Parakonsekventa Loģika

Satura rādītājs:

Parakonsekventa Loģika
Parakonsekventa Loģika

Video: Parakonsekventa Loģika

Video: Parakonsekventa Loģika
Video: А.В.Клюев - Что Творит Эволюционная Божественная Сила - Трансформация - Эго - Глубокие Пояснения(11) 2024, Marts
Anonim

Ieejas navigācija

  • Iestāšanās saturs
  • Bibliogrāfija
  • Akadēmiskie rīki
  • Draugu PDF priekšskatījums
  • Informācija par autoru un atsauce
  • Atpakaļ uz augšu

Parakonsekventa loģika

Pirmoreiz publicēts otrdien, 1996. gada 24. septembrī; būtiska pārskatīšana - piektdien, 2018. gada 18. maijā

Mūsdienu loģiskā ortodoksija secina, ka no pretrunīgajām domām viss seko. Loģisku seku sakarība ir eksplozīva, ja saskaņā ar to jebkādu patvaļīgu secinājumu (B) rada jebkādas patvaļīgas pretrunas (A), (neg A) (ex pretrunīgi kvodīti (ECQ)). Klasiskā loģika un arī pati standarta “neklasiskā” loģika, piemēram, intuīciju loģika, ir eksplozīva. Saskaņā ar saņemto gudrību pretrunu nevar saskaņoti pamatot.

Parakonsekventa loģika izaicina šo pareizticību. Tiek uzskatīts, ka loģisku seku sakarība ir parakonsekventa, ja tā nav eksplozīva. Tātad, ja seku saistība ir parakonsekventa, tad pat apstākļos, kad pieejamā informācija ir nekonsekventa, seku saikne neizsprāgst par nebūtību. Tādējādi parakonsekventa loģika kontrolētā veidā pielāgo neatbilstību, kas nekonsekventu informāciju uztver kā potenciāli informatīvu.

Prefiksam “para” angļu valodā ir divas nozīmes: “kvazis” (vai “līdzīgs, pēc modeļa”) vai “ārpus”. Kad Miro Quesada 1976. gadā trešajā Latīņamerikas matemātiskās loģikas konferencē izgudroja terminu “parakonsekvents”, šķiet, ka viņam bija prātā pirmā nozīme. Daudzi parakonsekventi loģiķi tomēr to ir domājuši par otro, kas sniedza dažādus iemeslus parakonsekventa loģikas attīstībai, kā mēs redzēsim turpmāk.

Parakonsekventa loģika tiek definēta negatīvi: jebkura loģika ir parakonsekventa, ja vien tā nav eksplozīva. Tas nozīmē, ka parakonsekventā loģikā nav neviena atklātu problēmu vai programmu kopuma. Pats par sevi šis ieraksts nav pilnīgs parakonsekventas loģikas pārskats. Mērķis ir aprakstīt dažas filozofiski nozīmīgas daudzveidīgās jomas iezīmes.

  • 1. Parakonsekvence

    • 1.1 Dialeteisms
    • 1.2. Pretrunīgas kvodīta īsa vēsture
    • 1.3 Parakonsekventās loģikas mūsdienu vēsture
  • 2. Motivācijas

    • 2.1. Neatbilstība bez trivialitātes

      • 2.1.1. Netriviālas teorijas
      • 2.1.2 Patiesas pretrunas
      • 2.1.3. Valodniecība
    • 2.2 Mākslīgais intelekts

      • 2.2.1. Automatizētā spriešana
      • 2.2.2. Pārliecību pārskatīšana
    • 2.3 Formāla semantika un kopu teorija

      • 2.3.1 Patiesības teorija
      • 2.3.2 Iestatīšanas teorija
      • 2.3.3 Matemātika kopumā
    • 2.4. Aritmētika un Gēdela teorēma
    • 2.5 Neskaidrs
  • 3. Parakonsistentās loģikas sistēmas

    • 3.1. Diskusijas loģika
    • 3.2. Papildu sistēmas
    • 3.3. Konservatīvisms
    • 3.4 Adaptīvā loģika
    • 3.5. Formālas neatbilstības loģika
    • 3.6 Daudzvērtīga loģika
    • 3.7. Attiecīgā loģika
  • Bibliogrāfija
  • Akadēmiskie rīki
  • Citi interneta resursi
  • Saistītie ieraksti

1. Parakonsekvence

Loģika ir parakonsekventa, ja tās loģisko seku attiecība ((vDash) ir vai nu semantiska, vai pierādījuma teorētiska) nav eksplozīva. Parakonsekvence ir sekas sakarības īpašība. Arguments, kas ir pretrunīgi izteiktās kvodītes paraugs (ECQ), ir parakonsekventi nederīgs: parasti nav tā, ka (A), (neg A / vDash B).

Konsekvences jēdzienam ortodoksālajā loģikā bieži piekritīgā loma, proti, pamatprasība, kurai ir jāatbilst jebkurai teorijai, ir pielīdzināta jēdzienam par saskaņotību: neviena teorija nevar ietvert katru teikumu neatkarīgi no tā, ja to uzskata par noturīgu. Teorijas vienkārša konsekvence (bez pretrunām) ir īpašs absolūtas konsekvences vai ne-trivialitātes gadījums (ne katrs teikums ir teorijas sastāvdaļa). Kā mēs redzēsim turpmāk, daudzi parakonsekventi loģiski apstiprina Nepretrunu likumu (LNC), ((v vDash / neg (A / wedge / neg A))), pat ja tie anulē ECQ.

Papildus pamatdefinīcijai, ka parakonsekventa seku sakarība nav eksplozīva, parakonsekventa loģika ir ļoti atšķirīga. Šajā attīstības posmā, labi 21. gadsimtā, šķiet taisnīgi teikt, ka “parakonsekvence” neizceļ vienu noteiktu pieeju loģikai, bet drīzāk ir īpašums, kas dažām loģikām ir, bet citām nav (piemēram, teiksim,, kompaktums vai vairāki secinājumi).

1.1 Dialeteisms

Literatūrā, it īpaši tajā daļā, kurā ir iebildumi pret parakonsekventu loģiku, ir bijusi tendence sajaukt parakonsekvenci ar dialeteismu, uzskatu, ka pastāv patiesas pretrunas (sk. Ierakstu par dialeteismu). Uzskats, ka seku sakarībai jābūt parakonsekventai, nenozīmē, ka pastāv patiesas pretrunas. Parakonsekvence ir seku attiecību īpašums, turpretī dialeteisms ir uzskats par patiesību. Tas, ka var definēt nesaistītas sekas, nenozīmē, ka daži teikumi ir patiesi. Tas, ka var izveidot modeli, kurā ir pretruna, bet ne visos valodas teikumos (vai, ja tas tā ir dažās pasaules valstīs), nenozīmē, ka pretruna pati par sevi ir patiesa. Tādējādi parakonsekvence ir jānošķir no dialeteisma (lai arī sk. Asmus 2012).

Tagad, ja dialeteisms ir konsekvents, tad dialethiest vēlamajai loģikai jābūt paraconsistentai. Dialeteisms ir uzskats, ka zināmas pretrunas ir patiesas, kas ir atšķirīga tēze no “trivialisma”, uzskats, ka viss, kas tāds ir (ieskaitot visas pretrunas), ir patiess. Parakonsekvents loģiķis var sajust zināmu pievilcību dialeteisma virzienā, taču lielākā daļa parakonsekventu loģiku nav “dialeētiska” loģika. Parakonsekventas loģikas diskusijā galvenā uzmanība tiek pievērsta nevis pretrunu iegūšanai, bet gan seku eksplozīvajam raksturam.

1.2. Pretrunīgas kvodīta īsa vēsture

Tagad ir parasts uzskatīt ex pretrunīgi izteikto kvodītu par derīgu. Šis mūsdienu skatījums tomēr jāieliek vēsturiskā skatījumā. Tieši deviņpadsmitā gadsimta beigās, kad loģikas izpēte sasniedza matemātisko artikulāciju, sprādzienbīstama loģiskā teorija kļuva par standartu. Ar tādu loģiķu darbu kā Būla, Frege, Rasels un Hilberts klasiskā loģika kļuva par ortodoksālo loģisko kontu.

Tomēr senatnē šķiet, ka neviens nav apstiprinājis ECQ derīgumu. Aristotelis iepazīstināja ar to, ko dažreiz sauc par savienojamo principu: “nav iespējams, ka viena un tā pati būtne un neesamība prasa vienu un to pašu” (Prior Analytic II 4 57b3). (Vienlaicīgo loģiku nesen atjaunoja Vansings; skat. Ierakstu par saistošo loģiku, kas tika izstrādāta, balstoties uz šo principu.) Šis princips kļuva par diskusiju tematu viduslaikos vai viduslaikos. Lai arī šķiet, ka viduslaiku debates tika veiktas nosacītu apstākļu kontekstā, mēs tās varam uzskatīt arī par debatēm par sekām. Šo principu izmantoja Boethius (480–524 vai 525) un Abelard (1079–1142), kuri apsvēra divus seku aprakstus. Pirmais ir pazīstams:telpām nav iespējams būt patiesām, bet secinājums ir nepatiess. Tādējādi pirmais ziņojums ir līdzīgs mūsdienu patiesības saglabāšanas jēdzienam. Otrais pēdējā laikā ir mazāk pieņemts: telpu jēga satur secinājuma jēgu. Šis konts, tāpat kā attiecīgā loģika, neļauj izdarīt secinājumus, kuru secinājums ir patvaļīgs. Abelards uzskatīja, ka pirmais konts neatbilst savienojamības principam un ka otrais konts (ierobežošanas konts) atspoguļo Aristoteļa principu. Abelards uzskatīja, ka pirmais konts neatbilst savienojamības principam un ka otrais konts (ierobežošanas konts) atspoguļo Aristoteļa principu. Abelards uzskatīja, ka pirmais konts neatbilst savienojamības principam un ka otrais konts (ierobežošanas konts) atspoguļo Aristoteļa principu.

Parādījās, ka Abelarda nostāju 1130. gados piedzīvoja grūtības ar Parīzes Alberiku. Lielākā daļa viduslaiku žurnālistu tomēr nepameta derīguma kontu, pamatojoties uz norobežošanu vai kaut ko līdzīgu (sk., Piemēram, Martin 1987). Bet viens veids, kā tikt galā ar grūtībām, ir noraidīt saistošo principu. Šī pieeja, kas ir kļuvusi par visvairāk ietekmīga, akceptēja sekotājiem Adam Balsham vai Parvipontanus (vai dažreiz sauc par Adam The Little tilta [12 th gadsimta]). Parvipontāņi apņēma seku patiesības saglabāšanas pārskatu un ar to saistītos “paradoksus”. Faktiski tas bija parvipontiešu biedrs Viljams no Soissons, kurš divpadsmitajā gadsimtā atklāja to, ko mēs tagad saucam par CI Lewis (neatkarīgo) argumentu par ECQ (sk. Martin 1986).

Ierobežošanas konts tomēr nepazuda. John Duns Scotus (1266–1308) un viņa sekotāji pieņēma izolācijas kontu (sk. Martin 1996). Piecpadsmitā gadsimta beigu Ķelnes skola iebilda pret ECQ, noraidot disjunktīvo syloģismu (sk. Sylvan 2000).

Loģikas vēsturē Āzijā ir tendence (piemēram, Jaina un budistu tradīcijās) apsvērt iespēju apgalvojumiem būt gan patiesiem, gan nepatiesiem. Turklāt ar lielākajām budistu logicians izstrādāti loģika, Dignāga (5 th gadsimts) un Dharmakīrti (7 th gadsimts) nav apskāviens ECQ. Viņu loģiskais skaidrojums faktiski ir balstīts uz “izplatību” (Skt: vyāpti, Tib: khyab pa) saistībā ar argumenta elementiem. Tāpat kā Abelarda ierobežošanas kontam, starp telpām un secinājumiem jābūt ciešākai saitei, nekā to atļauj patiesības saglabāšanas konts. Par Dharmakīrti loģiku un tās turpmāko attīstību skat., Piemēram, Dunne 2004 un Tillemans 1999.

1.3 Parakonsekventās loģikas mūsdienu vēsture

Divdesmitajā gadsimtā alternatīvas sprādzienbīstamām loģiskām sekām parādījās dažādiem cilvēkiem dažādos laikos un vietās neatkarīgi viens no otra. Viņus bieži motivēja dažādi apsvērumi. Šķiet, ka agrāko parakonsekvento loģiku mūsdienu laikmetā ir devuši divi krievi. Sākot no 1910. gada, Vasiļjevs ierosināja modificētu aristoteliešu slogistiku, iekļaujot paziņojumus formā: (S) ir gan (P), gan (P). 1929. gadā Orlovs sniedza pirmo atbilstošās loģikas aksiomatizāciju, kas ir parakonsekventa. (Par Vasil'év sk. Arruda 1977 un Arruda 1989: 102f; par Orlov sk. Anderson, Belnap, & Dunn 1992: xvii.)

Vasiļjeva vai Orlova darbs tajā laikā neko neietekmēja. Pirmais (formālais) loģiķis, kurš izstrādāja parakonsekventu loģiku, bija Jakovskis Polijā, kurš bija Lukaševiča students, kurš pats bija paredzējis parakonsekventu loģiku savā Aristoteļa kritikā LNK (Łukasiewicz 1951). Gandrīz tajā pašā laikā Halldén (1949) iepazīstināja ar muļķības loģiku, taču tas lielākoties palika nepamanīts.

Parakonsekventu loģiku Dienvidamerikā patstāvīgi izstrādāja Florencio Asenjo un īpaši Ņūtons da Kosta doktora disertācijās attiecīgi 1954. un 1963. gadā, liekot uzsvaru uz matemātiskiem pielietojumiem (sk. Asenjo 1966, da Costa 1974). Aktīva loģiķu grupa kopš tā laika ir nepārtraukti pētījusi parakonsekventu loģiku, it īpaši Campinas un Sanpaulu, Brazīlijā, koncentrējoties uz formālās neatbilstības loģiku. Carnielli un Coniglio (2016) sniedz visaptverošu jaunāko pārskatu par šo darbu.

Parakonsekventu loģiku atbilstošas loģikas formās 1959. gadā Anglijā ierosināja Smiley, un apmēram tajā pašā laikā daudz attīstītākā formā - Andersons un Belnap Amerikas Savienotajās Valstīs. Pitsburgā uzauga aktīva attiecīgo loģiķu grupa, ieskaitot Dannu un Mejeru. Parakonsekventas loģikas attīstība (atbilstošas loģikas formā) tika nogādāta Austrālijā. R. Routlijs (vēlāk Sylvan) un V. Routley (vēlāk Plumwood) atklāja tīšu semantiku kādai no Andersona / Belnapa loģikām. Ap viņu Kanberā izveidojās skola, kurā ietilpa Bredijs un Mortensens, vēlāk Priest, kurš kopā ar R. Routley savā attīstībā integrēja dialeteismu.

Kopš 70. gadiem parakonsekventa loģika ir attīstījusies starptautiski. Dažas no lielākajām domu skolām ir aprakstītas zemāk, ieskaitot adaptīvo loģiku (kā Batens 2001) un konservatīvismu (kā Schotch, Brown un Jennings 2009). Darbs tiek veikts Argentīnā, Austrālijā, Beļģijā, Brazīlijā, Kanādā, Čehijā, Anglijā, Vācijā, Indijā, Izraēlā, Japānā, Meksikā, Jaunzēlandē, Polijā, Skotijā, Spānijā, ASV un citās. Ir bijušas vairākas lielas starptautiskas konferences par parakonsekventu loģiku. 1997. gadā Ģentes universitātē Beļģijā notika pirmais pasaules parakonsekvences kongress. Otrais pasaules kongress notika São Sebastião (Sanpaulu, Brazīlija) 2000. gadā, trešais - Toulous (Francija) 2003. gadā un ceturtais - Melburnā (Austrālija) 2008. gadā. Piektais pasaules kongress notika 2013. gadā Kolkatā, Indijā. Vēl viena liela parakonsekvences konference 2014. gadā notika Minhenē (Andreas & Verdée 2016). Skatīt bibliogrāfijas sadaļu par pasaules kongresa rakstu krājumiem.

2. Motivācijas

Izvirzītie parakonsekvences iemesli ir raksturīgi parakonsekvences loģikas īpašo formālo sistēmu izstrādei. Tomēr ir vairāki vispārīgi iemesli domāt, ka loģikai jābūt parakonsekventai. Pirms mēs apkopojam parakonsistentās loģikas sistēmas, mēs piedāvājam dažus motīvus paraconsisent loģikai.

2.1. Neatbilstība bez trivialitātes

Viskonkrētākās parakonsekventās loģikas iemesls, pirmkārt, ir fakts, ka ir nekonsekventas, bet nebūtiskas teorijas. Ja mēs atzīstam šādu teoriju esamību, to pamatā esošajai loģikai jābūt parakonsekventai (lai gan sk. Maiklu 2016).

2.1.1. Netriviālas teorijas

Neviendabīgu, bet ne triviālu teoriju piemērus ir viegli radīt. Vienu piemēru var iegūt no zinātnes vēstures. Apsveriet Boha teoriju par atomu. Saskaņā ar to elektrons riņķo ap atoma kodolu, neizstarojot enerģiju. Tomēr saskaņā ar Maksvela vienādojumiem, kas bija neatņemama teorijas sastāvdaļa, elektronam, kas paātrinās orbītā, jāizstaro enerģija. Tādēļ Bohra atoma uzvedības uzskats bija pretrunīgs. Tomēr, acīmredzot, no tā netika izdarīts viss, kas attiecas uz elektronu izturēšanos, un tam tā arī nevajadzēja būt. Tādējādi neatkarīgi no secinājuma mehānisma, kas to balstīja, tam ir jābūt parakonsekventam (Brown & Priest 2015).

2.1.2 Patiesas pretrunas

Neskatoties uz to, ka ir jānošķir dialeteisms un parakonsekvence, dialeteisms var būt parakonsekventas loģikas motīvs. Viens dialetijas kandidāts (patiesa pretruna) ir melīgais paradokss. Apsveriet teikumu: “Šis teikums nav taisnība”. Ir divas iespējas: vai nu teikums ir taisnība, vai arī tā nav. Pieņemsim, ka tā ir taisnība. Tad tas ir tas, kas saka. Tāpēc teikums nav patiess. Pieņemsim, ka, no otras puses, tā nav taisnība. Tas ir tas, ko saka. Tādējādi teikums ir patiess. Abos gadījumos tā ir gan patiesa, gan nepatiesa. (Skatīt ierakstu par dialeteismu.)

2.1.3. Valodniecība

Dabiskās valodas ir vēl viena iespējamā ne-triviālo neatbilstību vieta. Lingvistikā ir novērots, ka normālas leksiskās iezīmes tiek saglabātas pat nekonsekventā kontekstā. Piemēram, tādiem vārdiem kā “tuvu” ir telpiska konotācija, kas netiek traucēta, pat strādājot ar neiespējamiem objektiem (McGinnis 2013):

Ja es jums saku, ka es esmu krāsojis sfērisku kubu brūnā krāsā, jūs uzskatāt, ka tā ārpuse ir brūna…, un, ja es esmu tā iekšpusē, jūs zināt, ka neesmu tā tuvumā. (Chomsky 1995: 20)

Tātad, ja var teikt, ka dabiskajai valodai ir loģika, parakonsekventa loģika varētu būt kandidāts tās formalizēšanai.

2.2 Mākslīgais intelekts

Parakonsekventu loģiku motivē ne tikai filozofiski apsvērumi, bet arī tās pielietojumi un sekas.

2.2.1. Automatizētā spriešana

Viena no lietojumprogrammām ir automatizēta spriešana (informācijas apstrāde). Apsveriet datoru, kurā tiek glabāts liels informācijas daudzums, piemēram, 1992. gada Belnap. Kamēr dators glabā informāciju, to izmanto arī, lai ar to darbotos un, kas ir svarīgi, lai no tā secinātu. Tagad datorā ir diezgan bieži nekonsekventa informācija, kas saistīta ar datu ievades operatoru kļūdām vai vairāku avotu iegūšanu. Tā noteikti ir problēma datu bāzu operācijās ar teorēmu proversiem, un tāpēc tā ir pievērsusi lielu uzmanību datoru zinātniekiem. Izpētītas nekonsekventas informācijas noņemšanas metodes. Tomēr visiem ir ierobežota piemērojamība, un jebkurā gadījumā netiek garantēts, ka tie nodrošinās konsekvenci. (Nav loģiskas nepatiesības algoritma.) Tāpēc, pat ja tiek veikti pasākumi, lai atbrīvotos no pretrunām, kad tās tiek atrastas,pamatā esošā parakonsekventa loģika ir vēlama, ja slēptās pretrunas neizraisa nepatiesas atbildes uz jautājumiem.

Nelsona parakonsekventā (četrvērtīgā) loģika N4 ir īpaši pētīta izmantošanai datorzinātnēs (Kamide & Wansing 2012). Anotāciju loģiku ierosināja Subrahmanian (1987), pēc tam da Costa, Subrahmanian un Vago (1991); šie rīki tagad tiek attiecināti arī uz robotiku, medicīniskās diagnozes ekspertu sistēmām un inženierzinātnēm, un nesenais darbs apkopots Abe, Akama, Nakamatsu (2015) un Akama (2016) rediģētajos sējumos.

2.2.2. Pārliecību pārskatīšana

Ticības revīzija ir ticības struktūru racionālas pārskatīšanas pētījums, ņemot vērā jaunus pierādījumus. Bēdīgi, ka cilvēkiem ir pretrunīgi uzskati. Viņi, iespējams, pat ir racionāli to darīt. Piemēram, var būt acīmredzami pārliecinoši pierādījumi gan kaut kam, gan tā noliegumam. Var būt pat gadījumi, kad šādu neatbilstību principā nav iespējams novērst. Piemēram, apsveriet “priekšvārda paradoksu”. Racionāls cilvēks pēc rūpīgas izpētes raksta grāmatu, kurā viņi apgalvo, ka ((A_1),…, ((A_)). Bet viņi arī apzinās, ka nevienā sarežģītības grāmatā nav tikai patiesības. Tāpēc viņi racionāli tic arī (neg (A_1 / ķīlis / ldots / ķīlis A_n)). Tādējādi racionālas ticības pārskatīšanas principiem ir jādarbojas uz neatbilstīgiem uzskatu kopumiem. Ticības pārskatīšanas standarta pārskati, piemēram, AGM teorija (sk. Pārliecības pārskatīšanas loģiku),visi to nedara, jo tie balstās uz klasisko loģiku (Tanaka 2005). Piemērotāka konta pamatā var būt parakonsekventa loģika; skat. Girard and Tanaka 2016.

2.3 Formāla semantika un kopu teorija

Parakonsekvenci var uzskatīt par atbildi uz formālās semantikas un kopu teorijas loģiskajiem paradoksiem.

2.3.1 Patiesības teorija

Semantika ir pētījums, kura mērķis ir precizēt nozīmes teorētisko izpratni. Lielākā daļa semantikas apgalvo, ka teikuma nozīmes precizēšana savā ziņā ir tā patiesības nosacījumu precizēšana. Tagad, vismaz prima facie, patiesība ir predikāts, ko raksturo Tarski T shēma:

[T (boldsymbol {A}) leftrightarrow A)

kur (A) ir teikums un (boldsymbol {A}) ir tā nosaukums. Bet, ņemot vērā jebkurus standarta atsauces līdzekļus, piemēram, aritmetizāciju, var izveidot teikumu (B), kas saka: (neg T (boldsymbol {B})). T-shēma dod to (T (boldsymbol {B}) leftrightarrow / neg T (boldsymbol {B})). No tā izriet, ka (T (boldsymbol {B}) ķīlis / neg T (boldsymbol {B})). (Tas, protams, ir tikai melīgais paradokss.) Pilnu patiesības teorijas attīstību parakonsekventā loģikā sniedz Beall (2009).

2.3.2 Iestatīšanas teorija

Līdzīga situācija ir teorijas teorijā. Naivās un intuitīvi pareizās kopuma teorijas aksiomas ir izpratnes shēma un paplašināšanas princips:

(sākt {izlīdzināt *} & / eksistē y / forall x (x / y / leftrightarrow A) & / forall x (x / y / leftrightarrow x / in z) rightarrow y = z / end { izlīdzināt *})

kur (x) brīvi nenotiek (A). Kā atklāja Rasels, jebkura teorija, kas satur Izpratnes shēmu, ir pretrunīga. Lai “(y / not / in y)” ievietotu (A) izpratnes shēmā un eksistenciālā skaitļa precizēšana patvaļīgam objektam “(r)” dod:

(forall y (y / r / leftrightarrow y / not / in y))

Tātad universālā kvantifikatora atkārtota piešķiršana '(r)' dod:

[r / in r / leftrightarrow r / not / in r)

No tā izriet, ka (r / in r / wedge r / not / in r).

Standarta pieeja šīm neatbilstības problēmām lielākoties ir lietderība. Parakonsekventa pieeja ļauj iegūt patiesības un noteiktības teorijas, kurās tiek ievērotas matemātiski fundamentālās intuīcijas par šiem priekšstatiem. Piemēram, kā parādīja Brady (1989; 2006), parakonsekventa kopuma teorijā var rasties pretrunas, taču tām nav jāinficē visa teorija.

Ir vairākas pieejas teorijas noteikšanai ar naivu izpratni, izmantojot parakonsekventu loģiku. Kārtas un kardināla skaitļu teorijas tiek attīstītas aksiomatiski, izmantojot atbilstošu loģiku, Weber 2010b, 2012. Iespējā pievienot konsekvences operatoru, lai izsekotu teorijas fragmentus, kas nav paradoksāli, tiek apsvērta Omori 2015, ņemot vērā cue no da Costa tradīcijas.. Naivās kopas teorija, izmantojot adaptīvo loģiku, ir sniegta Verdée (2013). Parakonsekventas kopas teorijas modeļus apraksta Liberts (2005).

2.3.3 Matemātika kopumā

Pēc da Kosta (1974: 498) teiktā,

Būtu tikpat interesanti izpētīt nekonsekventās sistēmas, kā, piemēram, ne-eiklīdu ģeometrijas: mēs iegūtu labāku priekšstatu par paradoksu būtību, mēs varētu labāk izprast dažādu loģisko principu savienojumus, kas nepieciešami, lai iegūtu noteiktu rezultāti utt.… Mūsu mērķis nav novērst neatbilstības, bet gan tos analizēt un izpētīt.

Par turpmāko matemātikas attīstību parakonsekventajā loģikā skat. Ierakstu par nekonsekventu matemātiku.

2.4. Aritmētika un Gēdela teorēma

Atšķirībā no formālās semantikas un kopējās teorijas, var nebūt acīmredzamu aritmētisko principu, kas rada pretrunas. Neskatoties uz to, tāpat kā klasiskajiem nestandarta aritmētikas modeļiem, pastāv arī nekonsekventu aritmētisko modeļu klase (vai precīzāk sakot, nekonsekventas aritmētikas modeļi), kuriem ir interesanta un svarīga matemātiskā struktūra.

Interesantu aritmētisko modeļu esamības interesanta ir tā, ka daži no tiem ir ierobežoti (atšķirībā no klasiskajiem nestandarta modeļiem). Tas nozīmē, ka metamatemātiskās teorēmās ir daži nozīmīgi pielietojumi. Piemēram, klasiskajā Lēvenheima-Šolema teorēmā teikts, ka (Q) (Robinsona aritmētika, kas ir Peano aritmētikas fragments) ir katras bezgalīgas kardinālības modeļi, bet tai nav ierobežotu modeļu. Tomēr var pierādīt, ka arī (Q) ir ierobežota izmēra modeļi, atsaucoties uz nekonsekventiem aritmētikas modeļiem.

Parakonsekventu ārstēšanu var veikt ne tikai Lēvenheima-Šolema teorēma, bet arī citas metamatemātiskās teorēmas. Citu teorēmu gadījumā negatīvie rezultāti, kurus bieži parāda metamathematics limitativās teorēmas, var vairs nepatikt. Viena svarīga šāda teorēma ir Gēdela teorēma.

Gēdela pirmās nepilnības teorēmas versijā teikts, ka jebkurai konsekventai aksiomātiskai aritmētikas teorijai, kuru var atzīt par pamatotu, būs aritmētiska patiesība, proti, Gēdeļa teikums tajā nav pierādāms, bet to var noteikt kā patiess ar intuitīvi pareizu spriešanu. Gēdela teorēmas pamatā ir paradokss, kas attiecas uz teikumu (G): “Šis teikums nav pierādāms”. Ja (G) ir pierādāms, tad tas ir taisnība un tāpēc nav pierādāms. Tādējādi (G) ir pierādīts. Tādējādi (G) ir patiess un tik neizpildāms. Ja aritmētikas formalizēšanai tiek izmantota pamatā esošā parakonsekventa loģika un tāpēc teorijai ir pieļaujama nekonsekvence, Gēdela teikums teorijā var būt pierādāms (galvenokārt ar iepriekšminēto pamatojumu). Tātad parakonsekventa pieeja aritmētikai pārvar aritmētikas ierobežojumus, kas (daudziem) domājams, izriet no Gēdela teorēmas. (Par citām “ierobežojošām” metamatemātikas teorēmām sk. Priest 2002.)

2.5 Neskaidrs

No sākuma parakonsekventa loģika bija paredzēta daļēji neskaidru problēmu un sorītu paradoksa problēmu risināšanai (Jaśkowski 1948 [1969]). Daži empīriski pierādījumi liecina, ka neskaidra dabiskā valoda ir labs kandidāts parakonsekventai ārstēšanai (Ripley 2011).

Ir ierosinātas dažas atšķirīgas parakonsekventas pieejas neskaidrībai. Subvaluationism ir loģisks divkāršs supervaluationism: ja apgalvojums ir patiess attiecībā uz kādu pieņemamu neskaidra predikāta asināšanu, tad tas ir taisnība. Ja supervērtēšanas speciālists saskata nenoteiktību vai patiesības un vērtības atšķirības, subvaluationist uzskata pārāk nenoteiktību, patiesības un vērtību vērtības. Subvalvācijas loģika, tāpat kā tās supervalvācijas divējādība, saglabās visas klasiskās tautoloģijas, ja vien derīguma definīcija aprobežojas ar neskaidrajiem gadījumiem. Sakarā ar to, ka tas ir tik strukturāli līdzīgs supervaluationism, arī subvaluationism tiek pakļauts lielākajai daļai tās pašas kritikas (Hyde 1997).

Plašāk runājot, (dialetātā) parakonsekvence ir izmantota taisnā trīsvērtīgā patiesības funkcionālajā pieejā neskaidrajai pieejai. Mērķis ir saglabāt abus šādus intuitīvos apgalvojumus:

  1. Pielaide: neskaidram (F) nav tā, ka (x) ir (F), bet daži ļoti (F) - līdzīgi (x) nav (F)
  2. Atslēgumi: Visiem (F), ja daži (x) ir (F) un daži (y) nav, un ir pasūtīts (F) - progresēšana no (x) līdz (y), tad ir daži pēdējie (F) un daži pirmie, kas nav - (F)

Atkal analīzes atslēga ir noteikt nogrieznības kā nekonsekvences vietas gan objektiem F, gan F. Tad visas pielaides (par neskaidru F) tiek uzskatītas par patiesām; bet, tā kā parakonsekventi, disjunktīvās sylogismis secinājumi parasti nav spēkā, šie apgalvojumi nenozīmē absurdus, piemēram, “visi ir pliki”. Parakonsekventajos modeļos liels uzsvars tiek likts uz neskaidru predikātu nogriešanas punktiem, lielu daļu problēmu ar šķirnes paradoksu saistot ar neskaidru predikātu neatbilstību (Weber 2010a).

Tiek diskutēts par to, vai šķirņu paradokss ir tāds pats kā ar citiem labi zināmiem semantiskajiem un noteiktajiem teorētiskajiem paradoksiem, piemēram, Rasela un melis. Ja tā ir, tad parakonsekventa pieeja vienam būtu tikpat dabiska kā otram.

3. Parakonsistentās loģikas sistēmas

Ir izstrādāti vairāki formāli paņēmieni ECQ atzīšanai par nederīgiem. Lielākā daļa metožu ir apkopotas citur (Brown 2002, Priest 2002). Pieaugot interesei par parakonsekventu loģiku, dažādās pasaules daļās tika izstrādātas dažādas tehnikas. Tā rezultātā metožu izstrādei ir zināma reģionālā aromāts (lai gan, protams, ir izņēmumi, un reģionālās atšķirības var būt pārāk pārspīlētas; sk. Tanaka 2003).

Lielākā daļa parakonsekventu loģiķu neierosina vairumtirdzniecības klasiskās loģikas noraidīšanu. Viņi parasti pieņem klasisko secinājumu pamatotību konsekventos kontekstos. ECQ noraidīšanu motivē izolēt neatbilstību, neizplatoties visur. Atkarībā no tā, cik daudz pārskatīšanas ir nepieciešams, mums ir parakonsekvences tehnika. Šeit sniegtā taksonomija ir balstīta uz klasiskās loģikas rediģēšanas pakāpi. Tā kā loģisko jaunumu var redzēt piedāvājuma līmenī, mēs koncentrēsimies uz piedāvājuma parakonsekventu loģiku.

3.1. Diskusijas loģika

Pirmā izstrādātā formālā parakonsekventa loģika bija diskutabla (vai diskursīva) loģika, ko izstrādāja poļu loģiķis Jaškovskis (1948). Diskusijas loģika ir tāda, ka diskursā katrs dalībnieks izvirza kādu informāciju, uzskatus vai viedokļus. Katrs apgalvojums ir patiess saskaņā ar dalībnieku, kurš to izvirza diskursā. Bet tas, kas patiesībā ir diskursā, ir dalībnieku izvirzīto apgalvojumu summa. Katra dalībnieka viedoklis var būt konsekvents, taču var būt pretrunā ar citu viedokli. Jakovskis šo ideju formalizēja diskutablas loģikas veidā.

Diskursīvās loģikas formalizēšana notiek, modelējot diskursu modālajā loģikā. Vienkāršības labad Jaškovskis izvēlējās S 5. Mēs domājam katra dalībnieka pārliecību par S 5 modeļa (M) patieso teikumu kopumu pasaulē. Tādējādi teikums (A), ko apgalvo diskursa dalībnieks, tiek interpretēts kā “iespējams, ka (A)” vai teikums (Diamond A) no S 5. Tad (A) tur diskursā, ja (A) ir taisnība dažās pasaules valstīs ((M)). Tā kā (A) var būt vienā pasaulē, bet ne citā, gan (A), gan (neg A) var turēties diskursā. Patiešām, jārēķinās, ka dalībnieki racionālā diskursā nepiekrīt kādam jautājumam. Ideja ir tāda, ka (B) ir diskutablas sekas, kas izriet no (A_1, / ldots, A_n), ja (Diamond B) ir (Diamond A_ {1} punkti / Diamond A_ {n}).

Lai redzētu, ka diskutablā loģika ir parakonsekventa, apsveriet S 5 modeli (M) tā, lai (A) turētos pie (w_1), (neg A) turētos citā pasaulē (w_2), bet (B) dažām (B) neder nevienā pasaulē. Tad gan (A), gan (neg A) tiek turēti, tomēr (B) netiek turēti (M). Tādējādi diskusijas loģika padara ECQ par spēkā neesošu.

Tomēr nav S 5 modeļa, kurā kaut kur pasaulē būtu (A / ķīlis / neg A). Tātad formas ({A / ķīlis / neg A } vDash B) secinājums ir derīgs diskusijas loģikā. Tas nozīmē, ka diskutablā loģikā papildinājums (({A, / neg A } vDash A / wedge / neg A)) neizdodas. Bet var definēt diskutablu savienojumu, (wedge_d), kā (A / ķīlis / Diamond B) (vai (Diamond A / ķīlis B)). Tad papildinājums attiecas uz (wedge_d) (Jaśkowski 1949).

Viena no grūtībām ir nosacījuma formulēšana. S 5 gadījumā secinājumi no (Diamond p) un (Diamond (p / supset q)) uz (Diamond q) neizdodas. Jaškovskis izvēlējās ieviest savienojumu, kuru viņš sauca par diskutablu implicāciju, (supset_d), kas tika definēts kā (Diamond A / supset B). Šo savienojumu var saprast tādējādi, ka “ja kāds dalībnieks norāda, ka (A), tad (B)”. Tā kā secinājumi no (Diamond A / supset B) un (Diamond A) uz (Diamond B) ir derīgi S 5, modus ponens for (supset_d) ir diskutablā loģikā. Diskutējošu abpusēju nozīmi, (equiv_d), var definēt arī kā ((Diamond A / Subtset B) ķīlis / Diamond (Diamond B / Subsets A)) (vai (Diamond (Dimants A / supset B) ķīlis (Diamond B / supset A))). Par Jaškovski loģikas un tās aksiomatizācijas darba vēsturi sk. Omori un Alama (topošie).

3.2. Papildu sistēmas

Sistēma, kas nav papildinoša, ir sistēma, kas neapstiprina papildināšanu (ti, ({A, B } nav / vDash A / ķīlis B)). Kā mēs redzējām iepriekš, diskutablā loģika bez diskursīva savienojuma nav papildinoša. Citu stratēģiju, kas nav papildinoša, ieteica Resčers un muiža (1970). Faktiski mēs varam apvienot telpas, bet tikai līdz maksimālai konsekvencei. Konkrēti, ja (Sigma) ir telpu kopums, maksimāli konsekventa apakškopa ir jebkura konsekventa apakškopas (Sigma ') tā, ka, ja (A / \ Sigma - / Sigma'), tad (Sigma / \ cup {A }) ir pretrunīga. Tad mēs sakām, ka (A) ir (Sigma) sekas, ja (A) ir (Sigma ') klasiskas sekas kādai maksimāli konsekventai apakškopai (Sigma'). Tad ({p, q } vDash p / wedge q), bet ({p, / neg p } not / vDash p / wedge / neg p).

3.3. Konservatīvisms

Rescher un muižas nepapildinošajā sistēmā ir definēta seku saistība ar kādu maksimāli konsekventu telpu apakškopu. To var uzskatīt par veidu, kā “izmērīt” konsekvences līmeni izvirzītajā priekšnoteikumā. ({P, q }) līmenis ir 1, jo maksimāli konsekventa apakškopa ir pati kopa. ({P, / neg p }) līmenis tomēr ir 2: ({p }) un ({ neg p }).

Ja mēs definējam seku attiecību kādā maksimāli konsekventā apakškopā, tad var domāt, ka šī sakarība saglabā konsekventu fragmentu līmeni. Šī ir pieeja, ko mēdz saukt par konservatīvismu. To vispirms izstrādāja Kanādas žurnālisti Ray Jennings un Peter Schotch.

Precīzāk sakot, (ierobežoto) formulu kopu (Sigma) var sadalīt klasiski konsekventos fragmentos, kuru savienība ir (Sigma). Ļaujiet (vdash) būt par klasisko seku attiecību. (Sigma) segums ir kopums ({ Sigma_i: i / I }), kurā katrs loceklis ir konsekvents, un (Sigma = / bigcup_ {i / in I} Sigma_i). (Sigma, l (Sigma)) līmenis ir vismazākais (n) tāds, ka (Sigma) var sadalīt (n) kopās, ja tāda ir (n) vai (infty), ja tāda nav (n). Sekas sakarību, ko sauc par piespiešanu, (Vdash) definē šādi. (Sigma / Vdash A) iff (l (Sigma) = / infty) vai (l (Sigma) = n), un katram segumam ar izmēru (n) ir (j / I) tāds, ka (Sigma_j / vdash A). Ja (l (Sigma) = 1) vai (infty), tad piespiešanas sakarība sakrīt ar klasisko seku sakarību. Gadījumā, ja (l (Sigma) = / infty), jābūt formas teikumam (A / ķīlis / neg A), un piespiedu saistība eksplodē.

Lai uztvertu secinošo mehānismu, kas ir dažu dabaszinātņu un matemātikas teoriju pamatā, ir izmantota arī šķelšanās stratēģija. Matemātikā labākā pieejamā teorija par bezgalīgajiem zīmējumiem bija pretrunīga. Leibnica un Ņūtona bezgalīgajā aprēķinā atvasinājuma aprēķināšanā bezgalīgajiem lielumiem bija jābūt gan nullei, gan nullei. Lai uztvertu secināšanas mehānismu, kas ir Leibnica un Ņūtona bezgalīgā aprēķina pamatā (un Boha atoma teorija), saviebšanai ir jāpievieno mehānisms, kas ļauj ierobežotam informācijas apjomam plūst starp šo nekonsekvento, bet ne-triviālas teorijas. Tas ir, noteikta informācija no viena gabala var iekļūt citās daļās. Secinājumu procedūrai, kas ir teoriju pamatā, jābūt daļai un caurlaidībai.

Ļaujiet (C = { Sigma_i: i / I }) un (varrho) caurlaidības sakarībai (C) tādā veidā, ka (varrho) ir karte no (I / reizes I) līdz valodas formulu apakškopām. Ja (i_0 / I), tad jebkura struktūra (langle C, / varrho, i_0 / rangle) tiek saukta par C&P struktūru (Sigma). Ja (mathcal {B}) ir C&P struktūra (Sigma), mēs definējam (Sigma) C&P sekas attiecībā uz (mathcal {B}) šādi. Katram (i / I) teikumu kopu (Sigma_i ^ n) definē ar rekursiju uz (n):

(sākt {izlīdzināt *} Sigma_i ^ {0} & = / Sigma_i ^ { vdash} / \ Sigma_i ^ {n + 1} & = / pa kreisi (Sigma_i ^ n / cup / bigcup_ {j / in I} pa kreisi (Sigma_j ^ n / cap / rho (j, i) right) right) ^ { vdash} / \ beigas {izlīdzināt *})

Tas ir, (Sigma_i ^ {n + 1}) ietver sekas no (Sigma_i ^ n) kopā ar informāciju, kas caurstrāvo riecienā (i) no otra rieciena līmenī (n). Pēc tam mēs apkopojam visus ierobežotos posmus:

(Sigma_i ^ { omega} = / bigcup_ {n / lt / omega} Sigma_i ^ n)

(Sigma) C&P sekas var definēt pēc teikumiem, ko var izsecināt izraudzītajā riecienā (i_0), kad visai attiecīgajai informācijai ir ļauts plūst gar caurlaidības attiecībām (sk. Brown & Priest 2004, 2015.)

3.4 Adaptīvā loģika

Var domāt, ka nekonsekvence ir jānošķir, bet arī tā, ka nopietna nepieciešamība apsvērt neatbilstības ir reti sastopama parādība. Var domāt, ka konsekvence ir norma, kamēr nav pierādīts citādi: mums teikums vai teorija jāizturas pēc iespējas konsekventāk. Tā būtībā ir adaptīvās loģikas motivācija, kuru aizsācis Dideriks Batens Beļģijā.

Adaptīvā loģika ir loģika, kas pielāgojas situācijai secinājumu noteikumu piemērošanas laikā. Tas modelē mūsu argumentācijas dinamiku. Pastāv divas maņas, kurās spriešana ir dinamiska: ārējā un iekšējā. Pamatojums ir ārēji dinamisks, ja, tiklīdz kļūst pieejama jauna informācija, kas paplašina noteikto premisu, iespējams, nāksies atsaukt iepriekš secinātās sekas. Tādējādi ārējā dinamika ir dažu seku attiecību nemonotoniskais raksturs: (Gamma / vdash A) un (Gamma / cup / Delta / not / vdash A) dažām (Gamma, / Delta) un (A). Tomēr, pat ja noteiktais priekšnoteikums paliek nemainīgs, kādu iepriekš secinātu secinājumu vēlāk var uzskatīt par neatvasināmu. Tā kā mūsu argumentācija izriet no noteikta premisa, mēs varam nonākt situācijā, kurā mēs secinām sekas, ja vien nav novirzes,it īpaši nav nekādu pretrunu, kaut kādā argumentācijas procesa posmā rodas. Ja mēs esam spiesti secināt pretrunu vēlāk, mūsu argumentācijai ir jāpielāgojas tā, lai iepriekš izmantotā secinājuma noteikuma piemērošana tiktu atsaukta. Šādā gadījumā argumentācija ir iekšēji dinamiska. Mūsu argumentācija var būt iekšēji dinamiska, ja derīgo secinājumu kopums nav rekursīvi uzskaitāms (ti, nav lēmumu pieņemšanas procedūras, kas noved pie “jā” pēc ļoti daudziem soļiem, ja secinājumi patiešām ir derīgi). Tā ir iekšējā dinamika, kas uztveršanai ir izstrādāta adaptīvā loģika.spriešana ir iekšēji dinamiska. Mūsu argumentācija var būt iekšēji dinamiska, ja derīgo secinājumu kopums nav rekursīvi uzskaitāms (ti, nav lēmumu pieņemšanas procedūras, kas noved pie “jā” pēc ļoti daudziem soļiem, ja secinājumi patiešām ir derīgi). Tā ir iekšējā dinamika, kas uztveršanai ir izstrādāta adaptīvā loģika.spriešana ir iekšēji dinamiska. Mūsu argumentācija var būt iekšēji dinamiska, ja derīgo secinājumu kopums nav rekursīvi uzskaitāms (ti, nav lēmumu pieņemšanas procedūras, kas noved pie “jā” pēc ļoti daudziem soļiem, ja secinājumi patiešām ir derīgi). Tā ir iekšējā dinamika, kas uztveršanai ir izstrādāta adaptīvā loģika.

Lai ilustrētu adaptīvās loģikas ideju, apsveriet izvirzīto premisu ((Gamma = {p, / neg p / vee r, / neg r / vee s, / neg s, s / vee t }). Var sākt spriešanu ar (neg s) un (s / vee t), izmantojot disjunktīvo silloģismu (DS), lai secinātu (t), ņemot vērā, ka (s / wedge / neg s) neiegūt. Pēc tam mēs ar (p) un (neg p / vee r) domājam secināt (r) ar DS, ņemot vērā, ka (p / wedge / neg p) neiegūst. Tagad DS var izmantot (neg r / vee s) un (r), lai iegūtu (s), ar nosacījumu, ka (r / wedge / neg r) neiegūst. Tomēr, savienojot (s) un (neg s), mēs varam iegūt (s / wedge / neg s). Tādēļ mums ir jāatsauc pirmais DS pieteikums, un līdz ar to (t) pierādījums zaudē spēku. Šīs argumentācijas sekas ir tādas, kuras nevar pieveikt nevienā procesa posmā.

Adaptīvās loģikas sistēmu parasti var raksturot kā trīs elementus:

  1. Zemākās robežas loģika (LLL)
  2. Noviržu kopums
  3. Adaptīva stratēģija

LLL ir adaptīvās loģikas daļa, kas nav pakļauta adaptācijai. Tas galvenokārt sastāv no vairākiem secinošiem noteikumiem (un / vai aksiomām), kurus labprāt pieņem neatkarīgi no situācijas spriešanas procesā. Noviržu kopums ir formulas, kas tiek uzskatītas par tādām, kuras spriešanas sākumā nav noturīgas (vai kā absurdas), līdz tiek pierādīts, ka tās ir citādi. Daudzām adaptīvajām loģikām šī kopas formula ir šādas: (A / ķīlis / neg A). Adaptīvā stratēģija nosaka secinājumu noteikumu piemērošanas apstrādes stratēģiju, kuras pamatā ir noviržu kopums. Ja LLL tiek pagarināts ar prasību, ka loģiski nav iespējamas novirzes, tiek iegūta augšējās robežas loģika (ULL). ULL būtībā satur ne tikai LLL secinošos noteikumus (un / vai aksiomas), bet arī papildu noteikumus (un / vai aksiomas), ko var piemērot, ja nav anomāliju, piemēram, DS. Norādot šos trīs elementus, iegūst adaptīvās loģikas sistēmu.

3.5. Formālas neatbilstības loģika

Līdzšinējās loģikas sistēmu motivēšanai izmantotās pieejas, kuras mēs līdz šim redzējām, atšķir neatbilstību no dotās teorijas konsekventajām daļām. Mērķis ir saglabāt pēc iespējas vairāk klasiskās tehnikas, izstrādājot parakonsekventas loģikas sistēmu, kas, nonākot pretrunās, tomēr izvairās no eksplozijas. Viens veids, kā padarīt šo mērķi skaidru, ir paplašināt mūsu valodas izteiksmīgo spēku, kodējot objekta valodā konsekvences (un nekonsekvences) metateorētiskos priekšstatus. Formālas neatbilstības loģika (LFI) ir parakonsekventu loģiku saime, kas veido konsekventus klasiskās loģikas fragmentus, tomēr noraida eksplozijas principu, ja ir pretruna. Šīs loģikas saimes izmeklēšanu ierosināja Ņūtons da Kosta Brazīlijā.

Kodēšanas konsekvences (un nekonsekvences) objekta valodā rezultāts ir tāds, ka mēs varam skaidri atšķirt neatbilstību no trivialitātes. Tā kā valoda ir pietiekami bagāta, lai izteiktu nekonsekvenci (un konsekvenci), mēs varam izpētīt nekonsekventas teorijas, nepieņemot, ka tās obligāti ir niecīgas. Tas skaidri norāda, ka pretrunu esamība ir atsevišķs jautājums no parakonsekventu secinājumu, kas nav triviāls raksturs.

LFI domā, ka mums vajadzētu cik vien iespējams respektēt klasisko loģiku. Tikai tad, ja ir pretruna, loģikai vajadzētu no tās atkāpties. Tas nozīmē, ka mēs varam atzīt ECQ derīgumu, ja nav pretrunu. Lai to izdarītu, mēs kodējam “konsekvenci” mūsu objektu valodā ar (circ). Tad (vdash) ir LFI IF saistība

  1. (eksistē / Gamma / eksistē A / eksistē B (Gamma, A, / neg A / nav / vdash B)) un
  2. (forall / Gamma / forall A / forall B (Gamma, / Circ A, A, / neg A / vdash B)).

Ļaujiet (vdash_C) būt klasisko seku (vai atvasināmības) attiecībai un (Circ (Gamma)) izteikt formulu kopas konsekvenci (Gamma) tā, ka, ja (Circ A) un (aplis B), tad (aplis (A * B)), kur (*) ir jebkurš divu vietu loģiskais savienojums. Tad mēs varam uztvert atvasināmību konsekventā kontekstā pēc ekvivalences: (forall / Gamma / forall B / pastāv / Delta (Gamma / vdash_C B) iff (circ (Delta), / Gamma / vdash B)).

Tagad ņemiet pozitīvās klasiskās loģikas fragmentu ar modus ponens plus dubultā negācijas novēršanu ((neg / neg A / taisnvirziena A)) kā aksiomu un dažas aksiomas, kas pārvalda (circ):

(sākt {izlīdzināt *} aplis A un / taisnvirziena (A / labo pusi (neg A / taisnvirziena B)) (aplis A / ķīlis / aplis B] un / taisnvirziena / aplis (A / ķīlis B) (aplis A / taisnvirziena / aplis B] un / taisnvirziena / aplis (A / labais virziens B) beigas {izlīdzināt *})

Tad (vdash) nodrošina da Costa sistēmu (C_1). Ja ļaujam (A ^ 1) saīsināt formulu (neg (A / ķīlis / neg A)) un (A ^ {n + 1}) formulu ((neg (A ^ n) ķīlis / neg A ^ n)) ^ 1), tad katram naturālajam skaitlim (i), kas lielāks par 1, iegūstam (C_i).

Lai iegūtu da Costa sistēmu (C _ { omega}), klasiskās loģikas pozitīvā fragmenta vietā mēs sākam ar pozitīvas intuīcijas loģiku. (C_i) sistēmas ierobežotai (i) neizslēdz iespēju ((A ^ n / ķīlis / neg A ^ n / ķīlis A ^ {n + 1})) turēt teoriju. Paceļot hierarhiju līdz (omega), (C _ { omega}) izslēdz šo iespēju. Tomēr ņemiet vērā, ka (C _ { omega}) nav LFC, jo tajā nav klasiskās pozitīvās loģikas.

Da Costa's ((C)) sistēmu semantiku skat., Piemēram, da Costa and Alves 1977 un Loparic 1977. Par jaunāko stāvokli skat. Carnielli un Coniglio 2016.

3.6 Daudzvērtīga loģika

Varbūt vienkāršākais parakonsekventas loģikas ģenerēšanas veids, ko Asenjo pirmo reizi ierosināja savā doktora disertācijā, ir daudzvērtīgas loģikas izmantošana. Klasiski ir tieši divas patiesības vērtības. Daudzvērtīgā pieeja ir atteikties no šī klasiskā pieņēmuma un atļaut vairāk nekā divas patiesības vērtības. Vienkāršākā stratēģija ir formulu novērtēšanai izmantot trīs patiesības vērtības: patiesa (tikai), nepatiesa (tikai) un abas (patiesa un nepatiesa). Loģisko savienojumu patiesības tabulas, izņemot nosacītas, var sniegt šādi:

(neg)
(t) (f)
(b) (b)
(f) (t)
(Ķīlis) (t) (b) (f)
(t) (t) (b) (f)
(b) (b) (b) (f)
(f) (f) (f) (f)
(vee) (t) (b) (f)
(t) (t) (t) (t)
(b) (t) (b) (b)
(f) (t) (b) (f)

Šīs tabulas būtībā atbilst Kleēnas un Lukaševiča trīs vērtētajām loģikām, kur vidējā vērtība tiek uzskatīta par nenoteiktu vai nevienu (patiesa vai nepatiesa).

Nosacītam (supset), ievērojot Kleēna trīs vērtēto loģiku, mēs varētu norādīt patiesības tabulu šādi:

(supset) (t) (b) (f)
(t) (t) (b) (f)
(b) (t) (b) (b)
(f) (t) (t) (t)

Ļaujiet (t) un (b) būt norādītajām vērtībām. Šīs ir vērtības, kas tiek saglabātas derīgos secinājumos. Ja mēs definējam seku saistību ar šo apzīmēto vērtību saglabāšanu, tad mums ir parakonsekventa loģika LP (Priest 1979). LP gadījumā ECQ nav derīgs. Lai to redzētu, mēs piešķiram (b) uz (p) un (f) uz (q). Tad (neg p) tiek novērtēts arī kā (b) un tātad tiek apzīmēti gan (p), gan (neg p). Tomēr (q) netiek vērtēta kā norādītā vērtība. Līdz ar to ECQ nav derīgs LP.

Kā redzam, LP anulē ECQ, piešķirot pretrunai norādīto vērtību - gan patiesu, gan nepatiesu. Tādējādi LP atkāpjas no klasiskās loģikas vairāk nekā sistēmas, kuras mēs iepriekš redzējām. Bet, vēl pretrunīgāk, tas dabiski ir pielīdzināts arī dialeteismam. Tomēr patiesības vērtības mēs varam interpretēt nevis aletētiskā, bet epistemiskā nozīmē: patiesības vērtības (vai noteiktās vērtības) izsaka epistemiskas vai doksastiskas saistības (sk., Piemēram, Belnap 1992). Vai arī mēs varētu domāt, ka abas vērtības ir vajadzīgas semantiska iemesla dēļ: mums var prasīt izteikt dažu mūsu uzskatu, apgalvojumu un tā tālāk pretrunīgo raksturu (sk. Dunn 1976: 157). Ja šī skaidrojošā stratēģija ir veiksmīga, mēs varam atdalīt LP no obligāti pakļaušanas dialeteismam.

Viena no LP iezīmēm, kurai jāpievērš īpaša uzmanība, ir tāda, ka LP modus ponens izrādās nederīgs. Ja (p) ir gan patiesa, gan nepatiesa, bet (q) nepatiesa (tikai), tad (p / supset q) ir gan patiesa, gan nepatiesa, tāpēc tā tiek apzīmēta. Tātad tiek apzīmēti gan (p), gan (p / supset q), tomēr secinājums (q) nav. Tāpēc modus ponens for (supset) LP nav derīgs. (Viens no veidiem, kā novērst problēmu, ir pievienot atbilstošu nosacītu savienojumu, kā mēs to redzēsim atbilstošās loģikas sadaļā.)

Vēl viens veids, kā attīstīt daudzvērtīgu parakonsekventu loģiku, ir domāt par patiesības vērtības piešķiršanu nevis kā funkciju, bet gan kā attiecību. Ļaujiet (P) būt piedāvājuma parametru kopai. Tad novērtējums (eta) ir (P / reizes {0, 1 }) apakškopa. Piedāvājums var attiekties tikai uz 1 (patiess), tas var attiekties tikai uz 0 (nepatiess), tas var attiekties gan uz 1, gan 0, vai arī tas var attiekties ne uz 1, ne uz 0. Visām formulām novērtējums tiek attiecināts uz: šādus rekurējošus noteikumus:

(sākt {izlīdzināt *} neg A / eta 1 & / textrm {iff} A / eta 0 \\ / neg A / eta 0 & / textrm {iff} A / eta 1 \[1ex] A / ķīlis B / eta 1 & / textrm {iff} A / eta 1 / textrm {and} B / eta 1 \\ A / ķīlis B / eta 0 & / textrm {iff} A / eta 0 / textrm {vai} B / eta 0 \[1ex] A / vee B / eta 1 & / textrm {iff} A / eta 1 / textrm {vai} B / eta 1 \\ A / vee B / eta 0 & / textrm {iff} A / eta 0 / textrm {and} B / eta 0 \\ / beigas {izlīdzināt *})

Ja mēs definējam derīgumu patiesības saglabāšanas ziņā visos relāciju novērtējumos, tad mēs iegūstam pirmās pakāpes saistību (FDE), kas ir atbilstošās loģikas fragments. Šīs FDE relāciju semantikas iemesls ir Dunn 1976.

Atšķirīga pieeja tiek izpētīta, izmantojot nedeterministisko matricu ideju, kuru izpētījuši Avrons un viņa līdzstrādnieki (piemēram, Avron & Lev 2005).

3.7. Attiecīgā loģika

Parakonsekvences pieejas, kuras mēs pārbaudījām, galvenokārt koncentrējas uz neizbēgamu klātbūtni vai dažu pretrunu patiesību. ECQ noraidīšana šajās pieejās ir atkarīga no pretrunu analīzes. Varētu domāt, ka reālā ECQ problēma nav saistīta ar pretrunīgajām telpām, bet gan ar to, ka nav savienojuma starp telpām un secinājumiem. Tiek domāts, ka secinājumam ir jābūt atbilstošam telpām pamatotā secinājumā.

Tika izveidota atbilstoša loģika, lai izpētītu Andersona un Belnapa (1975) Pitsburgas secinājumu atbilstību telpām. Andersons un Belnaps motivēja atbilstošas loģikas attīstību, izmantojot dabiskās dedukcijas sistēmas; tomēr viņi ir izstrādājuši atbilstošu loģiku saimi aksiomatiskajās sistēmās. Tā kā attīstība norisinājās un notika arī Austrālijā, lielāka uzmanība tika pievērsta semantikai.

Atbilstošās loģikas semantiku izstrādāja Fine (1974), Routley and Routley (1972), Routley and Meyer (1993) un Urquhart (1972). (Ir arī algebriska semantika; skat., Piemēram, Dunn & Restall 2002: 48ff.) Routley-Meyer semantika balstās uz iespējamās pasaules semantiku, kas ir vispētītākā atbilstošās loģikas semantika, it īpaši Austrālijā. Šajā semantikā konjunktūra un disjunkcija uzvedas parastajā veidā. Bet katrai pasaulei (w) ir saistīta pasaule, (w ^ *), un noliegums tiek vērtēts pēc tā, vai (w ^ *: / neg A) ir taisnība pie (w) iff (A) ir nepatiess, nevis (w), bet gan (w ^ *). Tādējādi, ja (A) ir taisnība vietā (w), bet nepatiesa pie (w ^ *), tad (A / ķīlis / neg A) ir taisnība vietā (w). Lai iegūtu atbilstošu standarta loģiku, jāpievieno ierobežojums, ka (w ^ {**} = w). Kā ir skaidrs,noliegums šajos semantikā ir operatīvs operators.

Galvenās bažas par atbilstošo loģiku ir saistītas ne tikai ar noliegumu, bet ar nosacītu savienojumu (taisnvirziena) (atbilst modus ponens). Atbilstošajā loģikā, ja (A / labo pusi B) ir loģiska patiesība, tad (A) attiecas uz (B) tādā nozīmē, ka (A) un (B) ir kopīgas vismaz viens piedāvātais mainīgais.

Attiecīgā nosacītā semantiku iegūst, katram Routlija-Meijera modelim nodrošinot trīskāršu sakarību. Priest and Sylvan (1992) un Restall (1993, 1995) vienkāršotajā semantikā pasaules tiek iedalītas normālā un neparastā. Ja (w) ir normāla pasaule, (A / labo pusi B) ir taisnība (w), ja visās pasaulēs, kur (A) ir taisnība, (B) ir taisnība. Ja (w) nav normāli, (A / labo bulttaustiņu B) ir taisnība pie (w) iff visiem (x, y), piemēram, (Rwxy), ja (A) ir taisnība pie (x, B) ir patiesa pie (y). Ja (B) ir taisnība vietā (x), bet ne (y), kur (Rwxy), tad (B / labā virziena B) nav taisnība vietā (w). Tad var parādīt, ka (A / labo pusi (B / labo pusi B)) nav loģiska patiesība. (Derīgums tiek definēts kā patiesības saglabāšana normālās pasaulēs.) Tas dod pamata loģiku (B). Spēcīgāka loģika, piemēram, loģika (R),iegūst, pievienojot ierobežojumus trīskāršajai attiecībai.

Ir arī atbilstošās loģikas pasaules semantikas versijas, kuru pamatā ir Danna relāciju semantika FDE. Tad negācija ir pagarinoša. Nosacīts savienojums, tagad ir jādod gan patiesības, gan nepatiesības nosacījumi. Tātad mums ir: (A / labā zīme B) ir taisnība pie (w), ja visiem (x, y) ir tāda, ka (Rwxy), ja (A) ir taisnība vietā (x, y) x, B) ir taisnība vietā (y); un (A / labā zīme B) ir nepatiesa (w) iff dažiem (x, y), piemēram, (Rwxy), ja (A) ir taisnība vietā (x, B) ir nepatiesa vietā (y). Dažādu trīskāršo attiecību ierobežojumu pievienošana nodrošina spēcīgāku loģiku. Tomēr šī loģika nav standarta atbilstošā loģika, ko izstrādājuši Andersons un Belnaps. Lai iegūtu atbilstošu loģiku standarta saimi, ir nepieciešami apkārtnes ietvari (sk. Mares 2004). Sīkāka informācija atrodama ierakstā par atbilstošo loģiku.

Bibliogrāfija

Bibliogrāfija sakārtota pēc tēmas

Atsauces

  • Abe, Jair Minoro, Seiki Akama un Kazumi Nakamatsu (red.), 2015, Ievads anotētajā loģikā: nepilnīga un parakonsekventa spriešanas pamati (Intelligent Systems Reference Library 88), Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-3-319-17912-4
  • Akama, Seiki (red.), 2016, Towards Paraconsistent Engineering (Intelligent Systems Reference Library 110), Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-3-319-40418-9
  • Andersons, Alans Ross un Nuels D. Belnaps, 1975. gads, Entailment: Atbilstības un nepieciešamības loģika, 1. sējums, Princeton: Princeton University Press.
  • Andersons, Alans Ross, Nūels D. Belnaps un Dž. Maikls Danns, 1992. gads, Entailment: Atbilstības un nepieciešamības loģika, 2. sējums, Princeton: Princeton University Press.
  • Andreass, Holgers un Pīters Verdijs, 2016, Parakonsekventa spriešanas loģiskie pētījumi zinātnē un matemātikā (Trends in Logic 45), Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-3-319-40220-8
  • Arruda, Ayda I., 1977. gads, “Par tēlaino NA Vasil'év loģiku”, Arruda et al. 1977. gads: 3. – 24. doi: 10.1016 / S0049-237X (08) 70642-6
  • –––, 1989, “Parakonsistentās loģikas vēsturiskās attīstības aspekti”, Priest et al. 1989: 99–130.
  • Arruda, Ayda I., Newton da Costa un R. Chuaqui (red.), 1977, Neklasiskā loģika, modeļa teorija un aprēķināmība (Pētījumi loģikā un matemātikas pamati 89), Amsterdama: Ziemeļholande.
  • Asenjo, FG, 1966. gads, “Antinomiju aprēķins”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 7 (1): 103–105. doi: 10.1305 / ndjfl / 1093958482
  • Asmus, Konrāds, 2012. gads, “Parakonsekvence uz dialeēmisma klintīm”, Logique et Analyze, 55 (217): 3–21. [Asmus 2012]
  • Avrons, Arnons un Iddo Levs, 2005. gads, “Nedeterministiskas daudzvērtīgas struktūras”, žurnāls Logic and Computation, 15 (3): 241–261.
  • Batens, Diderik, 2001, “Adaptīvās loģikas vispārīgs raksturojums”, Logique et Analyze, 44 (173–175): 45–68. [Batens 2001 pieejams tiešsaistē]
  • –––, 2007, “Universāla loģikas pieeja adaptīvajai loģikai”, Logica Universalis, 1 (1): 221–242. doi: 10.1007 / s11787-006-0012-5
  • Btensens, Dideriks, Kriss Mortensens, Grahems Priesters un Žans Pols van Bendegems (red.), 2000, Parakonsistentās loģikas robežas (Pētījumi loģikā un skaitļošanā 8), Baldoka, Anglija: Research Studies Press. [Pirmā pasaules kongresa darbi]; sk. arī Logique & Analyze, 41. sējums, 161. – 163.
  • Beall, Jc, 2009, Spandrels of Truth, Oksforda: Oxford University Press. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780199268733.001.0001
  • Belnap, Nuel D., Jr, 1992, “Noderīga četrvērtīga loģika: kā datoram vajadzētu domāt”, Entailment: Atbilstības un nepieciešamības loģika, II sējums, Alans Ross Andersons, Nuels D. Belnaps, Jr un J. Maikls Dunns, Prinstona: Princeton University Press; pirmo reizi parādījās kā “Noderīga četrvērtīga loģika”, Daudzvērtīgas loģikas mūsdienīga izmantošana, Dž. Maikls Danns un Džordžs Epšteins (red.), Dordrehta: D. Reidels, 1977: 5–37, un “Kā datoram vajadzētu Padomā”, mūsdienu filozofijas aspekti, Gilberts Rils (red.), Oriel Press, 1977: 30–. doi: 10.1007 / 978-94-010-1161-7_2
  • Besnards, Filips un Entonijs Hanters (red.), 1998, Iemesls ar faktiskajām un potenciālajām pretrunām, (Iespējamo spriešanas un nenoteiktības vadības sistēmu rokasgrāmata, 2. sējums), Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. doi: 10.1007 / 978-94-017-1739-7
  • Beziau, Jean-Yves, Walter A. Carnielli un Dov M. Gabbay (red.), 2007, Paracons lõnces rokasgrāmata (Studies in Logic 9), Londona: College Publications. [Trešā pasaules kongresa darbi]
  • Beziau, Jean-Yves, Mihir Chakraborty un Soma Dutta (red.), 2015, New Directions in Paraconsistent Logic, Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-81-322-2719-9 [Piektā pasaules kongresa darbi]
  • Brady, Ross T., 1989, “Dialektiskās kopas teorijas nebūtiskums”, Priest et al. 1989: 437–471.
  • ––– (red.), 2003, Attiecīgā loģika un viņu konkurenti, 2. sējums, Aldershot: Ashgate.
  • –––, 2006, Universal Logic, Stenforda, Kalifornija: CSLI publikācijas.
  • Brauns, Brisons, 2002. gads, “Par parakonsekvenci”, filozofiskās loģikas pavadījumā, Dale Jacquette (red.), Oxford: Blackwell, 628. – 650. Lpp. doI: 10.1002 / 9780470996751.ch40
  • Brauns, Brisons un Grehems Priesters, 2004. gads, “Rieciens un caurlaidība: parakonsekventa secinājuma stratēģija. 1. daļa: Bezgalīgais aprēķins”, Journal of Philosophical Logic, 33 (4): 379–388. doi: 10.1023 / B: LOGI.0000036831.48866.12
  • –––, 2015, “Rieciens un permeāts II: Bohra ūdeņraža atoms”, Eiropas zinātnes filozofijas žurnāls, 5 (3): 297–314.
  • Chomsky, Noam, 1995, Minimālistiskā programma, Kembridža, MA: MIT Press.
  • Carnielli, Walter A. un Marcelo Esteban Coniglio, 2016, Parakonsekventa loģika: konsekvence, pretruna un noliegums, Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-3-319-33205-5
  • Carnielli, Walter A., Marcelo E. Coniglio un João Marcos, 2007, “Formālas neatbilstības loģika”, Filozofiskās loģikas rokasgrāmatā, 14. sējums (otrais izdevums), Dov M. Gabbay un Franz Guenthner (red.), Berlin: Springers, 15. – 107. Lpp. doi: 10.1007 / 978-1-4020-6324-4_1
  • Karnellijs, Valters A., M. Koniglio un Itala Marija Lof D'ottaviano (red.), 2002, Parakonsekvence: loģiskais ceļš uz nesakarīgo (lekciju piezīmes tīrā un lietišķajā matemātikā: 228. sējums), Boca Raton: CRC Press. [Otrā pasaules kongresa darbi]
  • da Costa, Newton CA, 1974. gads, “Par nekonsekventu formālu sistēmu teoriju”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 15 (4): 497–510. doi: 10.1305 / ndjfl / 1093891487
  • da Costa, Newton CA un EH Alves, 1977. gads, “Kalkuļu semantiskā analīze ({ bf C} _ {n})”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 18 (4): 621–630. doi: 10.1305 / ndjfl / 1093888132
  • da Costa, Ņūtons, Kalifornija un L. Dubikajtis, 1977. gads, “Par Jaškovska diskusiju loģiku”, Arruda et al. 1977: 37–56. doi: 10.1016 / S0049-237X (08) 70644-X
  • da Costa, Newton CA, VS Subrahmanian un Carlo Vago, 1991, “The Paraconsistent Logics” (mathrm {P} mathcal {T})”, Zeitschrift für Mathematische Logic und Grundlangen der Mathematik, 37 (9–12).: 139–148. doi: 10.1002 / malq.19910370903
  • Dunn, J. Michael, 1976, “Intuitīvā semantika pirmās pakāpes iegūšanai un“saistītie koki””, Filozofiskie pētījumi, 29. (3): 149–68. doi: 10.1007 / BF00373152
  • Dunn, J. Michael and Greg Restall, 2002, “Atbilstības loģika”, Filozofiskās loģikas rokasgrāmata, 6. sējums, otrais izdevums, Dov M. Gabbay un Franz Guenthner (red.), Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1. – 136. Lpp..
  • Dunne, Džons D., 2004. gads, Dharmakīrti filozofijas pamati, Bostona: Gudrības publikācijas.
  • Fine, Kit, 1974, “Modelēšanas gadījumi”, Journal of Philosophical Logic, 3 (4): 347–372. doi: 10.1007 / BF00257480
  • Žirards, Patriks un Koji Tanaka, 2016, “Paraconsistent Dynamics”, Synthese, 193 (1): 1–14. doi: 10.1007 / s11229-015-0740-2
  • Halldén, Sören, 1949, Muļķības loģika, Upsala: A.-B. Lundequistska Bokhandeln.
  • Hyde, Dominic, 1997, “No kaudzēm un spraugām līdz gūžas kaudzēm”, Mind, 106 (424): 641–660. doi: 10.1093 / mind / 106.424.641
  • Jaśkowski, Stanisław, 1948. gads [1969], “Rachunek zdań dla systemów dedukcyjnych sprzecznych”, Studia Societatis Scientiarum Torunensi (Sectio A), 1 (5): 55–77; tulkojums angļu valodā parādījās kā “Propozicionāls aprēķins pretrunīgām deduktīvām sistēmām”, Studia Logica, 24 (1969): 143–157. (J. Perzanowski atjaunināts tulkojums parādījās 1999. gadā kā “Propozicionāls aprēķins nekonsekventām deduktīvām sistēmām”, Loģika un loģiskā filozofija, 7: 35–56.
  • –––, 1949. gada [1999], “O koniunkcji dyskusyjnej w rachunku zdań dla systemów dedukcyjnych sprzecznych”, Studia Societatis Scientiarum Torunensis (Sectio A), 1 (8): 171–172; tulkojums angļu valodā parādījās kā “Par diskutējošo saikni nekonsekventu deduktīvo sistēmu priekšlikuma aprēķinā”, Loģika un loģiskā filozofija, 7 (1999): 57–59.
  • Kamide, Norihiro un Heinrich Wansing, 2012, “Nelsona parakonsekventās loģikas pierādījumu teorija: vienveidīga perspektīva”, Teorētiskā datorzinātne, 415: 1–38. doi: 10.1016 / j.tcs.2011.11.001
  • Liberts, Thiery, 2005. gads, “Parakonsistentu kopu teorijas paraugi”, Lietišķās loģikas žurnāls, 3 (1): 15–41. doi: 10.1016 / j.jal.2004.07.010
  • Loparic, A., 1977, “Une étude semantique de quelques calculs propositionnels”, Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Academie des Sciences, 284: 835–838.
  • Łukasiewicz, 1951. gada janvārī, Aristoteļa filozofija: no mūsdienu formālās loģikas viedokļa, Oksforda: Oxford University Press.
  • Mares, Edvīns D., 2004. gads, ““Četru vērtību”semantika atbilstošajai loģikai R”, Journal of Philosophical Logic, 33 (3): 327–341. doi: 10.1023 / B: LOGI.0000031375.18295.30
  • Martin, Christopher J., 1986, “William's Machine”, Journal of Philosophy, 83 (10): 564–572. doi: 10.2307 / 2026432
  • –––, 1987, “Neērti argumenti un pārsteidzoši secinājumi nosacījumu attīstības teorijās divpadsmitajā gadsimtā”, Gilberts De Puatjē un Sesa laikabiedri, Dž. Jolivets, A. De Libera (red.), Neapole: Bibliopolis, lpp. 377–401.
  • –––, 1996, “Neiespējams pozitīvisms kā metafizikas pamats, vai loģika uz skotu plānu?”, Vestigia, Imagines, Verba: Semiotika un loģika viduslaiku teoloģiskajos tekstos, C. Marmo (red.), Turnhout: Brepols, 255. – 276.
  • McGinnis, Nicholas D., 2013, “Parakonsistentās loģikas negaidītā pielietojamība: Chomskyan ceļš uz dialeteismu”, Science Sciences, 18 (4): 625–640. doi: 10.1007 / s10699-012-9294-7
  • McKubre-Jordens, Maarten un Zach Weber, 2011, “Reālā analīze parakonsekventajā loģikā”, Journal of Philosophical Logic, 41 (5): 901–922. doi: 10.1007 / s10992-011-9210-6
  • Maikls, Mihaels, 2016, “Par“viskonkrētāko”argumentu parakonsekventajai loģikai”, Synthese, 193 (10): 3347–3362. doi: 10.1007 / s11229-015-0935-6
  • Mortensen, Chris, 1995, nekonsekventa matemātika, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
  • Omori, Hitoshi, 2015, “Piezīmes par naivās kopas teoriju, kuras pamatā ir LP”, Symbolic Logic apskats, 8. (2): 279–295. doi: 10.1017 / S1755020314000525
  • Omori, Hitoshi un Jesse Alama, gaidāmā “Jaxkowski diskomicionālās loģikas D2 aksiomatizēšana”, Studia Logica, tiešsaistē tiešsaistē 2018. gada 10. februārī. Doi: 10.1007 / s1122.
  • Priest, Graham, 1979. gads, “Paradoksa loģika”, Journal of Philosophical Logic, 8 (1): 219–241. doi: 10.1007 / BF00258428
  • –––, 1987, Pretrunā: Transkonsekvences pētījums, Dordrehta: Martinus Nijhoff; otrais izdevums, Oxford: Oxford University Press, 2006.
  • –––, 2001, “Paraconsistent Belief Revision”, Theoria, 67 (3): 214–228. doi: 10.1111 / j.1755-2567.2001.tb00204.x
  • –––, 2002, “Parakonsekventa loģika”, Filozofiskās loģikas rokasgrāmatā, otrais izdevums, 6. sējums, Dov M. Gabbay un Franz Guenthner (red.), Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 287. – 393. Lpp.
  • –––, 2003, “Nekonsekventa aritmētika: tehniski un filozofiski jautājumi”, loģikas tendencēs: Studia Logica (Studia Logica Library, 21. sējums) 50 gadi, VF Hendricks un J. Malinowski (red.), Dordrecht: Kluwer Academic Izdevēji, 273. – 99. Lpp.
  • –––, 2007, “Parakonsekvence un dialeteisms”, Loģikas vēstures rokasgrāmatā, 8. sējums, D. Gabbajs un J. Vuds (red.), Amsterdama: Ziemeļholande, 129. – 204. Lpp.
  • Priest, Graham, JC Beall un Bradley Armor-Garb (red.), 2004, Pretrunu likums, Oksforda: Oxford University Press. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780199265176.001.0001
  • Priesteris, Grehems, Ričards Routlijs un Žans Normens (red.), 1989, parakonsekventa loģika: esejas par nekonsekventajām, Minhene: Philosophia Verlag.
  • Priest, Graham and Richard Sylvan, 1992, “Vienkāršota semantika pamata loģikai”, Journal of Philosophical Logic, 21 (2): 217–232. doi: 10.1007 / BF00248640
  • Resčers, Nikolaja un Rutas muiža, 1970. gads, “Par secinājumiem no nekonsekventām telpām”, teorija un lēmums, 1 (2): 179–217. doi: 10.1007 / BF00154005
  • Restall, Greg, 1993, “Vienkāršota semantika nozīmīgai loģikai (un dažiem viņu konkurentiem)”, Journal of Philosophical Logic, 22 (5): 481–511. doi: 10.1007 / BF01349561
  • –––, 1995, “Četrvērtīga nozīmīgas loģikas semantika (un daži to konkurenti)”, Journal of Philosophical Logic, 24 (2): 139–160. doi: 10.1007 / BF01048529
  • Restall, Greg un John Slaney, 1995, “Realistic Belief Revision”, Otrās pasaules konferences materiāli mākslīgā intelekta pamatos, M. De Glašs un Z. Pavalks (red.), Parīze: Angkor, 367. – 378. Lpp..
  • Riplijs, Deivids, 2011. gads, “Pretrunas pie robežām”, R. Nouwen, R. van Rooij, U. Sauerland & H.-C. Schmitz (red.), Neskaidra komunikācija, Dordrecht: Springer, 169. – 188. Lpp. doi: 10.1007 / 978-3-642-18446-8_10
  • Routlijs, Ričards un Roberts K. Meijeri, 1993. gads, “Entantment semantika”, patiesība, sintakse un modālitāte, H. Leblanc (ed.), Amsterdama: Ziemeļholande, 194. – 243. Lpp.
  • Routlijs, Ričards, Valds Plumvuds, Roberts K. Meijers un Ross T. Bradijs, 1982. gads, “Attiecīgā loģika un viņu konkurenti”, 1. sējums, Ridžejs: Atascadero.
  • Routlijs, Ričards un Val Routlijs, 1972. gads, “Pirmās pakāpes piesaistes semantika”, Noûs, 6 (4): 335–359. doi: 10.2307 / 2214309
  • Schotch, PK un RE Jennings, 1980, “Secinājumi un nepieciešamība”, Journal of Philosophical Logic, 9 (3): 327–340. doi: 10.1007 / BF00248398
  • Schotch, Peter, Bryson Brown un Raymond Jennings (red.), 2009, On Preserving: Essays on Preservationism and Paraconsistent Logic, Toronto: University of Toronto Press.
  • Smiley TJ, 1959. gads, “Iespēja un atskaitāmība”, Aristotelian Society Proceedings of the Aristotelian Society, 59: 233–254.
  • Subrahmanian, VS, 1987, “Par kvalitatīvo loģisko programmu semantiku”, Proc. 4. IEEE simp. Loģikas programmēšana, Sanfrancisko, Kalifornija: IEEE Computer Society Press, 178. – 182.
  • Sylvan, Richard, 2000, “Sociālās loģikas sākotnējā rietumu vēsture”, sociālā loģika un to pielietojums: Nelaiķa Ričarda Silvana, Dominika Haidža un Grehema Priesta (red.) Esejas, Aldershot: Ashgate Publishers.
  • Tanaka, Koji, 2003, “Trīs parakonsekvences skolas”, Australasian Journal of Logic, 1: 28–42.
  • –––, 2005, “AGM teorija un nekonsekventu uzskatu maiņa”, Logique et Analyze, 48 (189–192): 113–150. [Tanaka 2005 pieejama tiešsaistē]
  • Tanaka, Koji, Frančesko Berto, Edvīns Marē un Frančesko Paoli (red.), 2013, Parakonsekvence: loģika un lietojumprogrammas (loģika, epistemoloģija un zinātnes vienotība 26), Dordrehta: Springers. doi: 10.1007 / 978-94-007-4438-7 [Ceturtā pasaules kongresa darbi]
  • Tillemans, Toms JF, 1999, Raksti, loģika, valoda: Esejas par Dharmakīrti un viņa Tibetas pēctečiem, Bostona: Gudrības publikācijas.
  • Urquhart, Alasdair, 1972, “Atbilstošās loģikas semantika”, Journal of Symbolic Logic, 37 (1): 159–169. doi: 10.2307 / 2272559
  • Verdée, Peter, 2013, “Spēcīga, universāla un, iespējams, ne triviāla kopuma teorija, izmantojot adaptīvās loģikas līdzekļus”, IGPL loģikas žurnāls, 21 (1): 108–125. doi: 10.1093 / jigpal / jzs025
  • Vēbers, Zach, 2010a, “Parakonsekvents neskaidrības modelis”, Mind, 119 (476): 1025–1045. doi: 10.1093 / mind / fzq071
  • –––, 2010b, “Pārrobežu skaitļi parakonsekventu kopu teorijā”, Simboliskās loģikas apskats, 3 (1): 71–92. doi: 10.1017 / S1755020309990281
  • –––, 2012, “Transfinite Cardinals in Paraconsistent Set Theory”, Pārskats par simbolisko loģiku, 5 (2): 269–293. doi: 10.1017 / S1755020312000019

Pasaules parakonsekvences sēžu kongress

  • [Pirmais kongress] Batens, Dideriks, Kriss Mortensens, Grehems Priesters un Žans Pols van Bendegems (red.), 2000, Parakonsistentās loģikas robežas (Pētījumi loģikā un skaitļošanā 8), Baldoka, Anglija: Research Studies Press.
  • [Otrais kongress] Carnielli, Walter A., M. Coniglio un Itala Maria Lof D'ottaviano (red.), 2002, Parakonsekvence: loģiskais ceļš uz nesakarīgo (lekciju piezīmes tīrā un lietišķajā matemātikā: 228. sējums), Boca Ratons: CRC Press.
  • [Trešais kongress] Beziau, Jean-Yves, Walter A. Carnielli un Dov M. Gabbay (red.), 2007, Paraconsgence rokasgrāmata (Studies in Logic 9), Londona: College Publications.
  • [Ceturtais kongress] Tanaka, Koji, Frančesko Berto, Edvins Marē un Frančesko Paoli (red.), 2013, Parakonsekvence: loģika un lietojumi (loģika, epistemoloģija un zinātnes vienotība 26), Dordrehta: Springers. doi: 10.1007 / 978-94-007-4438-7
  • [Piektais kongress] Beziau, Jean-Yves, Mihir Chakraborty un Soma Dutta (red.), 2015, New Directions in Paraconsistent Logic, Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-81-322-2719-9

Akadēmiskie rīki

sep cilvēks ikona
sep cilvēks ikona
Kā citēt šo ierakstu.
sep cilvēks ikona
sep cilvēks ikona
Priekšskatiet šī ieraksta PDF versiju vietnē SEP Friends.
inpho ikona
inpho ikona
Uzmeklējiet šo ierakstu tēmu interneta filozofijas ontoloģijas projektā (InPhO).
phil papīru ikona
phil papīru ikona
Uzlabota šī ieraksta bibliogrāfija vietnē PhilPapers ar saitēm uz tā datu bāzi.

Citi interneta resursi

  • Pirmais pasaules konsekvences kongress
  • Otrais pasaules konsekvences kongress
  • Trešais pasaules parakonsekvences kongress
  • Ceturtais pasaules konsekvences kongress
  • Piektais pasaules konsekvences kongress

Ieteicams: