Izplūdušā Loģika

Satura rādītājs:

Izplūdušā Loģika
Izplūdušā Loģika
Anonim

Ieejas navigācija

  • Iestāšanās saturs
  • Bibliogrāfija
  • Akadēmiskie rīki
  • Draugu PDF priekšskatījums
  • Informācija par autoru un atsauce
  • Atpakaļ uz augšu

Izplūdušā loģika

Pirmoreiz publicēts otrdien, 2016. gada 15. novembrī; būtiska pārskatīšana otrdien, 2017. gada 18. jūlijā

Izplūdušā loģika ir paredzēta, lai modelētu loģisko spriešanu ar neskaidriem vai neprecīziem apgalvojumiem, piemēram, “Petrs ir jauns (bagāts, garš, izsalcis utt.)”. Tas attiecas uz daudzvērtīgu loģiku saimi (sk. Ierakstu par daudzvērtīgu loģiku) un tādējādi nosaka, ka loģiski salikta piedāvājuma patiesība (kas šajā gadījumā atbilst zināmai patiesības pakāpei), piemēram, “Carles ir garš un Kriss ir bagāts”, to nosaka tā sastāvdaļu patiesā vērtība. Citiem vārdiem sakot, tāpat kā klasiskajā loģikā, tiek uzlikta patiesības funkcionalitāte.

Izplūdušā loģika parādījās izplūdušo kopu teorijas kontekstā, kuru ieviesa Zadeh (1965). Izplūdušā kopa Visuma elementiem piešķir dalības pakāpi, parasti reālo skaitli no intervāla ([0,1]). Izplūdušā loģika rodas, apgalvojumiem piešķirot patiesības pakāpes. Standarta patiesības vērtību kopums (grādi) ir ([0,1]), kur (0) apzīmē “pilnīgi nepatiesu”, (1) apzīmē “pilnīgi patiesu” un pārējie skaitļi attiecas uz daļēju patiesība, ti, vidējās patiesības pakāpes. [1]

“Izplūdušo loģiku” bieži saprot ļoti plašā nozīmē, kas ietver visa veida formālismus un paņēmienus, kas attiecas uz sistemātisku sava veida grādu apstrādi (sk., Piem., Nguyen & Walker 2000). Jo īpaši inženierzinātņu kontekstā (izplūdušā vadība, izplūdušā klasifikācija, mīkstā skaitļošana) tas ir vērsts uz efektīvām skaitļošanas metodēm, kas ir tolerances pret suboptimalitāti un neprecizitāti (sk., Piem., Ross 2010). Šis ieraksts ir vērsts uz izplūdušo loģiku šaurā nozīmē, kas izveidota kā matemātiskās loģikas disciplīna pēc Petr Hájek (1998) oriģinālās monogrāfijas un mūsdienās parasti tiek dēvēta par “matematical fuzzy logic” (sk. Cintula, Fermüller, Hájek un Noguera 2011 un 2015). Tā koncentrējas uz loģiku, kuras pamatā ir daļējas patiesības patiesības funkcionāls pārskats, un pēta tās klasiskās matemātiskās loģikas (sintakse,teorētiskā semantika modelī, pierādīšanas sistēmas, pilnīgums utt.; gan piedāvājuma, gan predikāta līmenī).

  • 1. Izplūdušie savienojumi, kuru pamatā ir t-normas
  • 2. MTL: fundamentāla izplūduša loģika
  • 3. Łukasiewicz loģika
  • 4. Gēdela – Dimeta loģika
  • 5. Cita ievērojama izplūdušā loģika
  • 6. Paredzēt loģiku
  • 7. Algebriskā semantika
  • 8. Pierādījumu teorija
  • 9. Patiesības funkcionalitāti attaisnojošā semantika
  • 10. Izplūdušā loģika un neskaidrība
  • Bibliogrāfija
  • Akadēmiskie rīki
  • Citi interneta resursi
  • Saistītie ieraksti

1. Izplūdušie savienojumi, kuru pamatā ir t-normas

Izplūdušās loģikas patiesības pakāpes standarta komplekts ir reālais vienības intervāls ([0,1]) ar dabisko secību (leq), sākot no pilnīgas nepatiesības (apzīmēts ar ((0))) līdz pilnīgai patiesībai (attēlots ar (1)) caur starpposma patiesības grādiem. Pats galvenais (vispārējās) matemātiskās izplūdušās loģikas pieņēmums ir tāds, ka savienojumi ir jāinterpretē patiesības ziņā funkcionāli pa patiesības grādu kopumu. Tiek pieņemts, ka šādas patiesības funkcijas rīkojas klasiski attiecībā uz galējām vērtībām (0) un (1). Ļoti dabiska konjunktūras un disjunkcijas izturēšanās tiek panākta, uzliekot (x / zeme y = / min {x, y }) un (x / lor y = / max {x, y }) katrs (x, y [0,1]).

Cits, neidempotents savienojums (&) parasti tiek pievienots, lai ņemtu vērā intuīciju, ka daļēji patiesas hipotēzes piemērošana divreiz var radīt atšķirīgu patiesības pakāpi, nekā izmantot to tikai vienu reizi. Šādu savienojumu parasti interpretē ar bināru operāciju uz ([0,1]), kas nebūt nav idempotents, bet joprojām ir asociatīvs, komutējošs, nesamazinās abos argumentos un ir (1) kā neitrāls elements. Šīs operācijas sauc par t-normām (trīsstūrveida normām), un to matemātiskās īpašības ir rūpīgi izpētītas (piemēram, Klement, Mesiar, & Pap 2000). Izcili t-normu piemēri ir jau pieminētā funkcija (min), reālo skaitļu standarta reizinājums un Łukasiewicz t-norma: (x * _ {Ł} y = / max {x + y- 1,0 }). Šīs trīs t-normas faktiski ir nepārtrauktas funkcijas, un jebkuru citu nepārtrauktu t-normu var raksturot kā šo trīs pamatnormu kārtējo summu (sk. Ling 1965; Mostert & Shields 1957).

Negatīvu interpretē ar nepalielinošu funkciju, piešķirot (0) (1) un otrādi; parastās izvēles ir Łukasiewicz negācija (neg_ {Ł} x = 1 - x) un Gēdela negācija: (neg_ / mathrm {G} 0 = 1) un (neg_ / mathrm {G} x = 0) katram (x> 0). Parasti pilnīgai nepatiesībai tiek ieviests nemainīgs simbols (pārsvītrots {0}), tāpēc to interpretē kā (0). Visbeidzot, piemērota izvēle implicēšanai ir t-normas (ast) atlikums, tas ir, unikālā funkcija (Rightarrow), kas atbilst tā saucamajam atlikuma nosacījumam: (x / ast y / leq z), ja un tikai tad, ja (x / leq y / Rightarrow z). Šāda funkcija pastāv (un tiek definēta kā (x / Rightarrow y = / max {z / mid x / ast z / leq y })) tikai un tikai tad, ja t-norma ir atstāta nepārtraukta.

2. MTL: fundamentāla izplūduša loģika

Vājākā loģika ar savienojumiem, kas tiek interpretēti ar iepriekš aprakstītā tipa patiesības funkcijām, ir MTL (Monoidal T-norm based Logic, Esteva & Godo 2001). Tā ir loģika ar primitīvajiem savienojumiem (mathbin { &}, / to, / wedge,) un (overline {0}), kā arī atvasinātos savienojumus, kas definēti kā: (sākt {pielīdzināt} varphi / lor / psi & = ((varphi / to / psi) to / psi) land ((psi / to / varphi) to / varphi), \\ / neg / varphi & = / varphi / to / pārsvītrot {0}, \\ / varphi / leftrightarrow / psi & = (varphi / uz / psi) zeme (psi / uz / varphi) un \\ / pārsniegt {1} & = / neg / pārsvītrot { 0}. / end {align}) MTL tiek definēta kā semantikas seku sakarība, ko dod visas kreisās puses nepārtrauktās t-normas. Proti, ņemot vērā konkrēto kreiso nepārtraukto t-normu (ast), novērtējums (e_ / ast) ir kartēšana no piedāvājuma mainīgajiem uz ([0,1]),attiecināts uz visām formulām, interpretējot (&) kā (ast), implikāciju (līdz) kā tā atlikumu (Rightarrow) un (land) un (overline {0}) attiecīgi kā (min) un (0).

Formula (varphi) ir MTL formulu (Gamma) kopas sekas, kas apzīmētas ar (Gamma / models_ / mathrm {MTL} varphi), ja par katru pa kreisi nepārtrauktu t- norma (ast) un katrs novērtējums (e_ / ast) tāds, ka (e (psi) = 1) katram (psi / in Gamma) mums ir (e (varphi) = 1); tas ir: katram novērtējumam, kas padara telpas pilnīgi patiesas, arī secinājumiem jābūt pilnīgi patiesiem. Formulas (varphi), kuras vienmēr vērtē līdz (1) ((models_ / mathrm {MTL} varphi)), tiek sauktas par MTL tautoloģijām. Ņemiet vērā, ka formula ((varphi / mathbin { &} psi) līdz (varphi / land / psi)) ir MTL tautoloģija, ti, savienojums (&) ir spēcīgāka par (zeme).

MTL var uzrādīt arī Hilberta stila pierādīšanas sistēma ar šādām aksiomām:

(sākt {pielīdzināt} (varphi / uz / psi) & / līdz ((psi / to / chi) uz (varphi / to / chi)) / \ varphi / mathbin { &} psi & / uz / varphi \\ / varphi / mathbin { &} psi & / to / psi / mathbin { &} varphi \\ / varphi / land / psi & / to / varphi \\ / varphi / land / psi & / to / psi / land / varphi \(chi / to / varphi) & / to ((chi / to / psi) to (chi / to / varphi / wedge / psi)) (varphi / mathbin { &} psi / to / chi) & / to (varphi / to (psi / to / chi)) (varphi / uz (psi / to / chi)) & / uz (varphi / mathbin { &} psi / to / chi) ((varphi / uz / psi) uz / chi) & / uz (((psi / uz / varphi) uz / chi) to / chi) / \ pārsvītrot {0} & / to / varphi \\ / beigas {izlīdzināt})

un modus ponens kā vienīgais secinājumu noteikums: no (varphi) un (varphi / līdz / psi), secināt (psi). Šī sistēma ir pilnīga MTL loģikas aksiomatizācija: (Gamma / models_ / mathrm {MTL} varphi) iff (Gamma / vdash_ / mathrm {MTL} varphi), kur pēdējās attiecības apzīmē atvasināmību no iepriekšminēto aksiomu un formulu piemēri (Gamma). Ir zināms, ka (mathrm {MTL}) derīguma problēma ir nolemjama, tomēr tās aprēķināšanas sarežģītība vēl nav noteikta.

3. Łukasiewicz loģika

Łukasiewicz loģiku var definēt, MTL Hilberta stila sistēmai pievienojot [((varphi / to / psi) to / psi) ((psi / to / varphi) to / varphi)). Tas atbilst seku sakarības galīgajai versijai, kas definēta attiecībā uz novērtējumiem, kuru pamatā ir Łukasiewicz t-norma (simbolos: katrai ierobežotajai formulu kopai (Gamma) un katrai formulai ((varphi)) mums ir (Gamma / modeļi_ {Ł} varphi) iff (Gamma / vdash_ {Ł} varphi)). [2]

Šī loģika bija agrīns daudzvērtīgas loģikas piemērs, kuru ieviesa Łukasiewicz & Tarski (1930) jau labu laiku pirms izplūdušo kopu teorijas sākšanas, izmantojot līdzvērtīgu aksiomātisko sistēmu (ar modus ponens kā vienīgo secinājuma noteikumu).:

(sākt {pielīdzināt} varphi & / uz (psi / to / varphi) (varphi / uz / psi) & / līdz ((psi / to / chi) uz (varphi / to / chi)) ((varphi / uz / psi) uz / psi) & / uz ((psi / to / varphi) uz / varphi) (neg / psi / līdz / neg / varphi) & / to (varphi / to / psi) ((varphi / to / psi) & / to (psi / to / varphi)) to (psi / to / varphi) / \ end {saskaņot })

Łukasiewicz loģika ir vienīgā uz t normām balstītā izplūdušā loģika, kurā visus savienotājus interpretē ar nepārtrauktām funkcijām, ieskaitot implicāciju, kuru kā (_ {Ł}) atlikumu piešķir funkcija (x / to_ {Ł } y = / min {1,1-x + y }). Maknaudona teorēma (1951) norāda, ka reālās vērtības funkcijas virs [0,1], kas interpretē Lukaševiča loģikas formulas, ir tieši nepārtrauktas, pa daļām lineāras funkcijas ar veselu skaitļu koeficientiem. Runājot par skaitļošanas sarežģītību, šīs loģikas pamatotības problēma nav asimptotiski sliktāka nekā klasiskajā loģikā: tā joprojām ir pilnīga.

4. Gēdela – Dimeta loģika

Gēdela – Dummeta loģika, pazīstama arī kā Dummeta LC vai vienkārši Gēdela loģika, ir vēl viens agrīns daudzvērtīgas loģikas piemērs ar patiesības vērtībām ([0,1]). To ieviesa Maikls Dummets (1959) kā intuitionistiskās loģikas paplašinājumu (sk. Ierakstu par intuitionistic loģiku), izmantojot aksiomu [(varphi / to / psi) lor (psi / to / varphi).) Šī formula izpilda lineāru secību pamatā esošajā (Kripke stila, kā arī algebriskajā) semantikā. Gēdela novērojuma kontekstā parādās arī tas, ka intuitīvo loģiku nav iespējams raksturot ar ierobežotām patiesības tabulām (Gödel 1932). Gēdela – Dimeta loģiku alternatīvi var iegūt kā MTL aksiomātisku paplašinājumu, pievienojot aksiomu (varphi / uz / varphi / mathbin { &} varphi), kas nozīmē, ka nepieciešama (&) idempotence.,un tādējādi abu konjunkciju interpretācija sakrīt. Izplūdušās loģikas iestatījumā Gēdela – Dumeta loģiku var uzskatīt par seku saistību, ko rada minimālā t-norma. To izšķir kā vienīgo uz normām balstītu loģiku, kur formulas patiesums dotajā novērtējumā nav atkarīgs no piedāvātajām mainīgajiem piešķirtajām īpašajām vērtībām, bet tikai no šo vērtību relatīvās secības. Šajā ziņā Gēdela – Dummeta loģiku var uzskatīt par salīdzinošās patiesības loģiku. Tāpat kā Łukasiewicz loģikai, arī testēšanas derīguma aprēķināšanas sarežģītība joprojām ir pabeigta. To izšķir kā vienīgo uz normām balstītu loģiku, kur formulas patiesums dotajā novērtējumā nav atkarīgs no piedāvātajām mainīgajiem piešķirtajām īpašajām vērtībām, bet tikai no šo vērtību relatīvās secības. Šajā ziņā Gēdela – Dummeta loģiku var uzskatīt par salīdzinošās patiesības loģiku. Tāpat kā Łukasiewicz loģikai, arī testēšanas derīguma aprēķināšanas sarežģītība joprojām ir pabeigta. To izšķir kā vienīgo uz normām balstītu loģiku, kur formulas patiesums dotajā novērtējumā nav atkarīgs no piedāvātajām mainīgajiem piešķirtajām īpašajām vērtībām, bet tikai no šo vērtību relatīvās secības. Šajā ziņā Gēdela – Dummeta loģiku var uzskatīt par salīdzinošās patiesības loģiku. Tāpat kā Łukasiewicz loģikai, arī testēšanas derīguma aprēķināšanas sarežģītība joprojām ir pabeigta.

5. Cita ievērojama izplūdušā loģika

Bez MTL (visu kreiso nepārtraukto t-normu loģika) un Łukasiewicz un Gödel-Dummett loģikām (katru rada viena konkrēta t-norma) var apsvērt loģiku, ko izraisa citi t-normu komplekti vai, vispār, patvaļīgi aksiomātiski MTL pagarinājumi. Jo īpaši visu nepārtraukto t-normu loģiku (Hájeka pamata izplūdušo loģiku) iegūst, pievienojot aksiomu [(varphi / mathbin { &} (varphi / līdz {{ psi}})) to (psi / mathbin { &} (psi / to / varphi))) MTL. Faktiski jebkuram nepārtrauktu t-normu kopumam ir ierobežota atbilstošās loģikas aksiomatizācija (Esteva, Godo, & Montagna 2003; Haniková 2014). Jo īpaši pēdējās ievērojamās nepārtrauktās t-normas (algebriskā produkta) loģika, kas pazīstama kā Produkta loģika, ir Hajeka pamata izplūdušās loģikas pagarinājums ar aksiomu: (neg / varphi / vee ((varphi / to / varphi) mathbin { &} {{ psi}}) līdz {{ psi}})) No otras puses, ne visiem MTL aksiomatiskajiem paplašinājumiem var piešķirt t-normu semantiku. Piemēram, klasisko loģiku var aksiomatizēt kā MTL (+) (varphi / vee / neg / varphi), bet izslēgtā vidējā aksioma nav tautoloģija nevienā uz normu balstītā interpretācijā.

Ir arī iemesli apsvērt vājāku izplūdušo loģiku. Piemēram, var apgalvot, ka pieņēmumi, kas liek konjunktūras interpretāciju uzskatīt par t-normu, ir pārāk spēcīgi. Proti, pieņēmums, ka (1) ir neitrāls konjunkcijas elements, apstiprina tautoloģijas definīciju kā formulu, kas vienmēr tiek vērtēta pēc (1), un seku saistību kā vērtības saglabāšanu (1) - tas ir, (1) ir vienīgā norādītā vērtība semantikā. [3]Dabisks veids, kā ieviest loģiku ar vairāk nekā vienu noteikto patiesības pakāpi, ir pieņemt, ka (ast) neitrāls elements ir skaitlis (t <1). (Var parādīt, ka šajā situācijā noteiktie patiesības grādi ir tieši tādi, kas ir lielāki vai vienādi ar (t).) Šādas konjunktūras interpretācijas sauc par neinformām. Iegūto loģiku aksiomatizēja Metcalfe & Montagna (2007).

Līdzīgi var strīdēties par komutācijas spēju vai pat pret konjunktivitātes asociativitāti. Rezultātā iegūtās loģikas aksiomatizācijas ir aprakstītas literatūrā (sk. Cintula, Horčík, & Noguera 2013; Jenei & Montagna 2003); izņēmums ir nekomutējošu neinkorporāciju loģika, par kuru dabiskā aksiomatiskā sistēma nav zināma.

Visbeidzot, ņemot vērā to, ka izplūdušā loģika atšķirībā no klasiskās loģikas parasti nav funkcionāli pilnīga, var palielināt to izteiksmīgo jaudu, pievienojot jaunus saderīgus elementus. Visbiežāk apsvērtie savienojumi ir: patiesības konstantes (bar r) katram racionālajam skaitlim (r / in (0,1)); unārie savienojumi (sim) un (trīsstūris) tiek interpretēti kā ({ sim} x = 1-x) un (trīsstūris x = 1), ja (x = 1) un (0) citādi; binārs savienojums (odot), kas interpretēts kā parasts algebriskais produkts utt. (Baaz 1996; Esteva, Gispert, Godo, & Noguera 2007; Esteva, Godo, & Montagna 2001; Esteva, Godo, Hájek, & Navara 2000).

Sīks pārskats par visiem šajā sadaļā minētajiem ierosinātās izplūdušās loģikas veidiem (un vispārīga to teorija) ir atrodams Matemātiskās izplūdušās loģikas rokasgrāmatā (3 sējumi, Cintula et al. 2011a, b, 2015).

6. Paredzēt loģiku

Ņemot vērā jebkuru piedāvāto izplūdušo loģiku L, ir vienots veids, kā ieviest tās pirmās kārtas ekvivalentu L (forall) predikātu valodā (mathcal {P \! L}) (definēts kā klasiskajā gadījumā). Šajā sadaļā vienkāršības labad mēs to parādām loģikai, kas balstīta uz t-normām.

Semantiku piešķir struktūras, kurās predikatīvie simboli tiek interpretēti kā funkcijas, kas kartē domēna elementu kopumus patiesības vērtībās. Precīzāk, struktūra ({ mathbf M}) sastāv no tukša domēna elementiem (M), funkcija (f _ { mathbf M} kols M ^ n / līdz M) katrs (n) - ary funkcijas simbols (f / in / mathcal {P \! L}) un funkcija (P _ { mathbf M} kols M ^ n / līdz [0,1]) katram (n) - ievadiet simbolu (P / in / mathcal {P \! L}). Fiksējot objekta mainīgo novērtējumu ({ mathrm v}) (M), definē terminu vērtības ((| f (t_1, / punkti, t_n) | _ { mathrm v} = f _ { mathbf M} (| t_1 / | _ { mathrm v}, / punkti, / | t_n / | _ { mathrm v}))) un atomu formulu patiesības vērtības ((| P (t_1, / punkti, t_n) | _ { mathrm v} = P _ { mathbf M} (| t_1 / | _ { mathrm v}, / punkti, / | t_n / | _ { mathrm v}))). Universāli / eksistenciāli aprēķinātās formulas patiesības vērtības tiek aprēķinātas kā formulas gadījumu patiesības vērtību zemākā / augstākā vērtība, ja kvantitatīvi izteiktais mainīgais skar visus domēna elementus (M). Formāli: (sākt {izlīdzināt} | (forall x) varphi / | _ { mathrm v} & = / inf { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a]} vidū / M } / \ | (eksistē x) varphi / | _ { mathrm v} & = / sup { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a]} vidū / M }, \\ / beigas {pielīdzināt}), kur ({ mathrm v} [x {:} a]) tiek nosūtīts novērtējums (x) līdz (a) un citu mainīgo lielumu vērtības nemainās. Citu formulu vērtības tiek aprēķinātas, izmantojot patiesības funkcijas ierosinošajiem L savienojumiem.(sākt {izlīdzināt} | (forall x) varphi / | _ { mathrm v} & = / inf { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a] } vidū / M } / \ | (eksistē x) varphi / | _ { mathrm v} & = / sup { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a]} vidū / M }, \\ / end {align}), kur ({ mathrm v} [x {:} a]) tiek nosūtīts novērtējums (x) uz (a) un citu mainīgo lielumu vērtības nemainās. Citu formulu vērtības tiek aprēķinātas, izmantojot patiesības funkcijas ierosinošajiem L savienojumiem.(sākt {izlīdzināt} | (forall x) varphi / | _ { mathrm v} & = / inf { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a] } vidū / M } / \ | (eksistē x) varphi / | _ { mathrm v} & = / sup { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a]} vidū / M }, \\ / end {align}), kur ({ mathrm v} [x {:} a]) tiek nosūtīts novērtējums (x) uz (a) un citu mainīgo lielumu vērtības nemainās. Citu formulu vērtības tiek aprēķinātas, izmantojot patiesības funkcijas ierosinošajiem L savienojumiem. Citu formulu vērtības tiek aprēķinātas, izmantojot patiesības funkcijas ierosinošajiem L savienojumiem. Citu formulu vērtības tiek aprēķinātas, izmantojot patiesības funkcijas ierosinošajiem L savienojumiem.

Pirmās kārtas loģika L (forall) pēc tam tiek definēta kā seku saistība, ko rada pilnīgas patiesības (vērtības (1)) saglabāšana, tāpat kā ierosināšanas gadījumā. Precīzāk, mēs sakām, ka pirmās kārtas formula (varphi) ir formulu kopas sekas ((Gamma)) (simbolos: (Gamma / modeļi _ { mathrm {L} forall} varphi)), ja (| / varphi / | _ { mathrm v} = 1) katram vērtēšanas v, kad (| / psi / | _ { mathrm v} = 1) katram vērtējums v un katrs (psi / in / Gamma).

L (forall) var iegūt Hilberta stila aprēķinu ar šādām aksiomām:

  • (P) Piedāvājuma loģikas L aksiomu (pirmās kārtas) gadījumi
  • ((forall1)) ((forall x) varphi (x) to / varphi (t)), kur termins (t) ir aizstājams ar (x)
  • ((pastāv1)) (varphi (t) līdz (eksistē x) varphi (x)), kur termins (t) ir aizstājams ar (x)
  • ((forall2)) ((forall x) (chi / to / varphi) to (chi / to (forall (x) varphi)), kur (x) nav bez maksas (chi)
  • ((pastāv2)) ((forall x) (varphi / līdz / chi) līdz ((eksistē x) varphi / līdz / chi)), kur (x) nav bez maksas iekšā (chi)
  • ((forall3)) ((forall x) (chi / vee / varphi) to / chi / vee (forall x) varphi), kur (x) nav brīvs (chi).

L (forall) atskaitīšanas noteikumi ir L plus vispārinājuma noteikumi: no (varphi) secināt ((forall x) varphi).

Daudzām ievērojamām ierosinošām izplūdušām loģikām (ieskaitot MTL un Gödel loģiku) augstākminētā aksiomātiskā sistēma ir pareiza un pilnīga attiecībā uz semantiku (ti, (Gamma / modeļi _ { mathrm {L} forall} varphi) iff (Gamma / vdash _ { mathrm {L} forall} varphi) katram (Gamma) un katram (varphi); Cintula, Horčík, & Noguera 2014).

Tomēr pirmās kārtas Łukasiewicz loģika nav rekursīvi aksiomatizējama, kā to parādīja Skarpellīni (1962; Ragaz (1981)) pierādīja, ka tautoloģiju kopums faktiski ir (Sigma_2 / - pilnīgs aritmētiskās hierarhijas izpratnē). Pilnīgumu var sasniegt, iekļaujot bezgalības secinājumu likumu (Hay 1963) vai vispārinot patiesības vērtību kopumu (skatīt nākamo sadaļu). Situācija ir vēl sarežģītāka Hajeka pamata izplūdušās loģikas gadījumā, kur visu struktūru pirmās kārtas tautoloģiju kopums, ko piešķir nepārtrauktas t-normas, ir tikpat sarežģīts kā patiesā aritmētika (Montagna 2001).

7. Algebriskā semantika

Viens no galvenajiem izplūdušās loģikas pētīšanas instrumentiem ir algebriskā semantika (sk. Ierakstu par algebrisko semantiku). Aptuveni runājot, ideja ir aizstāt reālās vienības intervālu ar patvaļīgu komplektu un interpretēt savienojumus kā atbilstošo aritiju operācijas šajā komplektā.

MTL-algebra (ieviesusi Esteva & Godo (2001)) ir kopums ({ mathbf A} = / langle A, &, / to, / wedge, / vee, / overline {0}, / overline { 1} rangle) kur

  • (langle A, / ķīlis, / vee, / overline {0}, / overline {1} rangle) ir ierobežots režģis
  • (langle A, &, / overline {1} rangle) ir komutācijas monoīds
  • ((x / līdz y) vee (y / līdz x) = / pārsvītrot {1})
  • (x / mathbin { &} y / leq z) iff (x / leq y / to z) (kur (leq) ir režģa secība, ko rada (ķīlis) vai (vee)).

MTL algebras ir uz t-normu balstītas semantikas vispārinājums, kas izskaidrots iepriekš, un MTL nodrošina pareizu un pilnīgu semantiku. [4]

MTL ķēdes ir tās, kuru režģa secība ir pilnīga, un tie ir visas algebru klases pamata elementi tādā nozīmē, ka katru MTL-algebru var sadalīt kā ķēžu apakšdirektīvu. Tas nozīmē, ka loģika ir pilnīga arī attiecībā uz MTL ķēžu semantiku, kas pēc tam tiek izmantota kā pirmais solis, lai pierādītu tās pilnīgumu attiecībā uz t-normām balstītu semantiku (Jenei & Montagna 2002).

Algebriskā semantika ir universāls rīks, kuru var izmantot jebkurai loģikai. Jo īpaši jebkurai patvaļīgai izplūdušai loģikai, kas izpētīta literatūrā (pat tām, kuras neatbalsta uz t normām balstītu semantiku, piemēram, ierobežotu vērtējumu izplūdušo loģiku vai nekomutējošu neormāņu loģiku), var atrast atbilstošu algebras klasi, kas var būt sadalās kā ķēžu apakšdirektīvi. Šis fakts ir licis Běhounek & Cintula (2006) ierosināt izplūdušās loģikas definīciju kā loģiku, kas ir pilnīga attiecībā uz pilnīgi sakārtotām algebriskajām struktūrām.

Algebriskās semantikas izmantošana pirmās kārtas loģikai parasti rada zemāku sarežģītības pakāpi validitātes vai apmierinātības pārbaudei nekā standarta semantika (Montagna & Noguera 2010).

8. Pierādījumu teorija

Ir bijis diezgan liels izaicinājums nākt klajā ar izplūdušās loģikas analītiskās pierādīšanas sistēmām. Tās ir sistēmas, kurām ir kopīgas svarīgas iezīmes, piemēram, griezumu novēršamība un subformula īpašība, ar Gentzen secīgajiem klasiskās un intuitīvās loģikas aprēķiniem (sk. Ierakstu par pierādījumu teorijas attīstību). Liels izrāviens ir sasniegts, ieviešot Arnon Avron (1991) tā saukto hipersekvento aprēķinu Gēdela-Dummeta loģikai. Hipersequence calculi rodas no secīgiem calculi, par galveno secināšanas objektu uzskatot ierobežotos multisektus vai secību secības, kas interpretētas kā secību disjunkcijas. Gēdela – Dimeta loģikas gadījumā tiek atcelti Gentzena intuitīvisma sekvences aprēķini, vienkārši pievienojot augšējos un apakšējos sekvences sānu hipersequentus. Piemēram,secīgais noteikums disjunkcijas ieviešanai labajā pusē (frac { Gamma_1 / Rightarrow / phi / hspace {3ex} Gamma_2 / Rightarrow / psi} { Gamma_1, / Gamma_2 / Rightarrow / phi / vee / psi}], kur (Gamma_1) un (Gamma_2) ir ierobežotas formulu sekvences, tiek pārvērsts par šādu hipersekventu kārtulu: (frac {H / mid / Gamma_1 / Rightarrow / phi / hspace {3ex} H ' / mid / Gamma_2 / Rightarrow / psi} {H / mid H '\ mid / Gamma_1, / Gamma_2 / Rightarrow / phi / vee / psi}), kur (H) un (H') apzīmē sānu hipersekvences, ti, ierobežotas sekvences vai sekvenču multisekti. Tas pats par sevi nemaina atbilstošo loģiku (šajā gadījumā intuitīvā loģika). Izšķirošais papildu strukturālais noteikums ir tā sauktais komunikācijas noteikums: (frac {H / mid / Gamma_1, / Pi_1 / Rightarrow / Delta_1 / hspace {3ex} H '\ mid / Gamma_2,\ Pi_2 / Rightarrow / Delta_2} {H / mid H '\ mid / Gamma_1, / Gamma_2 / Rightarrow / Delta_1 / mid / Pi_2, / Pi_2 / Rightarrow / Delta_2}) Here (Gamma_1, / Gamma_2, / Pi_1, / Pi_2) ir ierobežoti formulu saraksti; (Delta_1) un (Delta_2) ir vai nu vienas formulas, vai arī paliek tukšas; (H) un (H ') apzīmē sānu hipersaites, tāpat kā iepriekš.

Lai iegūtu hipersequentu aprēķinu pamata izplūdušajai loģikai MTL, ir jāpievieno komunikācijas kārtība secīgai sistēmai, kas nodrošina intuitīvās loģikas bezkontrakcijas versiju. Citu izplūdušo loģiku, it īpaši Łukasiewicz loģikas, analītiskās pierādīšanas sistēmas prasa radikālāku atkāpšanos no tradicionālajiem kalkuliem, kur hipersekventu secīgie komponenti tiek interpretēti savādāk nekā intuitionistiski vai klasiski. Ir ierosinātas arī tā saucamās marķētās pierādīšanas sistēmas un dažādi tabulas aprēķini. Sīkāks atbilstošā tehnikas līmeņa izklāsts atrodams Metcalfe, Olivetti, & Gabbay 2008 un Metcalfe 2011.

9. Patiesības funkcionalitāti attaisnojošā semantika

Vēlams ne tikai no filozofiskā viedokļa, bet arī labāk izprast izplūdušās loģikas iespējamos pielietojumus, lai patiesību starpnieku vērtību un atbilstošo loģisko savienojumu nozīmi saistītu ar spriešanas pamatmodeļiem ar neskaidriem un neprecīziem priekšstatiem. Ir ieviesta virkne tādu semantiku, kuru mērķis ir attaisnot funkcionālu savienojumu patieso izvēli. Šeit īsi aprakstīti tikai divi no tiem.

Balsošanas semantika balstās uz ideju, ka dažādi aģenti (vēlētāji) var saskaņoti vērtēt vienu un to pašu ierosinājumu atšķirīgi. To aģentu proporcija, kuri pieņem apgalvojumu (varphi) kā patiesu, var uzskatīt par patiesības vērtību. Bez papildu ierobežojumiem tas nenoved pie patiesības funkcionālās semantikas, bet drīzāk ar varbūtību piešķiršanu apgalvojumiem. Bet, ja katram aģentam tiek noteikts fiksēts skeptiskuma līmenis un izvirzīti daži dabiski apstākļi, kas spriež par loģiski sarežģītiem paziņojumiem, kas atbilst šiem līmeņiem, tad var atgūt (min), (max) un (1-x) kā patiesības funkcijas attiecīgi konjunktūrai, disjunkcijai un noliegumam. Sīkāka informācija atrodama Lawry 1998.

Vēl vienu intriģējošu spriešanas modeli, kas sniedz pamatojumu visiem standarta Łukasiewicz loģikas ierosinošajiem saistošajiem elementiem, ieviesa Džīls (1974). Tā sastāv no spēles, kurā divi spēlētāji, es un tu, sistemātiski samazina loģiski sarežģītos apgalvojumus (formulas) uz vienkāršākiem saskaņā ar šādiem noteikumiem:

  • Ja es apgalvoju, ka (varphi / lor / psi), tad man ir jāapstiprina vai nu (varphi), vai (psi).
  • Ja es apgalvoju, ka (varphi / zeme / psi), tad jūs izvēlaties vienu no konjunktiem, un man attiecīgi jāapliecina vai nu (varphi), vai (psi).
  • Ja es aizstāvu (varphi / uz / psi), tad man ir jāuztic (psi), ja jūs apgalvojat (varphi).

Noteikumi kvantitatīvi izteiktiem apgalvojumiem attiecas uz fiksētu domēnu, pieņemot, ka katram domēna elementam ir nemainīgs simbols:

  • Ja es apgalvoju, ka ((forall x) varphi (x)), tad man ir jāapstiprina (varphi (c)) konstantei (c), kuru esat izvēlējies.
  • Ja es apgalvoju, ka ((eksistē x) varphi (x)), tad man ir jāpiesaka (varphi (c)) konstantei (c), kuru pats izvēlējos.

Jūsu apgalvojumu noteikumi ir divējādi. Katrā spēles stāvoklī tiek izvēlēts neatomātiskas formulas rašanās vai nu daudzos pašreizējos apgalvojumos, ko veicis mans, vai arī jūs, un to aizvieto ar apakšformulas, kā norādīts šajos noteikumos, līdz paliek tikai atomu apgalvojumi. Pēc tam spēles galīgais stāvoklis tiek vērtēts pēc šādas derību shēmas.

Katrai atomu formulai ir atbilstošs eksperiments, kas var vai nu neizdoties, vai arī gūt panākumus, taču var uzrādīt izkliedi, ti, atkārtojot, tas var dot atšķirīgus rezultātus. Fiksēta atteices varbūtība, ko sauc par riska vērtību, tiek piešķirta katram eksperimentam un tādējādi katrai atomu formulai. Spēlētājiem ir jāmaksā ($) 1 otram spēlētājam par katru atomu apgalvojumu, ja saistītie eksperimenti neizdodas. Jebkurai spēlei, kas sākas ar manu apgalvojumu par (varphi), manām paredzamajām kopējām naudas zaudēšanas iespējām, ja mēs abi spēlējam racionāli, var pierādīt, ka tās apgriezti atbilst (varphi) patiesajai vērtībai, kas novērtēta Łukasiewicz loģikas interpretācijā, kas piešķir atomu formulām riska vērtību apgriezto vērtību kā patiesības vērtības. Konkrēti, formula ir derīga Łukasiewicz loģikā tikai un tikai tad, ja attiecībā uz katru riska vērtības piešķiršanuMan ir stratēģija, kas garantē, ka mans paredzamais kopējais zaudējums spēles beigās ir (0) vai negatīvs.

Fermüllers un Metkalfs (2009) ir norādījuši uz atbilstību starp optimālajām stratēģijām Džilesa spēlē un bezspēcīgajiem pierādījumiem hiperspecifiskā sistēmā Łukasiewicz loģikai. Spēli ir paplašinājuši arī Fermüllers un Rosšgers (2014), lai raksturotu dažāda veida (daļēji) izplūdušos skaitļus, kas paredzēti, lai modelētu dabiskās valodas izteicienus, piemēram, “apmēram puse” vai “gandrīz visi”.

Parīze (2000) sniedz pārskatu par citu semantiku, kas atbalsta dažādas patiesības funkciju izvēles; semantikas atkārtota nejaušināšana (Hisdal 1988), līdzības semantika (piemēram, Ruspini 1991), pieņemamības semantika (Parīze 1997) un tuvināšanas semantika (Paris 2000). Pieminēsim arī Běhounek (2009) uz resursiem balstīto semantiku. Bez tam, iepriekš aprakstītā Džilsa par Łukasiewicz loģiku, ir arī dažādi novērtēšanas spēļu veidi dažādām izplūdušām loģikām. Pārskats par šīm semantiskajām spēlēm ir atrodams Fermüller 2015.

10. Izplūdušā loģika un neskaidrība

Motivācijas modelēšana ar neskaidriem predikātiem un piedāvājumiem bieži tiek minēta kā galvenā motivācija izplūdušās loģikas ieviešanai. Pastāv daudzas alternatīvas neskaidrības teorijas (sk. Ierakstu par neskaidrību), taču pastāv vispārēja vienošanās, ka uzņēmība pret sorītu paradoksu (sk. Ierakstu par sorītu paradoksu) ir galvenā neskaidrības iezīme. Apsveriet šo paradoksa versiju:

  • (1) (10 ^ {100}) ir milzīgs skaits.
  • (2) Ja (n) ir milzīgs skaits, tad (n-1) ir arī milzīgs.

Raugoties uz to, šķiet, ka nav nepamatoti pieņemt šos divus pieņēmumus. Tuvinot (n) ar (10 ^ {100}) (2) un piemērojot modus ponens ar (1) kā otru premisu, mēs secinām, ka (10 ^ {100} -1) ir milzīgs. Vienkārši atkārtojot šāda veida secinājumus, mēs nonākam pie nepamatota paziņojuma

(3) (0) ir milzīgs skaitlis

Izplūdušā loģika liecina par sorītu paradoksa analīzi, kas respektē intuīciju, ka apgalvojums (2), kaut arī, iespējams, nav pilnīgi patiess, tomēr gandrīz ir patiess.

Ir dažādi veidi, kā modelēt šo argumentācijas formu uz t-normām balstītā izplūdušajā loģikā, kas izšķīdina paradoksu. Piemēram, var paziņot, ka jebkurš modus ponens gadījums ir pamatots, ja secinājuma patiesības pakāpe nav zemāka par tā telpu spēcīgo savienojumu. [5]Kā norādīts, ir noteikts, ka katram (2) gadījumam ir taisnība pēc pakāpes (1- / epsilon), attiecībā uz ļoti nelielu skaitu (epsilon). Pat ja mēs pasludinām (1) par pilnīgi patiesu, arī apgalvojums, ka (10 ^ {100} -1) ir milzīgs, varētu būt mazāks par perfektu, neupurējot momentācijas un modus ponens pamatotību. Ja turklāt divu ne pilnīgi patiesu (vai ne pilnīgi nepatiesu) apgalvojumu patiesības pakāpe ir mazāka nekā katra konjunktūra, mēs droši varam paziņot, ka apgalvojums (3) ir pilnīgi nepatiess un tomēr uzstāj uz katrs solis norādītajā secinājumu ķēdē. Neoficiāli runājot, paradokss izzūd, pieņemot, ka vairākkārtīgi samazinot perfekti milzīgo skaitu par nelielu summu, rodas skaitļi, par kuriem mazāk un mazāk taisnība, ka tie ir arī milzīgi.

Alternatīvs patiesības pakāpes risinājums sorītu paradoksam ir ierosināts Hájek & Novák (2003). Viņi ievieš jaunu patiesības funkcionālu saistaudu, kas modelē izteicienu “tas ir gandrīz taisnība”. Tādā veidā viņi formalizē sorītu stila argumentāciju aksiomatiskās teorijas ietvaros ar atbilstošu t-normu balstītu izplūdušo loģiku.

Smits (2008; sk. Arī 2005) ir apgalvojis, ka tā saucamais tuvuma princips atspoguļo neskaidrības būtību. Tas pauž, ka tādas pašas formas apgalvojumiem par neatdalāmiem objektiem vajadzētu būt tuviem patiesībai. Tas ir iezīme daudzām paradoksa pieejām, kuras izmanto izplūdušo loģiku, ka tās ir saderīgas ar šo principu. [6]

Bibliogrāfija

Papildu dokuments:

Bibliogrāfija sakārtota pēc tēmas

  • Aguzzoli, S., Bova, S., un Gerla, B., 2011, “Bezmaksas algebras un funkcionāls attēlojums izplūdušai loģikai”, P. Cintula, P. Hájek un C. Noguera, (redaktori), Mathematical Handbook Izplūdušā loģika, 2. sējums (Matemātiskā loģika un pamati, 38. sējums), Londona: Koledžas publikācijas, 713. – 719. Lpp.
  • Avrons, Arnons, 1991. gads, “Hipersekvences, loģiskās sekas un starpposma loģika vienlaicīgumam”, Matemātikas un mākslīgā intelekta žurnāli, 4 (3–4): 225–248. doi: 10.1007 / BF01531058
  • Baaz, Matthias, 1996, “Infinite-Valued Gödel Logic with 0–1-Projections and Relativisations”, Petrs Hájeks (red.), Gödel'96: Matemātikas, datorzinātnes un fizikas loģiskie pamati (Lekcijas piezīmes loģikā, 6. sēj.), Brno: Springers, 23. – 33
  • Baaz, M., Hájek, P., Montagna, F. un Veith, H., 2002, “T-Tautoloģiju sarežģītība”, Annals of Pure and Applied Logic, 113 (1–3): 3–11.
  • Baazs, Matiass un Preinings, Norberts, 2011. gads, “Gödel-Dummett Logics”, Cintula, Petr, Petrs Hájek un Carles Noguera (red.), Mathematical Fuzzy Logic Handbook, 2. sējums (Matemātiskā loģika un pamati, Volume) 38), Londona: Koledžas publikācijas, 585. – 625. Lpp.
  • Běhounek, Libor, 2009, “Izplūdušā loģika, kas interpretēta kā resursu loģika”, Mišals Pelišs (red.), Logica gadagrāmata 2008, Londona: Koledžas publikācijas, 9. – 21. Lpp.
  • –––, 2014, “Kādā ziņā izplūdušā loģika ir neskaidra?”, Lukaševičs, Tomass, Peñaloza, Rafael un Turhan, Anni-Yasmin, (redaktori), PRUV 2014: Loģika par preferenču pamatojumu, nenoteiktība un neskaidrība (CEUR semināra materiāli, 1205. sējums), Drēzdene: CEUR.
  • Běhounek, Libor, un Cintula, Petr, 2005, “Izplūdušo klašu teorija”, Izplūdušās komplekti un sistēmas, 154 (1): 34–55.
  • –––, 2006, “Izplūdušā loģika kā ķēžu loģika”, izplūdušie komplekti un sistēmas, 157 (5): 604–610.
  • Běhounek, Libor, un Haniková, Zuzana, 2014, “Komplekta teorija un aritmētika izplūdušajā loģikā”, Montagna, Franco, (redaktors), Petrs Hájeks par matemātisko izplūdušo loģiku, (izcils ieguldījums loģikā, 6. sējums), Cham: Springer, 63. – 89.
  • Bělohlávek, R., un Vychodil, V., 2005, Fuzzy Equational Logic, (Izplūdušās un mīkstas skaitļošanas pētījumi, 186. sējums), Berlīne un Heidelberga: Springers.
  • Bobillo, F., Cerami, M., Esteva, F., García-Cerdaña,,., Peñaloza, R., un Straccia, U., 2015, “Fuzzy Description Logics”, Cintula, P., Fermüller, CG, un Noguera, C., (redaktori), Mathematical Fuzzy Logic rokasgrāmata, 3. sējums (Matemātiskā loģika un pamati, 58. sējums), Londona: College Publications, 1105. – 1181. lpp.
  • Bou, F., Esteva, F., Godo, L. un Rodríguez, RO, 2011, “Par minimālo daudzvērtīgo modālo loģiku pa ierobežotu atlikušo režģi”, žurnāls Logic and Computation, 21 (5): 739 –790.
  • Busaniče, Manuela un Montagna, Franko, 2011, “Hájek's Logic BL and BL-Algebras”, Cintula, Petr, Petr Hájek un Carles Noguera (red.), Mathematical Fuzzy Logic Handbook, 1. sējums (Mathematical Logic and Fondi, 37. sējums), Londona: Koledžas publikācijas, 355. – 447. Lpp.
  • Ciabattoni, A., Galatos, N., un Terui, K., 2012, “Algebrisko pierādījumu teorija substruktūras loģikai: griezums-novēršana un pabeigšana”, Annals of Pure and Applied Logic, 163 (3): 266–290.
  • Caicedo, X., un Rodríguez, RO, 2010, “Standard Gödel Modal Logics”, Studia Logica, 94 (2): 189–214.
  • Cicalese, F. un Montagna, F., 2015, “Ulam-Rényi Game Based Semantics For Fuzzy Logics”, P. Cintula, CG Fermüller un C. Noguera, (redaktori), Mathematical Fuzzy Logic Handbook, 3. sējums, (Matemātiskā loģika un pamati, 58. sējums), Londona: Koledžas publikācijas, 1029–1062. Lpp.
  • Cignoli, R., D'Ottaviano, IM, un Mundici, D., 1999, Daudzvērtīgu pamatojumu algebriskie pamati (7. sējums), Dordrecht: Kluwer.
  • Cintula, Petr, 2006, “Vāji netiešā (izplūdušā) loģika I: Pamatīpašības”, Matemātiskās loģikas arhīvs, 45 (6): 673–704.
  • Cintula, P., Esteva, F., Gispert, J., Godo, L., Montagna, F. un Noguera, C., 2009, “Izcila algebriskā semantika uz T normām balstītai izplūdušajai loģikai: metodes un algebriskās ekvivalences”., Annals of Pure and Applied Logic, 160 (1): 53–81.
  • Cintula, Petr, Christian Fermüller un Carles Noguera (red.), 2015, Mathematical Fuzzy Logic rokasgrāmata, 3. sējums, (Studies in Logic, 58. sēj.), Londona: College Publications.
  • Cintula, Petr, Petr Hájek un Carles Noguera (red.), 2011a, Mathematical Fuzzy Logic rokasgrāmata, 1. sējums (Studies in Logic, 37. sēj.), Londona: College Publications.
  • ––– (red.), 2011b, Mathematical Fuzzy Logic Handbook of Mathematical Fuzzy Logic, 2. sējums (Studies in Logic, 38. sēj.), Londona: College Publications.
  • Cintula, Petr, Rostislav Horčík un Carles Noguera, 2013, “Neasociatīvā substruktūras loģika un to pusilinārie paplašinājumi: aksiomatizācijas un pilnīguma īpašības”, Symbolic Logic apskats, 6 (3): 394–423. doi: 10.1017 / S1755020313000099
  • –––, 2014, “Pamatīgās izplūdušās loģikas meklējumi”, Fransuā Montagnā (red.), Petrs Hájeks par matemātisko izplūdušo loģiku (izcils ieguldījums loģikā, 6. sēj.), Cham: Springer, 245–290. Lpp.. doi: 10.1007 / 978-3-319-06233-4_12
  • Cintula, Petr un Noguera, Carles, 2011, “Matemātiskās izplūdušās loģikas vispārējs ietvars”, Cintula, Petr, Petr Hájek un Carles Noguera (red.), Mathematical Fuzzy Logic, 1. sējums, (Mathematical Logic and Fondi, 37. sējums), Londona: Koledžas publikācijas, 103. – 207. Lpp.
  • Cintula, P. un Metcalfe, G., 2009, “Strukturālā pilnība izplūdušajā loģikā”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 50 (2): 153–183.
  • Dellunde, P., 2012. gads, “Kartējumu saglabāšana izplūdušajā pareģotajā loģikā”, žurnāls Logic and Computation, 22 (6): 1367–1389.
  • Di Nola, A., un Gerla, G., 1986, “Pirmās kārtas valodu izplūdušie modeļi”, Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 32 (19–24): 331–340.
  • Dummets, Maikls, 1959. gads, “Propozicionāls aprēķins ar nosakāmu matricu”, Journal of Symbolic Logic, 24 (2): 97–106. doi: 10.2307 / 2964753
  • Esteva, Frančeska, Džoana Gisperta, Lluisa Godo un Karlesa Noguera, 2007, “Patiesības konstanšu pievienošana nepārtrauktu T-normu loģikai: aksiomatizācijas un pilnīguma rezultāti”, izplūdušās kopas un sistēmas, 158 (6): 597–618. doi: 10.1016 / j.fss.2006.11.010
  • Esteva, Frančeska un Lluisa Godo, 2001. gads, “Uz monoidālām T normām balstīta loģika: ceļā uz kreiso un nepārtraukto T normu loģiku”, izplūdušie komplekti un sistēmas, 124 (3): 271–288. doi: 10.1016 / S0165-0114 (01) 00098-7
  • Esteva, Frančeska, Godo, Lluisa un Garsija-Serdana, Àngel, 2003, “Par t-normu balstītas izplūdušās loģikas loģiku hierarhiju”, Fitingā, Melvins un Orłowska, Ewa, (redaktori), aiz diviem: teorija un Vairāku vērtību loģikas pielietojumi (Izplūdušās un mīkstas skaitļošanas pētījumi, 114. sējums), Heidelberga: Springers, 251. – 272. Lpp.
  • Esteva, Frančeska, Lluiss Godo, Petrs Hájeks un Mirko Navara, 2000, “Atlikušās izplūdušās loģikas ar iesaistošu negatīvu”, Matemātiskās loģikas arhīvs, 39 (2): 103–124. doi: 10.1007 / s001530050006
  • Esteva, Frančeska, Godo, Lūiss un Martioni, Enriko, 2011. gads, “Izplūdušā loģika ar bagātinātu valodu”, Cintula, Petr, Petr Hájek un Carles Noguera (red.), Mathematical Fuzzy Logic Handbook, 2. sējums (Mathematical Loģika un pamati, 38. sējums), Londona: Koledžas publikācijas, 627. – 711. Lpp.
  • Esteva, Frančeska, Lūisa Godo un Fransuā Montagna, 2001. gads, “The ((L / Pi) and (L / Pi / frac12) Logics: Divas pilnīgas izplūdušās sistēmas, kas savieno Łukasiewicz un produktu loģiku”, matemātiskās loģikas arhīvs, 40 (1): 39–67. doi: 10.1007 / s001530050173
  • ––– 2003, “Jebkuras paliekošās izplūdušās loģikas aksiomatizācija, ko nosaka nepārtraukta T-norma” Taner Bilgiç, Bernard De Baets un Okyay Kaynak (red.), Izplūdušie komplekti un sistēmas: IFSA 2003 (lekciju piezīmes datorā) Science, 2715. sēj.), Berlīne / Heidelberga: Springers, 172. – 179. doi: 10.1007 / 3-540-44967-1_20
  • Fedels, M., Hosni, H., un Montagna, F., 2011. gads, “Nepilnīgu varbūtību saskaņotības loģisks raksturojums”, Starptautiskais žurnāls par aptuveno pamatojumu, 52 (8): 1147–1170, doi: 10.1016 / j. ijar.2011.06.004.
  • Fermüllers, Kristians G., 2015. gads, “Semantiskās spēles izplūdušajai loģikai”, Cintula, Fermüller, un Noguera 2015: 969–1028.
  • Fermīlers, Kristians G. un Džordžs Metkalfs, 2009. gads, “Džeila spēle un pierādījumu teorija Łukasiewicz Logic”, Studia Logica, 92 (1): 27–61. doi: 10.1007 / s11225-009-9185-2
  • Fermüllers, Kristians G. un Kristofs Rodžerss, 2014. gads, “Randomizēta spēļu semantika daļēji izplūdušiem kvantifikatoriem”, Pure and Applied Logic interešu grupas loģiskais žurnāls, 22 (3): 413–439. doi: 10.1093 / jigpal / jzt049
  • Flaminio, T., Godo, L., un Marchioni, E., 2011. gads, “Iemesls neskaidru notikumu nenoteiktībai: pārskats”, Kintula, Petrs, Fermullers, Kristians G., Godo, Luiss un Hájeks, Petrs, (redaktori), Izpratne par neskaidrību: loģiskās, filozofiskās un lingvistiskās perspektīvas (Studies in Logic, 36. sējums), London: College Publications, 367. – 400. lpp.
  • Flaminio, T., un Kroupa, T., 2015, “MV-Algebras štati”, Cintula, Petr, Christian Fermüller un Carles Noguera (red.), Mathematical Fuzzy Logic, 3. sējums, (Mathematical Logic and Fondi, 58. sējums), Londona: Koledžas publikācijas, 1183–1236. Lpp.
  • Fonts, Josep Maria, 2016, Abstract Algebraic Logic: Ievada mācību grāmata, (Matemātiskā loģika un pamati, 60. sējums), Londona: Koledžas publikācijas.
  • Galatoss, Nikolaoss, Jipsens, Pēteris, Kovaļskis, Tomašs un Ono, Hiroakira, (redaktori), 2007, Residuated Lattices: Algebraic Glimpse at Substructural Logics, (Pētījumi loģikā un matemātikas pamatos, 151. sējums), Amsterdam: Elsevier..
  • García-Cerdaña,,., Armengol, E., and Esteva, F., 2010, “Izplūdušās apraksta loģika un uz T-normām balstītā izplūdušā loģika”, Starptautiskais žurnāls par aptuveno pamatojumu, 51 (6): 632–655.
  • Gerla, G., 2001, Izplūdušās loģikas-matemātiskais rīks aptuvenai spriešanai, (Tendences loģikā, 11. sējums), Ņujorka: Kluwer un Plenum Press.
  • Džīls, Robins, 1974. gads, “Neklasiskā fizikas loģika”, Studia Logica, 33 (4): 397–415. doi: 10.1007 / BF02123379
  • Gēdels, Kurts, 1932. gads, “Zum intuitionistischen Aussagenkalkül”, Anžeigers Akademijs Der Wissenschaften Wien, 69: 65–66.
  • Godo, L., Esteva, F., un Hájek, P., 2000, “Spriešana par varbūtību, izmantojot izplūdušo loģiku”, Neironu tīkla pasaule, 10 (5): 811–823, (īpašs izdevums SOFSEM 2000).
  • Goguens, Džozefs A., 1969. gads, “Neprecīzu jēdzienu loģika”, Synthese, 19 (3–4): 325–373.
  • Gottwald, Siegfried, 2001, Traktāts par daudzvērtīgu loģiku, (Pētījumi loģikā un skaitļošanā, 9. sējums), Baldock: Research Studies Press Ltd.
  • Hájek, Petr, 1998, Izplūdušās loģikas metamatemātika (Trends in Logic, 4. sēj.), Dordrecht: Kluwer.
  • –––, 2001, “Uz ļoti patiesa”, izplūdušie komplekti un sistēmas, 124 (3): 329–333.
  • –––, 2005, “Izplūdušo aprakstu loģiku padarot vispārīgāku”, izplūdušie komplekti un sistēmas, 154. (1): 1–15.
  • Hájek, P. un Cintula, P., 2006, “Par teorijām un modeļiem izplūdušās prognozēšanas loģikā”, Journal of Symbolic Logic, 71 (3): 863–880.
  • Hájeks, P., un Haniková, Z., 2003, “A kopuma teorijas attīstība izplūdušajā loģikā”, Fitings, Melvins un Orlova, Eva, (redaktori), Beyond Two: Multiple-Valued Logic teorija un pielietojumi, (Pētījumi izplūdušo un mīksto datoru jomā, 114. sējums), Heidelberga: Sprindžers, 273. – 285. Lpp.
  • Hájeks, P., Montagna, F., un Noguera, C., 2011. gads, “Pirmās kārtas izplūdušās loģikas aritmētiskā sarežģītība” Kintulā, Petrē, Hájekā, Petrē un Noguera, Karlesa (redaktori), Matemātikas rokasgrāmata. Izplūdušā loģika, 2. sējums (Matemātiskā loģika un pamati, 38. sējums), Londona: Koledžas publikācijas, 853. – 908. Lpp.
  • Hájek, Petr & Vilém Novák, 2003, “The Sorites Paradox and Fuzzy Logic”, International Journal of General Systems, 32 (4): 373–383. doi: 10.1080 / 0308107031000152522
  • Hārajeks, P., Parīze, Dž., Un Šefardsons, JC, 2000, “Melīgais paradokss un izplūdušā loģika”, Journal of Symbolic Logic, 65 (1): 339–346.
  • Haniková, Zuzana, 2011. gads, “Propozitīvās izplūdušās loģikas skaitļošanas sarežģītība”, Cintula, Petr, Hájek, Petr un Noguera, Carles, (redaktori), Matemātiskās izplūdušās loģikas rokasgrāmata, 2. sējums (Matemātiskā loģika un pamati, 38. sējums)), Londona: Koledžas publikācijas, 793. – 851. Lpp.
  • –––, 2014, “Standarta BL-Algebras radītās šķirnes”, rīkojums, 31 (1): 15–33. doi: 10.1007 / s11083-013-9285-5
  • Hansoul, G. un Teheux, B., 2013, “řukasiewicz Logics paplašināšana ar modālu: algebriskā pieeja relāciju semantikai”, Studia Logica, 101 (3): 505–545, doi: 10.1007 / s11225-012-9396- 9.
  • Hejs, Luīze Šmīra, 1963. gads, “Bezgalīgi vērtētā pareģētā aprēķina aksiomatizācija”, Journal of Symbolic Logic, 28 (1): 77–86. doi: 10.2307 / 2271339
  • Hisdal, Ellen, 1988, “Vai ir dalības varbūtības pakāpes?” Izplūdušie komplekti un sistēmas, 25 (3): 325–348. doi: 10.1016 / 0165-0114 (88) 90018-8
  • Horčík, Rostislav, 2011, “Algebriskā semantika: Semilinear FL-Algebras”, P. Cintula, P. Hájek un C. Noguera, (redaktori), Matemātiskās izplūdušās loģikas rokasgrāmata, 1. sējums (Matemātiskā loģika un pamati, sējums) 37), Londona: Koledžas publikācijas, 283. – 353. Lpp.
  • Horns, Alfrēds, 1969. gads, “Loģika ar patiesības vērtībām lineāri sakārtotā heytingalgebrā”, The Symbolic Logic Journal, 34 (3): 395–408.
  • Jenei, Sándor & Franco Montagna, 2002, “Estevas un Godo loģikas MTL standarta komplektācijas pierādījums”, Studia Logica, 70 (2): 183–192. doi: 10.1023 / A: 1015122331293
  • Jeřábek, E., 2010, “Łukasiewicz Logic pieļaujamo normu pamati”, Journal of Logic and Computation, 20 (6): 1149–1163.
  • –––, 2003, “Nekomutējošās monoidālās T-normas loģikas standarta pabeigtības pierādījums”, Neironu tīkla pasaule, 13 (5): 481–489.
  • Klement, Erich Peter, Radkos Mesiar un Endre Pap, 2000, Trīsstūrveida normas (tendences loģikā, 8. sējums), Dordrecht: Kluwer.
  • Lawry, J., 1998, “Balsošanas mehānisms izplūdušai loģikai”, Starptautiskais žurnāls par aptuveno pamatojumu, 19 (3–4): 315–333. doi: 10.1016 / S0888-613X (98) 10013-0
  • Leştean, I., un DiNola, A., 2011, “Łukasiewicz Logic and MV-Algebras”, P. Cintula, P. Hájek un C. Noguera, (redaktori), Mathematical Fuzzy Logic Handbook, 2. sējums, (Matemātiskā loģika un pamati, 38. sējums), Londona: Koledžas publikācijas, 469. – 583. Lpp.
  • Ling, Cho-Hsin, 1965, “Asociatīvo funkciju attēlojums”, Publicationes Mathematicae Debrecen, 12: 189–212.
  • Łukasiewicz, 1920. gada janvāris, “O Logice Trójwartościowej”, Ruch Filozoficzny, 5: 170–171. Tulkojums angļu valodā “On Three-Valued Logic”, Storrs McCall, (redaktors), 1967. gads, poļu loģika 1920–1939, Oxford: Clarendon Press, 16. – 18. Lpp., Un Jan Łukasiewicz, 1970, Selected Works, L. Borkowski, (redaktors), Amsterdama: Ziemeļholande, 87. – 88. lpp.
  • Łukasiewicz, J. & A. Tarski, 1930, “Untersuchungen über den Aussagenkalkül”, Comptes Rendus Des Séances de la Société Des Sciences un Des Lettres de Varsovie, Cl. III, 23. (iii): 30–50.
  • Marra, V., un Spada, L., 2013, “Dualitāte, projektivitāte un apvienošana řukasiewicz Logic un MV-Algebras”, Annals of Pure and Applied Logic, 164 (3): 192–210.
  • Maknaudsons, Roberts, 1951. gads, “Teorēma par bezgalīgi vērtētu sentento loģiku”, Žurnāls par simbolisko loģiku, 16 (1): 1–13. doi: 10.2307 / 2268660
  • Metcalfe, Džordžs, 2011. gads, “Matemātiskās izplūdušās loģikas pierādījumu teorija”, Cintula, Hájek, un Noguera, 2011a: 209–282.
  • Metcalfe, Džordžs un Fransuā Montagna, 2007, “Substructural Fuzzy Logics”, Journal of Symbolic Logic, 72 (3): 834–864. doi: 10.2178 / jsl / 1191333844
  • Metkalfs, Džordžs, Nicola Olivetti un Dovs M. Gabbajs, 2008, Izteiksmīgas teorijas teorija izplūdušajai loģikai (Applied Logic Series, 36. sēj.), Dordrehta: Springer Nīderlande.
  • Montagna, Franco, 2001, “Trīs sarežģītības problēmas kvantitatīvi izplūdušajā loģikā”, Studia Logica, 68 (1): 143–152. doi: 10.1023 / A: 1011958407631
  • Montagna, Franco & Carles Noguera, 2010, “Pirmās kārtas paredzama izplūdušās loģikas aritmētiskā sarežģītība pār izcilu semantiku”, žurnāls Logic and Computation, 20 (2): 399–424. doi: 10.1093 / logcom / exp052
  • Montagna, Franco, Noguera, Carles un Horčík, Rostislav, 2006, “On Weakly Cancellative Fuzzy Logics”, Journal of Logic and Computation, 16 (4): 423–450.
  • Montagna, Franco un Ono, Hiroakira, “Kripke semantika, neizskaidrojamība un standarta pilnīgums Estevai un Godo loģikai MTL” (forall)”, Studia Logica, 71 (2): 227–245.
  • Mosterts, Pols S. un Allens L. Shjeds, 1957. gads, “Par pusgrupu struktūru uz kompakta kolektora ar robežu”, Matemātikas žurnāli, otrā sērija, 65 (1): 117–143. doi: 10.2307 / 1969668
  • Mundici, D., 1987, & ldauo; apmierinātība ar daudzvērtīgu sentento loģiku ir pilnīga NP”, Teorētiskā datorzinātne, 52 (1–2): 145–153.
  • –––, 1992, “Ulama spēles ar meliem loģika”, C. Bicchieri un M. Dalla Chiara (redaktori), zināšanas, uzskati un stratēģiskā mijiedarbība (Castiglioncello, 1989), Kembridža: Cambridge University Press, 275–284.
  • –––, 2011, Advanced Łukasiewicz Calculus un MV-Algebras, (Trends in Logic, 35. sējums), New York: Springer.
  • Novák, V., 2004, “Par izplūdušā tipa teoriju”, izplūdušie komplekti un sistēmas, 149 (2): 235–273.
  • –––, 2015, “Izplūdušā loģika ar novērtēto sintakse”, Cintula, Petr, Christian Fermüller un Carles Noguera (red.), Mathematical Fuzzy Logic rokasgrāmata, 3. sējums (Matemātiskā loģika un pamati, 58. sējums), London: Koledžas publikācijas, 1063. – 1104. Lpp.
  • Novák, V., Perfilieva, I., and Močkoř, J., 2000, Izplūdušās loģikas matemātiskie principi, Dordrecht: Kluwer.
  • Nguyen, Hung T. & Elbert A. Walker, 2005, Pirmais izplūdušās loģikas kurss (trešais izdevums), Chapman un Hall / CRC.
  • Parīze, Džefs B., 1997. gads, “Semantika izplūdušajai loģikai”, mīkstā skaitļošana, 1 (3): 143–147. doi: 10.1007 / s005000050015
  • ––– 2000. gads, “Semantika izplūdušajai loģikai, kas atbalsta patiesības funkcionalitāti”, Vilém Novák & Irina Perfilieva (red.), “Atklājiet pasauli ar izplūdušo loģiku” (Pētījumi izplūdušās un mīkstas skaitļošanas jomā, 57. sēj.). Heidelberga: Springers, 82. – 104. Lpp.
  • Pavelka, J., 1979. gads, “Par izplūdušo loģiku I, II un III”, Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 25: 45–52, 119. – 134. Un 447. – 464.
  • Ragazs, Matiass Emils, 1981. gads, Arithmetische Klassifikation von Formelmengen der unendlichwertigen Logik (doktora disertācija). Šveices Federālais tehnoloģiju institūts, Cīrihe. doi: 10.3929 / ethz-a-000226207
  • Ross, Timothy J., 2016, Izplūdušā loģika ar inženierzinātņu lietojumprogrammām (ceturtais izdevums), Hoboken, NJ: Wiley.
  • Ruspini, Enrique H., 1991, “Par izplūdušās loģikas semantiku”, Starptautiskais žurnāls par aptuveno spriešanu, 5 (1): 45–88. doi: 10.1016 / 0888-613X (91) 90006-8
  • Skarpellīni, Bruno, 1962. gads, “Die Nichtaxiomatisierbarkeit des unendlichwertigen Prädikatenkalküls von Łukasiewicz”, Symbolic Logic Journal, 27 (2): 159–170. doi: 10.2307 / 2964111
  • Smits, Nikolass JJ, 2005. gads, “Neskaidrs kā tuvums”, Austrālijas Filozofijas žurnāls, 83 (2): 157–183. doi: 10.1080 / 00048400500110826
  • –––, 2008, neskaidrība un patiesības pakāpes, Oksforda: Oxford University Press.
  • –––, 2015, “Izplūdušā loģika neskaidrības teorijās”, Cintula, Petr, Christian Fermüller un Carles Noguera (red.), Mathematical Fuzzy Logic rokasgrāmata, 3. sējums (Matemātiskā loģika un pamati, 58. sējums), Londona: Koledžas publikācijas, 1237. – 1281. Lpp.
  • Straccia, U., 1998, “A Fuzzy Description Logic”, Mostow, J., and Rich, C., (redaktori), 15. Nacionālās mākslīgā intelekta konferences (AAAI 1998) materiāli, Menlo parks: AAAI Press, 594. – 599. lpp.
  • Takeuti, G., un Titani, S., 1984, “Intuitionistic fuzzy logic and intuitionistic fuzzy set theory”, Journal of Symbolic Logic, 49 (3): 851–866.
  • Takeuti, G. un Titani, S., 1992, “Izplūdušās loģikas un izplūdušās kopas teorija”, arhīvs matemātiskajai loģikai, 32 (1): 1–32.
  • Vetterlein, T., 2015, “Algebriskā semantika: atlikto ķēžu struktūra”, P. Cintula, CG Fermüller un C. Noguera, (redaktori), Matemātiskās izplūdušās loģikas rokasgrāmata, 3. sējums (Matemātiskā loģika un pamati, 58. sējums), Londona: Koledžas publikācijas, 929. – 1967. Lpp.
  • Zadeh, Lotfi A., 1965, “Izplūdušie komplekti”, informācija un vadība, 8. (3): 338–353. doi: 10.1016 / S0019-9958 (65) 90241-X

Akadēmiskie rīki

sep cilvēks ikona
sep cilvēks ikona
Kā citēt šo ierakstu.
sep cilvēks ikona
sep cilvēks ikona
Priekšskatiet šī ieraksta PDF versiju vietnē SEP Friends.
inpho ikona
inpho ikona
Uzmeklējiet šo ierakstu tēmu interneta filozofijas ontoloģijas projektā (InPhO).
phil papīru ikona
phil papīru ikona
Uzlabota šī ieraksta bibliogrāfija vietnē PhilPapers ar saitēm uz tā datu bāzi.

Citi interneta resursi

Ieteicams: