Substrukturālā Loģika

Satura rādītājs:

Substrukturālā Loģika
Substrukturālā Loģika

Video: Substrukturālā Loģika

Video: Substrukturālā Loģika
Video: Ваня Усович "ЕЩЕ ОДИН ДЕНЬ" 2020 ENG SUB 2024, Marts
Anonim

Ieejas navigācija

  • Iestāšanās saturs
  • Bibliogrāfija
  • Akadēmiskie rīki
  • Draugu PDF priekšskatījums
  • Informācija par autoru un atsauce
  • Atpakaļ uz augšu

Substrukturālā loģika

Pirmoreiz publicēts otrdien, 2000. gada 4. jūlijā; būtiska pārskatīšana 2018. gada 21. februāris

Pakārtotā loģika ir neklasiskā loģika, kas ir vājāka nekā klasiskā loģika, ievērojama ar to, ka klasiskajā loģikā nav strukturālu noteikumu. Šīs loģikas pamatā ir apsvērumi no filozofijas (attiecīgā loģika), valodniecības (Lambek aprēķins) un skaitļošanas (lineārā loģika). Turklāt paņēmieni no substrukturālās loģikas ir noderīgi, pētot tradicionālo loģiku, piemēram, klasisko un intuitionistic loģiku. Šis raksts sniedz īsu pārskatu par substrukturālās loģikas lauku. Lai iegūtu sīkāku ievadu ar teorēmām, pierādījumiem un piemēriem, lasītājs var iepazīties ar bibliogrāfijas grāmatām un rakstiem.

  • 1. Atlikums
  • 2. Loģika ģimenē
  • 3. Pārbaudes sistēmas
  • 4. Semantika
  • Bibliogrāfija
  • Akadēmiskie rīki
  • Citi interneta resursi
  • Saistītie ieraksti

1. Atlikums

Loģika ir saistīta ar loģiskām sekām. Rezultātā nosacītais ir centrālais loģikas jēdziens, jo tam ir cieša saistība ar loģiskām sekām. Šis savienojums ir precīzi izteikts atlikuma stāvoklī (pazīstams arī kā dedukcijas teorēma):

[p, q / vdash r / text {ja un tikai tad} p / vdash q / rightarrow r)

Tajā teikts, ka (r) izriet no (p) kopā ar (q) tieši tad, kad (q / taisnvirziena r) izriet tikai no (p). Pārejas no (q) uz (r) (dota (p)) derīgumu reģistrē nosacīts (q / labā virziena r).

Šo saistību starp nosacīto un sekām sauc par atlikumu pēc analoģijas ar lietu matemātikā. Apsveriet savienojumu starp saskaitīšanu un atņemšanu. (a + b = c) tikai tad, ja (a = c - b). Iegūtais (a) (kas ir (c - b)) ir atlikums, kas paliek no (c), kad (b) tiek noņemts. Vēl viens šī savienojuma nosaukums ir dedukcijas teorēma.

Tomēr savienojumā starp sekām un nosacīto ir vēl viens faktors. Piedāvājumu valodā ir ne tikai pagrieziena atslēga loģiskām sekām un nosacītas kodējošas sekas, bet arī komats, kas norāda telpu kombināciju. Mēs lasām “(p, q / vdash r)” kā “(r) izriet no (p) kopā ar (q)”. Telpu apvienošana ir veids, kā tās paņemt kopā. Bet kā mēs varam viņus paņemt kopā? Izrādās, ka ir dažādi veidi, kā to izdarīt, un tāpēc arī atšķirīga substruktūras loģika. Premisu kombinācijas izturēšanās mainās, jo mainās nosacītā izturēšanās. Šajā ievadā mēs apskatīsim dažus tā piemērus.

1.1 Pavājināšanās

Tas, ka (p) ir taisnība, ir viena lieta. Tas ir vēl viens, lai nosacītā (q / labā puse p) būtu patiesa. Tomēr, ja '(rightarrow)' ir materiāls nosacījums, (q / rightarrow p) izriet no (p). Daudzu dažādu iemeslu dēļ mēs varētu vēlēties saprast, kā nosacījums varētu darboties, ja nebūtu šo secinājumu. Tas ir saistīts ar telpu kombinācijas izturēšanos, kā to var parādīt šajā demonstrācijā.

(cfrac {p / vdash p} { cfrac {p, q / vdash p} {p / vdash q / rightarrow p}})

No aksiomātiskās (p / vdash p) (kaut kas pats no sevis izriet) mēs secinām, ka (p) izriet no (p) kopā ar (q), un pēc tam ar atlikumu, (p / vdash q / labā virziena p). Ja mēs vēlamies noraidīt secinājumus no (p) uz (q / labo pusi p), tad mēs vai nu noraidām atlikumu, vai arī noraidām identitātes aksiomu pierādījuma sākumā, vai arī noraidām pirmo pierādījuma darbību. Ir izgaismoti apsvērt, kas ir saistīts ar šo pēdējo iespēju. Šeit jānoraida, ka (p) izriet no (p, q). Kopumā mums ir jānoraida secinājuma noteikums, kam ir šāda forma:

(frac {X / vdash A} {X, Y / vdash A})

To sauc par pavājināšanās likumu. Kārtulu veido spēcīgāks paziņojums, ka (A) izriet no (X) uz, iespējams, vājāku, un (A) izriet no (X) kopā ar (Y).

Cilvēki ir piedāvājuši dažādus vājināšanas likuma noraidīšanas iemeslus atkarībā no seku un premisu kombinācijas interpretācijas. Viens no agrīnajiem motivējošajiem piemēriem rodas no rūpēm par atbilstību. Ja loģika ir būtiska (ja teikt, ka (p) nozīmē (q) ir taisnība, tad jāsaka vismaz tas, ka (q) patiesi ir atkarīgs no (p)), tad komats nav vajadzīgs neapmierina vājināšanās. Mums tiešām var būt (A), kas seko no (X), bez (A), kas seko no (X, Y), jo nav nepieciešams, ka (A) ir atkarīgs no (X) X) un (Y) kopā.

Atbilstošajā loģikā vājināšanas noteikums neizdodas arī no otras puses, jo mēs vēlamies, lai arī šis arguments būtu nederīgs:

(cfrac {q / vdash q} { cfrac {p, q / vdash q} {p / vdash q / rightarrow q}})

Atkal, (q) var izrietēt no (q), bet tas nenozīmē, ka tas izriet no (p) kopā ar (q), ar nosacījumu, ka “kopā ar” ir domāts pietiekami spēcīgā formā jēga. Tātad attiecīgajā loģikā secinājumi no patvaļīgiem priekšstatiem par loģiskām patiesībām, piemēram, (q / taisnvirziena q), var arī neizdoties.

1.2 Komutativitāte

Ja telpu kombinācijas veids ir komutējošs (ja kaut kas izriet no (X, Y) arī izriet no (Y, X)), tad mēs varam pamatot šādi, izmantojot tikai identitātes aksiomu un atlikumu:

(cfrac {p / rightarrow q / vdash p / rightarrow q} { cfrac {p / rightarrow q, p / vdash q} { cfrac {p, p / rightarrow q / vdash q} {p / vdash (p / labo pusi q) labo pusi q}}})

Tā kā telpu kombinācija nav komutativitāte, šis pierādījums nav pieejams. Šis ir vēl viens vienkāršs piemērs saiknei starp telpu kombināciju un atskaitījumiem, kas saistīti ar nosacījumu.

Ir daudz nosacītu veidu, kuriem šis secinājums neizdodas. Ja “(rightarrow)” ir modāls spēks (ja tas izsaka veida piesaisti, kurā (p / rightarrow q) ir taisnība, kad visos saistītajos apstākļos, kādos atrodas (p), (q) dara arī), un, ja “(vdash)” izsaka vietējās sekas ((p / vdash q), tad un tikai tad, ja ir kāds modelis, jebkuros apstākļos, pie kuriem pieder (p), tad arī (q)) tas neizdodas. Var būt taisnība, ka Gregs ir loģiķis ((p)), un tā ir taisnība, ka Grega esamība kā loģiķis nozīmē, ka Gregs ir filozofs ((p / taisnvirziena q) - saistītos apstākļos, kad Gregs ir loģiks, viņš ir filozofs), bet tas nenozīmē, ka Gregs ir filozofs. (Ir daudz apstākļu, kad secinājums ((p / taisnvirziena q)) ir patiess, bet (q) nav.) Tātad mēs esam apstāklis, kurā (p) ir taisnība, bet ((p / taisnvirziena q) labās puses q) nav. Arguments nav derīgs.

Šo pretparaugu var saprast arī ar telpu kombinācijas izturēšanos. Kad mēs sakām, ka (X, A / vdash B) ir taisnība, mēs ne tikai sakām, ka (B) ir jebkuros apstākļos, kādos atrodas gan (X), gan (A). Ja mēs esam nonākuši pie patiesa piesaistes A (labā virziena) B, tad mēs vēlamies, lai (B) būtu patiesi jebkuros (saistītos) apstākļos, kad (A) ir taisnība. Tātad, (X, A / vdash B) saka, ka jebkurā gadījumā, kurā (A) ir taisnība, tāpat ir (B). Iespējams, ka šīs iespējas neapmierina visu (X). (Klasiskajās piesaistes teorijās iespējas ir tās, kurās patiesība ir viss, kas nepieciešams, lai ņemtu vērā (X).)

Ja telpu kombinācija nav komutējoša, atlikums var notikt divējādi. Papildus atlikuma nosacījumam, kas norāda uz (labo pusi), mēs varētu vēlēties definēt jaunu bultiņu (kreiso bultu) šādi:

[p, q / vdash r / text {ja un tikai tad} q / vdash r / leftarrow p)

Bultai no kreisās un labās puses mums ir modus ponens šajā virzienā:

[p / taisnvirziena q, p / vdash q)

Bultai no labās uz kreiso ir modus ponens, ja telpas ir pretējā secībā:

[p, q / kreisās bultiņas p / vdash q)

Tas ir raksturīgs substruktūras loģikai. Kad mēs pievēršam uzmanību tam, kas notiek, kad mums nav pilnīgu strukturālo noteikumu papildinājuma, tad paveras jaunas iespējas. Zem tā, kas iepriekš bija viens (pēc intuitīvās vai klasiskās loģikas) mēs atklājam divus nosacījumus.

Nākamajā sadaļā mēs redzēsim vēl vienu piemēru, kas motivē nekomutējošu premisu kombināciju, un šos divus atšķirīgos nosacījumus.

1.3 Asociējamība

Šeit ir vēl viens veids, kā strukturālie noteikumi ietekmē pierādījumus. Telpu kombinācijas asociativitāte sniedz šādu pierādījumu:

(cfrac {r / rightarrow p, r / vdash p / \ / p / rightarrow q, p / vdash q} { cfrac {p / rightarrow q, (r / rightarrow p, r) vdash q} { cfrac {(p / rightarrow q, r / rightarrow p), r / vdash q} { cfrac {p / rightarrow q, r / rightarrow p / vdash r / rightarrow q} {p / rightarrow q / vdash (r / rightarrow p) labo pusi (r / labo pusi q)}}}})

Šis pierādījums izmanto griezuma likumu augšējā solī. Ideja ir tāda, ka secinājumus var apvienot. Ja (X / vdash A) un (Y (A) vdash B) (kur (Y (A)) ir telpu struktūra, iespējams, ietverot (A) vienu vai vairākas reizes), tad (Arī Y (X) vdash B) (kur (Y (X)) ir tā telpu struktūra, kurā (A) gadījumi ir aizstāti ar (X)). Šajā pierādījumā mēs aizstājam (p) (p / labo bulttaustiņu q, p / vdash q) ar (r / labo bulttaustiņu p, r), pamatojoties uz (r / labo bulttaustiņu p derīgumu, r / vdash p).

1.4. Saraušanās

Pēdējais svarīgais piemērs ir saraušanās noteikums, kas nosaka, kā telpas var izmantot atkārtoti. Kontrakcija ir izšķiroša, lai secinātu, ka (p / taisnvirziena q) no (p / labo pusi (p / labo pusi q))

(cfrac { matrix { cfrac {p / rightarrow (p / rightarrow q) vdash p / rightarrow (p / rightarrow q)} {p / rightarrow (p / rightarrow q), p / vdash p / rightarrow q } & / cfrac {p / rightarrow q / vdash p / rightarrow q} {p / rightarrow q, p / vdash q}}} { cfrac {(p / rightarrow (p / rightarrow q), p), p / vdash q} { cfrac {p / rightarrow (p / rightarrow q), p / vdash q} {p / rightarrow (p / rightarrow q) vdash p / rightarrow q}}})

Šie dažādie piemēri sniedz jums priekšstatu par to, ko var izdarīt ar strukturāliem noteikumiem. Strukturālie likumi ietekmē ne tikai nosacīto, bet arī ietekmē citus savienojumus, piemēram, savienojumu un disjunkciju (kā mēs redzēsim tālāk) un noliegumu (Dunn 1993; Restall 2000).

1.5 Konstrukcija turniketa labajā pusē

Kopš Gentzen secīgā aprēķina ieviešanas (Gentzen 1935), mēs zinām, ka atšķirība starp klasisko loģiku un intuitionistic loģiku var tikt saprasta arī kā strukturālo noteikumu atšķirība. Tā vietā, lai apsvērtu veidlapas (X / vdash A) secības, kurās mums ir priekšteču kolekcija un viens secīgs, klasiskajai loģikai ir auglīgi apsvērt formas secības

[X / vdash Y)

kur gan (X), gan (Y) ir paziņojumu kopas. Paredzētā interpretācija ir tāda, ka no visiem (X) izriet, ka daži no (Y). Citiem vārdiem sakot, mēs nevaram iegūt visus (X) un nevienu (Y).

Ļaujot sekvencēm ar vairākiem secinājumiem un tulkojot noteikumus šajā paplašinātajā kontekstā, mēs spējam atvasināt klasiskās tautoloģijas. Piemēram, atvasināšana

(cfrac {p / vdash p} { cfrac {p / vdash q, p} { vdash p / rightarrow q, p}})

rāda, ka vai nu (p / labo virzienu q), vai (p) ir jāturas. Tas ir klasiski derīgs (ja (p) neizdodas, (p) ir nepatiess un nosacīti ar nepatiesiem priekštečiem ir patiesi), bet intuitīvisma loģikā nav derīgs. Atšķirību starp klasisko un intuitīvo loģiku formāli var saprast kā atšķirību starp atļautajiem strukturālo noteikumu veidiem un konstrukciju veidiem, kas ir piemēroti loģisko seku analīzē.

2. Loģika ģimenē

Substrukturālās loģikas ģimenē ir daudz dažādu formālu sistēmu. Šīs loģikas var motivēt dažādos veidos.

2.1. Attiecīgā loģika

Daudzi cilvēki ir vēlējušies sniegt pārskatu par loģisko derīgumu, pievēršot zināmu uzmanību nozīmīguma nosacījumiem. Ja (X, A / vdash B) ir, tad (X) kaut kā jābūt attiecināmam uz (A). Telpu kombinācija ir ierobežota šādā veidā. Mums var būt (X / vdash A), bet mums nav arī (X, Y / vdash A). Jaunais materiāls (Y), iespējams, neattiecas uz atskaitījumu. Piecdesmitajos gados Moh (1950), Baznīca (1951) un Ackermann (1956) sniedza pārskatu par to, kāda varētu būt “atbilstoša” loģika. Idejas ir izstrādājusi darbinieku plūsma, kuras centrā ir Andersons un Belnaps, viņu studenti Dunns un Meijers un daudzi citi. Apkārtnes kanoniskās atsauces ir Andersona, Belnapa un Danna divu sējumu Entailment (1975 un 1992). Citus ievadus var atrast lasījumā Relevant Logic, Dunn un Restall Relevance Logic (2002),un Māres atbilstošā loģika: filozofiska interpretācija (2004).

2.2 Resursu apziņa

Tas nav vienīgais veids, kā ierobežot telpu apvienošanu. Girard (1987) ieviesa lineāru loģiku kā procesu un resursu izmantošanas modeli. Šajā atskaitīšanas ideja ir tāda, ka resursi ir jāizmanto (tātad telpu kombinācija atbilst atbilstības kritērijam), un tie nepagarināsies uz nenoteiktu laiku. Telpas nevar (re) izmantot. Tātad, iespējams, man ir (X, X / vdash A), kurā teikts, ka varu izmantot (X) divreiz, lai iegūtu (A). Man, iespējams, nav (X / vdash A), kurā teikts, ka varu izmantot (X) vienreiz, lai iegūtu (A). Noderīgs ievads par lineāro loģiku ir sniegts Troelstra Lectures on Linear Logic (1992). Ir arī cita formāla loģika, kurā nav saraušanās noteikumu (no (X, X / vdash A) līdz (X / vdash A)). Starp slavenākajiem ir Łukasiewicz daudzvērtīgā loģika. Karija paradoksa dēļ pastāv interese par loģiku bez šī noteikuma (Curry 1977, Geach 1995; skatīt arī Restall 1994 citos interneta resursos).

3. Pasūtīt

Neatkarīgi no vienas no šīm tradīcijām Joahims Lambeks apsvēra valodas un sintakse matemātiskos modeļus (Lambek 1958, 1961). Ideja ir tāda, ka telpu kombinācija atbilst stīgu vai citu valodu vienību sastāvam. Šeit (X, X) saturā atšķiras no (X), bet turklāt (X, Y) atšķiras no Y, X. Tiek ņemts vērā ne tikai izmantoto telpu skaits, bet arī to pasūtījums. Labs ievads Lambek aprēķinā (ko sauc arī par kategoriju gramatiku) ir atrodams Moortgat (1988) un Morrill (1994) grāmatās.

3. Pārbaudes sistēmas

Mēs jau esam redzējuši fragmentu no viena veida, kā pasniegt substruktūras loģiku pierādījumu izteiksmē. Mēs esam izmantojuši atlikuma nosacījumu, ko var saprast kā tādu, kas ietver divus nosacījuma nosacījumus, viens - nosacījuma ieviešanai

(cfrac {X, A / vdash B} {X / vdash A / rightarrow B})

un vēl viens, lai to novērstu.

(cfrac {X / vdash A / rightarrow B / \ / Y / vdash A} {X, Y / vdash B})

Šādi noteikumi veido dabiskās atskaitīšanas sistēmas stūrakmeni, un šīs sistēmas ir pieejamas plašai substruktūras loģikas tīrīšanai. Bet pierādījumu teoriju var izdarīt citos veidos. Gentzen sistēmas darbojas nevis, ieviešot un atceļot savienojumus, bet gan ieviešot tos gan loģisko seku pagrieziena kreisajā, gan labajā pusē. Mēs saglabājam ievada noteikumu iepriekš un aizstājam atcelšanas noteikumu ar vienu, kas ievieš nosacījumu kreisajā pusē:

(cfrac {X / vdash A / \ / Y (B) vdash C} {Y (A / rightarrow B, X) vdash C})

Šis noteikums ir sarežģītāks, taču tam ir tāda pati iedarbība kā bultiņu novēršanas kārtulai: Tajā teikts, ka, ja (X) pietiek ar (A), un, ja jūs izmantojat (B) (kādā kontekstā (Y)), lai pierādītu (C), tad tikpat labi jūs būtu varējis izmantot (A / labo pusi B) kopā ar (X) (tajā pašā kontekstā (Y)), lai pierādītu (C), jo (A / labo bulttaustiņu B) kopā ar (X) dod jums (B).

Gentzen sistēmām ar ievada noteikumiem kreisajā un labajā pusē ir ļoti īpašas īpašības, kas ir noderīgas loģikas izpētē. Tā kā savienojumi vienmēr tiek ieviesti kā pierādījums (lasīt no augšas uz leju), pierādījumi nekad nezaudē struktūru. Ja savienojums neparādās pierādījuma noslēgumā, tas vispār neparādīsies pierādījumā, jo savienojumus nevar novērst.

Dažās substruktūras loģikās, piemēram, lineārajā loģikā un Lambek aprēķinā, kā arī attiecīgās loģikas (mathbf {R}) fragmentā bez atdalīšanas var izmantot Gentzen sistēmu, lai parādītu, ka loģika ir izlemjama, jo var atrast algoritmu, lai noteiktu, vai arguments (X / vdash A) ir vai nav derīgs. Tas tiek darīts, meklējot (X / vdash A) pierādījumus Gentzen sistēmā. Tā kā šī secinājuma telpās nedrīkst būt nevienas valodas, nevis šajā secinājumā, un tām nav lielākas sarežģītības (šajās sistēmās), ir tikai ierobežots skaits iespējamo telpu. Algoritms var pārbaudīt, vai tie atbilst sistēmas noteikumiem, un turpināt meklēt telpas tiem, vai arī iziet, ja mēs saskaramies ar aksiomu. Tādā veidā tiek nodrošināta dažu substruktūru loģiku izlemjamība.

Tomēr ne visa substrukturālā loģika šajā ziņā ir pieņemama. Vislabāk, ka attiecīgā loģika (mathbf {R}) nav nolemjama. Daļēji tas ir tāpēc, ka tās pierādījumu teorija ir sarežģītāka nekā citu substruktūru loģikai. (mathbf {R}) atšķiras no lineārās loģikas un Lambek aprēķiniem ar tiešu savienojuma un disjunkcijas traktējumu. Konjunktivitāte un disjunkcija it īpaši atbilst sadalījuma principam:

[p / amp (q / vee r) vdash (p / amp q) vee (p / amp r))

Dabiskajam izplatības pierādījumam jebkurā pierādīšanas sistēmā tiek izmantota gan vājināšanās, gan sašaurināšanās, tāpēc attiecīgajā loģikā (mathbf {R}) tas nav pieejams, jo tajā nav vājināšanas. Rezultātā (mathbf {R}) pierādīšanas teorijas vai nu satur sadalījumu kā primitīvu likumu, vai arī satur otro premisu kombinācijas veidu (tā saukto paplašinošo kombināciju, pretstatā intensīvās premisu kombinācijai, ko mēs redzējām), kuru apmierina vājināšanu un kontrakcijas.

Pēdējos gados ir ieguldīts liels darbs pie klasiskās loģikas pierādīšanas teorijas, kuru iedvesmojuši un informējuši substruktūras loģikas pētījumi. Klasiskā loģika pilnībā papildina strukturālos noteikumus, un vēsturiski tā ir bijusi pirms jaunākām substruktūras loģikas sistēmām. Tomēr, kad runa ir par mēģinājumu izprast klasisko pierādījumu sistēmu dziļo struktūru (un jo īpaši, ja divi atvasinājumi, kas savā ziņā atšķiras virspusēji sintaktiski, patiešām ir dažādi veidi, kā attēlot to, kas ir pamatā “pierādījumam”), ir šaubīgi domāt par klasiskā loģika, ko veido pamata substruktūras loģika, kurā kā papildinājumi tiek uzlikti papildu strukturālie noteikumi. It īpaši,ir kļuvis skaidrs, ka tas, kas atšķir klasisko pierādījumu no saviem brāļiem un māsām, ir kontrakcijas strukturālo noteikumu klātbūtne un to pilnīga vispārīguma vājināšanās (sk., piemēram, Bellin et al. 2006 un tajos citēto literatūru).

4. Modeļa teorija

Kaut arī attiecīgajai loģikai (mathbf {R}) ir sarežģītāka pierādīšanas sistēma nekā substruktūras loģikai, piemēram, lineārajai loģikai, kurai trūkst (paplašinājuma) savienojuma sadalījuma pa disjunktu, tās modeļa teorija ir pavisam vienkāršāka. Routley-Meyer modelis attiecīgajai loģikai (mathbf {R}) sastāv no punktu kopas (P) ar trīs vietu sakarību (R) uz ((P)). Nosacīto (A / labo pusi B) pasaulē vērtē šādi:

(A labās puses B) ir taisnība vietā (x), ja un tikai tad, ja katram (y) un (z) kur (Rxyz), ja (A) ir taisnība (y, B) ir taisnība vietā (z).

Arguments ir derīgs modelī tieši tad, kad jebkurā vietā, kur telpas ir patiesas, tāpat ir secinājums. Arguments (A / vdash B / taisnvirziena B) nav derīgs, jo mums var būt punkts (x), kurā (A) ir taisnība, bet kurā (B / labo pusi B) nav. Mums var būt, ka (B / taisnvirziena B) patiesība nav (x), vienkārši ja ir (Rxyz), kur (B) ir taisnība (y), bet ne (z).

Trīs vietu saistība (R) precīzi seko premisu kombinācijas veida izturējumam substruktūras loģikas pierādījumu teorijā. Dažādai loģikai (R) var izvietot dažādus nosacījumus. Piemēram, ja telpu kombinācija ir komutējoša, mēs simetrijas nosacījumu ievietojam (R) šādā veidā: (Rxyz) tikai tad, ja (Ryxz). Trīskāršu relāciju semantika dod mums lielisku iespēju modelēt substrukturālās loģikas uzvedību. (Atbilstības pakāpe starp substrukturālās loģikas pierādījumu teoriju un algebru un semantiku ir attēlota Dunn darbā Gaggle Theory (1991) un ir apkopota Restall's Introduction to Substructural Logics (2000).)

Turklāt, ja konjunkcija un disjunkcija atbilst iepriekšējā iedaļā minētajai sadalījuma aksiomai, tās var arī modelēt arī vienkārši: savienojums ir patiess brīdī, kad abi konjunkti ir patiesi tajā brīdī, un disjunkts ir patiess brīdī, kad vismaz viens disjunkts tur ir taisnība. Loģikai, piemēram, lineārai loģikai, bez sadalījuma aksiomas semantikai jābūt sarežģītākai, ar atšķirīgu atdalīšanas klauzulu, kas nepieciešama, lai padarītu secinājumu par secinājumu nederīgu.

Ir viena lieta izmantot semantiku kā formālu ierīci loģikas modelēšanai. Cits ir izmantot semantiku kā skaidrojošu ierīci loģikas pielietošanai. Literatūra par substruktūras loģiku sniedz mums vairākus dažādus veidus, kā trīskāršo relāciju semantiku var izmantot, lai aprakstītu dažu parādību loģisko struktūru, kurās tradicionālie strukturālie noteikumi nav piemērojami.

Tādai loģikai kā Lambek aprēķins semantikas interpretācija ir vienkārša. Punktus varam uzskatīt par lingvistiskiem elementiem, un trīskāršajai attiecībai jābūt par konkatenācijas ((Rxyz) attiecībām tikai un vienīgi tad, ja (x), saliekot ar (y), iegūst (z)). Šajos modeļos visi saraušanās, vājināšanās un permutācijas strukturālie noteikumi neizdodas, bet premisu apvienojums ir asociatīvs.

Mūsdienu literatūra par lingvistisko klasifikāciju paplašina Lambek Calculus pamatus ar bagātīgākām kombināciju formām, kurās var modelēt vairāk sintaktiskās iezīmes (sk. Moortgat 1995).

Vēl viens šo modeļu pielietojums ir funkciju pielietojuma semantikas ārstēšanā. Mēs varam domāt par modeļa struktūras punktiem kā funkcijām un datiem, un turēt šo (Rxyz) tikai un vienīgi tad, ja (x) (tiek uzskatīts par funkciju), kas piemērots (y) (tiek uzskatīts par datiem)) ir (z). Tradicionālie funkciju konti neveicina šo divējādo lietojumu, jo tiek uzskatīts, ka funkcijas ir “augstākas” nekā to ieejas vai izejas (tradicionālajā funkciju teorētiskā modeļa modelī funkcija (ir) ir tās ieejas kopa. -Izejas pāri, un tā, tas nekad nevar sevi uzskatīt par izejvielu, jo kopas nevar ietvert sevi kā dalībniekus). Tomēr funkciju sistēmas, piemēram, nerakstītas (lambda) - calculus, ļauj sevi lietot. Ņemot vērā šo modeļa punktu lasījumu,punkts ir tipa (A / taisnvirziena B), tikai tad, ja tas ņem (A) tipa ieejas, tas ņem (B) tipa izejas. Šīs sistēmas secinājumu noteikumi ir principi, kas reglamentē funkciju veidus: secīgo

[(A / labo bulttaustiņš B) amp (A / labo bulttaustiņš C) vdash A / labais bulttaustiņš (B / ampērā C))

stāsta, ka ikreiz, kad funkcija aizved (A) s uz (B) s un (A) s uz (C) s, tad funkcijai (A) tiek pielietotas lietas, kas ir abas (B) un (C).

Šis piemērs dod mums modeli, kurā atbilstošā substrukturālā loģika ir ārkārtīgi vāja. Neviens no parastajiem strukturālajiem noteikumiem (pat ne asociativitāte) šajā modelī nav izpildīts. Šis trīskāršā relāciju modeļa piemērs ir apskatīts (Restall 2000, 11. nodaļa).

Atbilstošajai loģikai (mathbf {R}) un tās dabiskās valodas nosacījumu interpretācijai ir jāpieliek vairāk darba, lai apzinātu, kādām realitātes iezīmēm pieder formālie semantikas modeļi. Tas ir bijis diskusiju jautājums, jo trīskāršā attiecība ir nepazīstama ne tikai tiem, kuru pakļaušana galvenokārt notiek modālajai loģikai ar vienkāršāku bināro pieejamības saistību starp iespējamām pasaulēm, bet arī tāpēc, ka novitātes traktējuma modeļos ir novitāte. atbilstoša loģika. Nav mūsu vietā šeit apspriest šīs debates sīkāk. Daži no šī darba ir aprakstīti rakstā par atbilstošo loģiku šajā enciklopēdijā, un atbilstošās loģikas grāmatas garuma traktējums šajā kontekstā ir Mares atbilstošā loģika: filozofiska interpretācija (2004).

5. Kvantifikatori

Kvantifikatoru apstrāde substruktūras loģikas modeļos ir izrādījusies diezgan sarežģīta, taču 2000. gada sākumā tika panākts progress. Grūtības sagādāja tas, kas šķita neatbilstība starp pierādījumu teoriju un kvantitatīvo paraugu teoriju. Kvantifikatoriem atbilstošās aksiomas vai noteikumi ir samērā vienkārši. Universālā kvantifikatora izslēgšanas aksioma (forall xA / rightarrow A [t / x]) norāda, ka piemērs izriet (attiecīgā nozīmē) no tā vispārējā vispārinājuma. Ievadīšanas noteikums (cfrac { vdash A / rightarrow B} { vdash A / rightarrow / forall xB}) (ja apgalvojums, ka (x) nav brīvs (A) tur) saka mums ka, ja mēs loģiski varam pierādīt vispārinājuma (forall xB) piemēru no kāda pieņēmuma, kas par šo gadījumu nepauž īpašas pretenzijas,mēs arī varam pierādīt vispārinājumu no šī pieņēmuma. Šķiet, ka šī aksioma un noteikums ir lieliski piemērots jebkuras pirmās kārtas skaitļu interpretācijai substruktūras loģikā, sākot no visvājākajām sistēmām un beidzot ar spēcīgām sistēmām, piemēram, (mathbf {R}).

Kaut arī kvantitatīvo pierādījumu teorija šķiet izturēta pareizi, vispārināt substruktūras loģikas modeļa teoriju ir izrādījusies sarežģīta. Ričards Routlijs (1980) parādīja, ka kvantifikatoru noteikumu pievienošana ļoti vājai substruktīvās loģikas sistēmai (mathbf {B}) ir piemērota trīskāršu relāciju semantikai, kur kvanti tiek interpretēti tā, ka tie svārstās pa dažādiem objektiem, nemainīga visos modeļa punktos. Šis fakts neattiecas uz spēcīgāku loģiku, jo īpaši uz atbilstošo loģiku (mathbf {R}). Kit Fine (1989) parādīja, ka pastāv sarežģīta formula, kas pastāv visos nemainīgā domēna kadru modeļos (mathbf {R}), bet kas nav iegūstama no aksiomām. Sīkāka informācija par Fena argumentu nav svarīga mūsu mērķiem,bet neatbilstības cēlonis ir samērā vienkārši izskaidrojams. Pastāvīgajā domēna semantikā universālajam vispārinājumam (forall x Fx) katrā modeļa punktā ir tieši tādi paši patiesības nosacījumi kā gadījumu grupai (Fx_1), (Fx_2), (Fx_3, / ldots), (Fx_ / lambda, / ldots), kur domēnu objekti tiek uzskaitīti ar terminu (x_i) vērtībām. Tātad kvantitatīvā izteiksme (forall x Fx) semantiski neatšķiras no (iespējams, bezgalīgas) savienojuma (Fx_1 / zeme Fx_2 / zeme Fx_3 / zeme / cdots). Tomēr neviens gadījumu savienojums (pat bezgalīgs) nevarētu būt atbilstoši ekvivalents vispārēji kvantificētam apgalvojumam (forall x Fx),jo gadījumi var būt patiesi noteiktā situācijā (vai arī tos var piepildīt apstāklis), nepadarot patiesību arī vispārinājumam - ja būtu bijis vairāk lietu nekā tās. Tātad pastāvīgie domēnu modeļi šķietami nav piemēroti attiecīgās kvantitatīvās noteikšanas teorijas projektam.

Jaunākais Goldblatt un Mares darbs (2006) parādīja, ka pastāv alternatīva, un tā izrādās eleganta un samērā tieša. Izšķirošā ideja ir tikai nedaudz pārveidot trīskāršo relāciju semantiku, lai ne katrs punktu kopums būtu jāuzskata par “ierosinājumu”. Tas ir, ne katrs punktu komplekts ir teikuma iespējamā semantiskā vērtība. Tātad, kaut arī pastāv pasauļu kopa, ko nosaka (forall xFx) gadījumu bezgalīgais savienojums: (Fx_1 / zeme Fx_2 / zeme Fx_3 / zeme / cdots), šo precīzo pasaules kopu nevar uzskatīt par piedāvājums. (Varbūt nav iespēju šos īpašos objektus izdalīt tādā veidā, lai tos apvienotu vienā spriedumā.) Tas, ko mēs varam teikt, ir vispārinājums (forall xFx), un tas ir piedāvājums, kas ietver katru gadījumu (tas ir universālā kvantifikatora izslēgšanas aksioma), un, ja piedāvājums ietver katru gadījumu, tas nozīmē vispārinājumu (ka ir ievada noteikums), tāpēc piedāvājums, ko izsaka (forall xFx), ir semantiski vājākais piedāvājums, kas saistīts ar katru gadījumu Fa. Tieši tāds ir universālā kvantifikatora modelēšanas nosacījums Goldblatt & Mares modeļos, un tas precīzi atbilst aksiomām. Tieši tāds ir universālā kvantifikatora modelēšanas nosacījums Goldblatt & Mares modeļos, un tas precīzi atbilst aksiomām. Tieši tāds ir universālā kvantifikatora modelēšanas nosacījums Goldblatt & Mares modeļos, un tas precīzi atbilst aksiomām.

Bibliogrāfija

Roberts Volfs sastādīja visaptverošu atbilstošās loģikas bibliogrāfiju, un tā ir atrodama Andersonā, Belnapā un Dunnā 1992. Bibliogrāfija Restall 2000 (sk. Citi interneta resursi) nav tik visaptveroša kā Wolff, taču tajā ir materiāli līdz mūsdienas.

Grāmatas par substrukturālo loģiku un ievadi laukā

  • Andersons, AR, un Belnap, ND, 1975, Entailment: Atbilstības un nepieciešamības loģika, Princeton, Princeton University Press, I sējums.
  • Andersons, AR, Belnap, ND Jr, un Dunn, JM, 1992, Entailment, II sējums, Princeton, Princeton University Press

    [Šī un iepriekšējā grāmata apkopo darbu attiecīgajā loģikā Andersona – Belnapa tradīcijās. Dažās šo grāmatu nodaļās ir citi autori, piemēram, Roberts K. Meijers un Alasdairs Urkharts.]

  • Dunn, JM un Restall, G., 2000, “Atbilstības loģika”, F. Genthners un D. Gabbajs (red.), Filozofiskās loģikas rokasgrāmata, otrais izdevums; 6. sējums, Kluvers, 1. – 136. Lpp.

    [Kopsavilkums par darbu atbilstoši loģikai Andersona – Belnapa tradīcijās.]

  • Galatos, N., P. Jipsen, T. Kowalski un H. Ono, 2007, Residuated Lattices: Algebraic Glimpse at Substructural Logics (Pētījumi loģikā: 151. sējums), Amsterdama: Elsevier, 2007.
  • Marē, Edvins D., 2004. gads, atbilstošā loģika: filozofiska interpretācija Cambridge University Press.

    [Ievads attiecīgajā loģikā, piedāvājot teorētisku izpratni par trīskāršu relāciju semantiku.]

  • Moortgat, Michael, 1988, Kategoriju izmeklēšana: Lambek Calculus Foris loģiskie aspekti, Dordrecht.

    [Vēl viens ievads Lambek aprēķinos.]

  • Morrils, Glyn, 1994, Type Logical Grammar: Pazīmju

    klasiskā loģika Kluwer, Dordrecht [Ievads Lambek calculus.]

  • Paoli, Francesco, 2002, Substructural Logics: Primer Kluwer, Dordrecht

    [Vispārīgs ievads substruktūras loģikā.]

  • Lasīt, S., 1988, Relevant Logic, Oxford: Blackwell.

    [Ievads attiecīgajā loģikā, ko motivē apsvērumi jēgas teorijā. Izstrādā Lemmon stila pierādīšanas teoriju attiecīgajai loģikai (mathbf {R}).]

  • Restall, Greg, 2000, Ievads substruktūras loģikā, Routledge. (tiešsaistes précis)

    [Vispārīgs ievads substruktīvās loģikas jomā.]

  • Routley, R., Meyer, RK, Plumwood, V., un Brady, R., 1983, Attiecīgā loģika un viņu konkurenti, I sējums, Atascardero, CA: Ridgeview.

    [Vēl viens raksturīgs loģikas raksturojums, šoreiz no Austrālijas filozofiskā viedokļa.]

  • Schroeder-Heister, Peter un Došen, Kosta, (red.), 1993, Substructural Logics, Oxford University Press.

    [Rediģēts eseju krājums par dažādām tēmām substruktūras loģikā, no dažādām tradīcijām šajā jomā.]

  • Troestra, Anne, 1992, Lekcijas par lineāro loģiku, CSLI publikācijas

    [ātrs, viegli lasāms ievads Girard's lineārajai loģikai.]

Citi citētie darbi

  • Ackermann, Wilhelm, 1956, “Begründung Einer Strengen Implikation”, Journal of Symbolic Logic, 21: 113–128.
  • Avron, Arnon, 1988, “Lineārās loģikas semantika un pierādījumu teorija”, Teorētiskā datorzinātne, 57 (2–3): 161–184.
  • Gianluigi Bellin, Martin Hyland, Edmund Robinson un Christian Urban, 2006, “Klasiskā propozitīvā aprēķina kategoriskā pierādīšanas teorija”, Teorētiskā datorzinātne, 364: 146–165.
  • Baznīca, Alonzo, 1951. gads, “Vāja teorija par implikāciju”, Kontrolliertes Denken: Untersuchungen zum Logikkalkül und zur Logik der Einzelwissenschaften, A. Menne, A. Wilhelmy and H. Angsil (red.), Kommissions-Verlag Karl Alber, 22 –37.
  • Karijs, Haskels B., 1977. gads, Matemātiskās loģikas pamati, Ņujorka: Dovera (sākotnēji publicēts 1963. gadā).
  • Dunn, JM, 1991, “Gaggle Theory: Galois savienojumu abstrahēšana un atlikums ar pielietojumu pie negācijas un dažādām loģiskām operācijām”, AI loģikā, Proceedings European Workshop JELIA 1990 (Datorzinātnes lekciju piezīmes, 476. sējums), Berlīne: Springer-Verlag.
  • Dunn, JM, 1993, “Star and Perp”, Philosophical Perspectives, 7: 331–357.
  • Fine, K., 1989, “Kvantitatīvās atbilstības loģikas nepilnīgums”, J. Norman un R. Sylvan (red.), Directions in Relevant Logic, Dordrecht: Kluwer, 205–225.
  • Geach, PT, 1955, “Par Insolubilia”, analīze, 15: 71–72.
  • Gentzen, Gerhard, 1935, “Untersuchungen über das logische Schließen”, Mathematische Zeitschrift, 39: 176–210 un 405–431. [Tulkojums angļu valodā ir atrodams Gentzen 1969.]
  • Gentzen, Gerhard, 1969, Gerhard Gentzen apkopotie raksti, ME Szabo (ed.), Amsterdama: Ziemeļholande, 1969. gads.
  • Goldblatt, R. un E. Mares, 2006, “Alternatīva semantika kvantitatīvi nozīmīgai loģikai”, Journal of Symbolic Logic, 71 (1): 163–187.
  • Girard, Jean-Yves, 1987, “Lineārā loģika”, Teorētiskā datorzinātne, 50: 1–101.
  • Lambeks, Joahims, 1958. gads, “Sodu struktūras matemātika”, American Mathematical Monthly, 65: 154–170.
  • Lambeks, Joahims, 1961. gads, “Par sintaktisko tipu aprēķiniem” valodas struktūrā un tās matemātiskajos aspektos (Proceedings of Symposia in Applied Mathematics, XII), R. Jakobson (ed.), Providence, RI: American Mathematical Society.
  • Moh Shaw-Kwei, 1950. gads, “atskaitīšanas teorēmas un divas jaunas loģiskās sistēmas”, Metodika, 2: 56–75.
  • Moortgat, Michael, 1995, “Multimodal Linguistic Inference”, IGPL Logic Journal, 3: 371–401.
  • Ono, Hiroakira, 2003, “Substrukturālā loģika un atlikušās režģi - ievads”, V. Hendriks un J. Malinovskis (red.), Loģikas tendences: Studia Logica 50 gadi, Dordrecht: Kluwer, 2003, 193. lpp. 228. lpp.
  • Routley, R., 1980. “Semantikas problēmas un risinājumi kvantitatīvi nozīmīgajā loģikā”, A. Arruda, R. Chuaqui un NCA Da Costa (red.), Matemātiskā loģika Latīņamerikā, Amsterdama: Ziemeļholande, 1980, 305. – 340.

Akadēmiskie rīki

sep cilvēks ikona
sep cilvēks ikona
Kā citēt šo ierakstu.
sep cilvēks ikona
sep cilvēks ikona
Priekšskatiet šī ieraksta PDF versiju vietnē SEP Friends.
inpho ikona
inpho ikona
Uzmeklējiet šo ierakstu tēmu interneta filozofijas ontoloģijas projektā (InPhO).
phil papīru ikona
phil papīru ikona
Uzlabota šī ieraksta bibliogrāfija vietnē PhilPapers ar saitēm uz tā datu bāzi.

Citi interneta resursi

  • Restall, Greg, 1994, Par loģiku bez kontrakcijas, doktora disertācija, Kvīnslendas universitāte.
  • Slaney, John, 1995, MaGIC: Matrix Generator for Implication Connectives - programmatūras pakotne ierobežotu modeļu ģenerēšanai substruktūras loģikai.

Ieteicams: