, liekas par modālu loģisku izmeklēšanu, kur modalitāte (Box) nozīmē PA provalenci. Ironiski, bet pirmo reizi, kad formalizētā Löbas teorēmas versija tika norādīta kā modālais princips

(Box (Box A / rightarrow A) rightarrow / Box A)

bija Smaidiņa 1963. gada rakstā par ētikas loģisko pamatu, kurš vispār neuzskatīja par aritmētiku. Atbilstošāka izmeklēšana tomēr nopietni sākās gandrīz divdesmit gadus pēc Löba darba publicēšanas. 70. gadu sākumā strauji attīstījās ierosinošās provabilitātes loģika, kad vairāki pētnieki dažādās valstīs patstāvīgi pierādīja vissvarīgākos rezultātus, kas tika apspriesti 2., 3. un 4. nodaļā. Propozicionālās provalabitātes loģika izrādījās tieši tā, kas aptver daudzas formālās aritmētikas teorijas. pateikt ar ierosināšanas līdzekļiem par viņu pašu provizoriskumu. Pavisam nesen pētnieki ir izpētījuši šīs pieejas robežas un ierosinājuši vairākus interesantus, izteiksmīgākus provalabitātes loģikas paplašinājumus (sk. 5. sadaļu).

2. Piedāvājuma provalabitātes loģikas aksiomu sistēma

Piedāvājuma provalabitātes loģikas loģiskā valoda papildus piedāvājuma atomiem un parastajiem patiesības funkcionāliem operatoriem, kā arī pretrunu simbolam (bot), modālais operators (Box) ar paredzēto nozīmi ir pierādāma (T)”, kur (T) ir pietiekami spēcīga formāla teorija, teiksim, Peano aritmētika (sk. 4. sadaļu). (Diamond A) ir saīsinājums no (neg \, / Box / neg \, A). Tādējādi valoda ir tāda pati kā modālajām sistēmām, piemēram, K un S4, kas parādītas ieejas modālajā loģikā.

2.1. Aksiomas un noteikumi

Propozīcijas provizoriskuma loģiku bieži sauc par GL pēc Gēdela un Lēba. (Alternatīvie nosaukumi, kas literatūrā atrodami līdzvērtīgām sistēmām, ir L, G, KW, K4W un PrL). GL loģika rodas, pievienojot modālajai pamata loģikai K šādu aksiomu:

(tag {GL} Box (Box A / rightarrow A) rightarrow / Box A.)

Atgādinām, ka tāpēc, ka GL paplašina K, tajā ir visas formulas, kas ir izteiktas tautoloģijas formā. Tā paša iemesla dēļ GL satur

(tag {Distribution Axiom} Box (A / rightarrow B) rightarrow (Box A / rightarrow / Box B).)

Turklāt tas ir slēgts saskaņā ar Modusa Ponena likumu, kas ļauj iegūt (B) no (A / labo pusi B) un (A), un vispārināšanas noteikumu, kurā teikts, ka, ja (A) ir GL teorēma, tad tāpat ir (A lodziņš).

Jēdziens (GL / vdash A) apzīmē modālās formulas (A) provizoriskumu piedāvājuma provalabitātes loģikā. Nav grūti pamanīt, ka modālā aksioma (Box A / rightarrow / Box / Box A) (modālā loģika pazīstama kā 4. aksioma) patiešām ir pierādāma GL. Lai to pierādītu, aksiomā (GL) tiek izmantots aizvietojums (A / ķīlis / Box A) (A). Tad, redzot, ka izrietošās implicīcijas priekštecis izriet no (A lodziņa), tiek piemērots sadales aksioma un vispārināšanas noteikums, kā arī daži ierosinājuma loģiski. Ja vien nav skaidri norādīts citādi, turpinājumā “provability logic” apzīmē ierosinātās provability logic sistēmas GL.

Attiecībā uz pierādāmības teorijas pierādāmības loģiku, Valentini (1983) pierādīja, ka standarta secīgs aprēķina GL formulējums pakļaujas griezuma novēršanai, kas, rupji formulējot, nozīmē, ka katrai formulai, kuru var pierādīt no GL secīgajā aprēķinā, ir arī GL secīgs pierādījums “bez apvedceļi”(precīzu skaidrojumu par griezuma novēršanu sk. ierakstā pierādījumu teorijas izstrāde). Pēdējos gados ir atjaunota interese par GL pierādīšanas teoriju, piemēram, Goré un Ramanayake (2008). Griezuma novēršana noved pie vēlamās subformulu īpašības GL, jo visas formulas, kas parādās bez griezuma pierādījumā, ir nākamo formulu apakšformulas.

Jaunākos pierādāmības teorijas pētījumus par provability loģiku, kas balstīti uz dažādiem secīgiem aprēķiniem, skatīt (Negri 2005, 2014; Poggiolesi 2009). Negri uzrāda divus ekvivalentus marķētus secīgus kalkulārus GL un sintaktisko pierādījumu griezuma novēršanai. Pat ja marķējuma dēļ šiem kalkuliem nav pilnīgas subformula īpašības, var noteikt parastās subformula rekvizīta parastās sekas: Marķētais formālisms ļauj tieši pierādīt pilnīgumu, ko var izmantot, lai noteiktu izlemjamību, kā arī ierobežoto modeli īpašums, kas nozīmē, ka jebkurai formulai, kas nav pierādāma, ir noteikts pret modelis.

Intriģējoša jauna pierādījumu teorētiskā attīstība ir Šamkanova izvērstā secīgā stila pierādījumu sistēmu paplašināšana, atļaujot riņķveida pierādījumus (Shamkanov 2014). Apsveriet secīgu sistēmu K4, modālo sistēmu, kas rodas no GL, aizstājot GL aksiomu ar vājāku aksiomu (A lodziņš / labo virzienu / Box / Box A) (4. aksioma). Tomēr pieņemsim, ka ir atļautas atklātas hipotēzes, ar nosacījumu, ka viena un tā pati secība notiek precīzi zem šīs hipotēzes pierādījumu kokā. Formulēts tehniskāk, var atrast apļveida atvasinājumu no parastā atvasinājumu koka, sasaistot katru tā neaksiomātisko lapu ar identisku iekšējo mezglu. Šamkanovs (2014) pierādīja, ka iegūtā sistēma ir konsekventa un ka turklāt katram sekventam ir GL atvasinājums tikai tad, ja tam ir apļveida K4 atvasinājums. Apļveida korektūras nodrošina arī metodi teorētiski pierādīt, ka Lyndon interpolācijas teorēma attiecas uz GL. Standarta GL interpolācija jau bija pierādīta ar dažādām metodēm (Boolos 1979; Smoryński 1978; Rautenberg 1983). (Lai iegūtu papildinformāciju par Lyndon pirmās kārtas loģikas interpolācijas teorēmu, skatiet arī ierakstu pirmās kārtas modeļa teorija).

2.2. Fiksētā punkta teorēma

Galvenais “modālā” rezultāts attiecībā uz provability loģiku ir fiksētā punkta teorēma, kuru D. de Jongh un G. Sambin patstāvīgi pierādīja 1975. gadā (Sambin 1976). Lai arī fiksētā punkta teorēma ir formulēta un pierādīta ar stingri modālām metodēm, tai joprojām ir liela aritmētiskā nozīme. Tas būtībā saka, ka atsauce uz sevi nav īsti nepieciešama, šādā nozīmē. Pieņemsim, ka visi ierosinātā mainīgā (p) gadījumi dotajā formulā (A (p)) ietilpst provability operatora darbības jomā, piemēram, (A (p) = / neg / Box p), vai (A (p) = / lodziņš (p / labo virzienu q)). Tad ir formula (B), kurā (p) neparādās, piemēram, ka visi piedāvājamie mainīgie, kas rodas (B), jau parādās (A (p)), un tāda, ka

(GL / vdash B / leftrightarrow A (B).)

Šo formulu (B) sauc par fiksētu punktu (A (p)). Turklāt fiksētais punkts ir unikāls vai, precīzāk sakot, ja ir vēl viena formula ((C)) tāda, ka (GL / vdash C / leftrightarrow A (C)), tad mums jābūt (GL / vdash B / leftrightarrow C). Lielākā daļa pierādījumu literatūrā sniedz algoritmu, pēc kura var aprēķināt fiksēto punktu (sk. Smoryński 1985, Boolos 1993, Sambin and Valentini 1982, Lindström 2006). Īpaši īss un skaidrs pierādījums, kā arī ļoti efektīvs algoritms fiksēto punktu aprēķināšanai ir atrodams Reidhaar-Olson (1990).

Piemēram, pieņemsim, ka (A (p) = / neg \, / Box p). Tad šāda algoritma radītais fiksētais punkts ir (neg \, / Box / bot), un tiešām var pierādīt, ka

(GL / vdash / neg \, / Box / bot / leftrightarrow / neg \, / Box (neg \, / Box / bot).)

Ja to lasa aritmētiski, virziens no kreisās uz labo ir tikai Gēdela otrās nepabeigtības teorēmas formalizētā versija: ja pietiekami spēcīga formāla teorija (T), piemēram, Peano aritmētika, nepierāda pretrunu, tad tā nav pierādāma (T), ka (T) nepierāda pretrunu. Tādējādi pietiekami spēcīgas konsekventas aritmētiskās teorijas nevar pierādīt savu konsekvenci. Mēs pievērsīsimies precīzāk sakarībai starp provability loģiku un aritmētiku 4. sadaļā, taču šajā nolūkā vispirms ir jānorāda cits GL modālais aspekts: semantika.

3. Iespējamā pasaules semantika un topoloģiskā semantika

Pierādāmības loģikai ir piemērota iespējamā pasaules semantika, tāpat kā daudzām citām modālajām loģikām. Atgādinām, ka iespējamais pasaules modelis (vai Kripke modelis) ir trīskāršs (M = / langle W, R, V / rangle), kur (W) ir tukšs iespējamo pasauļu kopums, (R) ir binārā pieejamības saistība ar (W), un (V) ir novērtējums, kas piešķir patiesības vērtību katram piedāvājuma mainīgajam lielumam katrai pasaulei iekšā ((W)). Pāris (F = / langle W, R / rangle) tiek saukts par šī modeļa rāmi. Formula (A) patiesības jēdziens modelī (M) pasaulē (W), apzīmējums (M, w / modeļi A) ir definēts induktīvi. Atkārtosim tikai visinteresantāko klauzulu, vienu, kas paredzēta pārbaudāmības operatoram (Box):

[M, w / models / Box A / text {iff for every} w ', / text {if} wRw', / text {then} M, w '\ models A.)

Lai iegūtu papildinformāciju par iespējamo pasaules semantiku kopumā, skatiet ieejas modālo loģiku.

3.1. Raksturojums un modālā pamatotība

Modālā loģika K ir derīga visos Kripke modeļos. Tā paplašinājums GL tomēr nav: mums ir jāierobežo iespējamo pasaules modeļu klase ar piemērotāku. Teiksim, ka formula (A) ir derīga rāmī (F), apzīmējumā (F / modeļos A), jaff (A) ir taisnība visās Kripke modeļu pasaulē (M) pamatojoties uz (F). Izrādās, ka jaunā provalabitātes loģikas aksioma (GL) atbilst nosacījumam uz rāmjiem šādi:

Visiem rāmjiem (F = / langle W, R / rangle, F / models / Box (Box p / rightarrow p) rightarrow / Box p) iff (R) ir pārejošs un pretēji pamatots.

Šeit tranzītivitāte ir plaši pazīstams īpašums, kas visām pasaulēm (w_1), (w_2), (w_3) atrodas (W), ja (w_1 Rw_2) un (w_2 Rw_3), pēc tam (w_1 Rw_3). Attiecība ir gluži pretēji pamatota, ja nav bezgalīgi augošu secību, tas ir, formas secības (w_1 Rw_2 Rw_3 R / ldots). Ņemiet vērā, ka arī pamatoti kadri ir nerefleksīvi, jo, ja (wRw), tas rada bezgalīgu augšupejošu secību (wRwRwR / ldots).

Iepriekš minētais korespondences rezultāts uzreiz parāda, ka GL ir modāli pareizs attiecībā uz iespējamo pasaules modeļu klasi uz pārejoši pretēji pamatotiem kadriem, jo šādos modeļos ir spēkā visas GL aksiomas un noteikumi. Jautājums ir par to, vai ir arī pilnīgums: piemēram, formula (Box A / rightarrow / Box / Box A), kas ir derīga visiem tranzīta kadriem, patiešām ir pierādāma GL, kā tika minēts 1. sadaļā. Bet vai katra formula, kas ir derīga visiem tranzīta un pretēji pamatotiem kadriem, ir arī pierādāma GL?

3.2. Modālais pilnīgums

Neapzinoties GL aritmētisko nozīmi, K. Segerbergs 1971. gadā pierādīja, ka GL patiešām ir pilnīgs attiecībā uz pārejas un pretēji pamatotiem kadriem; Šo rezultātu pierādīja arī D. de Jongh un S. Kripke. Segerbergs parādīja, ka GL ir pilnīga pat attiecībā uz ierobežoto ierobežoto transitīvo nerefleksīvo koku klasi - fakts, kas vēlāk izrādījās ļoti noderīgs Solovay pierādījumiem par aritmētiskās pilnīguma teorēmu (sk. 4. sadaļu).

Modālā pamatīguma un pilnīguma teorēmas nekavējoties rada lēmumu pieņemšanas procedūru, lai pārbaudītu jebkādu modālu formulu (A) neatkarīgi no tā, vai (A) izriet no GL, vispirms veicot dziļu meklēšanu, izmantojot nerefleksīvus pārejošus kokus ar ierobežotu dziļumu. Aplūkojot procedūru nedaudz precīzāk, var parādīt, ka GL ir pieņemams skaitļošanas sarežģītības klasē PSPACE, tāpat kā labi zināmā modālā loģika K, T un S4. Tas nozīmē, ka pastāv Tjūringa mašīna, kas, ievadot formulu (A), atbild, vai (A) izriet no GL vai nē; atmiņas lielums, kas Tjūringa mašīnai ir nepieciešams tās aprēķināšanai, ir tikai polinoms (A) garumā. Var parādīt, ka GL lēmumu pieņemšanas problēma (atkal, tāpat kā lēmumu pieņemšanas problēmas K, T un S4) ir pilnīga PSPACE,tādā nozīmē, ka visas pārējās PSPACE problēmas nav grūtāk nekā izlemt, vai dotā formula ir GL teorēma. (Skatīt automatizētās teoremas aprakstu par GL Gore un Kelly (2007).)

Lai sniegtu plašāku perspektīvu par sarežģītību, funkciju P klase, kas aprēķināma laika polinomā pēc ievades garuma, tiek iekļauta PSPACE, kas savukārt ir iekļauta eksponenciālā laikā aprēķināmo funkciju klasē EXPTIME (skat. ierakstu salīdzināmība un sarežģītība). Joprojām ir slavena atklāta problēma, vai šie divi ieslēgumi ir stingri, lai gan daudzi sarežģītības teorētiķi uzskata, ka tādi ir. Dažas citas labi zināmas modālās loģikas, piemēram, epistemiskā loģika ar vispārzināmām, ir nolemjamas EXPTIME, tāpēc atkarībā no atklātajām problēmām tās var būt sarežģītākas nekā GL.

3.3. Pilnīgas nepilnības

Daudzas labi zināmas modālās loģikas (S) ir ne tikai pilnīgas attiecībā uz atbilstošu kadru klasi, bet pat ļoti pilnīgas. Lai izskaidrotu spēcīgu pilnīgumu, mums ir nepieciešams priekšstats par atvasināmību no pieņēmumu kopuma. Formulu (A) var atvasināt no pieņēmumu kopuma (Gamma) modālajā loģikā (S), kas uzrakstīts kā (Gamma / vdash A), ja (A) atrodas (Gamma) vai (A) izriet no formulām (Gamma) un (S) aksiomām, izmantojot Modusa Ponena un vispārināšanas noteikuma lietojumus. Šeit vispārināšanas likumu var piemērot tikai atvasinājumiem bez pieņēmumiem (sk. Hakli un Negri 2010).

Tagad modālā loģika (S) ir pilnīgi pabeigta, ja visām (ierobežotajām vai bezgalīgajām) kopām (gamma) un visām formulām (A):

Ja atbilstošos (S) rāmjos, (A) ir taisnība visās pasaulēs, kurās visas (Gamma) formulas ir patiesas, tad (Gamma / vdash A) loģikā (S).

Šis nosacījums attiecas uz tādām sistēmām kā K, M, K4, S4 un S5. Ja tas attiecas tikai uz ierobežotajām kopām (gamma), iepriekš minētais nosacījums atbilst pabeigtībai.

Spēcīga pilnība tomēr neattiecas uz pārbaudāmības loģiku, jo semantiskais kompaktums neizdodas. Semantiskais kompaktums ir īpašums, kas katram bezgalīgajam formulu kopumam (Gamma), Ja katrai (Gamma) ierobežotajai apakškopai (Delta) ir modelis atbilstošā (S) rāmī, tad (Gamma) ir arī modelis attiecīgajā (S) -rāmja.

Kā pretparaugu ņemiet bezgalīgo formulu komplektu

(Gamma = { Diamond p_0, / Box (p_0 / rightarrow / Diamond p_1), / Box (p_1 / rightarrow / Diamond p_2), / Box (p_2 / rightarrow / Diamond p_3), / ldots, / Box (p_n / rightarrow / Diamond p_ {n + 1}), / ldots })

Tad katrai (Gamma) ierobežotajai apakškopai (Delta) var izveidot modeli uz pārejoša, pretēji pamatota rāmja un modeļa pasauli, kurā visas (Delta) formulas ir taisnība. Tātad, izmantojot modālu pamatotību, GL nepierāda (bot) no (Delta) nevienam ierobežotam (Delta / subseteq / Gamma), un vēl jo vairāk GL nepierāda (bot) no (Gamma), jo jebkurš GL pierādījums ir ierobežots. No otras puses, ir viegli redzēt, ka uz pārejoša, gluži pretēji pamatota rāmja nav modeļa, kur jebkurā pasaulē būtu visas (Gamma) formulas. Tādējādi (bot) semantiski izriet no (Gamma), bet no tā nav pierādāms GL, pretrunā ar spēcīgas pilnīguma nosacījumu.

3.4. Izveidojamības loģikas topoloģiskā semantika

Kā alternatīvu iespējamai pasaules semantikai daudzām modālajām loģikām var tikt piešķirta topoloģiskā semantika. Acīmredzami priekšlikumus var interpretēt kā topoloģiskās telpas apakšgrupas. Ir arī viegli redzēt, ka ierosinošais savienojums (ķīlis) atbilst kopīgi teorētiskajai operācijai (vāciņš), savukārt (vee) atbilst (kauss), (neg) atbilst kopas teorētiskajam papildinājumam, un (labo pusi) atbilst (subseteq). Modālajai loģikai, kas satur refleksijas aksiomu (Box A / rightarrow A), ir arī dabiska modālo operatoru interpretācija. Šīm loģikām (Diamond) atbilst slēgšanas operatoram topoloģiskā telpā, bet (Box) atbilst interjeram. Lai noskaidrotu, kāpēc šīs interpretācijas ir piemērotas,ievērojiet, ka atstarošanas aksioma atbilst faktam, ka katrs komplekts ir iekļauts tā noslēgumā un katrs komplekts iekļauj tā iekšpusi.

Tomēr pierādāmības loģika nepierāda pārdomas, jo atstarošanās (Box / bot / rightarrow / bot) atspoguļojums radītu pretrunu ar aksiomu (GL).

Tāpēc pierādāmības loģikai nepieciešama atšķirīga pieeja. Balstoties uz J. Makinsey un A. Tarski (1944) ierosinājumu, L. Esakia (1981, 2003) izpētīja jēdziena (Diamond) kā atvasinātās kopas operatora (d) interpretāciju, kas apzīmē kopu (B) līdz tā robežpunktu kopumam (d (B)). Lai izskaidrotu šīs ((Diamond)) interpretācijas sekas, mums ir vajadzīgas vēl divas definīcijas, proti, jēdzieni, kas ir blīvi paši par sevi un izkaisīti. Topoloģiskās telpas apakškopu (B) sauc par blīvu pats par sevi, ja (B / subseteq d (B)). Topoloģisko telpu sauc par izkliedētu, ja tai nav tukšas apakškopas, kas pati par sevi būtu blīva. Ordināļi to intervālu topoloģijā veido izkliedētu telpu piemērus. Esakija (1981) pierādīja svarīgu korespondenci: viņš parādīja, ka topoloģiskā telpa atbilst GL aksiomai tikai tad, ja telpa ir izkliedēta. Šī sarakste drīz noveda pie tā, ka Abashidze (1985) un Blass (1990) patstāvīgi atrada rezultātu, ka pierādāmības loģika ir pilnīga attiecībā uz jebkuru ordināro (ge / omega ^ / omega).

Pēdējos gados pierādāmības loģikas topoloģiskā semantika ir piedzīvojusi patiesu atdzimšanu, īpaši Japaridzes bimodālās provalabitātes loģikas GLB, GL pagarinājuma, pētījumā (Japaridze 1986). Loģika GLB izrādās modāli nepilnīga attiecībā uz iespējamo pasaules semantiku tādā nozīmē, ka tā neatbilst nevienai kadru klasei. Šī īpašība novieto bimodālo GLB krasā pretstatā unimodālajam GL, kas atbilst ierobežoto transitīvo nerefleksīvo koku klasei, kā minēts iepriekš. Beklemeševs et al. (2009) parādīja, ka GLB tomēr ir pilnīgs attiecībā uz topoloģisko semantiku (sk. Arī Beklemishev 2009, Icard 2011). Intriģējošas Esakijas atbilstības norādes starp GL un izkliedētajām topoloģiskajām telpām ir atrodamas pat jaunākajos telpiskās un epistemiskās loģikas topoloģiskajos pētījumos (sk. Aiello et al.2007). (Plašāku diskusiju par GLB skatīt 5.4. Sadaļā).

4. Izmērojamības loģika un Peano aritmētika

Kopš brīža, kad tika formulēts GL, pētnieki domāja, vai tas ir piemērots formālām teorijām, piemēram, Peano aritmētikai (PA): vai GL pierāda visu par provalabitātes jēdzienu, ko var izteikt piedāvājuma modālā valodā un ko var pierādīt Peano aritmētikā, vai vai GL būtu jāpievieno vairāk principu? Lai šo adekvātuma jēdzienu padarītu precīzāku, mēs definējam realizāciju (dažreiz sauktu par tulkošanu vai interpretāciju) kā funkciju f, kas katram modalās loģikas piedāvātajam atomam piešķir aritmētisko teikumu, kur

  • (f (bot) = / bot;)
  • (f) respektē loģiskos savienojumus, piemēram, (f (B / taisnvirziena C) = (f (B () labās puses bultiņa F (C));) un
  • (Box) tiek tulkots kā provability predikāts (Prov), tātad (f (Box B) = / Prov (ulcorner f (B) urcorner).)

4.1 Aritmētiskā pamatotība

Jau 70. gadu sākumā bija skaidrs, ka GL ir aritmētiski pamatota attiecībā pret PA, formāli:

(teksts {Ja} GL / vdash A, / text {tad visām realizācijām} f, / PA / vdash f (A).)

Lai radītu zināmu metamatemātikas garšu, ieskicējam pareizības pierādījumu.

Aritmētiskās pamatotības skice. PA patiešām pierāda piedāvāto tautoloģiju realizāciju, un GL izplatības aksiomas pierādāmība nozīmē

(PA / vdash / Prov (ulcorner A / rightarrow B / urcorner) rightarrow (Prov (ulcorner A / urcorner) rightarrow / Prov (ulcorner B / urcorner))]

visām A un B formulām, kas ir tikai Löb otrais atvasināmības nosacījums (sk. 1. sadaļu). Turklāt PA pakļaujas Modus Ponens, kā arī vispārināšanas noteikuma tulkojumam:

(teksts {ja} PA / vdash A, / text {tad} PA / vdash / Prov (ulcorner A / urcorner),)

kas ir tikai Löb pirmais atvasināmības nosacījums. Visbeidzot, galvenās aksiomas (GL) tulkošana patiešām ir pierādāma PA:

(PA / vdash / Prov (ulcorner / Prov (ulcorner A / urcorner) rightarrow A / urcorner) rightarrow / Prov (ulcorner A / urcorner).)

Tieši tā ir 1. iedaļā minētās Löbas teorēmas formalizētā versija.

Sniegsim skici pašas Löbas teorēmas pierādījumiem no viņa atvasināmības nosacījumiem (formalizētās versijas pierādījums ir līdzīgs). Pierādījumu pamatā ir Gēdela diagonalizācijas lemma, kurā teikts, ka jebkurai aritmētiskajai formulai (C (x)) ir tāda aritmētiskā formula (B), ka

(PA / vdash B / leftrightarrow C (ulcorner B / urcorner).)

Vārdiem sakot, formula (B) saka: "Man ir īpašums (C)."

Pierādījums LOB ir teorēmu:. Pieņemsim, ka (PA / vdash / Prov (ulcorner A / urcorner) rightarrow A); mums tas jāparāda (PA / vdash A). Diagonalizācijas lemmā ir formula (B) tāda, ka

(PA / vdash B / leftrightarrow (Prov (ulcorner B / urcorner) rightarrow A).)

No tā izriet Löb pirmais un otrais atvasināmības nosacījums, kā arī daži ierosinoši apsvērumi

(PA / vdash / Prov (ulcorner B / urcorner) leftrightarrow / Prov (ulcorner / Prov (ulcorner B / urcorner) rightarrow A / urcorner).)

Tādējādi atkal ar Lēba otro nosacījumu, (PA / vdash / Prov (ulcorner B / urcorner) rightarrow (Prov (ulcorner / Prov (ulcorner B / urcorner) urcorner) rightarrow / Prov (ulcorner A / urcorner)).)

No otras puses, Löba trešais nosacījums dod

(PA / vdash / Prov (ulcorner B / urcorner) rightarrow / Prov (ulcorner / Prov (ulcorner B / urcorner) urcorner),)

tādējādi

(PA / vdash / Prov (ulcorner B / urcorner) rightarrow / Prov (ulcorner A / urcorner).)

Kopā ar pieņēmumu, ka (PA / vdash / Prov (ulcorner A / urcorner) rightarrow A), tas dod

(PA / vdash / Prov (ulcorner B / urcorner) rightarrow A.)

Visbeidzot, diagonalizācijas lemmas iegūtais vienādojums nozīmē, ka (PA / vdash B), tātad (PA / vdash / Prov (ulcorner B / urcorner)), tādējādi

(PA / vdash A,)

pēc vēlēšanās.

Ņemiet vērā, ka, aizvietojot (A b) ar Löba teorēmu (bot), mēs iegūstam, ka (PA / vdash / neg \, / Prov (ulcorner / bot / urcorner)) nozīmē (PA / vdash / bot), kas ir tikai Gēdela otrās nepabeigtības teorēmas pretruna.

4.2 Aritmētiskais pilnīgums

Izcilības pierādāmības loģikas rezultāts ir R. Solovaja 1976. gada aritmētiskā pilnīguma teorēma, parādot, ka GL patiešām ir piemērots Peano aritmētiskajam:

(GL / vdash A / text {ja un tikai tad, ja visām realizācijām} f, / PA / vdash f (A).)

Šī teorēma būtībā saka, ka modālā loģika GL atspoguļo visu, ko Peano Aritmētika var patiesi pateikt modālā izteiksmē par savu provaktivitātes predikātu. Virziens no kreisās uz labo, GL aritmētiskā pamatotība ir apskatīts iepriekš. Solovajs mēģināja pierādīt otru, daudz grūtāku, virzienu, noslēdzot kontracepciju. Viņa pierādījums ir balstīts uz sarežģītām pašreferenču metodēm, un šeit var sniegt tikai nelielu ieskatu.

Segerberga modālā pabeigtības teorēma bija svarīgs pirmais solis Solovay pierādījumā par GL aritmētisko pilnīgumu attiecībā pret Peano aritmētisko. Pieņemsim, ka GL nepierāda modālo formulu (A). Tad pēc modāla pabeigtības ir noteikts ierobežots pārejošs nerefleksīvs koks, tā ka (A) ir nepatiess šī koka saknē. Tagad Solovajs ir izdomājis ģeniālu veidu, kā imitēt tik ierobežotu koku Peano aritmētikas valodā. Tādējādi viņš atrada realizāciju (f) no modālām formulām līdz aritmētikas teikumiem, piemēram, ka Peano aritmētika nepierāda (f (A)).

Solovaja pilnīguma teorēma nodrošina alternatīvu paņēmienu daudzu aritmētisko teikumu konstruēšanai, kas nav pierādāmi Peano aritmētikā. Piemēram, ir viegli izveidot iespējamo pasaules modeli, lai parādītu, ka GL nepierāda (Box p / vee / Box / neg \, p), tāpēc pēc Solovay teorēmas ir aritmētiskais teikums (f (p)) tāds, ka Peano Aritmētika nepierāda (Prov (ulcorner f (p) urcorner) vee / Prov (ulcorner / neg \, f (p) urcorner)). Tas jo īpaši nozīmē, ka ne (f (p)), ne (neg \, f (p)) nav pierādāms Peano aritmētikā; jo pieņemsim, ka tieši pretēji tam, ka (PA / vdash f (p)), tad ar Löba pirmo nosacījumu un ierosinošo loģiku, (PA / vdash / Prov (ulcorner f (p) urcorner) vee / Prov (ulcorner / neg \, f (p) urcorner)), kas rada pretrunu, un līdzīgi, ja kāds to pieņem (PA / vdash / neg \, f (p)).

Solovaja teorēma ir tik nozīmīga, jo tā parāda, ka tādu nenozīmīgas formālās teorijas kā Peano aritmētika interesantu fragmentu, proti, to, kuru aritmētika var izteikt priekšlikuma izteiksmē par savu provativitātes predikātu, var izpētīt, izmantojot nolemjamo modālo loģiku, GL, ar uztveramā iespējamā pasaules semantika.

5. Pārbaudāmības loģikas tvērums

Šajā sadaļā tiek apskatītas dažas nesenās tendences pētījumos par provability loģiku. Viens svarīgs virziens attiecas uz GL darbības jomas ierobežojumiem, kur galvenais jautājums ir, kādām formālām teorijām, izņemot Peano aritmētiku, vai GL ir piemērota ierosinātās provalabitātes loģika? Tālāk mēs apspriežam dažus ierosinājuma provability loģikas vispārinājumus izteiksmīgākās modālajās valodās.

5.1. Robežas

Pēdējos gados loģiķi ir izpētījuši daudzas citas aritmētikas sistēmas, kas ir vājākas nekā Peano Aritmētika. Bieži vien šie loģiķi iedvesmu guva no aprēķināmības jautājumiem, piemēram, izpētot funkcijas, kas aprēķināmas polinoma laikā. Viņi ir snieguši daļēju atbildi uz jautājumu: "Kurām aritmētikas teorijām joprojām ir Solovaja aritmētiskās pilnīguma teorēma (attiecībā uz atbilstošo provizoritātes predikātu)?" Lai apspriestu šo jautājumu, nepieciešami divi jēdzieni. (Delta_0) - formulas ir aritmētiskas formulas, kurās visus skaitļus ierobežo termins, piemēram

(forall y / le / bs / bs 0 \: / forall z / le y \: / forall x / le y + z \: (x + y / le (y + (y + z))),)

kur (bs) ir operators pēctecis (“(+ 1)”). Aritmētiskā teorija (I / Delta_0) (kur es apzīmēju “indukciju”) ir līdzīga Peano aritmētikai, izņemot to, ka tā pieļauj mazāku indukciju: indukcijas shēma

[A (0) ķīlis / forall x \, (A (x) rightarrow A (bs x)) rightarrow / forall x \, A (x))

ir ierobežots ar (Delta_0) - formulām (A).

Kā uzsvēra De Jongh un citi (1991), aritmētiskais pilnīgums noteikti attiecas uz teorijām, kuras atbilst šādiem diviem nosacījumiem:

  1. (T) pierāda indukciju (Delta_0) - formulām, un (T) pierāda EXP, formula, kas izsaka, ka visiem (x) ir jauda (2 ^ x). Standarta apzīmējumos: (T) paplašina (I / Delta_0) + EXP;
  2. (T) nepierāda kļūdainus teikumus formā (eksistē x \, A (x)) ar (A (x)) a (Delta_0) - formulu.

Šādām teorijām GL aizturēšanas aritmētiskā pamatotība un pilnīgums ar nosacījumu, ka (Box) nozīmē (Prov_T), dabiskas provalabitātes predikāts attiecībā uz pietiekami vienkāršu (T) aksiomatizāciju. Tādējādi attiecībā uz modālajiem teikumiem (A):

(GL / vdash A / text {ja un tikai tad, ja visām realizācijām} f, T / vdash f (A).)

Pagaidām nav skaidrs, vai 1. nosacījums dod zemāku robežu pārbaudāmības loģikai. Piemēram, joprojām nav atklāts jautājums, vai GL ir (I / Delta_0 + / Omega_1) pierādāmības loģika, teorija, kas ir nedaudz vājāka nekā (I / Delta_0) + EXP tajā (Omega_1). ir aksioma, kas apgalvo, ka visiem (x) ir jauda (x ^ { log (x)}). Producējamības loģika GL ir aritmētiski pamatota attiecībā uz (I / Delta_0 + / Omega_1), bet izņemot dažus daļējus Berarducci un Verbrugge (1993) rezultātus, nodrošinot aritmētiskās realizācijas, kas atbilst (I / Delta_0 + / Omega_1) ierobežotam teikumu klasei atbilstoši GL, jautājums paliek atklāts. Tās atbilde var būt atkarīga no atklātām problēmām skaitļošanas sarežģītības teorijā.

Iepriekšminētais De Jongh et al. parāda spēcīgu pierādāmības loģikas iezīmi: daudzām dažādām aritmētiskajām teorijām GL fiksē tieši to, ko šīs teorijas saka par viņu pašu provalabitātes predikāti. Tajā pašā laikā tas ir vājums. Piemēram, piedāvājošā pārbaudāmības loģika nenorāda uz atšķirībām starp tām teorijām, kuras ir pilnībā aksiomatizējamas, un tām, kuras nav.

5.2. Interpretācijas loģika

Lai varētu runāt modālā valodā par svarīgām atšķirībām starp teorijām, pētnieki daudzos dažādos veidos ir paplašinājuši provizoriskuma loģiku. Pieminēsim dažus. Viens paplašinājums ir pievienot bināru modalitāti (interpretē), kur dotajai aritmētiskajai teorijai (T) modālais teikums (A / interpretē B) ir domāts kā “(T + B) ir interpretējams tekstā (T + A)”(Švejdar, 1983). De Jongh un Veltman (1990) izpētīja dažādu interpretācijas loģiku modālo semantiku, savukārt De Jongh un Visser (1991) pierādīja skaidru fiksētā punkta īpašību vissvarīgākajām. Visers raksturoja visizplatītāko finiši aksiomatizēto teoriju interpretācijas loģiku, un Berarducci un Šavrukovs patstāvīgi raksturoja PA, kas nav galīgi aksiomatizējama. Šķiet, ka patiešām,galīgi aksiomatizējamo teoriju interpretācijas loģika atšķiras no Peano Aritmētikas interpretācijas loģikas (sk. Montagna 1987; Visser 1990, 1998; Berarducci 1990, Shavrukov 1988; Joosten and Visser 2000).

5.3 Propozicionālie skaitļi

Vēl viens veids, kā paplašināt provizoriskās provalabitātes loģikas ietvaru, ir pievienot piedāvājuma skaitliskus rādītājus, lai varētu izteikt tādus principus kā Goldfarb:

(forall p \, forall q \, / eksistē r \: / Box ((Box p / vee / Box q) leftrightarrow / r lodziņš),)

sakot, ka jebkuriem diviem teikumiem ir trešais teikums, kurš ir pierādāms tikai tad, ja ir pierādāms kāds no diviem pirmajiem teikumiem. Šis princips ir pierādāms Peano aritmētikā (sk., Piemēram, Artemov un Beklemishev 1993). GL teikumu komplekts ar aritmētiski derīgu piedāvājošu skaitlisku skaitli izrādās neizlemjams (Shavrukov 1997).

5.4. Japaridzes bimodālās un polimodālās provabilitātes loģika

Japaridzes (1988) bimodālajai loģikai GLB ir divi (Box) līdzīgi provability operatori, apzīmēti ar ([0]) un ([1]), ar divējādiem (Diamond) līdzīgiem operatoriem attiecīgi (langle 0 / rangle) un (langle 1 / rangle). Japaridzes interpretācijā var domāt par to, ka ((0)) pastāv kā standarta izredzes predikāts Peano aritmētikā. No otras puses, ([1]) atbilst spēcīgākam provizoritātes predikātam, proti, (omega) - provabilitātei.

Definēsim jēdzienus, kas nepieciešami, lai izprastu šo paredzēto GLB interpretāciju. Aritmētiskā teorija (T) tiek definēta kā (omega) - konsekventa tikai un vienīgi tad, ja visām formulām A ar brīvo mainīgo (x), (T / vdash / neg \, A (I_n)) visiem (n) nozīmē, ka (T / not / vdash / eksistē x \, A (x)); šeit (I_n) ir (n) skaitlis, ti, termins (bs / bs / ldots / bs 0) ar (n) operatora pēcteča gadījumiem (bs). Peano aritmētika (PA) ir vispazīstamākais piemērs konsekventai teorijai (omega) (sk. Arī Gēdela nepabeigtības teorēmas). Ļaujiet PA (^ +) būt aritmētiskajai teorijai, kuras aksiomas ir PA, kopā ar visiem teikumiem (forall x \, / neg \, A (x)) tā, ka katram (n), PA (vdash / neg \, A (I_n)). Tagad (omega) - pierādāmība ir vienkārši pierādāmība PA (^ +),tātad tas ir divkāršs - ((omega)) konsekvences princips.

Japaridzes bimodālās provalabitātes loģiku GLB var aksiomatizēt ar GL aksiomām un noteikumiem (sk. 2. sadaļu), kas formulēti atsevišķi [0] un [1]. Turklāt GLB ir divas jauktas aksiomas, proti: (tag {Monotonicity} [0] A / rightarrow [1] A) (tag {(Pi ^ 0_1) - pilnīgums} langle 0 / rangle A / rightarrow [1] langle 0 / rangle A) Japaridzes loģika ir izlemjama un tai ir saprātīga Kripke semantika, un tā ir aritmētiski pamatota un pilnīga attiecībā pret Peano aritmētiku (Japaridze 1988, Boolos 1993).

Japaridzes GLB polimodālais analogs ar nosaukumu GLP pēdējos gados ir saņēmis daudz uzmanības. GLP ir bezgalīgi daudz (Box) līdzīgu provability operatoru, kas apzīmēti ar lodziņiem ([n]) katram naturālajam skaitlim (n), ar duālajiem (Diamond) - līdzīgiem operatoriem (langle n / rangle). Atkal var domāt, ka ([0]) nozīmē standarta provizoriskuma predikātu Peano aritmētikā, (langle 1 / rangle) attiecībā uz (omega) - provability, etcetera. GLP ir aksiomatizēts, sākot no GL aksiomām un noteikumiem (sk. 2. sadaļu), kas formulēti atsevišķi katram ([n]). Turklāt GLP ir trīs jauktu aksiomu shēmas, proti, kā formulējis Beklemishev (2010): [m] A / rightarrow [n] A, / mbox {for} m / leq n) (langle k / rangle A / rightarrow [n] langle k / rangle A, / mbox {for} k / lt n) [m] A / rightarrow [n] [m] A, / mbox {for} m / leq n)

GLP nesen ir apveltīta ar Kripke semantiku, attiecībā uz kuru tā ir pilnīga, un ir arī pierādīts, ka tā ir aritmētiski pilnīga attiecībā uz Peano aritmētiku (sk. Beklemishev 2010a, 2011a). Tāpat kā GL gadījumā, arī GLP lēmumu problēma ir pilnīga PSPACE (Shapirovsky 2008), savukārt tās slēgtais fragments ir polinoma laika ziņā pieņemams (Pakhomov 2014).

Pēdējos gados ir pierādīti vairāki rezultāti par polimodālās loģikas GLP ar izteiktu predikātu provability. Šeit seko dažas īpaši auglīgas tēmas:

  • slēgtais GLP fragments (sk. Ignatiev 1993; Beklemeševs, Joosten un Vervoort 2005);
  • GLP un teorētiski pamatprincipi (Beklemishev 2004);
  • Interpolācijas teorēmas GLP (sk. Beklemishev 2010b, Shamkanov 2011);
  • Saistība starp topoloģisko semantiku un kopumu teoriju, cita starpā, ar lielām kardinālām aksiomām un stacionāru refleksiju (sk. Beklemishev 2011b; Beklemishev and Gabelaia 2013, 2014; Fernández-Duque 2014).

Prognozējamības loģika

Visbeidzot, protams, var izpētīt provizoriskuma loģiku. Valoda ir predikatīvās loģikas valodā bez funkciju simboliem kopā ar operatoru (Box). Šeit situācija kļūst daudz sarežģītāka nekā piedāvājuma provability loģikas gadījumā. Sākumā tiešajai kvantitatīvajai GL versijai nav fiksētā punkta īpašības, tā nav pilnīga attiecībā uz jebkuru Kripke kadru klasi un nav aritmētiski pilnīga attiecībā uz Peano aritmētiku (Montagna, 1984). Tad rodas jautājums: vai ir kāda adekvāti aksiomatizēta predikatīvā provabilitātes loģika, kas precīzi pierādītu spēkā esošos provability principus? Diemžēl atbilde ir skanīga:Vardanjans (1986), pamatojoties uz Artemova (1985a) idejām, ir pierādījis, ka predikatīvās provabilitātes loģikas teikumu kopums, kura visu realizāciju var pierādīt PA, nav pat rekursīvi uzskaitāms, bet (Pi ^ 0_2) - pabeigts, tāpēc tai nav pamatotas aksiomatizācijas. Vesers un De Jonge (2006) parādīja, ka no Vardanjana teorēmas nav iespējams izvairīties, pierādot vispārinājumu: Plašam aritmētisko teoriju lokam (T) predikāta provalabitātes loģikas teikumu kopa, kuras visas realizācijas ir pierādāmas (T) izrādās (Pi ^ 0_2) - arī pabeigts. Plašam aritmētisko teoriju lokam (T) arī predikātu provabilitātes loģikas teikumu kopums, kura visi realizējamie ir ((T)), izrādās (Pi ^ 0_2) - arī pilnīgs. Plaša spektra aritmētisko teoriju (T) gadījumā predikātu provabilitātes loģikas teikumu kopa, kuru visi realizējamie ir ((T)), ir izrādījusies (Pi ^ 0_2) - arī pilnīga.

5.6. Citi vispārinājumi

Iepriekš minētajā diskusijā ir izlaisti daudzi citi svarīgi virzieni provability loģikā un tās paplašinājumos. Ieinteresētais lasītājs tiek norādīts uz šādām jomām:

  • intuitīvās aritmētikas pārbaudāmības loģika (sk. Troelstra 1973; Visser 1982, 1999; Iemhoff 2000, 2001, 2003; Visser 2002, 2008);
  • provability loģikas klasifikācija (sk. Visser 1980, Artemov 1985b, Beklemishev 1989, Beklemishev et al. 1999);
  • Rosser pasūtījumi un pierādījumu paātrināšana (sk. Guaspari un Solovay 1979, Švejdar 1983, Montagna 1992);
  • dažāda veida bimodālo provalabitātes loģiku ar provovativitātes operatoriem dažādām teorijām (sk. Carlson 1986; Smoryński 1985; Beklemishev 1994, 1996);
  • standarta provalabitātes loģiskums apvienojumā ar neparastu provalabitāti predikē ārēji uzskaitot PA, piemēram, Fefermana un Parikh provability predikāti un lēnas provability predikāti (sk. Montagna 1978; Visser 1989; Shavrukov 1994; Lindström 1994, 2006; Henk and Pakhomov 2016 (Other Internet Resources)).);
  • skaidru pierādījumu loģika (sk. Artemov 1994, 2001; Artemov and Montagna 1994; Artemov and Iemhoff 2007);
  • provability loģikas pielietojumi pierādījumu teorijā (sk. Beklemishev 1999, 2004, 2005, 2006);
  • pozitīvas provability loģika un refleksijas aprēķins (sk. Beklemeševs 2012, 2014; Daškovs 2012);
  • polimodālās provalabitātes loģikas GLP vispārinājumi, proti, provability loģika ar bezgalīgi daudzām modalitātēm (sk. Beklemishev et al. 2014; Fernández-Duque and Joosten 2013a, 2013b, 2013 (Other Internet Resources), 2014);
  • sakarības starp provability loģiku un (mu) - calculus (sk. van Benthem 2006, Visser 2005, Alberucci and Facchini 2009); un
  • provability algebras, sauktas arī par diagonalizējamām algebras vai Magari algebras (sk. Magari 1975a, 1975b; Montagna 1979, 1980a, 1980b; Shavrukov 1993a, 1993b, 1997; Zambella 1994; jaunākos rezultātus viņu elementārajās teorijās skat. Pakhomov 2012, 2014 (Cits internets) Resursi), 2015 (Citi interneta resursi)).

Lasītājam, kurš vēlas dot ieguldījumu provability loģikas jomā un tās vispārinājumos, Beklemeševs un Visser (2006) ir ierosinājuši anotētu sarakstu ar intriģējošām atklātām problēmām.

6. Filozofiskā nozīme

Lai arī piedāvājošā loģiskuma loģika ir modāla loģika ar sava veida “nepieciešamības” operatoru, tā Kvina (1976) pretrunīgi vērtēto modālo jēdzienu kritiku uzskata par nesaprotamu jau skaidras un nepārprotamas aritmētiskās interpretācijas dēļ. Piemēram, atšķirībā no daudzām citām modālajām loģikām, formulas ar ligzdotām modalitātēm, piemēram, (Box / Diamond p / rightarrow / Box / bot), nav problemātiskas, kā arī nav strīdu par to, kurām vajadzētu būt tautoloģijām. Faktiski provability loģika iemieso visu tieksmi, ko Kvīns (1953) izvirzīja modalitātes sintaktiskajai apstrādei.

Kvina galvenās bultiņas bija vērstas uz modālā predikāta loģiku, it īpaši teikumu konstruēšanu, kas satur modālos operatorus kvantifikatoru ietvaros (“kvantificēt”). Predikatīvās provizoriskuma loģikā, kur skaitlisko rādītāju diapazons pārsniedz naturālos skaitļus, pretēji citiem modālajiem loģikas gadījumiem gan deicto, gan de remodalitātei ir tieša interpretācija (sk. Piezīmi par deicto / de re nošķiršanu). Piemēram, tādas formulas kā

(forall x \, / Box \, / eksistē y \, (y = x))

nepavisam nav problemātiski. Ja skaitlis (n) tiek piešķirts (x), tad (Box \, / eksistē y \, (y = x)) ir taisnība attiecībā uz šo uzdevumu, ja teikums (eksistē y \, (y = I_n)) ir pierādāms Peano aritmētikā; šeit (I_n) ir skaitlis (n), ti, termins (bs / bs / ldots / bs 0) ar (n) operatora pēcteča gadījumiem (bs). Šis teikums attiecas uz visiem (n) dabisko skaitļu standarta modelī, un (forall x \, / Box \, / eksistē y \, (y = x)) ir pat pierādāms Peano aritmētikā..

Starp citu, Barcan formula

(forall x \, / Box \, A (x) rightarrow / Box \, / forall x \, A (x))

nav taisnība attiecībā uz veseliem skaitļiem, nemaz nerunājot par pierādāmiem (piemēram, ņemiet par (A (x)) formulu “(x) nekodē (bot)” pierādījumu). Tā ir pretēja

(Box \, / forall x \, A (x) rightarrow / forall x \, / Box \, A (x))

no otras puses, ir pierādāms programmā Peano Aritmētika jebkurai formulai (A).

Pārliecinātības loģikai ir ļoti atšķirīgi principi nekā citām modālajām loģikām, pat tām, kurām ir šķietami līdzīgs mērķis. Piemēram, kamēr provability loģika fiksē provability aritmētisko formālo teoriju teorijās, epistemic loģika mēģina aprakstīt zināšanas, kuras varētu uzskatīt par sava veida neformālu provability. Daudzās epistemiskās loģikas versijās viens no vissvarīgākajiem principiem ir patiesības aksioma (5):

(mbox {S5} vdash / Box A / labā bultiņa A, (text {ja kāds zina} A, / text {tad} A / text {is true}).)

Līdzīgs princips acīmredzami neattiecas uz GL: galu galā, (text {if} GL / vdash / Box A / rightarrow A, / text {then} GL / vdash A.)

Tādējādi šķiet nepareizi salīdzināt abu jēdzienu stiprumu vai apvienot tos vienā modālā sistēmā. Varbūt formālā pierādāmība kaut kādā ziņā patiešām ir spēcīgāks jēdziens nekā neformāla pierādāmība, taču noteikti tā nav aritmētiska patiesība vai pamatotība, ne arī otrs virziens. Gēdela nepabeigtības teorēmu seku apspriešana dažkārt ir saistīta ar neskaidrībām ap pierādāmības jēdzienu, kas rada apgalvojumus, ka cilvēki varētu pārspēt formālās sistēmas, “zinot” teorēmas (skat. Davis (1990, 1993), lai labi apspriestu šādus apgalvojumus).

Kopumā formālā pierādāmība ir precīzi definēts jēdziens, daudz vairāk nekā patiesība un zināšanas. Tādējādi pašnoteikšanās pārbaudāmības ietvaros nenoved pie tādiem semantiskiem paradoksiem kā melis. Tā vietā tas ir novedis pie dažiem vissvarīgākajiem matemātikas rezultātiem, piemēram, Gēdela nepabeigtības teorēmas.

Bibliogrāfija

Vispārīgas atsauces uz pārbaudāmības loģiku

  • Artemovs, SN, 2006, “Modālā loģika matemātikā”, P. Blackburn, et al. (red.), Modālās loģikas rokasgrāmata, Amsterdama: Elsevier, 927. – 970. lpp.
  • Artemovs, SN un LD Beklemiševs, 2004. gads, “Provability Logic”, Filozofiskās loģikas rokasgrāmatā, otrais izdevums, D. Gabbay and F. Guenthner, red., 13. sējums, Dordrecht: Kluwer, 229. – 403. Lpp.
  • Boolos, G., 1979, Konsekvences neproducējamība: Eseja modālajā loģikā, Kembridža: Cambridge University Press.
  • –––, 1993, Provability Logic, New York and Cambridge: Cambridge University Press.
  • de Jongh, DHJ un G. Japaridze, 1998, “Provability Logic”, pierādījumu teorijas rokasgrāmatā, Buss, SR (ed.), Amsterdam: North-Holland, 475–546. lpp.
  • Lindström, P., 1996, “Provability Logic-Short Īss ievads”, Theoria, 52 (1–2): 19–61.
  • Segerbergs, K., 1971. gads, Eseja klasiskajā modālajā loģikā, Upsala: Filosofiska Föreningen un Filosofiska Institutionen vid Upsala Universitet.
  • Švejdar, V., 2000, “On Provability Logic”, Nordic Journal of Philosophy, 4: 95–116.
  • Smoryński, C., 1985, Paš atsauce un modālā loģika, Ņujorka: Springer-Verlag.
  • Verbrugge, R. 1996, “Provability” filozofijas enciklopēdijā (papildinājums), DM Borchert (ed.), New York: Simon and Schuster MacMillan, 476. – 478. Lpp.
  • Vesers, A., 1998. gads, “Provability Logic” Routledge Philosophy Encyclopedia, W. Craig (ed.), London: Routledge, 793. – 797. Lpp.

Vēsture

  • van Benthem, JFAK, 1978. gads, “Četri paradoksi”, Journal of Philosophical Logic, 7 (1): 49–72.
  • Boolos, G. un G. Sambin, 1991, “Provability: The Mathematical Modality Emergence”.”Studia Logica, 50 (1): 1–23.
  • Gödel, K., 1933, “Eine Interpretation des intuitionistischen Aussagenkalküls”, Ergebnisse eines Mathematischen Kolloquiums, 4: 39–40; tulkojums “Intuitionistic Propositional Calculus interpretācija”, K. Gödel, Collected Works, S. Feferman et al. (red.), Oxford and New York: Oxford University Press, 1986, 1. sējums, 300–302. lpp.
  • –––, 1931. gads, “Augstākā izglītība, kas nepieciešama, lai atjauninātu Mathematica und Verwandter Systeme I”, “Monatshefte für Mathematik und Physik”, 38: 173–198.
  • Halbaha, V. un A. Vesera, 2014. gads, “Henkina teikums”, M. Mazano, I. Sain un E. Alonso (red.), Leon Leon Henkin Life and Work: Esejas par viņa ieguldījumu, Dordrecht: Springer International Publishing, 249. – 263.
  • Henkins, L., 1952. gads, “Problēma saistībā ar pārbaudāmību”, Journal of Symbolic Logic, 17: 160.
  • –––, 1954, “G. Kreisela apskats: par Leona Henkina problēmu”, Symbolic Logic Journal, 19 (3): 219–220.
  • Hilberts, D. un P. Bernaiss, 1939. gads, Grundlagen der Mathematik, 2. sējums, Berlīne / Heidelberga / Ņujorka: Springer-Verlag.
  • Kreisel, G., 1953. gads, “Par problēmu ar Leonu Henkinu”, Indagationes Mathematicae, 15: 405–406.
  • Lūiss, CI, 1912. gads, “Implikācija un loģikas algebra”, Mind, 21: 522–531.
  • Löbs, MH, 1955. gads, “Leona Henkina problēmas risinājums”, Journal of Symbolic Logic, 20: 115–118.
  • Macintyre, AJ un H. Simmons, 1973, “Gēdela diagonalizācijas paņēmiens un teoriju saistītās īpašības”, Colloquium Mathematicum, 28: 165–180.
  • Magari, R., 1975a, “Diagonizējamās algebras”, Bollettino della Unione Mathematica Italiana, 12: 117–125.
  • –––, 1975b, “Diagonizējamo algebru attēlojuma un divdabības teorija”, Studia Logica, 34 (4): 305–313.
  • Smiley, TJ, 1963. gads, “Ētikas loģiskais pamats”, Acta Philosophica Fennica, 16: 237–246.
  • Smoryński, C., 1991, “Paš atsauces attīstība: Lēba teorēma”, T. Drucker (red.), Matemātiskās loģikas vēstures perspektīvas, Bāzele: Birkhäuser, 110. – 133. Lpp.

Izgriezuma novēršana loģiskuma loģikai

  • Gore, R. un R. Ramanayake, 2008, “Valentini's Cut-Elimination for Provability Logic Resolved”, Advances in Modal Logic 7. sējums, C. Areces un R. Goldblatt (red.), London: College Publications, 67. lpp. -86.
  • Negri, S., 2005, “Proof Analysis in Modual Logic”, Journal of Philosophical Logic, 50: 507–544.
  • Negri, S., 2014, “Pierādījumi un pretmodeļi neklasiskajā loģikā”, Logica Universalis, 8 (1): 25–60.
  • Poggiolesi, F., 2009, “Tīri sintaktisks un bez griezuma secīgs aprēķins modālās loģiskuma loģikai”, The Symbolic Logic Review, 2 (4): 593–611.
  • Rautenberg, W., 1983, “Modālā tabulas aprēķini un interpolācija”, Journal of Philosophical Logic, 12 (4): 403–423.
  • Sambins, G. un S. Valentīni, 1982. gads, “Provatalitātes modālā loģika. Secīgā pieeja”, Journal of Philosophical Logic, 11 (3): 311–342.
  • Šamkanovs, DS, 2011, “Provability Logics GL un GLP interpolācijas īpašības”, Steklov Matemātikas institūta raksti, 274 (1): 303–316.
  • –––, 2014, “Apļveida pierādījumi Gēdela-Lības provabilitātes loģikai”, Mathematical Notes, 96 (4): 575–585.
  • Smoryński, C., 1978. gads, “Beta teorija un pašreferenciālie teikumi”, Pētījumi loģikā un matemātikas pamati, 96: 253–261.
  • Valentini, S., 1983. gads, “Pārveidojamības modālā loģika: griešana-novēršana”, Philosophical Logic Journal, 12: 471–476.

Fiksētā punkta teorēma

  • de Jongh, DHJ un F. Montagna, 1988, “Provable Fixed Points”, Mathematical Logic Quarterly, 34 (3): 229–250.
  • Lindström, P., 2006, “Piezīme par dažām fiksētu punktu konstrukcijām pārbaudāmības loģikā”, Journal of Philosophical Logic, 35 (3): 225–230.
  • Reidhaar-Olson, L., 1990, “Jauns pierādījums fiksējamības punkta teorijai par provability Logic”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 31 (1): 37–43.
  • Sambins, G., 1976. gads, “Efektīva fiksēta punkta teorēma intuitionistiski diagonalizējamās algebras (Theor izteiktās teorijas, kas izsaka teoriju, IX.),” - Studia Logica 35: 345–361.
  • Sambins, G. un S. Valentīni, 1982. gads, “Provatalitātes modālā loģika. Secīgā pieeja”, Journal of Philosophical Logic, 11 (3): 311–342.

Iespējamā pasaules semantika un topoloģiskā semantika

  • Abashidze, M., 1985. gads, “Gēdela-Lības modālās sistēmas parastais pilnīgums” (krievu valodā) intensīvajā loģikā un teoriju loģiskajā struktūrā, Tbilisi: Metsniereba, 49. – 73. Lpp.
  • Aiello, M., I. Pratt-Hartmann un J. van Benthem (red.), 2007, Telpiskās loģikas rokasgrāmata, Berlīne: Springer-Verlag.
  • Beklemiševs, LD 2009, “Bimodālās provability Logic GLB parastais pilnīgums” Starptautiskajā Tbilisi loģikas, valodas un skaitļošanas simpozijā, Berlīnē: Springer-Verlag, 1. – 15. Lpp.
  • Beklemiševs, LD, G. Bezhanishvili un T. Icard, 2009, “Par GLP topoloģiskajiem modeļiem”, R. Šindlers (red.), Pierādīšanas teorijas veidi (Ontos matemātiskā loģika: 2. sējums), Frankfurte: Ontos Verlag, 133. – 153.
  • Blass, A., 1990, “Infinitary Combinatorics and Moddal Logic”, Journal of Symbolic Logic, 55 (2): 761–778.
  • Esakia, L., 1981, “Diagonālās konstrukcijas, Löbas formula un kantora izkliedētās telpas” (krievu valodā), loģikas un semantikas studijās, Z. Mikeladze (red.), Tbilisi: Metsniereba, 128. – 143. Lpp.
  • –––, 2003, “Intuitionistic Logic and Modality via Topology”, Annals of Pure and Applied Logic, 127: 155–170.
  • Gore, R., 2009, “Mašīnu pārbaudes pierādījumu teorija: loģikas pielietojums loģikai”. ICLA '09: Indijas 3. konferences par loģiku un tās pielietojumu materiāli, Berlīne: Springer-Verlag, 23. – 35. Lpp.
  • Gore, R. un Dž. Kelly, 2007. gads, “Automatizēta pierādījumu meklēšana Gēdela-Lības pierādāmības loģikā”, Lielbritānijas loģikas kolokvijs 2007, pieejams vietnē https://www.dcs.bbk.ac.uk/~roman/blc/.
  • Hakli, R. un S. Negri, 2012, “Vai atskaitīšanas teorēma neizdodas modālajai loģikai?”, Synthese 187 (3): 849–867.
  • Icard, TF III, 2011, “GLP slēgtā fragmenta topoloģiskais pētījums”, Journal of Logic and Computation, 21 (4): 683–696; pirmo reizi publicēts tiešsaistē 2009. gadā, doi: 10.1093 / logcom / exp043
  • Japaridze, GK, 1986, Modaļas loģiskie pierādāmības izpētes līdzekļi, filozofijas darbs (krievu valodā), Maskava.
  • McKinsey, JCC un A. Tarski, 1944, “Topoloģijas algebra”, Annals of Mathematics, 45: 141–191.

Pierādāmība un Peano aritmētika

  • Deiviss, M., 1958. gads, Datorizējamība un neatrisināmība, Ņujorka, Makgreivs; pārpublicēts ar papildu pielikumu, New York, Dover Publications 1983.
  • Feferman, S., 1960, “Metamatemātikas aritmetizēšana vispārējā vidē”, Fundamenta Mathematicae, 49 (1): 35–92.
  • Hájek, P. un P. Pudlák, 1993, Pirmās kārtas aritmētikas metamatemātika, Berlīne: Springer-Verlag.
  • Solovay, RM, 1976. gads, “Modālās loģikas pierādāmības interpretācija”, Israel Journal of Mathematics, 25: 287–304.

Provability loģika: robežas

  • Berarducci, A. un R. Verbrugge, 1993, “Par ierobežota aritmētikas loģiskuma loģiku”, Annals of Pure and Applied Logic, 61: 75–93.
  • Buss, SR, 1986, Ierobežota aritmētika, Neapole: Bibliopolis.
  • de Džongs, DHJ, M. Džumelets un F. Montagna, 1991. gads, “Par Solovaja teorijas pierādījumu”, Studia Logica, 50 (1): 51–70.

Interpretācijas loģika

  • Berarducci, A., 1990, “Peano aritmētikas interpretācijas loģika”, Journal of Symbolic Logic, 55: 1059–1089.
  • de Jongh, DHJ un F. Veltman, 1990, “Provability Logics for Relatīvā Interpretability”, PP Petkov (red.), Matemātiskā loģika: Heyting 1988. gada Vasaras skolas Proceedings of Varna, Bulgārija, Boston: Plenum Press, lpp. 31–42.
  • de Jongh, DHJ un A. Visser, 1991, “Skaidri fiksēti punkti interpretācijas loģikā”, Studia Logica, 50 (1): 39–49.
  • Joosten, JJ, un Visser, A., 2000, “Visu saprātīgo aritmētisko teoriju interpretācijas loģika”, Erkenntnis, 53 (1-2): 3–26.
  • Montagna, F., 1987, “Provability in finite subtheories of PA”, Journal of Symbolic Logic, 52 (2): 494–511.
  • Šavrukovs, V. Yu, 1988. gads, “Peano aritmētikas relatīvās interpretācijas loģika”, Tehniskais ziņojums Nr. 5, Maskava: Steklovas matemātikas institūts (krievu valodā).
  • Švejdar, V., 1983, “Generalizētu Rosser teikumu modālā analīze”, Journal of Symbolic Logic, 48: 986–999.
  • Visser, A., 1990, “Interpretability Logic”, PP Petkov (ed.), Matemātiskā loģika: Heyting 1988. gada Vasaras skolas, Varna, Bulgārija, Bostona, izdevumi: Plenum Press, 175. – 209. Lpp.
  • –––, 1998, “Pārskats par interpretācijas loģiku”, M. Krahta et al. (red.), Advances in Modal Logic (1. sējums), Stenforda: CSLI Publications, 307. – 359. lpp.

Provizoriski skaitliski

  • Artemovs, SN un LD Beklemiševs, 1993. gads, “Par propozitīvajiem kvantitatīvajiem pierādījumiem loģikā”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 34: 401–419.
  • Šavrukovs, V. Y., 1997, “Neaptveramība diagonalizējamās algebras”, Journal of Symbolic Logic, 62: 79–116.

Japaridzes bimodālās un polimodālās provabilitātes loģika

  • Beklemiševs, LD, 2004, “Provability Algebras and Proof-Theoretic Ordinals, I”, Annals of Pure and Applied Logic, 128: 103–123.
  • –––, 2010a, “Kripke Semantics for Provability Logic GLP”, Annals of Pure and Applied Logic, 161 (6): 756–774.
  • –––, 2010b, “Par Kreiga interpolāciju un GLP fiksēto punktu īpašībām”, S. Feferman et al. (red.), Proofs, Kategorijas un skaitļojumi (Tributes, 13), Londona: College Publications, 49. – 60. lpp.
  • –––, 2011a, „Vienkāršots pierādījums par loģiskās loģikas LLP aritmētiskās pilnīguma teorēmas izpildi”, Proceedings Steklov Matemātikas institūts, 274. lpp. (1): 25–33.
  • –––, 2011b, “Bimodālā provability Logic GLB parastais pilnīgums”, N. Bezhanishvili et al. (red.), loģika, valoda un skaitļošana, 8. Starptautiskais Tbilisi simpozijs TbiLLC 2009 (Datorzinātnes lekciju piezīmes: 6618. sējums), Heidelberga: Springers, 1. – 15. lpp.
  • Beklemeševs, LD, un D. Gabelaia, 2013, “Provability Logic GLP topoloģiskais pilnīgums”, Annals of Pure and Applied Logic, 164 (12): 1201–1223.
  • –––, 2014, “Provability Logic topoloģiskās interpretācijas”, G. Bezhanishvili (red.), Leo Esakia par modulitāti un intuīciju loģiku (izcils ieguldījums loģikā: 4. sējums), Heidelberg: Springer, 257. lpp. 290. lpp.
  • Beklemiševs, LD, J. Joosten un M. Vervoort, 2005, “Japaridzes provability logic slēgtā fragmenta galīgais režīms”, Journal of Logic and Computation, 15 (4): 447–463.
  • Fernández-Duque, D. un JJ Joosten, 2014, “Labi pasūtījumi Transfinite Japaridze Algebra”, IGPL Logic Journal, 22 (6): 933–963.
  • Ignatiev, KN, 1993. gads, “Par spēcīgas provability Prognozes un ar to saistīto modālo loģiku”, Journal of Symbolic Logic, 58: 249–290.
  • Japaridze, G., 1988, “Polimodālā provability logic” intensīvajā loģikā un teoriju loģiskajā struktūrā: Materiāls no ceturtā Padomju un Somijas loģikas simpozija, Telavi, 16. – 48. Lpp.
  • Pakhomov, FN, 2014, “Par Japaridzes provabilitātes loģikas slēgtā fragmenta sarežģītību”, Matemātiskās loģikas arhīvs, 53 (7-8): 949–967.

Prognozējamības loģika

  • Artemovs, SN, 1985.a., “Patiesības prognozējamības loģikas nearitmētiskums”, Doklady Akademii Nauk SSSR, 284: 270–271 (krievu valodā); Tulkojums angļu valodā padomju matemātikā Doklady, 32: 403–405.
  • McGee, V. un G. Boolos, 1987. gads, “Paredzamās pārbaudāmības loģikas teikumu kopuma pakāpe, kas ir patiesa katrā interpretācijā”, Journal of Symbolic Logic, 52: 165–171.
  • Vardanyan, VA, 1986. gads, “Prognozējamās loģikas un to fragmentu prognozētās loģikas aritmētiskā kompleksi”, Doklady Akademii Nauk SSSR, 288: 11–14 (krievu valodā); Tulkojums angļu valodā padomju matemātikā Doklady, 33: 569–572.
  • Vesers, A. un M. de Jonge, 2006. gads, “Nevar izvairīties no Vardanjana teorēmas”, Matemātiskās loģikas arhīvs, 45 (5): 539–554.

Citi vispārinājumi

  • Alberucci, L. un A. Facchini, 2009, “Par modālo μ-Calculus un Gödel-Löb loģiku”, Studia Logica, 91: 145–169.
  • Artemovs, SN, 1985b, “Par modālās loģikas aksiomatizējošo provability”, Izvestiya Akadademii Nauk SSSR, Seriya Matematicheskaya, 49 (6): 1123–1154 (krievu valodā); Tulkojums angļu valodā PSRS matemātikā - Izvestiya, 27. (3): 402–429.
  • ––– 1994, “Pierādījumu loģika”, Tīras un pielietojamas loģikas žurnāli, 67 (2): 29–59.
  • –––, 2001, “Nepārprotamā provability un konstruktīvā semantika”, Symbolic Logic biļetens, 7: 1–36.
  • Artemovs, SN un R. Iemhoffs, 2007. gads, “Pierādījumu pamata intuitīvā loģika”, Journal of Symbolic Logic, 72 (2): 439–451.
  • Artemovs, SN un F. Montagna, 1994, “Par pirmās kārtas teorijām ar nodrošināšanas operatoru”, Journal of Symbolic Logic, 59 (4): 1139–1153.
  • Beklemiševs, LD, 1989, “Par propozitīvās provalences loģikas klasifikāciju”, Izvestiya Akademii Nauk, SSSR, Seriya Matematicheskaya., 53 (5): 915–943 (krievu valodā); Tulkojums angļu valodā PSRS matemātikā - Izvestiya, 35 (1990) 247–275.
  • ––– 1994, “On Provovable Bimodal Logics”, Annals of Pure and Applied Logic, 68: 115–160.
  • –––, 1996, “Bimodālā loģika aritmētisko teoriju paplašinājumiem”, Journal of Symbolic Logic, 61: 91–124.
  • –––, 1999, “Parametru brīva indukcija un iespējamās kopējās aprēķināmās funkcijas”, Teorētiskā datorzinātne, 224: 13–33.
  • –––, 2005, “Pārdomu principi un provability algebras formālajā aritmētikā”, Uspekhi Matematicheskikh Nauk, 60 (2): 3–78. (krieviski); Tulkojums angļu valodā: Russian Mathematical Surveys, 60 (2) (2005): 197–268.
  • –––, 2006, “Tārpa princips”, Lekcijas piezīmes logikā 27. Logic Colloquium '02, Z. Chatzidakis, P. Koepke un W. Pohlers (red.), Natick (MA): AK Peters, pp 75–95.
  • –––, 2012, “Provability Logic kalibrēšana: no modālās loģikas līdz refleksijas aprēķinam”, T. Bolander, T. Braüner, S. Ghilardi un L. Moss (red.), Advances in Modual Logic (9. sējums)., Londona: College Publications, 89. – 94. Lpp.
  • –––, 2014, “Pozitīvas pierādāmības loģika vienotiem pārdomu principiem”, Annals of Pure and Applied Logic, 165 (1): 82–105.
  • Beklemiševs, LD, D. Fernández-Duque un JJ Joosten, 2014, “Par pierādāmības loģiku ar lineāri sakārtotām modalitātēm”, Studia Logica, 102 (3): 541–566.
  • Beklemiševs, LD, M. Pentus un N. Vereshchagin, 1999, Provability, Complexity, Grammars, American Mathematical Society Translations (2. sērija, 192. sējums).
  • Beklemiševs, LD un A. Vesers, 2006. gads, “Problēmas loģiskuma loģikā”, DM Gabbajs, SS Gončarovs un M. Zakharjaševs (red.), Matemātiskās problēmas no lietišķās loģikas I: Loģika XXI gs. (Starptautiskā matemātikas sērija), 4. sējums), Ņujorka: Springer, 77. – 136. lpp.
  • van Benthem, J., 2006, “Modālo rāmju korespondences un fiksētie punkti”, Studia Logica, 83 (1–3): 133–155.
  • Carlson, T., 1986, “Modālā loģika ar vairākiem operatoriem un Provability Interpretions”, Israel Journal of Mathematics, 54 (1): 14–24.
  • Daškovs, EV, 2012. gads, “Par polimodālā provability Logic GLP pozitīvo fragmentu”, Mathematical Notes, 91 (3): 318–333.
  • Fernández-Duque, D., 2014, “Transfinite Provability Logic Polytopologies”, “Matemātiskās loģikas arhīvs, 53 (3-4): 385–431.
  • Fernández-Duque, D. un JJ Joosten, 2013a, “Hiperācijas, Veblena progresijas un parasto funkciju transfinitālā atkārtošana”, Tīras un pielietojamas loģikas Annals 164 (7-8): 785–801, [pieejams tiešsaistē].
  • Fernández-Duque, D. un JJ Joosten, 2013b, “Transfinite Provability Logic Models”, Journal of Symbolic Logic, 78 (2): 543–561, [pieejams tiešsaistē].
  • Guaspari, D. un RM Solovay, 1979. gads, “Rosser Sentences”, Annals of Mathematical Logic, 16: 81–99.
  • Iemhoff, R., 2000, “Dažu heitējošās aritmētikas nodrošināšanas loģikas principu modāla analīze”, Advances in Modal Logic (2. sējums), M. Zakharyashev et al. (red.), Stanford: CSLI Publications, 319. – 354. lpp.
  • –––, 2001, “Par pieļaujamajiem intuitīvās propozitīvās loģikas noteikumiem”, Journal of Symbolic Logic, 66: 281–294.
  • –––, 2003, “Preservativitātes loģika: konstruktīvo teoriju interpretācijas loģikas analogs”, Matemātiskās loģikas ceturksnis, 49 (3): 1–21.
  • Lindström, P., 1994, “Parikh Provability Modal Logic”. Filosofiska Meddelanden, Gröna Serien, Gēteborga: Göteborgs Universitetet.
  • Lindström, P., 2006, “Par Parhh Provability: Exercise in Modual Logic”, H. Lagerlund, S. Lindström un R. Sliwinski (red.), Modality Matters: Divdesmit piecas esejas par godu Kristeram Segerbergam, Upsala: Upsalas filozofiskie pētījumi (53. sējums), 53. – 287.
  • Montagna, F., 1978. gads, “Par Fefermana predikāta sakārtošanu”, Studia Logica, 37 (3): 221–236.
  • –––, 1979. gads, “Par Peano aritmētikas diagonalizējamo algebru”, Bollettino della Unione Matematica Italiana, B (5), 16: 795–812.
  • ––– 1980. gads, “Diagonizējamo algebru pirmās kārtas teorijas interpretācija Peano aritmētikā”, Studia Logica, 39: 347–354.
  • ––– 1980b, “Diagonizējamo algebru pirmās kārtas teorijas neizskaidrojamība”, Studia Logica, 39: 355–359.
  • –––, 1984, “Paredzamā modālā loģiskuma loģika”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 25 (2): 179–189.
  • –––, 1992, “Polinomiski un supereksponenciāli īsāki pierādījumi aritmētikas fragmentos”, Journal of Symbolic Logic, 57: 844–863.
  • Pakhomov, FN, 2012, “GLP vārdu salikuma elementārās teorijas neizskaidrojamība”, Sbornik: Mathematics, 203 (8): 1211.
  • Šapirovskis, I., 2008. gads, “Japaridzes polimodālās loģikas PSPACE-izlemjamība”, Advances in Modal Logic, 7: 289–304.
  • Šavrukovs, V. Yu, 1993a, “Piezīme par PA un ZF diagonalizējamām algebrām”, Annals of Pure and Applied Logic, 61: 161–173.
  • –––, 1993.b, “Aritmētisko teoriju diagonalizējamo algebru subalgebras”, Dissertationes Mathematicae, 323.
  • ––– 1994, “Gudrs Peano bērns”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 35 (2): 161–185.
  • Troelstra, AS, 1973, Intuitionistic aritmētikas un analīzes metamatemātiskie pētījumi, Berlīne: Springer-Verlag.
  • Visser, A., 1980, Diagonalizācijas un pierādāmības aspekti, Ph. D. Promocijas darbs, Utrehta: Utrehtas Universitāte.
  • –––, 1982, “Par pilnīguma principu: Heitinga aritmētikas un pagarinājumu pierādāmības pētījums”, Annals of Mathematical Logic, 22 (3): 263–295.
  • –––, 1989. gads, “Peano viedie bērni: loģisks pētījums par sistēmām ar iebūvētu konsekvenci”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 30 (2): 161–196.
  • –––, 1999, “Noteikumi un aritmētika”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 40 (1): 116–140.
  • –––, 2002, “(Sigma_1) teikumu aizstāšana: izpēte starp intuitīvo propozitīvo loģiku un intuitīvo aritmētiku”, Annals of Pure and Applied Logic, 114: 227–271.
  • –––, 2005, “Löb's Logic Meets the μ-Calculus”, A. Middeldorp, V. van Oostrom, F. van Raamsdonk un R. de Vrijer (red.), Procesi, noteikumi un cikli: Soļi uz ceļa to Infinity, Berlin: Springer, 14. – 25. lpp.
  • –––, 2008, “Konstruktīvo teoriju provability logics slēgtie fragmenti”, Journal of Symbolic Logic, 73: 1081–1096.
  • Zambella, D., 1994, “Šavrukova teorēma par diagonalizējamo algebru subalgebrām teorijām, kas satur (I / Delta_0 + / exp)”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 35: 147–157.

Filozofiskā nozīme

  • Deiviss, M., 1990, “Vai matemātiskais ieskats ir algoritmisks?”. Komentārs par Rodžeru Penrozi, Imperatoru jaunais prāts, uzvedības un smadzeņu zinātne, 13: 659–660.
  • –––, 1993, “Cik smalka ir Gēdela teorēma?” (Komentārs par Rodžeru Penrozi, Imperatoru jauno prātu), Uzvedības un smadzeņu zinātnes, 16: 611–612.
  • Egrē, P., 2005. g., “Zināmais paradokss modālās loģikas loģiskuma interpretācijas kontekstā”, Loģikas, valodas un informācijas žurnāls, 14 (1): 13–48.
  • Kaplans, D. un R. Montāgi, 1960. gads, “Atgriezies paradokss”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 1 (3): 79–90.
  • Montague, R., 1963. gads, “Modalitātes sintaktiski traktējumi ar pārdomu principa korekcijām un ierobežotu aksiomatizējamību”, Acta Philosophica Fennica, 16: 153–67.
  • Quine, WV, 1966, “Nepieciešamā patiesība” Quine, WV, The Paradox Ways of Paradox and Other Essays, New York: Random House, 48. – 56.
  • ––– 1953. gadā “Trīs modālās iesaistīšanās pakāpes” Amsterdamas 11. Starptautiskā filozofijas kongresa rakstu krājumos: Ziemeļholande, 65. – 81. lpp. pārpublicēts WV Quine, The Parays Ways of Paradox and Other Essays, New York: Random House, 1966, 156. – 174.

Akadēmiskie rīki

sep cilvēks ikona
sep cilvēks ikona
Kā citēt šo ierakstu.
sep cilvēks ikona
sep cilvēks ikona
Priekšskatiet šī ieraksta PDF versiju vietnē SEP Friends.
inpho ikona
inpho ikona
Uzmeklējiet šo ierakstu tēmu interneta filozofijas ontoloģijas projektā (InPhO).
phil papīru ikona
phil papīru ikona
Uzlabota šī ieraksta bibliogrāfija vietnē PhilPapers ar saitēm uz tā datu bāzi.

Citi interneta resursi

Referāti un prezentācijas

  • Fernández-Duque, D. un JJ Joosten, 2013. gads, “Pārrobežu provabilitātes loģikas Omega noteikumu interpretācija” tiešsaistes manuskripts vietnē arxiv.org.
  • Henk, P. un Pakhomov, F., 2016, “Lēna un parasta izredzes uz Peano aritmētiku”, manuskripts vietnē arxiv.org.
  • Pakhomov, F., 2014, “Par GLP-algebras elementārajām teorijām”, manuskripts vietnē arxiv.org.
  • Pakhomov, F., 2015, “Par parasto notācijas sistēmu elementārajām teorijām, kuru pamatā ir refleksijas principi”, manuskripts vietnē arxiv.org.
  • Vesers, Alberts, Par formālu pārbaudāmību salīdzinājumā ar cilvēka pierādāmību (holandiešu valodā), tiešsaistes manuskripts, Utrehtas Universitāte.
  • Verbrugge, Rineke, Provability logic prezentācijas slaidi, dia, Groningenas universitāte

Citas vietnes

  • Atklātas problēmas Provability Logic, ko uztur Lev Beklemeševs
  • Adresātu saraksts Matemātikas pamati, Ņujorkas universitāte

Ieteicams: