Intuīcionisms Matemātikas Filozofijā

Satura rādītājs:

Intuīcionisms Matemātikas Filozofijā
Intuīcionisms Matemātikas Filozofijā
Anonim

Ieejas navigācija

  • Iestāšanās saturs
  • Bibliogrāfija
  • Akadēmiskie rīki
  • Draugu PDF priekšskatījums
  • Informācija par autoru un atsauce
  • Atpakaļ uz augšu

Intuīcionisms matemātikas filozofijā

Pirmoreiz publicēts ceturtdien, 2008. gada 4. septembrī; būtiska pārskatīšana otrdien, 2019. gada 11. jūnijā

Intuitīcionisms ir matemātikas filozofija, kuru ieviesa holandiešu matemātiķis LEJ Brouwer (1881–1966). Intuicionisms ir balstīts uz ideju, ka matemātika ir prāta radīšana. Matemātiskā apgalvojuma patiesumu var uztvert tikai ar garīgas konstrukcijas palīdzību, kas pierāda, ka tā ir patiesa, un matemātiķu saziņa kalpo tikai kā līdzeklis viena un tā paša garīgā procesa izveidošanai dažādos prātos.

Šim viedoklim par matemātiku ir tālejoša ietekme uz matemātikas ikdienas praksi, un viena no sekām ir tāda, ka izslēgtā vidusdaļa ((A / vee / neg A)) vairs nav spēkā. Patiešām, pastāv tādi apgalvojumi kā Riemann hipotēze, par kuriem šobrīd nav ne paziņojuma, ne tā nolieguma pierādījumu. Tā kā zināšana par apgalvojuma noliegumu intuīcijā nozīmē, ka var pierādīt, ka apgalvojums nav patiess, tas nozīmē, ka gan (A), gan (neg A) netur intuitīvi, vismaz šobrīd. Intuitīvisma atkarība no laika ir būtiska: paziņojumi laika gaitā var kļūt pierādāmi, un tāpēc tie varētu kļūt intuitīvi derīgi, ja agrāk tas nebija noticis.

Bez izslēgtā vidus principa noraidīšanas intuitīvisms kontinuācijas koncepcijā stipri novirzās no klasiskās matemātikas, kurai bijušajā vidē ir īpašība, ka visas kopējās funkcijas uz to ir nepārtrauktas. Tādējādi atšķirībā no vairākām citām konstruktīvās matemātikas teorijām intuitīvisms nav klasiskās spriešanas ierobežojums; tas principiāli ir pretrunā ar klasisko matemātiku.

Brūvers lielu daļu savas dzīves veltīja matemātikas attīstībai uz šī jaunā pamata. Lai arī intuitīvisms nekad nav aizstājis klasisko matemātiku kā standarta skatu uz matemātiku, tas vienmēr ir piesaistījis lielu uzmanību un mūsdienās joprojām tiek plaši pētīts.

Šajā ierakstā mēs koncentrējamies uz intuitīvisma aspektiem, kas to atšķir no citām konstruktīvās matemātikas nozarēm, un tikai īsi tiek apskatīta daļa, kas tai ir kopīga ar citiem konstruktīvisma veidiem, piemēram, pamat teorijām un modeļiem.

  • 1. Brūveris
  • 2. Intuīcionisms

    • 2.1. Abi intuīcijas principi
    • 2.2. Radošais priekšmets
  • 3. Matemātika

    • 3.1. BHK interpretācija
    • 3.2 Intuitionistic loģika
    • 3.3 Naturālie skaitļi
    • 3.4. Nepārtrauktība
    • 3.5 Nepārtrauktības aksiomas
    • 3.6 Svītru teorēma
    • 3.7 Izvēles aksiomas
    • 3.8. Aprakstošās kopas teorija, topoloģija un topos teorija
  • 4. Konstruktīvisms
  • 5. Metamātika

    • 5.1 Aritmētika
    • 5.2. Analīze
    • 5.3 Bez likuma secības
    • 5.4 Radošā priekšmeta formalizēšana
    • 5.5 Pamati un modeļi
    • 5.6. Apgrieztā matemātika
  • 6. Filozofija

    • 6.1 Fenomenoloģija
    • 6.2 Vitgenšteins
    • 6.3 Dummett
    • 6.4 Finitisms
  • Bibliogrāfija
  • Akadēmiskie rīki
  • Citi interneta resursi
  • Saistītie ieraksti

1. Brūveris

Luitzen Egbertus Jan Brouwer dzimis Overshjū, Nīderlandē. Viņš studēja matemātiku un fiziku Amsterdamas Universitātē, kur 1907. gadā ieguva doktora grādu. 1909. gadā viņš kļuva par pasniedzēju tajā pašā universitātē, kur 1912. gadā viņu iecēla par pilnu profesoru - amatu, ko viņš ieņēma līdz pensijai 1951. gadā. Brouwer bija izcils matemātiķis, kurš veica revolucionāro darbu topoloģijā un kļuva slavens jau jaunībā. Visu mūžu viņš bija neatkarīgs prāts, kurš ar dedzīgu sparu īstenoja lietas, kurām ticēja, kas viņu konfliktēja ar daudziem kolēģiem, īpaši ar Deividu Hilbertu. Viņam bija arī cienītāji, un savā mājā “būdā” Blaricumā viņš uzņēma daudzus pazīstamus sava laika matemātiķus. Līdz mūža beigām viņš kļuva izolētāks, bet viņa ticība savas filozofijas patiesībai nekad nemitējās. Viņš gāja bojā autoavārijā 85 gadu vecumā Blaricumā septiņus gadus pēc sievas Līzes Brūveres nāves.

Brūvers 24 gadu vecumā uzrakstīja grāmatu Life, Art and Mysticism (Brouwer 1905), kuras solipsistiskais saturs paredzēja viņa matemātikas filozofiju. Viņa disertācijā intuitīvisma pamati tiek formulēti pirmo reizi, lai gan vēl nav nosaukti ar šo vārdu un nav to galīgajā formā. Pirmajos gados pēc viņa disertācijas lielākā daļa Brouwer zinātniskās dzīves tika veltīta topoloģijai - jomai, kurā viņš joprojām ir pazīstams ar savu dimensiju teoriju un fiksētā punkta teorēmu. Šis darbs ir daļa no klasiskās matemātikas; pēc Brouvera vēlākā viedokļa, viņa fiksētā punkta teorēma nav spēkā, lai gan var pierādīt, ka analoģija, kas tiek parādīta tuvinājumu ziņā, darbojas saskaņā ar viņa principiem.

Kopš 1913. gada Brūvers arvien vairāk veltīja disertācijā formulēto ideju pilnīgai matemātikas filozofijai. Viņš ne tikai pilnveidoja intuitīvisma filozofiju, bet arī mainīja matemātiku, it īpaši kontinuitātes teoriju un kopu teoriju, atbilstoši šiem principiem. Līdz tam Brūvers bija slavens matemātiķis, kurš lasīja ietekmīgas lekcijas par intuitīvismu tā laika zinātniskajās mecās, Kembridžā, Vīnē un Getingenā. Daudzi viņa filozofiju uzskatīja par neveiklu, taču daži no slavenākajiem sava laika matemātiķiem to uzskatīja par nopietnu alternatīvu klasiskajai spriešanai, pat ja viņiem šajā jautājumā bija atšķirīgs viedoklis. Kurts Gēdels, kurš visu mūžu bija platonists, bija viens no viņiem. Hermans Veils vienā brīdī rakstīja: “Tātad, gebe ich arī jetzt meinen eigenen Versuch Preis und schließe mich Brouwer an” (Veils 1921, 56). Un, kaut arī vēlāk dzīvē viņš praktizēja intuitīvo matemātiku, Weyl nekad nepārstāja apbrīnot Brouwer un viņa intuitionistic matemātikas filozofiju.

Brūveres dzīve bija piekrauta ar konfliktiem, no kurām slavenākais bija konflikts ar Deividu Hilbertu, kas galu galā noveda pie Brouvera izraidīšanas no Mathematische Annalen valdes. Šis konflikts bija daļa no Grundlagenstreit, kas satricināja matemātisko sabiedrību 20. gadsimta sākumā un parādījās paradoksu un ļoti nekonstruktīvu pierādījumu parādīšanās rezultātā matemātikā. Filozofi un matemātiķi bija spiesti atzīt matemātikas epistemoloģiskā un ontoloģiskā pamata trūkumu. Brūvera intuitīvisms ir matemātikas filozofija, kuras mērķis ir sniegt šādu pamatu.

2. Intuīcionisms

2.1. Abi intuīcijas principi

Pēc Brouvera teiktā, matemātika ir bez valodas prāta radīšana. Laiks ir vienīgais a priori jēdziens Kantian izpratnē. Brūvers izšķir divus intuitīvisma aktus:

Pirmais intuitīvisma akts ir:

Pilnībā atdalot matemātiku no matemātiskās valodas un līdz ar to arī no teorētiskās loģikas aprakstītajām valodas parādībām, atzīstot, ka intuitionistiskā matemātika ir būtībā prāta bez valodas darbība, kuras izcelsme ir laika kustības uztverē. Šo laika kustības uztveri var raksturot kā dzīves mirkļa sadalīšanos divās atšķirīgās lietās, no kurām viena dod ceļu otrai, bet to saglabā atmiņa. Ja šādi dzimušajai divdabībai tiek atmesta visa kvalitāte, tā nonāk visu divu kopību kopējā substrāta tukšajā formā. Un tieši šis parastais substrāts, šī tukšā forma ir matemātikas pamata intuīcija. (Brouwer 1981, 4–5)

Kā tiks apskatīts matemātikas sadaļā, pirmais intuitīvisma akts rada dabiskos skaitļus, bet tas nozīmē nopietnu pieļaujamo spriešanas principu ierobežošanu, it īpaši izslēgtā vidus principa noraidīšanu. Sakarā ar šī principa noraidīšanu un kontinuuma loģiskā pamata izzušanu, pēc Brouwer vārdiem, varētu būt “bailes, ka intuitīvisma matemātikai obligāti jābūt sliktai un anēmiskai, un jo īpaši tai nebūtu vietas analīzei” (Brouvers 1952, 142). Tomēr otrais akts nosaka kontinuuma esamību - kontinuumu, kam ir īpašības, kas nav kopīgas tā klasiskajam līdziniekam. Nepārtrauktības atgūšana balstās uz otrajā aktā noteikto izvēles sekvences jēdzienu, ti, uz brīvas izvēles radītu bezgalīgu secību esamību,kas tāpēc nav iepriekš noteikti.

Otrais intuitīvisma akts ir:

Divu jaunu matemātisko entītiju veidošanas paņēmienu pieņemšana: pirmkārt, vairāk vai mazāk brīvi darbojošos matemātisko entītiju bezgalīgo secību veidā, kas iepriekš iegūtas…; otrkārt, matemātisko sugu formā, tas ir, īpašībām, kas ir pieņemamas iepriekš iegūtajām matemātiskajām vienībām, kas atbilst nosacījumam, ka, ja tās pieder kādai noteiktai matemātiskai vienībai, tās attiecas arī uz visām matemātiskajām entītijām, kuras definētas kā “vienādas” ar to. (Brouwer 1981, 8)

Abi intuitīvisma akti veido Brouvera filozofijas pamatu; tikai no šiem diviem darbiem Brūvers rada intuitīvās matemātikas valstību, kā tiks paskaidrots turpmāk. Jau no šiem pamatprincipiem var secināt, ka intuitīvisms atšķiras no platonisma un formālisma, jo tas arī neuzņemas matemātisku realitāti ārpus mums, kā arī neuzskata, ka matemātika ir spēle ar simboliem saskaņā ar noteiktiem fiksētiem noteikumiem. Pēc Brūvera domām, valoda tiek izmantota matemātisko ideju apmaiņai, bet pēdējās esamība nav atkarīga no pirmās. Atšķirība starp intuīciju un citiem konstruktīviem matemātikas uzskatiem, saskaņā ar kuriem matemātiskajiem objektiem un argumentiem jābūt aprēķināmiem, slēpjas brīvībā, ko otrais akts pieļauj bezgalīgu secību konstruēšanā. Patiešām,kā tiks paskaidrots turpmāk, intuitīvisma otrā akta matemātiskās sekas ir pretrunā ar klasisko matemātiku, un tāpēc tās nav viskonstruktīvākajās teorijās, jo tās parasti ir klasiskās matemātikas daļa.

Tādējādi Brūvera intuitīvisms atdalās no citām matemātikas filozofijām; tās pamatā ir laika apziņa un pārliecība, ka matemātika ir brīva prāta radīšana, un tāpēc tā nav ne platonisms, ne formālisms. Tas ir konstruktīvisma veids, bet tikai tā plašākā nozīmē, jo daudzi konstruktivisti nepieņem visus principus, kuri Brūvere uzskatīja par patiesiem.

2.2. Radošais priekšmets

Abi intuitīvisma akti paši par sevi neizslēdz matemātikas psiholoģisko interpretāciju. Lai arī Brūvers tikai reizēm pievērsās šim jautājumam, no viņa rakstiem ir skaidrs, ka viņš intuīciju uzskatīja par neatkarīgu no psiholoģijas. Brūvera ieviestais jaunrades priekšmets (Brouwer 1948) kā idealizēts prāts, kurā notiek matemātika, jau abstrahējas no tādiem cilvēka spriešanas nebūtiskiem aspektiem kā telpas un laika ierobežojumi un kļūdainu argumentu iespējamība. Tādējādi intersubjektivitātes problēma, kas prasa izskaidrot faktu, ka cilvēki spēj sazināties, vairs nepastāv, jo pastāv tikai viens Radošais subjekts. Literatūrā subjekta izveidošanai tiek izmantots arī nosaukums Radošais subjekts, taču šeit tiek izmantota Brouvera terminoloģija. In (Niekus 2010),tiek apgalvots, ka Brūveres Radošajā priekšmetā nav iesaistīts idealizēts matemātiķis. Radošā subjekta kā transcendentāla subjekta fenomenoloģisko analīzi Huserla izpratnē skat. (Van Atten 2007).

Brūvers izmantoja argumentus, kas saistīti ar Radošo subjektu, lai konstruētu pretparaugus dažiem intuitionāli nepieņemamiem apgalvojumiem. Turpmāk aplūkotie vājie pretparaugi parāda tikai to, ka dažus apgalvojumus šobrīd nevar pieņemt intuitīvi, ideāls par ideālu liecina, ka daži klasiskie principi ir nepatiesi. Piemērs ir dots 5.4. Sadaļā par Radošā subjekta jēdziena formalizēšanu. Tur arī tiek paskaidrots, ka attiecībā uz Radošo priekšmetu var apgalvot šādu principu, kas pazīstams kā Kripkes shēma:

(tag {({ bf KS})} pastāv / alpha (A / leftrightarrow / pastāv n \, / alpha (n) = 1).)

In KS, (A) svārstās virs formulām un (alpha) svārstās virs izvēles secību, kas ir sekvences dabisko numuriem, ko ražo izveide Temats, kas izvēlas to elementi viens pa vienam. Izvēles secība un Kripkes shēma sīkāk apskatīta 3.4. Sadaļā.

Lielākajā daļā matemātikas filozofiju, piemēram, platonismā, matemātiskie apgalvojumi ir bezjēdzīgi. Intuitīvismā patiesībai un nepatiesībai ir laika aspekts; konstatēts fakts paliks tāds, bet paziņojumam, kas kļūst pierādīts noteiktā brīdī, pirms šī brīža trūkst patiesības vērtības. Minētajā subjekta radīšanas jēdziena formalizācijā, kuru neformulēja Brūvers, bet tikai vēlāk citi, intuitīvisma laika aspekts ir uzskatāmi redzams.

Svarīgi, jo argumenti, kas izmanto priekšmetu izveides jēdzienu, varētu būt intuitīvisma kā matemātikas filozofijas turpmākai izpratnei, tā loma lauka attīstībā ir bijusi mazāk ietekmīga nekā divi intuitīvisma akti, kas tieši noved pie matemātiskās patiesības Brūvers un tie, kas nāk pēc viņa, bija gatavi pieņemt.

3. Matemātika

Lai arī Brūvera intuīcijas attīstībā 20. gadsimta sākumā bija liela nozīme matemātiķu pamatdiskusijās, viņa filozofijas tālejošās sekas matemātikā parādījās tikai pēc daudzu gadu pētījumu. Divas raksturīgākās intuitīvisma īpašības ir loģiski spriešanas principi, kurus tas pieļauj pierādījumos, un pilnīga intuīcionistiskā nepārtrauktības koncepcija. Tikai attiecībā uz pēdējo intuitīvisms kļūst nesalīdzināms ar klasisko matemātiku. Šajā ierakstā uzmanība tiek pievērsta tiem intuīcijas principiem, kas to atšķir no citām matemātikas disciplīnām, un tāpēc citi tā konstruktīvie aspekti tiks apskatīti mazāk detalizēti.

3.1. BHK interpretācija

Intuitīvismā zināt, ka apgalvojums A ir patiess, nozīmē to pierādīt. 1934. gadā Arends Heitings, kurš bija Brouwer students, iepazīstināja ar formu, kas vēlāk kļuva pazīstama kā Brouwer-Heyting-Kolmogorov interpretācija, kas atspoguļo loģisko simbolu nozīmi intuīcijā un arī konstruktīvismā kopumā. Tas neoficiāli definē, no kā jāsastāv intuitīvam pierādījumam, norādot, kā interpretējami savienojumi un skaitliskie rādītāji.

  • (bot) nav pierādāms.
  • (A / ķīļa B) pierādījums sastāv no (A) un (B) pierādījumiem.
  • (A / vee B) apliecinājums sastāv no (A) vai (B) pierādījuma.
  • (A / labās puses B) pierādījums ir konstrukcija, kas pārveido jebkuru (A) pierādījumu par (B) pierādījumu.
  • (Eksistē x A (x)) pierādījums tiek sniegts, uzrādot domēna elementu (d) un (A (d)) pierādījumu.
  • (Forall x A (x)) pierādījums ir konstrukcija, kas katru pierādījumu tam, ka (d) pieder domēnam, pārvērš (A (d)) pierādījumā.

Formulas ((A)) noliegums (neg A) tiek pierādīts, ja ir pierādīts, ka nevar būt pierādījums par ((A)), kas nozīmē konstrukcijas nodrošināšanu, kas maldina no iespējamiem pierādījumiem par (A). Tādējādi (neg A) ir līdzvērtīgs (A / labo pusi / bot). BHK interpretācija nav formāla definīcija, jo jēdziens būvniecība nav definēts, un tāpēc to var dažādi interpretēt. Neskatoties uz to, jau šajā neformālajā līmenī cilvēks ir spiests noraidīt vienu no klasiskajā loģikā pastāvošajiem loģiskajiem principiem: izslēgtā vidus principu ((A / vee / neg A)). Saskaņā ar BHK interpretāciju šis apgalvojums intuitīvi pastāv, ja Radošais subjekts zina pierādījumu par ((A)) vai pierādījumu, ka “(A”) nevar pierādīt. Gadījumā, ja nav zināms nedz par (A), nedz tā noliegums,paziņojums ((A / vee / neg A)) nav spēkā. Šo faktu ilustrē atklātu problēmu esamība, piemēram, Goldbaha minējumi vai Riemana hipotēze. Pēc tam, kad ir atrasts (A) vai tās nolieguma pierādījums, situācija mainās, un attiecībā uz šo konkrēto (A) princips ((A / vee / neg A)) ir taisnība, ka brīdis.

3.2 Intuitionistic loģika

Brūvers noraidīja izslēgtā vidus principu, balstoties uz viņa filozofiju, bet Arends Heitings bija pirmais, kurš formulēja visaptverošu principu loģiku, kas bija pieņemami no intuitīvisma viedokļa. Intuitionistiskā loģika, kas ir arī daudzu citu konstruktīvisma formu loģika, bieži tiek saukta par “klasisko loģiku bez izslēgtā vidus principa”. To apzīmē IQC, kas apzīmē intuitīvo Quantifier Logic, bet arī citi nosaukumi sastopami literatūrā. Iespējamā aksiomatizācija Hilberta stilā sastāv no principiem

(A / ķīlis B / labo pusi A) (A ķīlis B / labā puse B) (Labais bultiņš A / vee B) (B / labā puse A / vee B)
(A labās puses bultiņa (B / rightarrow A)) (forall x A (x) rightarrow A (t)) (A (t) labā puse / eksistē x A (x)) (bot / labo pusi A)
((A / taisnvirziena (B / labo pusi C)) labo pusi ((A / labo pusi B) labo pusi (A / labo pusi C))
(A taisnais bults (B / taisnvirziena A / ķīlis B))
((A / labo pusi C) labo pusi ((B / labo pusi C) labo pusi (A / vee B / labo pusi C)))
(forall x (B / rightarrow A (x)) rightarrow (B / rightarrow / forall x A (x))) (forall x (A (x) rightarrow B) rightarrow (eksistē x A (x) rightarrow B))

ar parastajiem sānu apstākļiem pēdējās divās aksiomās un ar likumu Modus Ponens,

(teksts {no (A) un ((A / labo pusi B)) secināt (B)},)

kā vienīgais secinājumu noteikums. Intuitionistic loģika ir bijis izpētes objekts kopš Heitings to formulēja. Jau piedāvājuma līmenī tam ir daudz īpašību, kas to atšķir no klasiskās loģikas, piemēram, disjunkcijas īpašība:

(tag {({ bf DP})} { bf IQC} vdash A / vee B / text {nozīmē} { bf IQC} vdash A / text {vai} { bf IQC} vdash B.)

Šis princips klasiskajā loģikā ir skaidri pārkāpts, jo klasiskā loģika pierāda, ka ((A / vee / neg A)) arī formulām, kas ir neatkarīgas no loģikas, ti, kurām gan (A), gan (neg A) nav tautoloģija. Ex Falso Sequitur Quodlibet, ((bot / rightarrow A)) principa iekļaušana intuitīvisma loģikā ir diskusijas punkts tiem, kas pēta Brouvera piezīmes par šo tēmu; van Atten 2008, tiek apgalvots, ka princips nav derīgs intuīcijā un ka loģiskie principi, kas ir spēkā saskaņā ar Brouwer uzskatiem, ir tie, kuriem ir būtiska loģika. Skatiet van Dalen 2004, lai uzzinātu vairāk par Brouwer un Ex Falso Sequitur Quodlibet.

Lai gan līdz šim visa loģika, kas izmantota intuitīvā spriešanā, ir ietverta IQC, principā ir iedomājams, ka kādā brīdī tiks atrasts princips, kas pieņemams no intuitīvisma viedokļa un uz kuru šī loģika neattiecas. Lielākajai daļai konstruktīvisma formu ir plaši pieņemts uzskats, ka tas tā nekad nebūs un tāpēc IQC tiek uzskatīta par konstruktīvisma loģiku. Intuitīvismam situācija nav tik skaidra, jo nevar izslēgt iespēju, ka kādā brīdī mūsu intuitīvisma izpratne varētu mūs novest pie jauniem loģiskiem principiem, kurus mēs iepriekš neesam aptvēruši.

Viens no intuitīvās loģikas plašās izmantošanas iemesliem ir tas, ka tā izturās labi gan no korektorētiskās teorijas, gan no modeļa teorētiskā viedokļa. Tam ir ļoti daudz pierādījumu sistēmu, piemēram, Gentzen kalkuli un dabisko dedukciju sistēmas, kā arī dažādas semantikas formas, piemēram, Kripke modeļi, Beth modeļi, Heyting algebras, topoloģiskā semantika un kategoriskie modeļi. Vairākas no šīm semantikām tomēr ir tikai klasiski līdzekļi intuitīvās loģikas izpētei, jo var parādīt, ka attiecībā uz tām nevar pastāvēt intuitīvisma pilnīguma pierādījums (Kreisel 1962). Tomēr ir pierādīts, ka pastāv alternatīvi, bet nedaudz mazāk dabiski modeļi, attiecībā uz kuriem konstruktīvi pastāv pilnīgums (Veldman 1976). Intuitīvisma loģikas konstruktīvais raksturs īpaši skaidri parādās Karija-Hovarda izomorfismā, kas nosaka atbilstību loģikas atvasinājumiem un terminiem vienkārši drukātā (lambda) - kalkulā, tas ir, starp pierādījumiem un aprēķiniem. Sarakste saglabā struktūru, jo terminu samazinājums atbilst pierādījumu normalizēšanai.

3.3 Naturālie skaitļi

Dabisko skaitļu esamību piešķir pirmais intuīcijas akts, tas ir, laika uztveres uztvere un dzīves mirkļa sadalīšanās divās atšķirīgās lietās: kas bija, 1 un kas ir kopā ar to, kas bija, 2 un no turienes līdz 3, 4,… Pretstatā klasiskajai matemātikai intuitīvismā visa bezgalība tiek uzskatīta par potenciālo bezgalību. Īpaši tas attiecas uz dabisko skaitļu bezgalību. Tāpēc paziņojumi, kas skaitliski izsaka šo kopumu, jāizturas piesardzīgi. No otras puses, indukcijas princips ir pilnībā pieņemams no intuitīvisma viedokļa.

Dabiskā skaitļa finestiskuma dēļ pretstatā, piemēram, reālajam skaitlim, daudzi ierobežota rakstura aritmētiski apgalvojumi, kas ir patiesi klasiskajā matemātikā, ir arī intuitīvismā. Piemēram, intuitīvismā katram naturālajam skaitlim ir galvenā faktorizācija; pastāv aprēķināmi uzskaitāmas kopas, kuras nav aprēķināmas; ((A / vee / neg A)) attiecas uz visiem paziņojumiem, kas izteikti bez skaitļiem - (A). Sarežģītākiem apgalvojumiem, piemēram, van der Verdenda teorēmai vai Kruskal teorēmai, intuitīvisma pamatotība nav tik vienkārša. Faktiski abu apgalvojumu intuitīvie pierādījumi ir sarežģīti un atšķiras no klasiskajiem pierādījumiem (Coquand 1995, Veldman 2004).

Tādējādi dabisko skaitļu kontekstā intuitīvismam un klasiskajai matemātikai ir daudz kopīga. Tikai tad, ja tiek uzskatīts, ka citas bezgalīgas kopas, piemēram, reālie skaitļi, intuitīvisms sāk krasi atšķirties no klasiskās matemātikas un arī no vairuma citu konstruktīvisma formu.

3.4. Nepārtrauktība

Intuitīvismā kontinuums ir gan tā klasiskā līdzinieka paplašinājums, gan ierobežojums. Pilnā formā abi priekšstati nav salīdzināmi, jo intuitīvajiem reālajiem skaitļiem piemīt īpašības, kas klasiskajiem reālajiem skaitļiem nav. Slavens piemērs, kas tiks apspriests zemāk, ir teorēma, ka intuīcionismā visas nepārtrauktības funkcijas ir nepārtrauktas. To, ka intuitīvais kontinuums neatbilst noteiktām klasiskajām īpašībām, var viegli redzēt, izmantojot vājus pretparaugus. Tas, ka tajā ir arī īpašības, kuras nav klasiskajiem reāliem, izriet no izvēles secību esamības intuīcijā.

Vāji paraugi

Vājie pretparaugi, kurus Brouers ieviesa 1908. gadā, ir pirmie piemēri, kurus Brūvers izmantoja, lai parādītu, ka pāreja no klasiskās uz intuitīvo matemātikas koncepciju nerada sekas matemātiskajām patiesībām, kuras var noteikt saskaņā ar šīm filozofijām. Viņi parāda, ka daži klasiski apgalvojumi šobrīd ir nepieņemami no intuitīvisma viedokļa. Piemēram, apsveriet reālo skaitļu secību, kas sniegta ar šādu definīciju:

[r_n = / sākt {gadījumi} 2 ^ {- n} teksts {ja} vēlreiz m / leq n A (m) / 2 ^ {- m} teksts {ja} neg A (m) ķīlis m / leq n / ķīlis / forall k / lt m A (k). / beigas {lietas})

Šeit (A (n)) ir nolemjams īpašums, par kuru (forall n A (n)) nav taisnība vai nepatiesība. Pieņemamība nozīmē, ka pašlaik jebkuram dotajam ((n)) ir (var būt izveidots) pierādījums par (A (n)) vai (neg A (n)). Rakstīšanas laikā, piemēram, mēs varētu ļaut (A (n)) izteikt, ka (n), ja tas ir lielāks par 2, ir trīs PRIMES summa; (forall n A (n)) pēc tam izsaka (oriģinālo) Goldbaha minējumu, ka katrs skaitlis, kas lielāks par 2, ir trīs PRIMES summa. Secība (langle r_n / rangle) definē reālo skaitli (r), par kuru paziņojums (r = 0) ir līdzvērtīgs paziņojumam (forall n A (n)). No tā izriet, ka apgalvojums ((r = 0 / vee r / neq 0)) nav spēkā, un tāpēc trichotomijas likumam (forall x (x / lt y / vee x = y / vee x) gt y)) nav taisnība intuitīvā kontinuumā.

Ņemiet vērā, ka smalkā atšķirība starp “(A) nav intuitīvi patiesa” un “(A) ir intuitionāli atspēkojama”: pirmajā gadījumā mēs zinām, ka (A) nevar būt intuitīvisms pierādījums, otrajā paziņojumā izteikts ka mums ir ¬A pierādījums, ti, konstrukcija, kas maldina no iespējamiem (A) pierādījumiem. Trichotomijas likumam mēs tikko parādījām, ka tas nav intuitīvi patiess. Zemāk tiks parādīts, ka pat otra spēcīgākā forma, sakot, ka likums ir atspēkojams, notiek intuitīvi. Tas tomēr neattiecas uz visiem apgalvojumiem, kuriem ir vāji pretparaugi. Piemēram, Goldbaha minējums ir vājš paraugs izslēgtā vidus principam, jo (forall n A (n)), kā minēts iepriekš, pašlaik nav zināms, vai tā būtu patiesa vai nepatiesa,un tāpēc mēs nevaram intuitīvi apgalvot, ka (forall n A (n) vee / neg / forall n A (n)), vismaz šobrīd. Bet šī apgalvojuma, kas atspēkots: (neg (forall n A (n) vee / neg / forall n A (n))), patiesība intuīcijā nav patiesa, jo var pierādīt, ka jebkuram apgalvojumam (B) pretrunu var secināt no pieņēmuma, ka (neg B) un (neg / neg B) tur (un līdz ar to arī no (B) un (neg B)). Citiem vārdiem sakot, (neg / neg (B / vee / neg B)) ir intuitīvi patiesa, un, kaut arī pastāv vāji izslēgti vidus principa paraugi, tā noliegums ir nepatiess intuitīvismā, tas ir, tas ir intuitīvi atspēkojams.kā var parādīt, ka jebkuram paziņojumam (B) pretrunu var secināt, pieņemot, ka (neg B) un (neg / neg B) tur (un līdz ar to arī no (B)) un (neg B)). Citiem vārdiem sakot, (neg / neg (B / vee / neg B)) ir intuitīvi patiesa, un, kaut arī pastāv vāji izslēgti vidus principa paraugi, tā noliegums ir nepatiess intuitīvismā, tas ir, tas ir intuitīvi atspēkojams.kā var parādīt, ka jebkuram paziņojumam (B) pretrunu var secināt, pieņemot, ka (neg B) un (neg / neg B) tur (un līdz ar to arī no (B)) un (neg B)). Citiem vārdiem sakot, (neg / neg (B / vee / neg B)) ir intuitīvi patiesa, un, kaut arī pastāv vāji izslēgti vidus principa paraugi, tā noliegums ir nepatiess intuitīvismā, tas ir, tas ir intuitīvi atspēkojams.

Reālo skaitļu (r) esamība, par kuru intuitīvists nevar izlemt, vai tie ir pozitīvi vai nē, liecina, ka dažas klasiski kopējās funkcijas vairs nav tādas intuitīvismā, piemēram, pa daļai konstanta funkcija

[f (r) = / sākt {lietas} 0 / teksts {ja} r / geq 0 \\ 1 / teksts {ja} r / lt 0. / beigas {lietas})

Daudziem klasiski derīgiem apgalvojumiem ir vāji pretparaugi. Šo vājo salīdzinošo paraugu uzbūve bieži notiek pēc tā paša modeļa, kā parādīts iepriekš. Piemēram, arguments, kas parāda, ka starpposma vērtības teorēma nav intuitīvi pamatota, darbojas šādi. Ļaujiet (r) būt reālam skaitlim, kas izteikts [−1,1], par kuru ((r / leq 0 / vee 0 / lt r)) nav izlemts, kā parādīts iepriekšējā piemērā. Vienmērīgi nepārtrauktu funkciju (f) uz ([0,3]) definējiet ar

[f (x) = / teksts {min} (x-1,0) + / teksts {max} (0, x-2) + r.)

Skaidrs, ka (f (0) = -1 + r) un (f (3) = 1 + r), no kurienes (f) kādā brīdī iegūst vērtību 0 (x), izmantojot [0, 3]. Ja šādu (x) varētu noteikt, vai nu (1 / leq x), vai (x / leq 2). Tā kā (f) ir vienāds ar (r) uz ([1,2]), pirmajā gadījumā (r / leq 0) un otrajā gadījumā (0 / leq r), kas ir pretrunā apgalvojuma neizlemjamība ((r / leq 0 / vee 0 / leq r)).

Šie piemēri, šķiet, norāda, ka, pārejot no klasiskās uz intuitionistisko matemātiku, tiek zaudētas vairākas fundamentālas analīzes teorēmas. Tomēr tas tā nav, jo daudzos gadījumos intuitīvisms atgūst šādas teorijas analoga veidā, kurā eksistenciālus apgalvojumus aizstāj ar apgalvojumiem par tuvinājumu esamību patvaļīgas precizitātes apstākļos, kā šajā starpposma vērtības teorēmas klasiski līdzvērtīgajā formā, kas ir konstruktīvi derīgs:

Teorēma. Par katru nepārtrauktu reāli vērtētu funkciju (f) ar intervālu ([a, b]) ar (a / lt b), par katru (c) starp (f (a)) un (f (b)), ir spēkā šāds nosacījums:

(forall n / eksistē x / in [a, b], | f (x) -c | / lt 2 ^ {- n}.)

Vāji pretparaugi ir līdzeklis, lai parādītu, ka daži matemātiski apgalvojumi intuitīvi netur, bet tie vēl neatklāj intuitionistic nepārtrauktības bagātību. Tikai pēc tam, kad Brūvers ieviesa izvēles secības, intuitīvisms ieguva īpašu garšu un kļuva nesalīdzināms ar klasisko matemātiku.

Izvēles secība

Brūvers ieviesa izvēles secības, lai iemūžinātu nepārtrauktības intuīciju. Tā kā intuitīvistam visa bezgalība ir potenciāla, bezgalīgos objektus var satvert tikai caur procesu, kas tos ģenerē soli pa solim. Tāpēc tas, kas tiks atļauts kā likumīga konstrukcija, izlemj, kuri bezgalīgie objekti tiks pieņemti. Piemēram, lielākajā daļā citu konstruktīvisma formu ir atļauti tikai aprēķināmi noteikumi šādu objektu ģenerēšanai, savukārt platonismā bezgalības tiek uzskatītas par pabeigtām kopsummām, kuru pastāvēšana tiek akceptēta pat gadījumos, kad nav zināmi ģenerējoši noteikumi.

Brūvera otrais intuitīvisma akts rada izvēles secības, kas noteiktām bezgalīgajām kopām nodrošina īpašības, kas ir nepieņemamas no klasiskā viedokļa. Izvēles secība ir bezgalīga skaitļu (vai ierobežotu objektu) secība, ko rada brīva griba. Secību var noteikt ar likumu vai algoritmu, piemēram, secību, kas sastāv tikai no nullēm, vai ar sākotnējiem skaitļiem pieaugošā secībā, tādā gadījumā mēs runājam par likumīgu secību vai arī uz to nevarētu attiekties neviens likums. kuru lietu tā sauc par likumu. Nelegālas kārtas var, piemēram, radīt, atkārtojot monētas metienu, vai arī lūdzot Radošajam subjektam izvēlēties secīgus kārtas numurus pa vienam, ļaujot tam izvēlēties jebkuru numuru pēc savas patikas. Tādējādi likumdošanas secība nekad nav pabeigta,un vienīgā pieejamā informācija par to jebkurā laika posmā ir līdz šim izveidotās secības sākotnējais segments. Skaidrs, ka pēc nelikumības būtības mēs nekad nevaram izlemt, vai tās vērtības sakrīt ar likumdošanas secību. Arī brīvā griba spēj radīt secības, kas sākas pēc likumiem, bet attiecībā uz kurām noteiktā brīdī likums var tikt atcelts, un brīvās izvēles process tiek pārņemts, lai ģenerētu nākamos skaitļus, vai otrādi.bet attiecībā uz kuru noteiktā brīdī likumu var atcelt, un brīvas izvēles process tiek pārņemts, lai ģenerētu nākamos skaitļus, vai otrādi.bet attiecībā uz kuru noteiktā brīdī likumu var atcelt, un brīvas izvēles process tiek pārņemts, lai ģenerētu nākamos skaitļus, vai otrādi.

Pēc Brouvera teiktā, katru reālo skaitli attēlo izvēles secība, un izvēles secības ļāva viņam uztvert intuitīvo nepārtrauktību, izmantojot pretrunīgi vērtētās nepārtrauktības aksiomas. Brouwer pirmais runāja par izvēles sekvences savā atklāšanas uzrunā (Brouwer 1912), bet tajā laikā viņš vēl neuzskatīja tos par būtisku matemātikas daļu. Pakāpeniski tie kļuva nozīmīgāki un no 1918. gada Brouwer sāka tos izmantot veidā, kas izskaidrots nākamajā sadaļā.

3.5 Nepārtrauktības aksiomas

Izvēles secības pieņemšanai ir tālejošas sekas. Intuicionistam tas pamato nepārtrauktības aksiomu izmantošanu, no kurām var iegūt klasiski nederīgus apgalvojumus. Vājākais no šīm aksiomām ir vāja nepārtrauktības aksioma:

(tag {({ bf WC / mbox {-} N})} forall / alfa / eksistē n A (alfa, n) taisnvirziena / forall / alfa / eksistē m / eksistē n / forall / beta / in / alpha (overline {m}) A (beta, n).)

Šeit (n) un (m) ir dabisko skaitļu diapazons, (alpha) un (beta) ir izvēles secībā, un (beta / in / alpha (overline {m})) nozīmē, ka (alfa) un (beta) pirmie (m) elementi ir vienādi. Lai arī līdz šim nekad pat Brouwer nav sniedzis pilnīgi apmierinošu lielāko daļu nepārtrauktības aksiomu nepārtrauktības aksiomu attaisnojumus, pat ja tas ir ierobežots ar likumīgu secību klasi, argumenti, kas atbalsta vājās nepārtrauktības aksiomas pamatotību, ir šādi. Kad intuīciju piekritējs varētu noteikt veidlapas paziņojumu (forall / alfa / eksistē n A (alfa, n))? Pēc nelikumīgas secības jēdziena būtības ir jāizvēlas skaitlis (n), kuram pieder (A (alfa, n)), tikai pēc ierobežota sākuma ((alfa) sākotnējā segmenta.) ir zināms. Tā kā mēs nezinām, kā (alpha) notiks laikā,un tāpēc (n) izvēle jāpamato ar sākotnējo (alpha) segmentu, kas ir zināms tajā brīdī, kur mēs vēlamies labot (n). Tas nozīmē, ka attiecībā uz katru likumu, kas nav likumīgs, (beta) ar tādu pašu sākotnējo segmentu kā (alpha), pieder arī A (beta, n)).

Ir pierādīts, ka vājā nepārtrauktības aksioma ir konsekventa, un to bieži izmanto attaisnojamā formā, proti, gadījumā, kad predikāts (A) attiecas tikai uz (alfa] vērtībām, un nevis uz augstākas kārtas īpašībām, kādas tam, iespējams, piemīt. Sīkāka informācija par argumentu šeit tiks izlaista, taču tajā ir tās pašas sastāvdaļas kā likuma par nepamatotu secību principa pamatojumā, un tas ir atrodams van Atten un van Dalen 2002.

Vāja nepārtrauktība neizsmeļ intuīciju piekritēju intuīciju par kontinuumu, jo, ņemot vērā vājo nepārtrauktības aksiomu, šķiet pamatoti uzskatīt, ka skaitļa (m) izvēle ir tāda, ka (forall / beta / in / alpha (pārsvītrot {m}) A (beta, n)), var padarīt skaidru. Tādējādi (forall / alfa / eksistē n A (alfa, n)) nozīmē nepārtrauktu funkcionējošu (Phi), kas katram (alfa) rada (m), kas labo (alpha) garums, pamatojoties uz kuru tiek izvēlēts (n). Formāli, pieņemsim, ka (mathcal {CF}) ir nepārtrauktu funkcionāļu klase (Phi), kas piešķir dabiskos skaitļus bezgalīgām sekvencēm, ti, kas apmierina

(forall / alpha / eksistē m / forall / beta / in / alpha (overline {m}) Phi (alpha) = / Phi (beta).)

Pēc tam pilnu nepārtrauktības aksiomu, kas ir vājās nepārtrauktības aksiomas pagarinājums, var izteikt šādi:

(tag {({ bf C / mbox {-} N})} forall / alfa / eksistē n A (alfa, n) labā puse / eksistē / Phi / in / mathcal {CF}, / forall / alfa A (alfa, / Phi (alfa)).)

Caur nepārtrauktības aksiomu daži vāji pretparaugi var tikt pārveidoti par klasiski pieņemtu principu patiesiem atspēkojumiem. Piemēram, tas nozīmē, ka izslēgtā vidus principa kvantitatīvā versija ir nepatiesa:

(neg / forall / alpha (forall n / alpha (n) = 0 / vee / neg / forall n / alpha (n) = 0).)

Šeit (alpha (n)) apzīmē (n) - elementu (alpha). Lai redzētu, ka šie noliegumi pastāv, pieņemsim, argumentējot ar pretrunām, ka (neg / forall / alpha (forall n / alpha (n) = 0 / vee / neg / forall n / alpha (n) = 0)) tur. Tas nozīmē to

(forall / alpha / eksistē k ((forall n / alpha (n) = 0 / ķīlis k = 0) vee (neg / forall n / alpha (n) = 0 / ķīlis k = 1)).)

Ar vājo nepārtrauktības aksiomu attiecībā uz (alpha), kas sastāv tikai no nullēm, pastāv skaitlis (m), kas nosaka izvēli (k), kas nozīmē, ka visiem (beta / in / alpha (pārsvītrot {m})), (k = 0). Bet to secību esamība, kuru pirmie (m) elementi ir 0 un kurās ir 1, parāda, ka tas nevar būt.

Šis piemērs rāda, ka izslēgtā vidus princips ne tikai netur, bet patiesībā ir kļūdains intuitīvismā, un tas noved pie daudzu kontinuuma pamatīpašību atspēkošanas. Apsveriet, piemēram, reālo skaitli (r_ / alpha), kas ir kārtas skaitļa, kas sastāv no skaitļiem (r_n), robeža, kā norādīts sadaļā par vājiem pretparaugiem, kur (A (m)) definīcija tiek uzskatīta par paziņojumu (alfa (m) = 0). Tad iepriekš minētā atspēkošana nozīmē, ka (neg / forall / alpha (r_ / alpha = 0 / vee r_ / alpha / neq 0)), un tādējādi tas atspēko trichotomijas likumu:

(forall x (x / lt y / vee x = y / vee y / lt x).)

Šī teorija ir vēl viens piemērs tam, kā nepārtrauktības aksioma atspēko noteiktus klasiskos principus.

Teorēma ({ bf (C / mbox {-} N)}) Katra kopējā reālā funkcija ir nepārtraukta.

Patiešām, klasisks šīs teorēmas paraugs, nekur nepārtrauktā funkcija [f (x) = / sākas {gadījumi} 0 / teksts {ja (x) ir racionāls skaitlis} / 1 / teksts {ja (x) ir neracionāls skaitlis} beigas {gadījumi}) no intuitīvisma viedokļa nav leģitīma funkcija, jo īpašība būt racionālam nav izlemjama par reālajiem skaitļiem. Iepriekš minētā teorēma nozīmē, ka kontinuums nav sadalāms, un van Dalen 1997 parādīts, ka tas attiecas pat uz iracionālu skaitļu kopu.

Divi iepriekš minētie piemēri ir raksturīgi tam, kā nepārtrauktības aksiomas tiek piemērotas intuitionistic matemātikā. Tās ir vienīgās intuitīvisma aksiomas, kas ir pretrunā ar klasisko domāšanu, un tādējādi pārstāv viskrāšņāko, kā arī pretrunīgi vērtētāko Brūvera filozofijas daļu.

Apkārtnes funkcijas

Pastāvīgs funkcionālistu ērts attēlojums ir plaši izmantots literatūrā, lai gan to nedarīja pats Brūvers. Nepārtrauktas funkcijas, kuras piešķir numurus bezgalīgām sekvencēm, var attēlot ar apkaimes funkcijām, kur apkaimes funkcija (f) ir dabisko skaitļu funkcija, kas atbilst šādām divām īpašībām ((cdot) apzīmē konkatenāciju un (f (f (alpha (overline {n}))) apzīmē (f) vērtību ierobežotās secības kodā (alpha (overline {n}))).

(alpha / eksistē nf (alpha (overline {n})) gt 0 / \ / \ / forall n / forall m (f (n) gt 0 / rightarrow f (n / cdot m) = f (n)).)

Intuitīvi, ja (f) apzīmē (Phi), tad (f (alpha (overline {n})) = 0) nozīmē, ka (alpha (overline {n})) ir nepietiekami ilgi, lai aprēķinātu (Phi (alpha)), un (f (alpha (overline {n})) = m + 1) nozīmē, ka (alpha (overline {n})) ir pietiekami ilgs, lai aprēķinātu (Phi (alpha)), un ka (Phi (alpha)) vērtība ir (m). Ja (mathcal {K}) apzīmē apkārtnes funkciju klasi, tad nepārtrauktības aksiomu ({ bf C / mbox {-} N}) var pārfrāzēt, kā (forall / alpha / pastāv n A (alfa, n) taisnvirziena / eksistē f / in / mathcal {K}, / forall m (f (m) gt 0 / rightarrow / forall / beta / in m A (beta, f (m-1)))),)

kur (beta / in m) nozīmē, ka (beta) sākotnējā segmenta kods ir (m).

3.6 Svītru teorēma

Brūvers ieviesa izvēles secības un nepārtrauktības aksiomas, lai uztvertu intuitīvo kontinuitāti, taču ar šiem principiem vien nepietiek, lai atgūtu tradicionālās analīzes daļu, kuru Brūmers uzskatīja par intuitīvi pamatotu, piemēram, teorēmu, ka katra nepārtrauktā reālā funkcija slēgtā intervālā ir vienmērīgi nepārtraukta. Šī iemesla dēļ Brūvers pierādīja tā saukto bāra teorēmu. Tas ir klasiski pamatots paziņojums, taču Brouwer sniegtais pierādījums daudzos gadījumos tiek uzskatīts par pierādījumu vispār, jo tas izmanto pieņēmumu par pierādījumu formu, par kuru nav sniegts precīzs arguments. Tas ir iemesls, kāpēc joslu teorēmu sauc arī par joslu principu.

Slavenākās joslu teorēmas sekas ir ventilatora teorēma, ar kuru pietiek, lai pierādītu iepriekš minēto teorēmu par vienmērīgu nepārtrauktību, un kura vispirms tiks apskatīta. Gan ventilatora, gan stieņa teorēma ļauj intuitīvam izmantot indukciju noteiktos labi pamatotos objektu komplektos, ko sauc par spreads. Izkliede ir intuitīvs kopas analogs, un tā uztver ideju par bezgalīgiem objektiem, kā arvien pieaugošiem un nekad nepabeigtiem. Izkliede būtībā ir uzskatāmi sazarojošs koks, kas apzīmēts ar naturāliem skaitļiem vai citiem ierobežotiem objektiem un satur tikai bezgalīgus ceļus.

Ventilators ir galīgi sazarots sadalījums, un ventilatora princips izsaka kompakuma formu, kas ir klasiski līdzvērtīga Kēnig lemmai, kuras klasiskais pierādījums ir nepieņemams no intuitīvisma viedokļa. Princips nosaka, ka katram ventilatoram (T), kurā katrs zars kādā brīdī atbilst kādam īpašumam (A), ir noteikts vienmērīgs ierobežojums dziļumam, kādā šis īpašums tiek sasniegts. Šādu īpašumu sauc par joslu (T).

(tag {({ bf FAN})} forall / alpha / in T / eksistē n A (alpha (overline {n})) rightarrow / pastāv m / forall / alpha / in T / eksistē n / leq m A (alpha (overline {n})).)

Šeit (alpha / in T) nozīmē, ka (alpha) ir (T) atzars. Ar FAN principu pietiek, lai pierādītu iepriekš minēto teorēmu:

Teorēma (FAN) Katra nepārtraukta reāla funkcija ar slēgtu intervālu ir vienmērīgi nepārtraukta.

Brūvera attaisnojums ventilatora teorēmai ir viņa stieņa princips universālajai izplatībai:

(tag {({ bf BI})} sākt {izlīdzināt} un (forall / alpha / forall n / big (A (alpha (overline {n})) vee / neg A (alfa (pārsvītrota {n})) liela) ķīlis / forall / alfa / eksistē n A (alfa (pārsvītrota {n})) / ķīlis \& / quad / forall / alfa / forall n / liels (A (alfa (pārsvītrots {n})) labais bulttaustiņš (alfa (pārsvītrots {n})) liels) / ķīlis \& / quad / forall / alfa / forall n / big (forall mB (alpha (overline {n}) cdot m) rightarrow B (alpha (overline {n})) big)] rightarrow B (varepsilon). / beigas {izlīdzināt})

Šeit (varepsilon) apzīmē tukšu secību, (cdot) konkatizācijai, BI joslu indukcijai, un apakšindekss D attiecas uz predikāta (A) izlemjamību. Stieņu princips nodrošina intuitīvismu ar indukcijas principu kokiem; tas izsaka pamatotu principu sprediem attiecībā uz izlemjamām īpašībām. Šī principa paplašinājumus, kuros tiek vājināta lēmuma pieņemamības prasība, var iegūt no Brouwer darba, bet šeit tas tiks izlaists. Nepārtrauktība un joslas princips dažreiz tiek uztverts vienā aksiomā, ko sauc par joslas nepārtrauktības aksiomu.

Starp joslu principu un apkārtnes funkcijām, kas minētas sadaļā par nepārtrauktības aksiomām, ir cieša saistība. Ļaujiet (mathcal {IK}) būt induktīvi noteiktai apkārtnes funkciju klasei, kas sastāv no visām nemainīgām secībām, kas nav nulles sekvences (lambda m.n + 1), un ja: (f (0) = 0) un (lambda mf (x / cdot m) in / mathcal {IK}) visiem (x), tad (f / in / mathcal {IK}). Paziņojums (mathcal {K} = / mathcal {IK}), tas ir, paziņojums, ka kaimiņu funkcijas var tikt radīts ar induktīvo metodi, ir vienāda ar BI D.

Brouvera pierādījums par joslas teorēmu ir ievērojams ar to, ka tajā tiek izmantotas hipotētisku pierādījumu labi pasūtošas īpašības. Tas balstās uz pieņēmumu, ka jebkurus pierādījumus tam, ka sekvences īpašums A ir josla, var sadalīt kanoniskā pierādījumā, kas ir labi sakārtots. Lai arī tas ir klasiski pamatots, Brūvera principiālais pierādījums parāda, ka iemesls, kāpēc tas tiek pieņemts kā pamatots princips intuitīvismā, principiāli atšķiras no argumenta, kas atbalsta tā pieņemamību klasiskajā matemātikā.

3.7 Izvēles aksiomas

Izvēlētās aksiomas pilnā formā nav pieņemamas no konstruktīvā viedokļa, vismaz dažu citu kopas teorijas centrālo aksiomu klātbūtnē, piemēram, paplašināšanās (Diaconescu 1975). Ļaujiet, lai (A) ir apgalvojums, kurš nav zināms, vai tas ir patiess vai nepatiess. Tad dalība divos sekojošajos setos nav nosakāma.

(sākt {izlīdzināt} X & = {x / in {0,1 } vidū x = 0 / vee (x = 1 / ķīlis A) } / Y & = {y / in {0,1 } vidū = 1 / vee (y = 0 / ķīlis A) } beigas {izlīdzināt})

Izvēles funkcijas esamība (f: {X, Y } labā puse {0,1 }), izvēloties elementu no (X) un (Y), nozīmētu ((A / vee / neg A)). Ja, ja (f (X) neq f (Y)), no tā izriet, ka (X / neq Y), tātad (neg A), turpretim (f (X) = f (Y))) nozīmē (A). Tāpēc ({X, Y }) izvēles funkcija nevar pastāvēt.

Tomēr ir daži aksiomas ierobežojumi, kas ir pieņemami intuitīvai, piemēram, saskaitāmas izvēles aksioma, ko daļēji leģitīmi piekrīt arī likumīgs princips, kas tiks apspriests turpmāk:

(tag {({ bf AC / mbox {-} N})} forall R / subseteq / mathbb {N} times / mathbb {N} liels (forall m / eksistē n \, mRn / labo pusi / pastāv / alpha / in / mathbb {N} ^ / mathbb {N} forall m \, mR / alpha (m) big).)

Šo shēmu var pamatot šādi. Premisas pierādījumam būtu jāsniedz metode, kas norādītajam (m) nodrošina skaitli (n) tādu, ka (mRn). Tādējādi funkciju (alpha) uz naturāliem skaitļiem (mathbb {N}) var izveidot soli pa solim: vispirms tiek izvēlēts elements (m_0), lai (0Rm_0), kurš būs (alfa (0)) vērtība. Tad tiek izvēlēts elements (m_1), ka (1Rm_1), kas būs (alfa (1)) vērtība utt.

Vairākas citas izvēles aksiomas var pamatot līdzīgi. Šeit tiks pieminēts tikai vēl viens, atkarīgās izvēles aksioma:

(tag {({ bf DC / mbox {-} N})} sākt {saskaņot} forall R / subseteq / mathbb {N} times / mathbb {N} big (forall m / eksistē n \, mRn / rightarrow & / forall k / pastāv / alpha / in / mathbb {N} ^ / mathbb {N} big (alpha (0) = k / \ wedge \& / forall i / geq 0 \, / alfa (i) R / alfa (i + 1) liels) liels). / beigas {izlīdzināt})

Arī klasiskajā matemātikā izvēles aksiomas izturas uzmanīgi, un bieži vien tiek skaidri minēts, cik liela izvēle ir nepieciešama pierādījumā. Tā kā atkarīgās izvēles aksioma saskan ar svarīgu aksiomu klasiskajā kopu teorijā (noteikšanas aksioma), kamēr pilnīgas izvēles aksioma nav, šai aksiomai tiek pievērsta īpaša uzmanība, un kopumā tiek mēģināts samazināt izvēles daudzumu pierādījums atkarīgajai izvēlei, ja tāda vispār ir.

3.8. Aprakstošās kopas teorija, topoloģija un topos teorija

Brūvers nebija vienīgais šaubās par noteiktiem klasiskās domāšanas veidiem. Tas ir īpaši redzams aprakstošajā kopu teorijā, kas parādījās kā reakcija uz ļoti nekonstruktīvajiem priekšstatiem, kas rodas Kantorijas kopu teorijā. Lauka dibinātājus, ieskaitot Emile Borel un Henri Lebesgue kā divas galvenās figūras, sauca par pusintuīcionistiem, un viņu konstruktīvais turpinājums turpināja definēt Borel hierarhiju. Pēc viņu domām, jēdzienam, piemēram, visu reālo skaitļu kopai, nav nozīmes, un tāpēc tas ir jāaizstāj ar apakškopu hierarhiju, kurām ir skaidrs apraksts.

Veldmanā 1999 tiek formulēts jēdziena Borel kopas intuitīvisma ekvivalents un parādīts, ka Borel kopu klasiski līdzvērtīgās definīcijas rada dažādas intuitīvi atšķirīgas klases - situāciju, kas bieži rodas intuīcijā. Intuitīvisma izteiksmē Borels nosaka Borela hierarhijas teorēmas analogu, kas ir intuitīvi derīgs. Šī fakta pierādījums būtiski izmanto iepriekš aprakstītās nepārtrauktības aksiomas un tādējādi parāda, kā klasiskā matemātika var palīdzēt meklēt intuitīvus analogus, kuri tomēr ir jāpierāda pavisam savādāk, dažreiz izmantojot principus, kas nav pieņemami no klasiskā viedokļa. skats.

Cita pieeja kontinuuma apakšgrupu vai topoloģiskās telpas izpētei ir parādījusies, attīstot formālu vai abstraktu topoloģiju (Fourman 1982, Martin-Löf 1970, Sambin 1987). Šajā konstruktīvajā topoloģijā atvērto kopu un punktu loma tiek mainīta; klasiskajā topoloģijā atvērtu kopu definē kā noteiktu punktu kopu, konstruktīvā gadījumā pamatjēdziens ir atvērts kopums, un punkti tiek definēti to izteiksmē. Tāpēc šo pieeju dažreiz sauc par topoloģiju bez punktiem.

Intuitionistic funkcionālā analīze ir izstrādāta tālu un plaši pēc Brouwer, taču, tā kā lielākā daļa pieeju nav tikai intuitīvi, bet arī konstruktīvas plašākā nozīmē, šis pētījums šeit netiks aplūkots tālāk.

4. Konstruktīvisms

Intuīcionismam ir galvenā daļa ar lielāko daļu citu konstruktīvisma formu. Konstruktīvisms kopumā attiecas uz konstruktīviem matemātiskiem objektiem un argumentāciju. No konstruktīviem pierādījumiem vismaz principā var iegūt algoritmus, kas aprēķina elementus un imitē konstrukcijas, kuru esamība ir pierādījumos pierādīta. Lielākā daļa konstruktīvisma formu ir savietojami ar klasisko matemātiku, jo parasti tie balstās uz stingrāku pieļaujamo kvantitatīvu un savienojošo elementu un konstrukciju interpretāciju, kamēr netiek veikti papildu pieņēmumi. Gandrīz visu konstruktīvo kopienu pieņemtā loģika ir vienāda, proti, intuitīvā loģika.

Daudzām klasiskās matemātikas eksistenciālajām teorēmām ir konstruktīvs analogs, kurā eksistenciālo apgalvojumu aizstāj ar paziņojumu par tuvinājumiem. Iepriekš mēs redzējām piemēru tam, starpposma vērtības teorēma, sadaļā par vājiem pretparaugiem. Lielu daļu matemātikas var konstruktīvi atgūt līdzīgā veidā. Iemesls šeit vairs tos neārstēt ir tas, ka šajā ierakstā galvenā uzmanība tiek pievērsta tiem intuitīvisma aspektiem, kas to atšķir no citām konstruktīvām matemātikas nozarēm. Lai pamatīgi apstrādātu konstruktīvismu, lasītājam tiek norādīts uz atbilstošo ierakstu šajā enciklopēdijā.

5. Metamātika

Lai arī Brūvers matemātiku izstrādāja precīzi un pamatoti, formalizāciju tādā nozīmē, kādu mēs to šodien zinām, citi veica tikai vēlāk. Patiešām, saskaņā ar Brūvera viedokli, ka matemātika sevi izvērš iekšēji, formalizēšana, kaut arī nav nepieņemama, nav nepieciešama. Citi pēc viņa uzskatīja savādāk, un intuitīvās matemātikas formalizēšana un tās metamatemātisko īpašību izpēte, jo īpaši aritmētika un analīze, ir piesaistījusi daudzus pētniekus. Intuitīvisma loģikas formalizācija, uz kuras balstās visas formalizācijas, jau ir apskatīta iepriekš.

5.1 Aritmētika

Aitmētiskās HA heitings, kā to formulējusi Arend Heyting, ir dabisko skaitļu intuitionistiskās teorijas formalizācija (Heyting 1956). Tam ir tādas pašas neloģiskās aksiomas kā Peano aritmētiskajam PA, bet tas ir balstīts uz intuīciju loģiku. Tādējādi tas ir klasiskās aritmētikas ierobežojums, un tā ir pieņemtā dabisko skaitļu teorija gandrīz visās konstruktīvās matemātikas jomās. Heitinga aritmētiskajam ir daudz īpašību, kas atspoguļo tās konstruktīvo raksturu, piemēram, disjunkcijas īpašums, kas attiecas arī uz intuitīvo loģiku. Vēl viena HA īpašība, kurai PA nav kopīga, ir skaitliskā esamības īpašība: ((pārsvītrot {n}) ir skaitlis, kas atbilst dabiskajam skaitlim (n))

(tag {({ bf NEP})} { bf HA} vdash / eksistē x A (x) Rightarrow / eksistē n { mathbb N}, { bf HA} vdash A (pārsvītrot {n}).)

Tas, ka šis īpašums nav PA, izriet no fakta, ka PA pierāda (eksistē x (A (x) vee / forall y / neg A (y))). Apsveriet, piemēram, gadījumu, ka (A (x)) ir formula (T (e, e, x)), kur (T) ir Kleenes predikāts, par kuru var izlemt, kas to izsaka (x) ir programmas beigušās aprēķināšanas kods ar kodu (e) ieejā (e). Ja katram (e) būtu skaitlis (n) tāds, ka ({ bf PA} vdash T (e, e, n) vee / forall y / neg T (e, e, y)), pēc tam pārbaudot, vai (T (e, e, n)) ir, tiks izlemts, vai programma (e) beidzas ieejā (e). Tomēr tas kopumā nav nosakāms.

Markova noteikums ir princips, kas ir spēkā gan klasiski, gan intuitīvi, bet tikai HA šī fakta pierādījums nav uzskatāms par triviālu:

(tag {({ bf MR})} { bf HA} vdash / forall x (A (x) vee / neg A (x)) ķīlis / neg / neg / eksistē x A (x) labā puse { bf HA} vdash / eksistē x A (x).)

Tā kā HA katram primitīvajam rekursīvajam predikātam pierāda izslēgtā vidus likumu, no tā izriet, ka šādam (A) HA atvasinātība ar (neg / neg / pastāv x A (x)) nozīmē HA atvasināmību. (eksistē arī x A (x)). No tā izriet, ka PA ir (Pi ^ 0_2) - konservatīvs attiecībā pret HA. Tas ir, primitīvai rekursīvai (A): [{ bf PA} vdash / forall x / eksistē y A (x, y) Rightarrow { bf HA} vdash / forall x / eksistē y A (x, y).) Tādējādi HA provokatīvi rekursīvo funkciju klase sakrīt ar PA provaktīvi rekursīvo funkciju klasi, īpašību, kas, balstoties uz konstruktīvisma un intuitīvisma pamatā esošajām idejām, var nebūt pārsteigums.

5.2. Analīze

Intuitionistiskās matemātikas formalizēšana aptver vairāk nekā aritmētiku. No konstruktīvā viedokļa lielas daļas analīzes ir aksiomatizētas (Kleene 1965, Troelstra 1973). Šo sistēmu konstruktivitāti var noteikt, izmantojot funkcionālās, tipa teorētiskās vai realizējamības interpretācijas, no kurām lielākā daļa balstās uz Gēdela Dialektikas interpretācijas (Gödel 1958, Kreisel 1959), Kleene realizējamības (Kleene 1965) vai tipa teorijām (Martin- Löfs 1984). Šajās interpretācijās tiek skaidri izteikti funkcionālie elementi, kas ir konstruktīvu paziņojumu pamatā, piemēram, funkcija, kas piešķir (y) katram (x) dokumentam (forall x / eksistē y A (x, y)), dažādos veidos.

Rakstā (Skots 1968. un 1970. gadā) tiek parādīts otrās kārtas intuitionistiskās analīzes teorijas topoloģiskais modelis, kurā realitātes tiek interpretētas kā nepārtrauktas funkcijas no Baires telpas līdz klasiskajiem reāliem. Šajā modelī ir Kripkes shēma, kā arī noteiktas nepārtrauktības aksiomas. In (Moschovakis 1973) šī metode ir pielāgota, lai izveidotu intuitionistiskās analīzes teoriju modeli izvēles secību ziņā. Arī šajā modelī ir Kripkes shēma un noteiktas nepārtrauktības aksiomas. In (Van Dalen 1978) Beth modeļi tiek izmantoti, lai nodrošinātu aritmētisko un izvēles secību modeli, kas apmierina izvēles shēmas, vājās nepārtrauktības gadījumus un Kripke shēmu. Šajā modelī katra mezgla domēni ir naturālie skaitļi, tāpēc vienam nav jāizmanto nestandarta modeļi, kā tas ir Kripke modeļos. Turklāt aksiomas Radošā priekšmeta CS1–3 tajā var tikt interpretēts, tādējādi parādot šīs teorijas konsekvenci.

5.3 Bez likuma secības

Pastāv nelikumīgu secību aksiomatizācijas, un tās visas satur nepārtrauktības aksiomu paplašinājumus (Kreisel 1968, Troelstra 1977). Jo īpaši atvērto datu aksiomas veidā, kurā teikts, ka attiecībā uz (A (alfa)) bez (alfa] satur citus nelikumīgus parametrus:

[A (alfa) taisnvirziena / eksistē n / forall / beta / in / alpha (overline {n}) A (beta).)

In (Troelstra 1977), tiek izstrādāta (un pamatota) nelikumīgu secību teorija intuitīvās analīzes kontekstā. Papildus elementārās analīzes aksiomām tajā bez likumīgām sekvencēm ir nostiprinātas atvērto datu, nepārtrauktības, izlemjamības un blīvuma aksiomu formas (blīvums saka, ka katra ierobežotā secība ir nelikumīgas secības sākotnējais segments). Īpaši interesanti ir tas, ka šajās teorijās var tikt izslēgti likumīgo secību kvantitatīvie rādītāji, un šo rezultātu var arī uzskatīt par tādu, kas nodrošina likumīgu secību modeli šādām teorijām. Kategoriju teorijā konstruēti citi klasiski nelikumīgu secību teorijas modeļi (van der Hoeven un Moerdijk 1984). Tajā (Moschovakis 1986) tiek ieviesta teorija izvēles secībām attiecībā pret noteiktu likumdošanas elementu kopumu,kopā ar klasisko modeli, kurā likumdošanas secības izrādās tieši vispārīgas.

5.4 Radošā priekšmeta formalizēšana

Radošais subjekts, kas ieviests 2.2. Sadaļā, var ģenerēt izvēles sekvences, kas ir dažas no vissvarīgākajām un sarežģītākajām Brūvera intuitīvisma matemātiskajām vienībām. Vairāki filozofi un matemātiķi ir mēģinājuši attīstīt Radošā subjekta teoriju arī matemātiski, kā arī filozofiski.

Formalizējot Radošā subjekta jēdzienu, tā laika aspekts tiek formalizēts, izmantojot apzīmējumu (Box_n A), kas norāda, ka Radošajam subjektam ir A pierādījums brīdī n (citos formulējumos: piedzīvo patiesību par (A) laikā (n)). Georgs Kreisels (1967) ieviesa šādas trīs Radošā subjekta aksiomas, kuras kopā apzīmē CS:

(sākt {pielīdzināt} tagu {({ bf CS1})} & / Box_n A / vee / neg / Box_n A \& / mbox {(laikā (n), to var izlemt vai Radošajam subjektam} & / mbox {ir pierādījums par A)} / \ tag {({ bf CS2})} & / Box_m A / rightarrow / Box_ {m + n} A \& / mbox {(Radošais subjekts nekad neaizmirst to, kas ir pierādīts)} / \ tags {({ bf CS3})} & (eksistē n / Box_n A / rightarrow A) ķīlis (A / rightarrow / neg / neg / pastāv n / Box_n A) & / mbox {(subjekta izveide pierāda tikai to, kas ir patiess un kas nav} & / mbox {patiesu paziņojumu var būt neiespējami pierādīt attiecībā uz} & / mbox {Radīšana Tēma)} / \ beigas {izlīdzināt})

Anne Troelstra (1969) versijā pēdējā aksioma ir nostiprināta līdz

(sākt {saskaņot} tagu {({ bf CS3} ^ +)} & / eksistē n / Box_n A / leftrightarrow A \& / mbox {(subjekta izveide tikai pierāda, kas ir patiess un kas}) & / mbox {ir taisnība, to pierādīs Radīšanas priekšmets dažās} & / mbox {point)} end {align})

Pirmā CS1 aksioma ir neapstrīdama: jebkurā brīdī var noteikt, vai Radošajam subjektam ir dots paziņojums. Otrajā CS2 aksiomā skaidri tiek izmantots fakts, ka Radošais subjekts ir idealizācija, jo tas pauž, ka pierādījumi vienmēr tiks atcerēti. Pēdējā aksioma CS3ir Radošā subjekta formalizētākā daļa vai, labāk, tā otrais konjunkts (((taisnais bults / neg / neg / pastāv n / Box_n A)), kuram piešķīra vārdu Kristīgās labdarības aksioma Kreisel. Piemēram, Gērans Sundholms (2014) apgalvo, ka kristīgās labdarības aksioma nav pieņemama no konstruktīvā viedokļa. Un Gēdela nepabeigtības teorēma pat nozīmē, ka princips ir nepatiess, ja (Box_n A) tiktu interpretēts kā pierādāms pietiekami spēcīgā pierādījumu sistēmā, kas tomēr noteikti nav interpretācija, ko Brūvers bija domājis.

Ņemot vērā paziņojumu (A), kurā nav atsauces uz laiku, ti, nav notikusi (Box_n), var definēt izvēles secību saskaņā ar šādu noteikumu (Brouwer 1953):

(alfa (n) = / pa kreisi { sākas {masīvs} {ll} 0 & / mbox {if (neg / Box_n A)} / 1 & / mbox {if (Box_n A). } beigas {masīvs} pa labi.)

No tā izriet princips, kas pazīstams kā Kripkes KS shēma, kas ieviests 2.2. Sadaļā - princips, kas atšķirībā no Radošā subjekta teorijas aksiomām nesatur skaidru atsauci uz laiku: (eksistē / alfa (A / leftrightarrow / pastāv n / alfa (n) = 1)).

Izmantojot Kripkes shēmu, vājos pretparauga argumentus var izteikt formāli, neatsaucoties uz Radošo priekšmetu. Šis piemērs ņemts no (van Atten 2018). Ļaujiet A būt paziņojumam, kuru pašlaik nav zināms, ka pieder (neg A / vee / neg / neg A). Izmantojot KS, tiek iegūtas izvēles sekvences (alpha_1) un (alpha_2), ka

(neg A / leftrightarrow / eksistē n / alpha_1 (n) = 1 / \ / \ / \ neg / neg A / leftrightarrow / pastāv n / alpha_2 (n) = 1.)

Saistiet ar šīm divām sekvencēm reālos skaitļus (r_0) un (r_1), kur ir (i = 0,1):

[r_i (n) = / sākt {gadījumi} 0 & / teksts {if (alpha_i (n) neq 1)} (-1) ^ i2 ^ {- m} & / sākt {pielīdzināt} & / teksts {ja dažiem (m / leq n), (alpha_i (m) = 1) un} & / teksts {nē (k / lt m), (alpha_i (k) = 1.)} beigas {izlīdzināt} beigas {gadījumi})

Tad attiecībā uz (r = r_0 + r_1) apgalvojumu (neg A / vee / neg / neg A) netieši norāda ((r / gt 0 / vee r / lt 0)), kas parāda, ka ((r / gt 0 / vee r / lt 0)) nevar pierādīt.

In (van Dalen 1978) ir izveidots modeļa veidojošā subjekta aksiomu modelis aritmētisko un izvēles secību kontekstā, tādējādi pierādot to atbilstību intuitionistiskajai aritmētikai un noteiktām analīzes daļām. In (van Dalen 1982) ir pierādīts, ka CS ir konservatīvs attiecībā uz Heyting Aritmetic. Kripkes shēmas matemātiskās sekas ir atrodamas (van Dalen 1997), kur tiek parādīts, ka KS un nepārtrauktības aksiomas noraida Markova principu, savukārt KS kopā ar Markova principu nozīmē izslēgtā vidus principu.

Kripke ir parādījis, ka KS nozīmē nerekursīvu funkciju esamību, rezultātu nav publicējis viņš, bet gan Kreisel (1970). Skaidrs, ka tas nozīmē, ka CS teorija nozīmē arī nerekursīvas funkcijas esamību. Iespējamais arguments CS darbojas šādi. Pieņemsim, ka (X) ir neaprēķināms, bet aprēķināms skaitlisks kopums un definē funkciju (f) šādi:

[f (m, n) = / sākt {gadījumi} 0 & / teksts {ja nav (Box_m (n / not / in X))} / 1 & / teksts {if (Box_m (n / nav / X)).} beigas {lietas})

Tad no tā izriet, ka (n / nav / X) tikai un tikai tad, ja (f (m, n) = 1) kādam dabiskajam skaitlim (m), kas nozīmē, ka (f) nevar būt aprēķināms. Ja tā, tad (X) papildinājums būtu aprēķināms skaitāmā veidā, kas nozīmē (X) aprēķināmību. Tā kā (f) ir funkcija no intuitīvisma viedokļa, tas nozīmē, ka intuīcionismā ne visas funkcijas ir aprēķināmas.

5.5 Pamati

Formalizācijām, kas domātas kā konstruktīvas matemātikas pamats, ir vai nu teorētiskas kopas (Aczel 1978, Myhill 1975), vai tipa teorētiskas (Martin-Löf 1984). Iepriekšējās teorijas ir Zermelo-Fraenkela kopas teorijas adaptācija konstruktīvam iestatījumam, savukārt tipa teorijā konstrukcijā, kas netieši izteikta konstruktīvos izteikumos, sistēmā tiek izteiktas skaidras piezīmes. Kopu teoriju var uzskatīt par matemātikas papildu pamatu, turpretī tipa teorija parasti ir intensīva.

Pēdējos gados ir parādījušies daudzi šādu intuitīvās matemātikas pamat teoriju daļu modeļi, daži no tiem ir minēti iepriekš. Īpaši topos teorijā (van Oosten 2008) ir daudz modeļu, kas fiksē noteiktas intuitīvisma iezīmes. Ir, piemēram, topoi, kuros visas reālās funkcijas ir nepārtrauktas. Funkcionālās interpretācijas, piemēram, realizējamību, kā arī interpretācijas tipa teorijā var uzskatīt arī par intuitionistiskas matemātikas modeļiem un lielāko daļu citu konstruktīvu teoriju.

5.6. Apgrieztā matemātika

Apgrieztā matemātikā mēģina matemātiskajām teorēmām noteikt, kuras aksiomas ir vajadzīgas to pierādīšanai. Intuitionistiskajā reversajā matemātikā vienam ir līdzīgs mērķis, bet tad attiecībā uz intuitionistic teorēmām: strādājot pie vājas intuitionistic teorijas, aksiomas un teorēmas tiek salīdzinātas viena ar otru. Tipiskās aksiomas, ar kurām teorēmas vēlas salīdzināt, ir ventilatora princips un stieņu princips, Kripke shēma un nepārtrauktības aksiomas.

Rakstā (Veldman 2011) tiek pētīti ventilatora principa ekvivalenti pamatteorijai, kuru sauc par pamata intuitīvo matemātiku. Tiek parādīts, ka ventilatora princips ir līdzvērtīgs apgalvojumam, ka vienības intervālam [0,1] piemīt Heine-Borel īpašība, un no tā tiek atvasināti daudzi citi ekvivalenti. (Veldman 2009) tiek parādīts, ka ventilatora princips ir līdzvērtīgs Brouwer's aptuvenā fiksētā punkta teorēmai. In (Lubarsky et al. 2012), Kripkes shēmas formai tiek piemērota apgrieztā matemātika, kas tiek parādīta kā ekvivalenta noteiktiem topoloģiskiem apgalvojumiem.

Ir daudz vairāk šādu intuitīvas reversās matemātikas piemēru. Īpaši plašākā konstruktīvās reversās matemātikas jomā ir daudz šāda veida rezultātu, kas ir svarīgi arī no intuitīvisma viedokļa.

6. Filozofija

Brūvers savu intuīciju veidoja jau no paša sākuma un neko daudz nekomentēja par intuīcijas un citu pastāvošo filozofiju saistību, bet citi pēc viņa to darīja. Daži no šiem savienojumiem ir apskatīti šajā sadaļā, jo īpaši tas, kā intuitīvos principus var pamatot ar citām filozofijām.

6.1 Fenomenoloģija

Edmunda Huserla attīstītās filozofijas saistība starp intuīciju un fenomenoloģiju ir izpētījusi vairāki autori gan Brūvera dzīves laikā, gan arī gadu desmitiem vēlāk. Hermans Veils bija viens no pirmajiem, kurš apsprieda saistību starp Brūvera idejām un fenomenoloģisko uzskatu par matemātiku. Tāpat kā Brūvers, arī Veils savā grāmatā “Das Kontinuum” (2. nodaļa) runā par intuitīvo turpinājumu, taču Veila idejas pamatā ir laika (apziņas) fenomenoloģija. Vēlāk Veils uzskata, ka Brūvera reālās analīzes attīstība ir uzticīgāka intuitīvā nepārtrauktības idejai nekā viņa paša (Weyl 1921), un tāpēc tā sevi nostāda Brūvera pusē, vismaz attiecībā uz šo aspektu (van Atten 2002).

Van Attens (2003 lv 2007) izmanto fenomenoloģiju, lai pamatotu izvēles secības kā matemātiskus objektus. Autors (2002) kritiski izsakās par Brouvera secinājumu izvēles pamatotību, kas ir motīvs meklēt filozofisku pamatojumu citur. Izvēles sekvences rodas Bekera (1927) un Veila darbā, taču tās atšķiras no Brūvera idejas, un Husserls nekad publiski neapsprieda izvēles secības. Van Attens skaidro, kā kontinuuma viendabīgums ir saistīts ar tā neizsmeļamību un neatomātiskumu, kas ir divas galvenās intuitīvā kontinuuma īpašības, pēc Brouwer teiktā. Izmantojot faktu, ka izvēles secību definīcijā ir šīs divas būtiskās īpašības, tiek iegūts to fenomenoloģiskais pamatojums.

6.2 Vitgenšteins

1928. gada 10. martā Brūvers Vīnē lasīja lekcijas par matemātikas intuitīvajiem pamatiem. Šajā lekcijā piedalījās Ludvigs Vitgenšteins, pierunājot Herbertu Feiglu, kurš pēc tam rakstīja par stundām, kuras viņš pavadīja kopā ar Vitgenšteinu un citiem pēc lekcijas: notika lielisks notikums. Pēkšņi un ļoti nepieklājīgi Vitgenšteins sāka runāt filozofijā - ļoti ilgi. Varbūt tas bija pagrieziena punkts, kopš visiem laikiem kopš 1929. gada, kad viņš pārcēlās uz Kembridžas universitāti, Vitgenšteins atkal bija filozofs un sāka izdarīt milzīgu ietekmi.

Citi apstrīd, ka Brūvera lekcija ietekmēja Vitgenšteina domāšanu (Hacker 1986, Hintikka 1992, Marion 2003). Cik tālu, ja vispār, Vitgenšteinu ietekmēja Brūvera idejas, nav pilnīgi skaidrs, taču starp viņu uzskatiem noteikti ir interesantas vienošanās un domstarpības. Mariona (2003) apgalvo, ka Vitgenšteina matemātikas koncepcija, kas aprakstīta Tractatus, ir ļoti tuva Brūveres koncepcijai un ka Vitgenšteins piekrīt Likuma par izslēgto vidu noraidīšanai (1929. gada manuskripts, Vitgenšteina 1994. gada 155. – 156. Lpp.), Bet nepiekrīt. ar Brouvera argumentiem pret to. Mariona (2003) apgalvo, ka Vitgenšteina nostāja ir radikālāka nekā Brūveres nostāja, jo, pēc bijušā uzskatiem, Matemātikā izslēgtā vidējā likuma spēkā neesamība ir visu matemātisko ierosinājumu atšķirīga iezīme (pretstatā empīriskiem apgalvojumiem), nevis tikai bezgalīgā matemātikas specifika, kā tas ir Brūverim.

Veldmans (gaidāmais) apspriež vairākus Brouveras un Vitgenšteina vienošanās pārtraukšanas punktus, piemēram, loģikas briesmas, kas, pēc abu domām, var radīt konstrukcijas bez matemātiska satura. Viena no domstarpībām, kas radušās rakstā, attiecas uz Vitgenšteina viedokli, ka matemātika ir kopīgs pasākums, kas ir krasi pretstatā Brūvera radīšanas priekšmetam un viņa uzskatam, ka matemātika ir bez valodas darbība.

6.3 Dummett

Britu filozofs Maikls Dummers (1975) izstrādāja intuitīvisma, it īpaši intuitīvās loģikas, filozofisko bāzi. Dummets skaidri norāda, ka viņa teorija nav Brouvera darba ekseģēze, bet gan iespējama filozofiska teorija, lai (pēc viņa vārdiem) atspēkotu klasisko pamatojumu matemātikā par labu intuitīvai spriešanai.

Dummeta pieeja sākas ar domu, ka izvēlei par vienu loģiku, salīdzinot ar otru, obligāti jābūt tajā nozīmē, kāda tiek piešķirta loģiskiem paziņojumiem. Dummeta izmantotās nozīmes teorijā, kas balstīta uz Vitgenšteina idejām par valodu un jo īpaši uz viņa ideju, ka nozīme ir lietošana, teikuma nozīmi nosaka teikuma lietojuma veids. Matemātiskā paziņojuma nozīme izpaužas tā izmantošanā, un izpratne par to ir zināšanas par spēju lietot paziņojumu. Šo uzskatu atbalsta veids, kādā mēs iegūstam matemātiskas zināšanas. Apgūstot matemātisku priekšstatu, mēs iemācāmies to izmantot: kā to aprēķināt, pierādīt vai no tā secināt. Un vienīgais veids, kā noteikt, ka mēs esam sapratuši matemātiskā paziņojuma nozīmi, ir mūsu prasme pareizi izmantot šo apgalvojumu.

Ņemot vērā šo uzskatu par nozīmi, matemātikas nozīmes teorijā galvenais jēdziens nav patiesība, bet gan pierādījums, kā tas ir platonismā; matemātiskā paziņojuma izpratne sastāv no spējas atpazīt tā pierādījumu, kad tāds tiek iesniegts. Pēc tam, kā apgalvo Dummets, tas ved pie intuitīvās loģikas kā matemātiskās spriešanas loģikas.

Interesanti, ka, kā sevi atzīmē Dummett (1975), viņa jēgas teorija ir tālu no Brouwer idejām par matemātiku kā būtībā bez valodas darbību. Tā, ka pastāv vismaz divas diezgan atšķirīgas domāšanas līnijas, kas ved pie intuitīvisma loģikas pārņemšanas pār klasisko loģiku - tādu, kuru izstrādāja Brūvers un kuru argumentēja Dummets. Dummeta darbu par intuīciju ir komentējuši dažādi filozofi, piemēram, Dags Pravics (1977), Parsons (1986) un Ričards Tieszens (1994 en 2000).

6.4 Finitisms

Dažādas finitisma formas ir balstītas uz līdzīgu uzskatu kā Dummeta paustais, bet kurā tām konstrukcijām, kurām atļauts pierādīt matemātiskos apgalvojumus, ir jāpastāv ne tikai principā, bet arī praksē. Atkarībā no tā, kā precīzi tiek realizēts pēdējais minētais jēdziens, var nonākt pie dažādām finitisma formām, piemēram, Aleksandra Ješenina-Volpina izstrādātā ultraintucionisma (1970) un Crispin Wright (1982) izstrādātā stingrā finitisma.

Bibliogrāfija

  • Aczel, P., 1978. gads, 'Konstruktīvās kopas teorijas tipa teorētiskā interpretācija', A. Macintyre, L. Pacholski, J. Paris (red.), Logic Colloquium '77, īpašs pētījums loģikā un pamatos Matemātika, 96: 55–66.
  • van Attens, M., 2004, On Brouwer, Belmont: Wadsworth / Thomson Learning.
  • –––, 2007 Brūvers tiekas ar Husserlu: Par izvēles secību fenomenoloģiju, Dordrehta: Springers.
  • –––, 2008, “Par hipotētisku spriedumu intuitīvās loģikas vēsturē”, C. Glymour, W. Wang un D. Westerståhl (red.), 2007. gada Starptautiskā kongresa Pekinā rakstu krājumi (loģika, metodika un Zinātņu filozofija: XIII sējums), Londona: Kinga koledžas publikācijas, 122. – 136.
  • van Attens, M. un D. van Dalens, 2002. gads, “Argumenti par nepārtrauktības principu”, Symbolic Logic Bulletin, 8 (3): 329–374.
  • Beth, EW, 1956. gads, “Intuitīvisma loģikas semantiskā konstruēšana”, Mededeelingen der Koninklijke Nederlandsche Akademie van Wetenschappen, Afdeeling Letterkunde (Nieuwe Serie), 19 (11): 357–388.
  • Brouwer, LEJ, 1975, apkopotie darbi I, A. Heyting (red.), Amsterdam: North-Holland.
  • –––, 1976. gads, II kolekcija, H. Freudenthal (red.), Amsterdam: North-Holland.
  • –––, 1905, Līvens, kunst en mystiek, Delfts: Volmans.
  • –––, 1907. gads, Over de grondslagen der wiskunde, Ph. D. Promocijas darbs Amsterdamas Universitātes Fizikas un matemātikas nodaļā.
  • ––– 1912. gadā, “Intuïtionisme en formalisme”, inaugurācijas uzruna Amsterdamas Universitātē, 1912. gads. Arī Wiskundig tijdschrift, 1913. gada 9. gadā.
  • –––, 1925. gads, “Zur Begründung der intuitionistischen Mathematik I”, “Mathematische Annalen, 93: 244–257.
  • –––, 1925. gads, “Zur Begründung der intuitionistischen Mathematik II”, “Mathematische Annalen, 95: 453–472.
  • –––, 1948. gads, “Būtiski negatīvās īpašības”, Indagationes Mathematicae, 10: 322–323.
  • –––, 1952. gads, “Intuitīvisma vēsturiskie pamati, principi un metodes”, Dienvidāfrikas Zinātnes žurnāls, 49 (oktobris – novembris): 139. – 146.
  • –––, 1953. gads, “Punkti un atstarpes”, Kanādas matemātikas žurnāls, 6: 1–17.
  • –––, 1981, Brūveres Kembridžas lekcijas par intuīciju, D. van Dalens (red.), Kembridža: Cambridge University Press, Cambridge.
  • –––, 1992, Intuitionismus, D. van Dalen (ed.), Manheins: Wissenschaftsverlag.
  • Brouwer, LEJ un CS Adama van Scheltema, 1984, Droeve snaar, vriend van mij - Brieven, D. van Dalen (ed.), Amsterdam: Uitgeverij de Arbeiderspers.
  • Coquand, T., 1995, 'Konstruktīvs topoloģiskais pierādījums van der Verdenda teorēmai,' Journal of Pure and Applied Algebra, 105: 251–259.
  • van Dalen, D., 1978. gads, “Intuitīvisma analīzes interpretācija”, Annals of Mathematical Logic, 13: 1–43.
  • –––, 1997, “Cik savienots ir intuitīvais kontinuums?”, Journal of Symbolic Logic, 62 (4): 1147–1150.
  • –––, 1999/2005, mistiķis, ģeometrs un intuitīvists, I sējums (1999) un II sējums (2005), Oksforda: Clarendon Press.
  • –––, 2001, LEJ Brouwer (een biografie), Amsterdama: Uitgeverij Bert Bakker.
  • ––– 2004. gads, “Kolmogorovs un Brouvers par konstruktīvu iespaidu un Ex Falso valdību”, krievu matemātikas aptaujas, 59: 247–257.
  • van Dalen, D. (ed.), 2001, LEJ Brouwer en de grondslagen van de wiskunde, Utrecht: Epsilon Uitgaven.
  • Diaconescu, R., 1975, “Izvēles un papildināšanas aksioma” Proceedings of the American Mathematical Society, 51: 176–178.
  • Dummett, M., 1975, “Intuitionistiskās loģikas filozofiskie pamati”, HE Rose un JC Shepherdson (red.), Logic Colloquium '73 Proceedings of the Logic Colloquium '73, īpašais izdevums Studies in Logic and the Mathematics, 80: 5 –40.
  • Furmens, M. un R. Graisoni, 1982. gads, “Formal space”, AS Troelstra un D. van Dalen (red.), LEJ Brouwer Centenary Symposium, Amsterdam: Ziemeļholande.
  • Gentzen, G., 1934, “Untersuchungen über das logische Schließen I, II”, “Mathematische Zeitschrift”, 39: 176–210, 405–431.
  • Gēdels, K., 1958. gads, “Über eine bisher noch nicht benützte Erweiterung des finiten Standpunktes”, Dialektija, 12: 280–287.
  • Hakeris, PMS, 1986, Insight & Illusion. Motīvi Vitgenšteina filozofijā, pārskatītais izdevums, Clarendon Press, Oksforda.
  • Heyting, A., 1930, “Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik”, Sitzungsberichte der Preussischen Akademie von Wissenschaften. Physikalisch -hematische Klasse, 42. – 56.
  • –––, 1956. gads, intuīcija, ievads, Amsterdama: Ziemeļholande.
  • van der Hoeven, G., un I. Moerdijk, 1984, “Pīķu modeļi izvēles sekvencēm”, Annals of Pure and Applied Logic, 27: 63–107.
  • Kleene, SC un RE Vesley, 1965, Intuitionistiskās matemātikas pamati, Amsterdama: Ziemeļholande.
  • Kreisel, G., 1959. gads, “Analīzes interpretācija ar ierobežota tipa konstruktīviem funkcionāliem līdzekļiem”, A. Heyting (ed.), Constructivity in Mathematics, Amsterdam: North-Holland.
  • ––– 1962, “Par intuitīvisma predikatīvās loģikas vājo pilnīgumu”, Journal of Symbolic Logic, 27: 139–158.
  • –––, 1968. gads, “Neatļautie dabisko skaitļu secības”, Compositio Mathematica, 20: 222–248.
  • Kripke, SA, 1965, “Intuitīvisma loģikas semantiskā analīze”, J. Crossley un M. Dummett (red.), Formālās sistēmas un rekursīvās funkcijas, Amsterdama: Ziemeļholande.
  • Lubarsky, R., F. Richman un P. Schuster, 2012, “Kripkes shēma metriskajā topoloģijā”, Mathematical Logic Quarterly, 58 (6): 498–501.
  • Maietti, ME un G. Sambin, 2007, “Ceļā uz minimālisma pamatiem konstruktīvai matemātikai”, L. Krosilla un P. Šusters (red.), Sākot no kopām un tipiem līdz topoloģijai un analīzei: virzoties uz minimālisma pamatiem konstruktīvai matemātikai, Oxford: Oxford University Press.
  • Mariona, M., 2003, “Vitgenšteins un Brūvers”, Synthese 137: 103–127.
  • Martin-Löf, P., 1970, Piezīmes par konstruktīvo matemātiku, Stokholma: Almqvist & Wiskell.
  • –––, 1984, Intuitionistic tipa teorija, Napoli: Bibliopolis.
  • Moschovakis, JR, 1973, 'Otrās kārtas intuitionistiskās aritmētikas topoloģiskā interpretācija', Compositio Mathematica, 26 (3): 261–275.
  • –––, 1986, “Relatīvais nelikumīgums intuitīvisma analīzē”, Journal of Symbolic Logic, 52 (1): 68–87.
  • Myhill, J., 1975, “Konstruktīvās kopas teorija”, Journal of Symbolic Logic, 40: 347–382.
  • Niekus, J., 2010, “Brouera nepabeigtie objekti” Loģikas vēsture un filozofija, 31: 31–46.
  • van Oosten, J., 2008, Realizability: Ievads tās kategoriskajai pusei (Studies in Logic and the Foundations of Matics: 152. sējums), Amsterdam: Elsevier.
  • Prawitz, D., 1977, 'Nozīme un pierādījumi: Par konfliktu starp klasisko un intuitīvo loģiku', Teorija, 43 (1): 2–40.
  • Parsons, C., 1986, 'Intuīcija konstruktīvajā matemātikā', valodā, prātā un loģikā, J. Butter (red.), Cambridge: Cambridge University Press.
  • Sambins, G., 1987, “Intuitionistic formālās telpas” matemātiskajā loģikā un tās pielietojumos, D. Skordev (ed.), New York: Plenum.
  • Skots, D., 1968. gads, “Topoloģiskās interpretācijas paplašināšana līdz intuitīvai analīzei”, Compositio Mathematica, 20: 194–210.
  • ––– 1970. gads, “Topoloģiskās interpretācijas paplašināšana līdz intuitīvai analīzei II” Intuitionisma un pierādījumu teorijā, J. Myhill, A. Kino un R. Vesley (red.), Amsterdam: North-Holland.
  • Sundholma, BG, 'Konstruktīvas rekursīvas funkcijas, Baznīcas disertācija un Brouera radītā subjekta teorija: Pēcspēles Parīzes kopīgajā sesijā' Žaks Dubučs un Mišels Bordeau (red.), Konstruktivitāte un aprēķināmība vēsturiskā un filozofiskā perspektīvā (loģika, Epistemoloģija un zinātnes vienotība: 34. sējums), Dordrecht: Springer: 1–35.
  • Tarski, A., 1938. gads, “Der Aussagenkalkül und die Topologie”, Fundamenta Mathematicae, 31: 103–134.
  • Tieszen, R., 1994, “Kāds ir intuitīvās matemātikas filozofiskais pamats?”, D. Prawitz, B. Skyrms un D. Westerstahl (red.), Logic, Science and Science Philosophy, IX: 579–594.
  • –––, 2000, “Intuitīcionisms, nozīmes teorija un izziņa”, Loģikas vēsture un filozofija, 21: 179–194.
  • Troelstra, AS, 1973, Intuitīvisma aritmētikas un analīzes metamatemātiskie pētījumi (Lecture Notes in Mathematics: 344. sējums), Berlin: Springer.
  • –––, 1977, Izvēles sekvences (Oxford Logic Guides), Oksforda: Clarendon Press.
  • Troelstra, AS, un D. van Dalen, 1988, I un II konstruktīvisms, Amsterdama: Ziemeļholande.
  • Veldman, W., 1976. gads, “Intuitīvisma predikatīvās loģikas intuitīvās pilnīguma teorēma”, Journal of Symbolic Logic, 41 (1): 159–166.
  • –––, 1999, “Borela hierarhija un projektīvā hierarhija intuitīvisma matemātikā”, Ziņojuma numurs 0103, Neimegenas Universitātes Matemātikas katedra. [pieejams tiešsaistē]
  • –––, 2004, “Intuitīvisms Krusala teorēmas pierādījums”, Arhīvs matemātiskajai loģikai, 43 (2): 215–264.
  • –––, 2009, “Brūvera aptuvenā fiksētā punkta teorēma ir līdzvērtīga Brūvera fanu teorēmai”, S. Lindström, E. Palmgren, K. Segerberg, V. Stoltenberg-Hansen (red.), Logicism, intuitionism and Formalism (Synthese bibliotēka: 341. sējums), Dordrecht: Springer, 277–299.
  • –––, 2014, “Brūvera fana teorēma kā aksioma un pretstatā Kleena alternatīvai”, arhīvā matemātikas loģikai, 53 (5–6): 621–693.
  • –––, gaidāmā, ‘’ Intuīcionisms ir pilnīgi idejisks. Ja vien tā nav iedvesma,”- G. Alberts, L. Bergmans un F. Mullers (red.), Significs and Vīnes aplis: krustojumi, Dordrecht: Springer. [preprint pieejams tiešsaistē]
  • Weyl, H., 1921, 'Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik,' Mathematische Zeitschrift, 10: 39–70.
  • Wittgenstein, L., 1994, Wiener Ausgabe, Band 1, Philosophische Bemerkungen, Vīne, Ņujorka: Springer Verlag.
  • Wright, C., 1982, “Stingri finitisms”, Synthese 51 (2): 203–282.
  • Yessenin-Volpin, AS, 1970, “Ultraintuitīvisma kritika un antitradicionālā programma matemātikas pamatiem”, A. Kino, J. Myhill un R. Vesley (red.), Intuīciju un pierādījumu teorija, Amsterdama: Ziemeļi -Holland izdevniecība, 3. – 45.

Akadēmiskie rīki

sep cilvēks ikona
sep cilvēks ikona
Kā citēt šo ierakstu.
sep cilvēks ikona
sep cilvēks ikona
Priekšskatiet šī ieraksta PDF versiju vietnē SEP Friends.
inpho ikona
inpho ikona
Uzmeklējiet šo ierakstu tēmu interneta filozofijas ontoloģijas projektā (InPhO).
phil papīru ikona
phil papīru ikona
Uzlabota šī ieraksta bibliogrāfija vietnē PhilPapers ar saitēm uz tā datu bāzi.

Citi interneta resursi

Ieteicams: