Hilberta Programma

Satura rādītājs:

Hilberta Programma
Hilberta Programma

Video: Hilberta Programma

Video: Hilberta Programma
Video: Hilbert's Program 2024, Marts
Anonim

Ieejas navigācija

  • Iestāšanās saturs
  • Bibliogrāfija
  • Akadēmiskie rīki
  • Draugu PDF priekšskatījums
  • Informācija par autoru un atsauce
  • Atpakaļ uz augšu

Hilberta programma

Pirmoreiz publicēts ceturtdien, 2003. gada 31. jūlijā; būtiska pārskatīšana - piektdien, 2019. gada 24. maijā

1920. gadu sākumā vācu matemātiķis Deivids Hilberts (1862–1943) iesniedza jaunu priekšlikumu klasiskās matemātikas pamatiem, kas kļuvis pazīstams kā Hilberta programma. Tas prasa formalizēt visu matemātiku aksiomātiskā formā, kā arī pierādījumu, ka šī matemātikas aksiomatizācija ir konsekventa. Pats konsekvences pierādījums bija jāveic, izmantojot tikai to, ko Hilberts sauca par “finitārām” metodēm. Finitārā spriešanas īpašais epistemoloģiskais raksturs dod nepieciešamo klasiskās matemātikas pamatojumu. Lai arī Hilberts šādā formā ierosināja savu programmu tikai 1921. gadā, dažādi tās aspekti sakņojas pamatdarbā, kas balstās uz viņa atgriešanos līdz aptuveni 1900. gadam, kad viņš pirmo reizi uzsvēra nepieciešamību sniegt tiešu konsekvences pierādījumu analīzei. Darbs pie programmas 1920. gados ievērojami progresēja ar tādu loģiķu kā Pols Bernaiss, Vilhelms Ackermans, Džons fon Neimans un Žaks Herbrands atbalstu. Tam bija liela ietekme arī uz Kurtu Gēdeli, kura darbu pie nepabeigtības teorēmām motivēja Hilberta programma. Gēdela darbs parasti tiek parādīts, ka Hilberta programmu nevar īstenot. Tomēr tas joprojām ir ietekmējis pozīciju matemātikas filozofijā, un, sākot ar Gerharda Gentzena darbu 30. gados, darbs pie tā sauktajām Relativized Hilbert programmām ir bijis nozīmīgs pierādījumu teorijas attīstībā.kuru darbu pie nepilnības teorēmām motivēja Hilberta programma. Gēdela darbs parasti tiek parādīts, ka Hilberta programmu nevar īstenot. Tomēr tas joprojām ir ietekmējis pozīciju matemātikas filozofijā, un, sākot ar Gerharda Gentzena darbu 30. gados, darbs pie tā sauktajām Relativized Hilbert programmām ir bijis nozīmīgs pierādījumu teorijas attīstībā.kuru darbu pie nepilnības teorēmām motivēja Hilberta programma. Gēdela darbs parasti tiek parādīts, ka Hilberta programmu nevar īstenot. Tomēr tas joprojām ir ietekmējis pozīciju matemātikas filozofijā, un, sākot ar Gerharda Gentzena darbu 30. gados, darbs pie tā sauktajām Relativized Hilbert programmām ir bijis nozīmīgs pierādījumu teorijas attīstībā.

  • 1. Hilberta programmas vēsturiskā attīstība

    • 1.1. Agrīnais darbs pie pamatiem
    • 1.2 Principia Mathematica ietekme
    • 1.3 Fininisms un konsekvences pierādījumu meklējumi
    • 1.4 Gēdela nepabeigtības teorēmu ietekme
  • 2. Finitārā viedokļa

    • 2.1. Finitārie objekti un finitistu epistemoloģija
    • 2.2. Finiski nozīmīgi priekšlikumi un galīga argumentācija
    • 2.3. Finitārās operācijas un to pierādīšana
  • 3. Formālisms, redukcionisms un instrumentālisms
  • 4. Hilberta programma un Gēdela nepabeigtības teorēmas
  • 5. Pārskatītas Hilberta programmas
  • Bibliogrāfija
  • Akadēmiskie rīki
  • Citi interneta resursi
  • Saistītie ieraksti

1. Hilberta programmas vēsturiskā attīstība

1.1. Agrīnais darbs pie pamatiem

Hilberta darbs par matemātikas pamatiem sakņojas viņa darbā par 1890. gadu ģeometriju, kura kulminācija bija viņa ietekmīgā mācību grāmata Ģeometrijas pamati (1899) (sk. 19. gadsimta ģeometriju). Hilberts uzskatīja, ka pareizam jebkuras zinātniskās tēmas attīstīšanas veidam ir nepieciešama aksiomātiska pieeja. Sniedzot aksiomātisku ārstēšanu, teorija tiktu izstrādāta neatkarīgi no nepieciešamības pēc intuīcijas, un tā atvieglotu pamatjēdzienu un aksiomu loģisko attiecību analīzi. Aksiomātiskai apstrādei ļoti būtiska ir Hilberta aksiomu neatkarības un, pats galvenais, konsekvences izpēte. Ģeometrijas aksiomām konsekvenci var pierādīt, nodrošinot sistēmas interpretāciju reālajā plaknē, un tādējādiģeometrijas konsekvence tiek samazināta līdz analīzes konsekvencei. Analīzes pamatā, protams, ir vajadzīga aksiomatizācija un konsekvences pierādījums. Hilberts sniedza šādu aksiomatizāciju (1900b), taču ļoti ātri kļuva skaidrs, ka analīzes konsekvencei ir nopietnas grūtības, jo īpaši tāpēc, ka iecienītais veids, kā nodrošināt analīzes pamatus Dedekind darbā, balstījās uz apšaubāmiem pieņēmumiem, kas ir līdzīgi tiem, kas izraisa uz noteiktās teorijas paradoksiem un Rasela paradoksu Frege aritmētikas pamatos.jo īpaši tāpēc, ka iecienītais veids, kā sniegt analīzes pamatus Dedekind darbā, balstījās uz apšaubāmiem pieņēmumiem, kas ir līdzīgi tiem, kas ved uz kopu teorijas paradoksiem un Rasela paradoksu Frege aritmētikas pamatos.jo īpaši tāpēc, ka iecienītais veids, kā sniegt analīzes pamatus Dedekind darbā, balstījās uz apšaubāmiem pieņēmumiem, kas ir līdzīgi tiem, kas ved uz kopu teorijas paradoksiem un Rasela paradoksu Frege aritmētikas pamatos.

Tādējādi Hilberts saprata, ka ir vajadzīgs tiešs konsekvences pierādījums analīzei, ti, tāds, kas nav balstīts uz reducēšanu uz citu teoriju. Viņš ierosināja šādu pierādījumu atrašanas problēmu kā otro no 23 matemātiskajām problēmām savā uzrunā Starptautiskajā matemātiķu kongresā 1900. gadā (1900a) un Heidelbergas sarunā (1905) uzrādīja šāda pierādījuma skici. Vairāki faktori aizkavēja Hilberta pamatprogrammas turpmāku attīstību. Iespējams, viena bija Poincaré (1906) kritika pret to, ko viņš uzskatīja par ļaundarīgi apļveida indukcijas izmantošanu Hilberta ieskicētajā konsekvences pierādījumā (skat. Steiner 1975, pielikums). Hilberts arī saprata, ka aksiomātiskai izmeklēšanai ir nepieciešams labi izstrādāts loģisks formālisms. Tajā laikā viņš paļāvās uz loģikas koncepciju, kuras pamatā bija algebriskās tradīcijas, it īpaši uz Šrēdera darbu,kas nebija īpaši piemērots kā matemātikas aksiomatizācijas formālisms. (Sk. Peckhaus 1990 par Hilberta programmas agrīnu attīstību.)

1.2 Principia Mathematica ietekme

Russell and Whitehead's Principia Mathematica publikācija sniedza nepieciešamo loģisko pamatu atjaunotam uzbrukumam pamatjautājumiem. Kopš 1914. gada Hilberta students Heinrihs Behmans un citi pētīja Principijas sistēmu (sk. Mancosu 1999 par Behmana lomu Hilberta skolā). Pats Hilberts atgriezās darbā pie pamatjautājumiem 1917. gadā. 1917. gada septembrī viņš uzrunāja Šveices matemātikas biedrību ar nosaukumu “Aksiomatiskā doma” (1918a). Tas ir viņa pirmais publicētais ieguldījums matemātiskajos pamatos kopš 1905. gada. Tajā viņš vēlreiz uzsver prasību par konsekvences pierādījumiem aksiomātiskajām sistēmām: “Aksiomu teorijas galvenajai prasībai ir jāiet tālāk (nevis tikai jāizvairās no zināmiem paradoksiem), proti,parādīt, ka katrā zināšanu jomā pretrunas, kas balstās uz pamatā esošo aksiomu sistēmu, ir absolūti neiespējamas.” Kā galvenās atklātās problēmas viņš izvirza aritmētikas (un kopuma teorijas) konsekvences pierādījumu. Abos šajos gadījumos šķiet, ka nav nekā fundamentāla, kam būtu jāsamazina konsekvence, izņemot pašu loģiku. Un Hilberts pēc tam domāja, ka problēmu būtībā ir atrisinājis Rasela darbs Principiā. Neskatoties uz to, neatrisināja arī citas aksiomatikas pamatproblēmas, ieskaitot “katra matemātiskā jautājuma izlemjamības problēmu”, kas meklējama arī Hilberta 1900. gada adresē.šķiet, ka nav pieejama nekas fundamentālāks, kam konsekvenci varētu samazināt, izņemot pašu loģiku. Un Hilberts pēc tam domāja, ka problēmu būtībā ir atrisinājis Rasela darbs Principiā. Neskatoties uz to, neatrisināja arī citas aksiomatikas pamatproblēmas, ieskaitot “katra matemātiskā jautājuma izlemjamības problēmu”, kas arī meklējama Hilberta 1900. gada adresē.šķiet, ka nav pieejama nekas fundamentālāks, kam konsekvenci varētu samazināt, izņemot pašu loģiku. Un Hilberts pēc tam domāja, ka problēmu būtībā ir atrisinājis Rasela darbs Principiā. Neskatoties uz to, neatrisināja arī citas aksiomatikas pamatproblēmas, ieskaitot “katra matemātiskā jautājuma izlemjamības problēmu”, kas arī meklējama Hilberta 1900. gada adresē.

Šīs neatrisinātās aksiomatikas problēmas lika Hilbertam veltīt daudz pūļu, lai turpmākajos gados strādātu pie loģikas. 1917. gadā Pols Bernaiss viņam pievienojās kā Getingena palīgs. Kursu sērijās no 1917. līdz 1921. gadam Hilberts ar Bernaisa un Behmana palīdzību sniedza nozīmīgu jaunu ieguldījumu formālajā loģikā. Īpaši kursā no 1917. gada (Hilbert, 1918b) ir izsmalcināta pirmās kārtas loģikas izstrāde un tas ir pamats Hilbert un Ackermann mācību grāmata Teorētiskās loģikas principi (1928) (sk. Ewald and Sieg 2013, Sieg 1999, un Zach 1999, 2003).

1.3 Fininisms un konsekvences pierādījumu meklējumi

Tomēr nākamo dažu gadu laikā Hilberts atteicās no Rasela loģistiskā risinājuma aritmētikas konsekvences problēmai. Tajā pašā laikā Brūvera intuitīvā matemātika ieguva valūtu. It īpaši Hilberta bijušais students Hermans Veils pievērsās intuīcijai. Veila dokumentā “Jaunā pamata krīze matemātikā” (1921) Hilberts atbildēja trīs sarunās Hamburgā 1921. gada vasarā (1922b). Šeit Hilberts iepazīstināja ar savu priekšlikumu risinājumam matemātikas pamatu problēmai. Šajā priekšlikumā tika iekļautas Hilberta idejas no 1904. gada attiecībā uz tiešiem konsekvences pierādījumiem, viņa aksiomatisko sistēmu koncepciju, kā arī matemātikas aksiomatizācijas tehnisko attīstību Rasela darbā, kā arī turpmākās attīstības, kuras veica viņš un viņa līdzstrādnieki. Jaunums bija veids, kā Hilberts vēlējās savu konsekvences projektu iemūžināt ar filozofisko nozīmi, kas nepieciešama, lai atbildētu uz Brūvera un Veila kritiku: galīgo viedokli.

Pēc Hilberta teiktā, ir priviliģēta matemātikas daļa, saturiska elementārā skaitļu teorija, kas balstās tikai uz “tīri intuitīvu konkrētu zīmju pamatu”. Kaut arī operācija ar abstraktiem jēdzieniem tika uzskatīta par “nepietiekamu un nenoteiktu”, pastāv joma

īpaši loģiski diskrēti objekti, kas intuitīvi pastāv kā tūlītēja pieredze pirms visu pārdomu. Lai loģiski secinājumi būtu droši, tad šiem objektiem jābūt pilnībā apsekotiem visās to daļās, un to noformējumam, atšķirībai, pēctecībai (tāpat kā pašiem objektiem) mums ir jābūt tūlītēji, intuitīvi, kā kaut kas, kas nevar tikt reducētam uz kaut ko citu. (Hilberts 1922b, 202; fragments gandrīz vārdiski atkārtots Hilbertā 1926., 376., Hilbertā 1928., 464. un Hilbertā 1931.b, 267.)

Šie objekti Hilbertam bija zīmes. Kontekstuālā skaitļa teorijas sfēra sastāv no galīgajiem cipariem, ti, gājienu secībām. Tiem nav nozīmes, ti, tie neattiecas uz abstraktiem objektiem, bet tos var darbināt (piemēram, salikt) un salīdzināt. Zināšanas par viņu īpašībām un attiecībām ir intuitīvas, un to neizmanto loģiski secinājumi. Pēc Hilberta domām, šādā veidā izstrādāta satura skaitļu teorija ir droša: pretrunas nevar rasties tikai tāpēc, ka saturiskā skaitļu teorijas priekšlikumos nav loģiskas struktūras.

Intelektuāli saturiskās operācijas ar zīmēm veido Hilberta metamatemātikas pamatu. Tāpat kā saturiskā skaitļu teorija darbojas ar gājienu secībām, tā arī metamatemātika darbojas ar simbolu secībām (formulas, pierādījumi). Formulas un pierādījumus var sintaktiski manipulēt, un formulu un pierādījumu īpašības un attiecības ir līdzīgi balstītas uz intuitīvu spēju bez loģikas, kas garantē zināšanu skaidrību par formulām un pierādījumiem, kas iegūti šādās sintaktiskās operācijās. Pati matemātika tomēr darbojas ar abstraktiem jēdzieniem, piemēram, skaitļiem, kopām, funkcijām un izmanto loģiskus secinājumus, kuru pamatā ir tādi principi kā matemātiskā indukcija vai izslēgtā vidus princips. Šos “jēdziena veidojumus” un spriešanas veidus kritizēja Brūvers un citi, pamatojoties uz to, ka tie pieņem kā bezgalīgu sniegto kopsummu vai ka tie ietver neticamas definīcijas (kuras kritiķi uzskatīja par apburtiem apļiem). Hilberta mērķis bija pamatot to izmantošanu. Šajā nolūkā viņš norādīja, ka tos var formalizēt aksiomātiskajās sistēmās (piemēram, Principia vai tās, kuras izstrādājis pats Hilberts), un matemātiskie priekšlikumi un pierādījumi tādējādi pārvēršas formulās un atvasinājumos no aksiomām saskaņā ar stingri aprobežotiem atvasināšanas noteikumiem. Matemātika, tātad Hilberts, “kļūst par pārbaudāmu formulu krājumu”. Tādā veidā matemātikas pierādījumi tiek pakļauti metamatemātiskai, saturiskai izpētei. Tad Hilberta programmas mērķis ir sniegt saturisku,metamatemātisks pierādījums tam, ka nevar būt pretrunu atvasinājumu, ti, formulas (A) un tās nolieguma (neg A) formālu atvasinājumu nevar būt.

Šo programmas mērķu skici izstrādāja Hilberts un viņa līdzstrādnieki nākamajos 10 gados. No konceptuālās puses ierobežoto viedokli un konsekvences pierādīšanas stratēģiju izstrādāja Hilberts (1928); Hilberts (1923); Hilberts (1926) un Bernays (1928b); Bernays (1922); Bernays (1930), no kuriem Hilberta raksts “Par bezgalīgo” (1926) sniedz vissīkāko militārā viedokļa skaidrojumu. Bez Hilberta un Bernaisa programmas tehniskajā darbā bija iesaistīti arī citi cilvēki. Getingenā (Hilbert and Bernays, 1923; Hilbert, 1922a) lasītajās lekcijās Hilbert un Bernays izstrādāja (varepsilon / - calculus) kā galīgo formālismu aritmētikas un analīzes aksiomu sistēmām. Hilberts arī iepazīstināja ar savu pieeju konsekvences pierādījumu iegūšanai, izmantojot tā dēvēto (varepsilon) - aizvietošanas metodi. Ackermann (1924) mēģināja paplašināt Hilberta ideju līdz analīzes sistēmai. Pierādījumi tomēr bija kļūdaini (sk. Zach 2003). Džons fon Neimans, apmeklējot Getingeni, 1925. gadā sniedza labotu konsekvences pierādījumu ((varepsilon)) formālisma sistēmai (kas tomēr neietvēra indukcijas aksiomu) (publicēts 1927. gadā). Balstoties uz fon Neimana darbu, Ackermans izstrādāja jaunu aizstāšanas procedūru (varepsilon), kuru viņš darīja zināmu Bernātiem (sk. Bernays 1928b). Savā uzrunā “Matemātikas pamatotības problēmas” Starptautiskajam matemātiķu kongresam Boloņā 1928. gadā (1929),Hilberts optimistiski apgalvoja, ka Ackermana un fon Neimana darbs ir izveidojis skaitļu teorijas konsekvenci un ka analīzes pierādījumus Ackermann jau ir veicis “tiktāl, cik vienīgais atlikušais uzdevums ir elementāras finestess teorēmas pierādījums, ka ir tikai aritmētisks.”

1.4 Gēdela nepabeigtības teorēmu ietekme

Gēdela nepabeigtības teorēmas parādīja, ka Hilberta optimisms bija nepamatots. 1930. gada septembrī Kērts Gēdels konferencē Kēnigsbergā paziņoja par savu pirmo nepabeigtības teorēmu. Von Neimans, kurš bija auditorijā, nekavējoties atzina Gēdela rezultāta nozīmi Hilberta programmā. Neilgi pēc konferences viņš rakstīja Gēdelam, sakot, ka viņš ir atradis Gēdela rezultāta sekas. Gēdels tādu pašu rezultātu bija atradis jau patstāvīgi: otrā nepabeigtības teorēma, apgalvojot, ka Principia sistēma nepierāda apgalvojuma, ka Principia sistēma ir konsekventa (ar nosacījumu, ka tāda ir), formalizēšanu. Tomēr visas principiāli pamatotās metodes, kas līdz šim tika izmantotas konsekvences pierādījumos, tika uzskatītas par formalizējamām Principiā. Tātad,ja Principia konsekvenci varēja pierādīt ar Ackermann pierādījumos izmantotajām metodēm, vajadzētu būt iespējai šo pierādījumu formalizēt Principia; bet tas ir tas, ko otrais nepabeigtības teorēmas statuss nav iespējams. Bernaiss arī saprata Gēdela rezultātu nozīmīgumu tūlīt pēc tam, kad viņš 1931. gada janvārī izpētīja Gēdela darbu, rakstot Gēdelam, ka (ar pieņēmumu, ka principiāli var formalizēt finiša spriešanu) nepilnības teorēma parāda, ka Principijas finitārā konsekvences pierādīšana nav iespējama. Neilgi pēc tam fon Neimans parādīja, ka Akermaņa konsekvences pierādījumos ir trūkumi, un sniedza pretparaugu ierosinātajai (varepsilon) - aizstāšanas procedūrai (sk. Zach 2003).bet tas ir tas, ko otrais nepabeigtības teorēmas statuss nav iespējams. Bernaiss arī saprata Gēdela rezultātu nozīmīgumu tūlīt pēc tam, kad viņš 1931. gada janvārī izpētīja Gēdela darbu, rakstot Gēdelam, ka (ar pieņēmumu, ka principiāli var formalizēt finiša spriešanu) nepilnības teorēma parāda, ka Principijas finitārā konsekvences pierādīšana nav iespējama. Neilgi pēc tam fon Neimans parādīja, ka Akermaņa konsekvences pierādījumos ir trūkumi, un sniedza pretparaugu ierosinātajai (varepsilon) - aizstāšanas procedūrai (sk. Zach 2003).bet tas ir tas, ko otrais nepabeigtības teorēmas statuss nav iespējams. Bernaiss arī saprata Gēdela rezultātu nozīmīgumu tūlīt pēc tam, kad viņš 1931. gada janvārī izpētīja Gēdela darbu, rakstot Gēdelam, ka (ar pieņēmumu, ka principiāli var formalizēt finiša spriešanu) nepilnības teorēma parāda, ka Principijas finitārā konsekvences pierādīšana nav iespējama. Neilgi pēc tam fon Neimans parādīja, ka Akermaņa konsekvences pierādījumos ir trūkumi, un sniedza pretparaugu ierosinātajai (varepsilon) - aizstāšanas procedūrai (sk. Zach 2003).rakstot Gēdelam, ka (pieņemot, ka principiālo argumentāciju var formalizēt Principiā), nepilnības teorēma parāda, ka Principia galīgais konsekvences pierādījums nav iespējams. Neilgi pēc tam fon Neimans parādīja, ka Akermaņa konsekvences pierādījumos ir trūkumi, un sniedza pretparaugu ierosinātajai (varepsilon) - aizstāšanas procedūrai (sk. Zach 2003).rakstot Gēdelam, ka (pieņemot, ka principiālo argumentāciju var formalizēt Principiā), nepilnības teorēma parāda, ka Principia galīgais konsekvences pierādījums nav iespējams. Neilgi pēc tam fon Neimans parādīja, ka Akermaņa konsekvences pierādījumos ir trūkumi, un sniedza pretparaugu ierosinātajai (varepsilon) - aizstāšanas procedūrai (sk. Zach 2003).

Gentzen (1936) publicēja pirmās kārtas Peano aritmētisko ((PA)) konsekvences pierādījumu. Kā Gēdels pierādīja, ka tas bija nepieciešams, Gentzena pierādījumā tika izmantotas metodes, kuras nevarēja formalizēt pašā (PA), proti, transfinīta indukcija gar ordinālo (varepsilon_0). Gentzen darbs iezīmē post-Gödelian pierādījumu teorijas sākumu un darbu pie Relativized Hilbert programmas. Pierādījumu teorija Gentzena tradīcijā ir analizējusi aksiomātiskās sistēmas atbilstoši tam, kādi finitārā viedokļa paplašinājumi ir nepieciešami, lai pierādītu to konsekvenci. Parasti sistēmu konsekvences izturība tiek mērīta ar sistēmas teorētisko korektūru, ti, ar ordinal transfinite indukciju, pa kuru pietiek, lai pierādītu konsekvenci. (PA) gadījumā kārtējais ir (varepsilon_0). (Turpmākai diskusijaiskatīt ierakstu par pierādījumu teorijas attīstību.)

2. Finitārā viedokļa

Hilberta matemātikas filozofijas stūrakmens un viņa pamatdomu būtiski jauns aspekts, sākot no 1922. gada, sastāvēja no tā, ko viņš sauca par galīgo viedokli. Šis metodiskais viedoklis ir matemātiskās domas ierobežojums tikai tiem objektiem, kuri “intuitīvi atrodas kā tūlītēja pieredze pirms visas domas”, un tām darbībām ar argumentācijas metodēm un objektiem, kurām nav nepieciešams ieviest abstraktus jēdzienus. it īpaši, nepārsūdzot pabeigto bezgalīgo kopsummu.

Lai izprastu Hilberta galīgo nostāju, ir vairākas pamata un savstarpēji saistītas problēmas:

  1. Kādi ir galīgās argumentācijas objekti?
  2. Kādi ir galīgi nozīmīgi priekšlikumi?
  3. Kādas ir galīgi pieņemamas konstruēšanas un spriešanas metodes?

2.1. Finitārie objekti un finitistu epistemoloģija

Hilberts aprakstīja galīgās spriešanas jomu plaši pazīstamā rindkopā, kas ir aptuveni tādā pašā formulējumā visos Hilberta 1920. gadu filozofiskajos dokumentos (1931b; 1922b; 1928; 1926):

[Loģisku secinājumu izmantošanas un loģisku operāciju veikšanas nosacījums] kaut kas jau ir jāpiešķir mūsu reprezentācijas fakultātei, daži ārpusloģiski konkrēti objekti, kas intuitīvi atrodas kā tūlītēja pieredze pirms visas domas. Lai loģiski secinājumi būtu ticami, ir jābūt iespējai šos objektus pilnībā apsekot visās to daļās, un tūlīt tiek dots fakts, ka tie rodas, ka tie atšķiras viens no otra un ka tie seko viens otram vai ir salieti. intuitīvi, kopā ar objektiem, kā kaut ko tādu, ko nevar ne reducēt ne uz ko citu, ne arī uz reducēšanu. Šī ir filozofijas pamatpozīcija, kuru es uzskatu par nepieciešamu matemātikai un vispār visai zinātniskajai domāšanai, izpratnei un komunikācijai. (Hilberts, 1926, 376)

Šie objekti Hilbertam ir zīmes. Kontekstuālās skaitļu teorijas jomā attiecīgie apzīmējumi ir tādi cipari kā

1, 11, 111, 11111

Uz jautājumu, cik precīzi Hilberts saprata ciparus, ir grūti atbildēt. Tie nav fiziski objekti (piemēram, faktiski triecieni uz papīra), jo vienmēr jābūt iespējai pagarināt ciparu, pievienojot vēl vienu taktu (un, kā Hilberts arī apgalvo “Par bezgalīgo” (1926), ir apšaubāmi, ka fiziskais Visums ir bezgalīgs). Pēc Hilberta teiktā (1922b, 202), to formu mēs parasti un noteikti varam atpazīt neatkarīgi no vietas un laika, no apzīmējuma izgatavošanas īpašajiem nosacījumiem un no nenozīmīgajām atšķirībām gatavajā izstrādājumā. Tās nav garīgas konstrukcijas, jo to īpašības ir objektīvas, tomēr to esamība ir atkarīga no viņu intuitīvās uzbūves (sk. Bernays 1923, 226). Jebkurā gadījumā ir skaidrs, ka tie ir loģiski primitīvi, ti,tie nav ne jēdzieni (kā ir Frege skaitļi), ne kopas. Šeit svarīgs ir nevis viņu metafiziskais statuss (abstrakts pret konkrētu šo terminu pašreizējā izpratnē), bet arī tas, ka viņi neveido loģiskas attiecības, piemēram, viņus nevar kaut ko paredzēt. Bernays visnobriedušākajos finitisma aprakstos (Hilbert and Bernays, 1939; Bernays, 1930) finitisma objekti tiek raksturoti kā formāli objekti, kurus rekursīvi rada atkārtošanās process; sitienu simboli ir šo formālo objektu konkrēti attēlojumi. Bernays visnobriedušākajos finitisma aprakstos (Hilbert and Bernays, 1939; Bernays, 1930) finitisma objekti tiek raksturoti kā formāli objekti, kurus rekursīvi rada atkārtošanās process; sitienu simboli ir šo formālo objektu konkrēti attēlojumi. Bernays visnobriedušākajos finitisma aprakstos (Hilbert and Bernays, 1939; Bernays, 1930) finitisma objekti tiek raksturoti kā formāli objekti, kurus rekursīvi rada atkārtošanās process; sitienu simboli ir šo formālo objektu konkrēti attēlojumi.

Tikpat grūts ir jautājums par to, ko Hilberts uzskatīja par finitisma objektu epistemoloģisko statusu. Lai veiktu droša pamata izveidi bezgalīgai matemātikai, piekļuvei militārajiem objektiem jābūt tūlītējai un drošai. Hilberta filozofiskais pamats bija kantijas, tāpat kā Bernaisa, kurš bija cieši saistīts ar neokantiešu filozofijas skolu ap Leonardu Nelsonu Getingenē. Hilberta raksturīgais finitisms bieži atsaucas uz Kantian intuīciju, un finitism objekti ir kā intuitīvi sniegti objekti. Patiešām, Kanta epistemoloģijā tiešums ir intuitīvu zināšanu raksturīga iezīme. Jautājums ir, kāda veida intuīcija spēlē? Mancosu (1998b) identificē pārmaiņas šajā sakarā. Viņš apgalvo, ka, lai gan Hilberta agrīnajos rakstos iesaistītā intuīcija bija sava veida uztveres intuīcija, vēlākos rakstos (piemēram, Bernays 1928a) tā tiek identificēta kā tīras intuīcijas forma kantijas izpratnē. Tomēr aptuveni tajā pašā laikā Hilberts (1928, 469) joprojām identificē spēlē izmantoto intuīciju kā uztverošu. (1931.b, 266. – 267.) Hilberts uzskata ierobežoto domāšanas veidu kā atsevišķu a priori zināšanu avotu papildus tīrai intuīcijai (piemēram, kosmosam) un saprātam, apgalvojot, ka viņš ir “atpazinis un raksturojis trešo avotu zināšanas, kas pavada pieredzi un loģiku.” Gan Bernajs, gan Hilberts attaisno zināšanas par finismu plaši Kantian izteiksmē (tomēr neapmeklējot tik tālu, lai sniegtu pārpasaulīgu dedukciju), raksturojot galīgo spriešanu kā tāda veida spriešanu, kas ir pamatā visam matemātiskajam,un patiešām zinātniska, domāšana, bez kuras šāda doma nebūtu iespējama. (Sk. Kitcher 1976 un Parsons 1998 par finitisma epistemoloģiju un Patton 2014 par Hilberta pazīmju teorijas vēsturisko un filozofisko kontekstu.)

2.2. Finiski nozīmīgi priekšlikumi un galīga argumentācija

Visvienkāršākie spriedumi par skaitliskajiem cipariem ir tie, kas attiecas uz vienlīdzību un nevienlīdzību. Turklāt ierobežotais viedoklis ļauj veikt darbības ar militāriem objektiem. Šeit visvienkāršākā ir konkatizācija. Ciparu 11 un 111 apvienojums tiek paziņots kā “(2 + 3)”, un apgalvojums, ka 11, kas salikts ar 111, iegūst tādu pašu ciparu kā 111, kas ir salikts ar 11 ar “(2 + 3 = 3 + 2).” Faktiski korektūras praksē, kā arī skaidri (Hilbert and Bernays, 1934; Bernays, 1930), šīs pamata operācijas tiek vispārinātas ar operācijām, kuras nosaka rekursija, paradigmatiski, primitīva rekursija, piemēram, reizināšana un eksponēšana (skat. Parsons 1998 filozofiskas grūtības saistībā ar eksponenciāciju un 2007. gadu izvērstai diskusijai par intuitīvo matemātiku un finismu). Līdzīgimilitāri spriedumi var ietvert ne tikai vienlīdzību vai nevienlīdzību, bet arī pamata nolemjamas īpašības, piemēram, “ir galvenā”. Tas ir galīgi pieņemams, ja vien šāda īpašuma raksturīgā funkcija pati par sevi ir finitāra: Piemēram, operāciju, kas pārveido skaitli ar 1, ja tas ir primāts, un 11 pretējā gadījumā var definēt ar primitīvu rekursiju, un līdz ar to ir finitāra. Šādus galīgus priekšlikumus var apvienot ar parastajām loģiskajām konjunktūras, disjunkcijas, nolieguma, bet arī kvantitatīvās noteikšanas operācijām. (Hilberts, 1926) sniedz piemēru apgalvojumam, ka “ir sākotnējais skaitlis starp (p + 1) un (p! + 1)”, kur (p) ir noteikts liels sākumsumma. Šis apgalvojums ir galīgi pieņemams, jo tas “kalpo tikai priekšlikuma saīsināšanai”, ka vai nu (p + 1) vai (p + 2) vai (p + 3), vai… vai (p! + 1) ir galvenā.

Problemātiski finišu priekšlikumi ir tie, kas izsaka vispārīgus faktus par cipariem, piemēram, ka katram skaitlim (n, 1 + n = n + 1). Tas ir problemātiski, jo, kā saka Hilberts, tas “no finitistiskā viedokļa nav noliedzams” (1926, 378). Ar to viņš saprot pretrunīgo apgalvojumu, ka ir cipars (n), kuram (1 + n / ne n + 1) nav galīgi nozīmīga. “Galu galā nevar izmēģināt visus numurus” (1928, 470). Tā paša iemesla dēļ galīgais vispārīgais piedāvājums nav jāsaprot kā bezgalīgs savienojums, bet gan “tikai kā hipotētisks spriedums, kas nāk kaut ko apgalvot, kad tiek dots cipars” (turpat). Pat ja tie šajā ziņā ir problemātiski, vispārīgie finišu paziņojumi ir īpaši svarīgi Hilberta pierādījumu teorijai,tā kā formālās sistēmas konsekvences paziņojums (S) ir tik vispārīgā formā: jebkurai dotajai formulu secībai (P, P) nav pretrunas atvasinājums tekstā (S).

2.3. Finitārās operācijas un to pierādīšana

Gan finitisma izpratnei, gan Hilberta pierādījumu teorijai ir izšķiroša nozīme jautājumā par to, kādas darbības un kādi pierādīšanas principi būtu jāļauj no finitistu viedokļa. Tas, ka ir nepieciešama vispārēja atbilde, izriet no Hilberta pierādījumu teorijas prasībām, proti, nav gaidāms, ka, ņemot vērā formālu matemātikas sistēmu (vai pat vienu formulu secību), var “redzēt”, ka tā ir konsekventa (vai ka tas nevar būt patiess neatbilstības atvasinājums), kā mēs varam redzēt, piemēram, ka (11 + 111 = 111 + 11). Konsekvences pierādījumam nepieciešama operācija, kas, ņemot vērā formālu atvasinājumu, pārveido šādu atvasinājumu kādā īpašā formā, pievienojot pierādījumus tam, ka operācija faktiski to dara un ka īpaša veida pierādījumi nevar būt neatbilstības pierādījumi.. Lai to uzskatītu par konsekvences pierādījumu finierim, pašai operācijai jābūt pieņemamai no finitistu viedokļa, un nepieciešamajiem pierādījumiem ir jāizmanto tikai galīgi pieņemami principi.

Hilberts nekad nesniedza vispārīgu pārskatu par to, kuras operācijas un pierādīšanas metodes ir pieņemamas no finitistu viedokļa, bet gan tikai operāciju un secinājumu metožu piemērus konstitucionālajā militāro skaitļu teorijā, kurus viņš pieņēma kā galīgus. Kontekstuālā indukcija tika pieņemta tās piemērošanā hipotētiska, vispārīga rakstura galīgajiem izteikumiem, kas skaidri izteikti Hilbertā (1922b). Viņš (1923, 1139) sacīja, ka intuitīvā domāšana “ietver rekursiju un intuitīvu indukciju ierobežotajiem esošajiem kopsummām” un 1928. gada piemērā izmantoja eksponenci. Bernays (1930) paskaidroja, kā eksponenci var saprast kā skaitļu finitāru operāciju. Hilberts un Bernaiss (1934) sniedz vienīgo vispārīgo pārskatu par militāro saturisko skaitļu teoriju; saskaņā ar to,darbības, ko nosaka primitīva rekursija un pierādījumi, izmantojot indukciju, ir galīgi pieņemamas. Visas šīs metodes var formalizēt sistēmā, kas pazīstama kā primitīva rekursīvā aritmētika ((PRA)), kas ļauj definēt funkcijas, izmantojot primitīvu rekursiju un indukciju, izmantojot formulas, kas nesatur skaitļus (turpat). Tomēr ne Hilberts, ne Bernajs nekad nav apgalvojuši, ka tikai primitīvas rekursīvas operācijas uzskatāmas par finitārām, un faktiski viņi jau 1923. gadā šķietami smalkās konsekvences pierādījumos izmantoja dažas neprimitīvas rekursīvas metodes (sk. Tait 2002 un Zach 2003).ne Hilberts, ne Bernajs nekad nav apgalvojuši, ka tikai primitīvas rekursīvas operācijas uzskatāmas par finitārām, un viņi faktiski jau 1923. gadā izmantoja dažas neprimitīvas rekursīvas metodes šķietami smalkas konsekvences pierādījumos (sk. Tait 2002 un Zach 2003).ne Hilberts, ne Bernajs nekad nav apgalvojuši, ka tikai primitīvas rekursīvas operācijas uzskatāmas par finitārām, un viņi faktiski jau 1923. gadā izmantoja dažas neprimitīvas rekursīvas metodes šķietami smalkas konsekvences pierādījumos (sk. Tait 2002 un Zach 2003).

Interesantāks konceptuāls jautājums ir tas, kuras operācijas jāuzskata par galīgām. Tā kā Hilberts bija mazāk nekā pilnīgi skaidrs, no kā sastāv militārais viedoklis, ierobežojumu noteikšanai ir zināma rīcības brīvība, epistemoloģiski un citādi, ir jāizpilda finitistu operācijas un pierādījumu analīze. Hilberts raksturoja (skat. Iepriekš) militāro skaitļu teorijas objektus kā “intuitīvi dotus”, kā “visās to daļās novērojamus” un sacīja, ka tiem, kam ir pamatīpašības, mums “intuitīvi jāeksistē”. Bernaiss (1922, 216) ierosina, ka finitārajā matemātikā spēlē tikai “primitīvās intuitīvās izziņas”, un saistībā ar 1922., 1930. gada finismu izmanto terminu “intuitīvo pierādījumu viedoklis”. Šo finitisma raksturojumu, kas galvenokārt saistīts ar intuīciju un intuitīvajām zināšanām, īpaši uzsvēra (Parsons, 1998), kurš apgalvo, ka tas, kas šai izpratnei var tikt uzskatīts par galīgo, ir tikai tās aritmētiskās operācijas, kuras var noteikt no saskaitīšanas un reizināšanas. izmantojot ierobežotu rekursiju. Jo īpaši, pēc viņa teiktā, eksponēšana un vispārējā primitīvā rekursija nav galīgi pieņemama.

Tēze, ka finitisms sakrīt ar primitīvu rekursīvu spriešanu, ir spēcīgi aizstāvējusi (Tait 1981; sk. Arī 2002 un 2005b). Taits, atšķirībā no Parsona, noraida intuīcijas reprezentativitātes aspektu kā galīgās pazīmes; tā vietā viņš uzskata, ka galīgais pamatojums ir “minimāls spriešanas veids, ko pieņem visi ne-triviālie matemātiskie apsvērumi par skaitļiem”. un analizē militārās operācijas un pierādīšanas metodes kā tādas, kuras netieši norāda uz skaitli kā ierobežotas secības formu. Šo finitisma analīzi apstiprina Hilberta apgalvojums, ka galīgais pamatojums ir loģiskas un matemātiskas, patiesībā jebkuras zinātniskas domāšanas priekšnoteikums, ko Hilberts (1931b, 267). Tā kā galīgais pamatojums ir tā matemātikas daļa, kuru priekšnoteikums ir visi ar trijiem nesaistītie skaitļu apsvērumi, tā ir,tātad Tait, “neapšaubāms” Dekarta izpratnē, un tas neapšaubāmība kā viss, kas būtu vajadzīgs galīgajam pamatojumam, lai nodrošinātu matemātikas epistemoloģisko pamatojumu, ko Hilberts tam paredzējis.

Citu interesantu militāro pierādījumu analīzi, kas tomēr nesniedz tik detalizētu filozofisku pamatojumu, ierosināja Kreisels (1960). Tas dod rezultātu, ka tieši tās funkcijas ir finitāras, kuras var pierādīt kā kopīgas pirmās kārtas aritmētikā (PA). Tas ir balstīts uz reflektācijas principa teorētisko koncepciju; sīkāku informāciju skatīt Zach (2006) un analīzi Dean (2015). Kreisel (1970, 3.5. Sadaļa) sniedz vēl vienu analīzi, koncentrējoties uz to, kas ir “vizualizējams”. Rezultāts ir tāds pats: finitārā provizorija izrādās līdzīga ar provizoriskumu (PA).

Taita tehniskā analīze ļauj secināt, ka finitistiskās funkcijas ir tieši primitīvas rekursīvas, un finitistiskās skaitļu teorētiskās patiesības ir tieši tādas, kuras pierādāmas primitīvas rekursīvas aritmētikas teorijā (PRA). Ir svarīgi uzsvērt, ka šī analīze netiek veikta no paša finitistiskā viedokļa. Tā kā vispārējie jēdzieni “funkcija” un “pierādīšana” paši par sevi nav finitāri, finitists nespēj saprast Taita tēzi, ka viss, kas pierādāms (PRA), ir finitistiski patiess. Pēc Taita teiktā, veicot pareizu finitistiskās pierādāmības analīzi, nevajadzētu pieņemt, ka pašam finitismam ir pieeja šādiem nefinitistiskiem priekšstatiem. Kreisela pieeja un dažas Taita kritikas, kas balstās uz pārdomu principiem vai (omega) - noteikumiem, ir pakļautas šai prasībai (sk. Tait 2002, 2005b). No otras puses,varētu apgalvot, ka (PRA) ir pārāk spēcīga teorija, lai to uzskatītu par formalizāciju tam, ko “pieņem visi ne triviālie matemātiskie apsvērumi par skaitļiem”: ir vājākas, bet ne triviālas teorijas, kas saistītas ar mazākām klasēm funkciju, nevis primitīvās rekursīvās funkcijas, piemēram, (PV) un (EA), kas saistītas ar polinoma laiku un Kalmāra elementārajām funkcijām (sk. Avigad 2003 par to, cik daudz matemātikas var veikt (EA)). Izmantojot tādu pašu analīzi kā Taits, Ganea (2010) ir nonācis atbilstošajā Kalmāra elementāro funkciju klasē, kas ir finitistiska.ir vājākas, bet ne triviālas teorijas, kas saistītas ar mazākām funkciju klasēm nekā primitīvās rekursīvās, piemēram, (PV) un (EA), kas attiecīgi saistītas ar polinoma laiku un Kalmara elementārajām funkcijām (skat. Avigad 2003 par to, cik daudz matemātikas var veikt (EA)). Izmantojot tādu pašu analīzi kā Taits, Ganea (2010) ir nonācis atbilstošajā Kalmāra elementāro funkciju klasē, kas ir finitistiska.ir vājākas, bet ne triviālas teorijas, kas saistītas ar mazākām funkciju klasēm nekā primitīvās rekursīvās, piemēram, (PV) un (EA), kas attiecīgi saistītas ar polinoma laiku un Kalmara elementārajām funkcijām (skat. Avigad 2003 par to, cik daudz matemātikas var veikt (EA)). Izmantojot tādu pašu analīzi kā Taits, Ganea (2010) ir nonācis atbilstošajā Kalmāra elementāro funkciju klasē, kas ir finitistiska. Ganea (2010) ir nonācis atbilstošajā Kalmāra elementāro funkciju klasē kā tās, kas ir finitistiskas. Ganea (2010) ir nonācis atbilstošajā Kalmāra elementāro funkciju klasē kā tās, kas ir finitistiskas.

3. Formālisms, redukcionisms un instrumentālisms

Veils (1925) bija samierinoša reakcija uz Hilberta priekšlikumu 1922. un 1923. gadā, kas tomēr saturēja dažas svarīgas kritikas. Veils aprakstīja Hilberta projektu kā aizstājot saturisko matemātiku ar bezjēdzīgu formulu spēli. Viņš atzīmēja, ka Hilberts vēlas “nodrošināt nevis patiesību, bet gan analīzes konsekvenci”, un ierosināja kritiku, kas atkārto Frega iepriekšējo: Kāpēc gan mums vajadzētu uzskatīt formālās matemātikas sistēmas konsekvenci par iemeslu ticēt pirmformālo matemātiku tā kodificē? Vai Hilberta bezjēdzīgais formulu uzskaitījums nav tikai “bezasinis analīzes spoks”? Veils ierosināja risinājumu:

[I] Ja matemātikai ir jāpaliek nopietnām kultūras problēmām, tad Hilberta formulu spēlei ir jābūt zināmai jēgai, un es redzu tikai vienu iespēju tai (tai skaitā tās pārrobežu komponentiem) piedēvēt neatkarīgu intelektuālu nozīmi. Teorētiskajā fizikā mums priekšā ir lielisks [veida] zināšanu piemērs ar pilnīgi atšķirīgu raksturu, nevis vispārpieņemtajām vai fenomenālajām zināšanām, kas tīri izsaka to, kas tiek dots intuīcijā. Lai arī šajā gadījumā katram spriedumam ir sava jēga, kas ir pilnībā realizējama intuīcijā, tas nekādā gadījumā neattiecas uz teorētiskās fizikas izteikumiem. Tādā gadījumā drīzāk tiek apšaubīta sistēma kopumā, ja tā saskaras ar pieredzi. (Weyl, 1925, 140)

Pārsteidzoša ir analoģija ar fiziku, un līdzīgas idejas var atrast arī paša Hilberta rakstībā - iespējams, ka Hilbertu tajā ietekmēja Veils. Lai arī Hilberta pirmie priekšlikumi bija vērsti tikai uz konsekvenci, Hilberta domāšanā ir manāma attīstība vispārīga reductivistiska projekta virzienā, kas bija diezgan izplatīts tā laika zinātnes filozofijā (kā to uzsvēra Giaquinto 1983). 1920. gadu otrajā pusē Hilberts konsekvences programmu aizstāja ar konservatīvisma programmu: Formalizētā matemātika bija jāapsver pēc analoģijas ar teorētisko fiziku. Teorētiskās daļas galīgais attaisnojums ir tās konservatīvisms attiecībā pret “reālo” matemātiku: ja teorētiskā “ideālā” matemātika pierāda “reālo” apgalvojumu, tas arī intuitīvi ir patiess. Tas attaisno transfinitās matemātikas izmantošanu: tā ir ne tikai konsekventa iekšēji, bet arī apliecina tikai patiesus intuitīvus piedāvājumus (un patiešām visus, jo intuitīvās matemātikas formalizēšana ir daļa no visas matemātikas formalizācijas).

1926. gadā Hilberts ieviesa atšķirību starp īstajām un ideālajām formulām. Šādas atšķirības nebija 1922. gadā, un par tām tika dots atsauce tikai 1923. gadā. Pēdējā gadījumā Hilberts vispirms iepazīstina ar formālu skaitļu teorijas nesaturošu skaitļu teorijas sistēmu, par kuru viņš saka, ka “visiem pierādāmām formulām, kuras mēs iegūstam šādā veidā, ir visas ierobežots”(1139). Tad teorijas vienkāršošanai un papildināšanai tiek pievienotas transfinitālās aksiomas (ti, skaitļi). Šeit viņš pirmo reizi pievelk analoģiju ar ideālo elementu metodi: “Manā pierādījumu teorijā transfinitās aksiomas un formulas tiek piesaistītas ierobežotajām aksiomām, tāpat kā sarežģītu mainīgo teorijā iedomāti elementi tiek piesaistīti reālajam., un tieši tāpat kā ģeometrijā ideālās konstrukcijas tiek piesaistītas faktiskajai”(turpat). Kad Hilberts,1926. gadā skaidri iepazīstina ar ideāla piedāvājuma jēdzienu, un 1928. gadā, kad viņš pirmo reizi runā par reāliem piedāvājumiem papildus ideālam, viņam ir pilnīgi skaidrs, ka teorijas reālā daļa sastāv tikai no izlemjamām, mainīgiem nesaturošām formulām. Domājams, ka tie ir “tieši verificējami” - līdz ar priekšlikumiem, kas izriet no dabas likumiem, kurus var pārbaudīt ar eksperimenta palīdzību (1928, 475). Jaunais programmas attēls bija šāds: klasiskā matemātika jāformalizē sistēmā, kas ietver visu tieši pārbaudāmu (pēc aprēķiniem) saturiska ierobežotā skaitļa teorijas ierosinājumu formalizēšanu. Konsekvences pierādījumam vajadzētu parādīt, ka visi reālie apgalvojumi, kurus var pierādīt ar ideālām metodēm, ir patiesi, ti, tos var tieši pārbaudīt ar ierobežotu aprēķinu.(Faktiski pierādījumi, piemēram, (varepsilon) - aizstāšana vienmēr ir bijusi šāda veida: nodrošina finitāras procedūras, kas novērš pārrobežu elementus no reālu paziņojumu pierādījumiem, jo īpaši no (0 = 1).) Patiešām, Hilberts redzēja, ka taisnība ir kaut kas spēcīgāks: konsekvences pierādījums ne tikai nosaka ar ideālām metodēm pierādāmu reālu formulu patiesību, bet arī dod vispārēju galīgo apgalvojumu galīgos pierādījumus, ja atbilstošā brīvi mainīgā formula ir iegūstama ar ideālām metodēm (1928, 474)..bet tas rada vispārīgu vispārēju apgalvojumu smalkus pierādījumus, ja atbilstošā brīvā mainīgā formula ir atvasināma ar ideālām metodēm (1928, 474).bet tas rada vispārīgu vispārēju apgalvojumu smalkus pierādījumus, ja atbilstošā brīvā mainīgā formula ir atvasināma ar ideālām metodēm (1928, 474).

Hilberts papildus konservativitātei ierosināja papildu teorijas ierobežojumus: vienkāršību, pierādījumu īsumu, “domas ekonomiju” un matemātisko produktivitāti. Transfinitās loģikas formālā sistēma nav patvaļīga: “Šī formulas spēle tiek veikta saskaņā ar noteiktiem noteiktiem noteikumiem, kuros tiek izteikta mūsu domāšanas tehnika. […] Manas pierādījumu teorijas pamatideja ir nekas cits kā aprakstīt mūsu izpratnes darbību, sastādīt noteikumu protokolu, saskaņā ar kuru mūsu domāšana faktiski notiek”(Hilbert, 1928, 475). Kad Veils (1928) galu galā novērsās no intuitīvisma (iemeslu dēļ sk. Mancosu un Ryckman, 2002), viņš uzsvēra šo Hilberta pierādījumu teorijas motivāciju: nepārvērst matemātiku par bezjēdzīgu simbolu spēli,bet pārvērst to par teorētisko zinātni, kas kodificē zinātnisko (matemātisko) praksi.

Tādējādi Hilberta formālisms bija diezgan izsmalcināts: tas izvairījās no diviem kritiskiem iebildumiem: (1) Ja sistēmas formulām ir bezjēdzīga nozīme, kā sistēmas atvasināmība var radīt jebkāda veida pārliecību? (2) Kāpēc pieņemt (PA) sistēmu, nevis kādu citu konsekventu sistēmu? Abi iebildumi ir pazīstami no Frege; uz abiem jautājumiem (daļēji) ir sniegts konservatīvas izturības pierādījums reāliem paziņojumiem. Turklāt attiecībā uz (2) Hilbertam ir naturālistisks pieņemšanas kritērijs: sistēmu izvēli ierobežo vienkāršības, auglības, vienveidības apsvērumi un tas, ko patiesībā dara matemātiķi; Veils piebildīs, ka teorijas galvenais pārbaudījums būs tās noderīgums fizikā.

Lielākā daļa matemātikas filozofu, kas raksta par Hilbertu, ir lasījuši viņu kā instrumentālistu (ieskaitot Kitcher 1976, Resnik 1980, Giaquinto 1983, Sieg 1990 un jo īpaši Detlefsen 1986), lasot Hilbert skaidrojumu, ka ideāliem apgalvojumiem “pašiem nav jēgas”. (Hilbert, 1926, 381) kā apgalvo, ka klasiskā matemātika ir tikai instruments un ka pārrobežu matemātikas apgalvojumiem nav patiesības vērtības. Ciktāl tas ir precīzi, tas ir jāsaprot kā metodiskais instrumentālisms: Veiksmīga korektūras teorētiskās programmas izpilde parādītu, ka var izlikties, it kā matemātika būtu bezjēdzīga. Tāpēc nav analoģijas ar fiziku: pārrobežu piedāvājumiem nav nozīmes, tāpat kā apgalvojumiem, kuros ietverti teorētiski termini, nav nozīmes, bet:pārrobežu piedāvājumiem nav nepieciešama tieša intuitīva nozīme, tāpat kā tiem nav tieši jāredz elektroni, lai par tiem teorētu. Hallets (1990), ņemot vērā 19. gadsimta matemātisko pamatojumu, no kura nāca Hilberts, kā arī publicētus un nepubliskotus avotus no visas Hilberta karjeras (īpaši Hilbert 1992, visplašāko ideālo elementu metodes diskusiju), nonāk pie šāda secinājuma.:

[Hilberta attieksme pret filozofiskiem jautājumiem] nav domāta kā sava veida instrumentālistu agnosticism par esamību un patiesību un tā tālāk. Gluži pretēji, tas ir domāts, lai sniegtu skeptisku un pozitīvu risinājumu šādām problēmām, risinājums, kas izstrādāts kognitīvi pieejamā izteiksmē. Un, šķiet, tas pats risinājums attiecas gan uz matemātiskajām, gan fiziskajām teorijām. Kad ir pieņemti jauni jēdzieni vai “ideāli elementi” vai jauni teorētiski termini, tie pastāv tādā nozīmē, kādā pastāv jebkādas teorētiskas vienības. (Hallett, 1990, 239)

4. Hilberta programma un Gēdela nepabeigtības teorēmas

Ir bijušas dažas debates par Gēdela nepabeigtības teorēmu ietekmi uz Hilberta programmu un par to, vai tā bija pirmā vai otrā nepabeigtības teorēma, kas izraisīja valsts apvērsumu. Neapšaubāmi to cilvēku viedoklis, kuri vistiešākajā veidā iesaistījās notikumu attīstībā, bija pārliecināti, ka teorēmām ir izšķiroša ietekme. Gēdels 1930. gada oktobrī publicētajā kopsavilkumā paziņoja par otro nepabeigtības teorēmu: nav konsekvences pierādījumu tādām sistēmām kā Principia, Zermelo-Fraenkel kopas teorija vai Ackermann un von Neumann izpētītajām sistēmām nav iespējams ar metodēm, kuras var formulēt šajās sistēmās. Savā darba pilnajā versijā Gēdels (1931) atstāja atvērtu iespēju, ka varētu būt tādas finitāras metodes, kuras šajās sistēmās nav formalizējamas un kuras nodrošinātu vajadzīgos konsekvences pierādījumus. Bernay pirmā reakcija vēstulē Gödel 1931. gada janvārī bija arī tāda, ka “ja, kā to dara von Neumann, tad ir pārliecināts, ka jebkurš finišs var tikt formalizēts sistēmā” (P) - tāpat kā jūs, es uzskatu ka nekādā gadījumā kā nokārtotajam nav jāsecina, ka (P) konsekvences galīga demonstrēšana nav iespējama”(Gödel, 2003a, 87).

Kā Gēdela teorēmas ietekmē Hilberta programmu? Rūpīgi (“Gödel”) simbolu secību (formulas, pierādījumi) kodējot, Gēdels parādīja, ka teorijās (T), kas satur pietiekamu daudzumu aritmētisko, ir iespējams iegūt formulu (Pr (x (x), y)), kas “saka”, ka (x) ir (kods) pierādījums (formula ar kodu) (y). Konkrēti, ja (ulcorner 0 = 1 / urcorner) ir formulas kods (0 = 1), tad (Con_T = / forall x / neg Pr (x, / ulcorner 0 = 1 / urcorner)) var izmantot, lai “pateiktu”, ka (T) ir konsekventa (neviens skaitlis nav atvasinājuma kods, kas atrodas (T) (0 = 1)). Otrajā nepabeigtības teorēmā (G2) teikts, ka saskaņā ar noteiktiem pieņēmumiem par (T) un kodēšanas aparātu, (T) nepierāda (Con_T). Tagad pieņemsim, ka bija (T) konsekvences pierādījums. Domājams, ka metodēs, kuras tiek izmantotas šādā pierādīšanā, var būt formalizējamas (T). (“Formalizējams” nozīmē, ka aptuveni, ja pierādījumā atvasinājumiem tiek izmantota militāra operācija (f), kas jebkuru atvasinājumu (D) pārveido vienkāršas formas atvasinājumā (f (D)); tad tur ir formula (F (x, y)), lai visiem atvasinājumiem (D, T / vdash F (ulcorner D / urcorner, / ulcorner f (D) urcorner)).) (T) tiktu izteikts galīgi kā vispārīgs hipotētisks apgalvojums, ka, ja (D) ir kāda dota simbolu secība, (D) nav atvasinājums no ((T)) formulas (0 = 1). Šī piedāvājuma formalizācija ir formula (neg Pr (x, / ulcorner 0 = 1 / urcorner)), kurā mainīgais (x) nav pieejams. Ja būtu galīgs pierādījums par ((T)) konsekvenci, tā formalizēšana iegūtu atvasinājumu šādā: ((ne) Pr_T (x,\ ulcorner 0 = 1 / urcorner)), no kura (Con_T) var atvasināt (T), izmantojot vienkāršu universālu vispārinājumu (x). Tomēr G2 izslēdz (Con_T) atvasināšanu (T).

Kā minēts iepriekš, Gēdels un Bernaiss sākotnēji domāja, ka grūtības ar (PA) konsekvences pierādīšanu varētu pārvarēt, izmantojot metodes, kuras, kaut arī nav formalizējamas (PA), tomēr tomēr ir smalkas. Tas, vai šādas metodes tiks uzskatītas par galīgām saskaņā ar sākotnējo finitisma koncepciju vai arī par sākotnējā finitistiskā viedokļa paplašināšanu, ir diskusiju jautājums. Apskatītās jaunās metodes ietvēra Hilberta (1931b; 1931a) ierosinātā noteikuma (omega) noteikuma galīgo versiju. Tomēr ir godīgi teikt, ka pēc apmēram 1934. gada ir gandrīz vispārēji atzīts, ka pierādīšanas metodes, kuras pirms Gēdela rezultātiem tika pieņemtas kā galīgas, ir formalizējamas ((PA)). Sākotnējā finitistiskā viedokļa paplašinājumi ir ierosināti un aizstāvēti plaši militāra rakstura apsvērumu dēļ, piemēram,Gentzen (1936) aizstāvēja transfinitās indukcijas izmantošanu līdz (varepsilon_0) savā konsekvences pierādījumā, lai (PA) uzskatītu par “neapstrīdamu”, Takeuti (1987) sniedza citu aizstāvību. Gēdels (1958) iepazīstināja ar vēl vienu finitistu viedokļa paplašinājumu; iepriekš minēto Kreisela darbu var uzskatīt par vēl vienu mēģinājumu paplašināt finismu, saglabājot Hilberta sākotnējās koncepcijas garu.

Detlefsens (1986; 2001; 1979) ierosināja atšķirīgu mēģinājumu rast ceļu uz Gēdela otro Hēberta programmas teorēmu. Detlefsens piedāvā vairākas aizsardzības līnijas, no kurām viena ir līdzīga nupat aprakstītajai: apgalvojot, ka (omega) noteikuma versija ir galīgi pieņemama, kaut arī nav spējīga to formalizēt (tomēr sk. Ignjatovic 1994). Otrs Detlefsena arguments pret Gēdela otrās teorēmas parasto interpretāciju ir vērsts uz formalizācijas jēdzienu: Tas, ka Gēdela formula (Con_T) nav formāli pierādāms, ka “(T) ir konsekventa”, nenozīmē, ka to nevarētu” t nedrīkst būt citas formulas, kuras ir pierādāmas dokumentā (T) un kurām ir tikpat daudz tiesību saukties par (T) konsekvences formalizācijām.”Tie balstās uz atšķirīgām provaabilitātes predikāta (Pr_T) formalitātēm nekā standarta. Ir zināms, ka formalizētie konsekvences paziņojumi nav pārbaudāmi, ja provizoriskais predikāts ievēro noteiktus vispārīgus atvasināmības nosacījumus. Detlefsens apgalvo, ka šie nosacījumi nav nepieciešami, lai predikātu uzskatītu par patiesu provizoritātes predikātu, un patiešām pastāv provizoriski predikāti, kas pārkāpj provability nosacījumus un kas rada konsekvences formulas, kuras ir pierādāmas to attiecīgajās teorijās. Tomēr tie ir atkarīgi no nestandarta izredzes uz priekšstatu, ko Hilberts, visticamāk, nebūtu pieņēmis (sk. Arī Resnik 1974, Auerbach 1992 un Steiner 1991). Ir zināms, ka formalizētie konsekvences paziņojumi nav pārbaudāmi, ja provizoriskais predikāts ievēro noteiktus vispārīgus atvasināmības nosacījumus. Detlefsens apgalvo, ka šie nosacījumi nav nepieciešami, lai predikātu uzskatītu par patiesu provizoritātes predikātu, un patiešām pastāv provizoriski predikāti, kas pārkāpj provability nosacījumus un kas rada konsekvences formulas, kuras ir pierādāmas to attiecīgajās teorijās. Tomēr tie ir atkarīgi no nestandarta izredzes uz priekšstatu, ko Hilberts, visticamāk, nebūtu pieņēmis (sk. Arī Resnik 1974, Auerbach 1992 un Steiner 1991). Ir zināms, ka formalizētie konsekvences paziņojumi nav pārbaudāmi, ja provizoriskais predikāts ievēro noteiktus vispārīgus atvasināmības nosacījumus. Detlefsens apgalvo, ka šie nosacījumi nav nepieciešami, lai predikātu uzskatītu par patiesu provizoritātes predikātu, un patiešām pastāv provizoriski predikāti, kas pārkāpj provability nosacījumus un kas rada konsekvences formulas, kuras ir pierādāmas to attiecīgajās teorijās. Tomēr tie ir atkarīgi no nestandarta izredzes uz priekšstatu, ko Hilberts, visticamāk, nebūtu pieņēmis (sk. Arī Resnik 1974, Auerbach 1992 un Steiner 1991).un tiešām ir prevadiācijas predikāti, kas pārkāpj provability nosacījumus un kas rada konsekvences formulas, kuras var pierādīt to attiecīgajās teorijās. Tomēr tie ir atkarīgi no nestandarta izredzes uz priekšstatu, ko Hilberts, visticamāk, nebūtu pieņēmis (sk. Arī Resnik 1974, Auerbach 1992 un Steiner 1991).un tiešām ir prevadiācijas predikāti, kas pārkāpj provability nosacījumus un kas rada konsekvences formulas, kuras var pierādīt to attiecīgajās teorijās. Tomēr tie ir atkarīgi no nestandarta izredzes uz priekšstatu, ko Hilberts, visticamāk, nebūtu pieņēmis (sk. Arī Resnik 1974, Auerbach 1992 un Steiner 1991).

Smorynski (1977) ir apgalvojis, ka jau pirmā nepabeigtības teorēma pieveic Hilberta programmu. Hilberta mērķis nebija tikai parādīt, ka formalizētā matemātika ir konsekventa, bet arī to darīt īpašā veidā, parādot, ka ideālā matemātika nekad nevar novest pie secinājumiem, kas neatbilst reālajai matemātikai. Tādējādi, lai gūtu panākumus, ideālajai matemātikai jābūt konservatīvai attiecībā pret reālo daļu: vienmēr, kad formalizētā ideālā matemātika pierāda reālu formulu (P, P) (vai tās izteikto finiša piedāvājumu), ir jābūt galīgi pierādāmai. Smorynski reālās formulas ietver ne tikai skaitlisko vienādību un to kombinācijas, bet arī vispārīgās formulas ar brīvajiem mainīgajiem, bet bez neierobežotiem skaitļiem.

Tagad Gēdela pirmā nepabeigtības teorēma (G1) norāda, ka jebkurai pietiekami spēcīgai, konsekventai formālajai teorijai (S) ir teikums (G_S), kas ir taisnība, bet nav atvasināms (S). (G_S) ir īsts teikums saskaņā ar Smorynski definīciju. Tagad apsveriet teoriju (T), kas formalizē ideālo matemātiku, un tās apakšteoriju (S), kas formalizē reālo matemātiku. (S) atbilst G1 nosacījumiem, un līdz ar to (S) neatvasina (G_S). Tomēr (T), kas ir visas matemātikas formalizācija (ieskaitot to, kas nepieciešams, lai redzētu, ka (G_S) ir patiesa), tomēr iegūst (G_S). Tādējādi mums ir reāls apgalvojums, kuru var pierādīt ideālajā matemātikā, nevis reālajā matemātikā.

Detlefsens (1986, pielikums; skat. Arī 1990. gadu) arī pret šo argumentu ir aizstāvējis Hilberta programmu. Detlefsens apgalvo, ka “Hilbertian” instrumentālisms izvairās no G1 argumenta, noliedzot, ka ideālajai matemātikai jābūt konservatīvai attiecībā pret reālo daļu; viss, kas nepieciešams, ir reāla pareizība. Hilbertian instrumentālisms pieprasa tikai to, lai ideālā teorija nepierāda neko, kas ir pretrunā ar reālo teoriju; nav nepieciešams, lai tas pierādītu tikai reālus apgalvojumus, ko pierāda arī reālā teorija. (Plašāku informāciju par konservatīvības un konsekvences jautājumiem skatīt Zach 2006, atbilstošās sadaļas ierakstā par Gēdeli turpmākai diskusijai, Franks 2009 par saistītu aizstāvēšanu un Hilberta projekta atkārtotu novērtēšanu, un McCarthy 2016 par alternatīvu pieeju provativitātei) konsekvences un G2 dēļ paša Gēdela.)

5. Pārskatītas Hilberta programmas

Pat ja nav iespējams sniegt aritmētisko galīgo konsekvences pierādījumu, jautājums par konsekvences pierādījumu atrašanu tomēr ir vērtīgs: šādos pierādījumos izmantotajām metodēm, kaut arī tām ir jāpārsniedz Hilberta sākotnējā finitisma izjūta, varētu būt patiess ieskats konstruktīvajā saturā. aritmētiskās un spēcīgākās teorijas. Gēdela rezultāts parādīja, ka nevar būt absolūtas konsekvences pierādījumu visai matemātikai; tāpēc darbs pierādīšanas teorijā pēc tam, kad Gēdels koncentrējās uz relatīvajiem rezultātiem, gan attiecībā gan uz sistēmu, kurai tika sniegts konsekvences pierādījums, gan attiecībā uz izmantotajām pierādīšanas metodēm.

Reducējošās pierādīšanas teorijai šajā ziņā ir sekojušas divas tradīcijas: pirmā, kuru galvenokārt veic pierādījumu teorētiķi pēc Gentzen un Schütte, ir īstenojusi programmu, ko sauc par ordināro analīzi, un to demonstrē Gentzen pirmais konsekvences pierādījums (PA) ar indukciju līdz (varepsilon_0. / varepsilon_0) ir noteikts transfinitāls (lai arī saskaitāms) ordināls, tomēr “indukcija līdz (varepsilon_0)” šeit izmantotajā nozīmē nav īsti pārrobežu procedūra. Kārtējā analīze nedarbojas ar bezgalīgiem kārtas skaitļiem, bet drīzāk ar kārtējo notāciju sistēmām, kuras pašas var formalizēt ļoti vājās (būtībā finitārās) sistēmās. Sistēmas (T) parasto analīzi sniedz, ja:(a) var radīt kārtējo apzīmējumu sistēmu, kas imitē ordinālus mazāk nekā daži kārtējie (alpha_T), lai b) būtu galīgi pierādīts, ka principa formalizācija (TI (alpha_T)) indukcija līdz (alpha_T) nozīmē (T) konsekvenci (ti, (S / vdash TI (alpha_T) rightarrow Con_T)) un (c) (T) pierāda (TI (beta)) visiem (beta / lt / alpha_T) ((S) ir teorija, kas formalizē galīgo metamatemātiku un parasti ir vāja (T) apakšteorija. Lai būtu kāda fundamentāla nozīme, ir nepieciešams arī, lai varētu sniegt konstruktīvu argumentu transfinīta indukcijai līdz (alpha_T). Kā minēts iepriekš, Gentzen un Takeuti to izdarīja (varepsilon_0), kas ir (PA) teorētiskais pamatprincips,bet kļūst grūtāks un ar arvien apšaubāmu filozofisku nozīmi spēcīgākajām teorijām.

Filozofiski apmierinošāks Hilberta programmas turpinājums pierādījumu teorētiskā izteiksmē ir ierosināts Kreisel (1983; 1968) un Feferman (Feferman, 1988; Feferman, 1993a). Šis darbs izriet no plašākas Hilberta programmas koncepcijas kā mēģinājuma attaisnot ideālo matemātiku ar ierobežotiem līdzekļiem. Šajā koncepcijā Hilberta pierādījumu teorijas mērķis bija parādīt, ka vismaz attiecībā uz noteiktu reālu apgalvojumu klasi ideālā matemātika nepārsniedz reālo matemātiku. To varētu sasniegt ar Hilberta iecerēto galīgo konsekvences pierādījumu: ja ideālā matemātika pierāda reālu apgalvojumu, tad šis apgalvojums jau ir pierādāms ar reālām (ti, finitārām) metodēm. Savā ziņā ideālo matemātiku samazina līdz reālai matemātikai. Teorētiskas teorijas reducēšana uz teoriju (T) uz teoriju (S) parāda, ka attiecībā uz noteiktu ierosinājumu klasi, ja (T) pierāda apgalvojumu, tad (S) to arī pierāda, un šī fakta pierādījums pats par sevi ir galīgs. Tad Hilberta pierādījumu teorētisko programmu var meklēt kā pierādījumu teorētiskas visas matemātikas samazināšanas līdz galīgai matemātikai meklēšanu; relativizētā programmā tiek meklēts, ka teorijas ir vājākas nekā visas klasiskās matemātikas, līdz teorijām, kuras bieži ir spēcīgākas par galīgo matemātiku. Pierādījumu teorētiķi ir ieguvuši vairākus šādus rezultātus, tostarp tādu teoriju samazinājumus, kurām, pēc viņu uzskatiem, ir nepieciešams ievērojams daudzums ideālas matemātikas, lai pamatotu galīgās sistēmas (piemēram, analīzes apakšsistēmas). (Fefermans,1993.b) ir izmantojis šādus rezultātus kombinācijā ar citiem rezultātiem, kas parāda, ka lielāko, ja ne visu, zinātniski piemērojamo matemātiku var veikt sistēmās, kurām ir pieejami šādi samazinājumi, lai argumentētu pret neaizstājamības argumentu matemātikas filozofijā. Šādu pierādījumu teorētisko redukciju filozofiskā nozīme pašlaik tiek apspriesta (Hofweber, 2000; Feferman, 2000).

Tā saucamās reversās matemātikas programma, kuru izstrādājuši jo īpaši Frīdmens un Simpsons, ir vēl viens Hilberta programmas turpinājums. Ņemot vērā Gēdela rezultātus, kas parāda, ka ne visu klasisko matemātiku var reducēt līdz galīgajam, viņi cenšas atbildēt uz jautājumu: cik lielu daļu no klasiskās matemātikas var tik reducēt? Apgrieztā matemātika mēģina sniegt precīzu atbildi uz šo jautājumu, izpētot, kuras klasiskās matemātikas teorēmas ir pierādāmas vājās analīzes apakšsistēmās, kuras ir reducējamas līdz galīgajai matemātikai (iepriekšējā punkta apskatītajā nozīmē). Raksturīgs rezultāts ir tas, ka Hahna-Banhaha teorētiskā funkcionālās analīzes ir pierādāmas teorijā, kas pazīstama kā (WKL_0) (“vājai Kēnig lemmai”); (WKL_0) ir konservatīvs attiecībā uz (PRA) attiecībā uz (Pi ^ {0} _2) teikumiem (ti,formas teikumi (forall x / eksistē yA (x, y)). (Skatīt Simpson 1988 pārskatu un Simpson 1999 tehnisko apstrādi.)

Bibliogrāfija

Šī ieraksta pirmās redakcijas paplašinātā versija ir atrodama Zach (2006).

  • Ackermann, Wilhelm, 1924, “Begründung des” tercium non datur “mittels der Hilbertschen Theorie der Widerspruchsfreiheit”, Mathematische Annalen, 93: 1–36.
  • Auerbaha, Dāvids, 1992. gads, “Kā pateikt lietas ar formālismiem”, Proof, Logic and Formalization, Maikls Detlefsens, ed., London: Routledge, 77–93.
  • Avigad, Jeremy, 2003, “Skaitļu teorija un elementārā aritmētika”, Philosophia Mathematica, 11: 257–284. [Preprint pieejams tiešsaistē]
  • Bernāti, Pāvils, 1922. gads, “Über Hilberts Gedanken zur Grundlegung der Arithmetik”, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 31: 10–19. Tulkojums angļu valodā Mancosu (1998a, 215–222).
  • –––, 1923. gads, “Erwiderung auf die Note Herrn Aloys Müller: Über Zahlen als Zeichen”, Mathematische Annalen, 90: 159–63. Tulkojums angļu valodā Mancosu (1998a, 223–226).
  • –––, 1928.a, “Über Nelsons Stellungnahme in der Philosophie der Mathematik”, Die Naturwissenschaften, 16: 142–45.
  • –––, 1928.b, “Zusatz zu Hilberts Vortrag über“Die Grundlagen der Mathematik””, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 6: 88–92. Tulkojums angļu valodā: van Heijenoort (1967, 485–489).
  • –––, 1930. gads, “Die Philosophie der Mathematik und die Hilbertsche Beweistheorie”, Blätter für deutsche Philosophie, 4: 326–67. Pārpublicēts Bernātos (1976, 17–61). Tulkojums angļu valodā Mancosu (1998a, 234–265).
  • –––, 1976. gads, Abhandlungen zur Philosophie der Mathematik, Darmštate: Wissenschaftliche Buchgesellschaft.
  • Dekāns, Valters, 2015, “Aritmētiskais atspoguļojums un pamatotības pierādāmība”, Philosophia Mathematica, 23: 31–64, doi: 10.1093 / philmat / nku026
  • Detlefsens, Maikls, 1979. gads, “Par Gēdela otrās teorēmas interpretāciju”, Journal of Philosophical Logic, 8: 297–313. Pārpublicēts ar pēcgrāmatu Šankerā (1988, 131–154).
  • –––, 1986, Hilberta programma, Dordrehta: Reidela.
  • ––– 1990, “Par it kā Hilberta programmas atspēkojumu, izmantojot Gēdela pirmo nepabeigtības teorēmu”, Journal of Philosophial Logic, 19: 343–377.
  • –––, 2001, “Ko saka Gēdela otrā teorēma?”, Philosophia Mathematica, 9: 37–71.
  • Evalds, Viljams Brags (ed.), 1996, no Kanta līdz Hilbertam. Avotu grāmata matemātikas pamatos, sēj. 2, Oksforda: Oxford University Press.
  • Ēvalds, Viljams Brags un Vilfrīds Siegs (red.), 2013, Deivida Hilberta lekcijas par aritmētikas un loģikas pamatiem 1917–1933, Berlīne un Heidelberga: Springers.
  • Fefermans, Zālamana 1988. gads, “Hilbert's Program relativized: Pierādījumi teorētiski un fondēti samazinājumi”, Journal of Symbolic Logic, 53 (2): 364–284.
  • –––, 1993.a. gads, “uz ko balstās? Matemātikas pierādījumu teorētiskā analīze”matemātikas filozofijā. Piecpadsmitā Starptautiskā Vitgenšteina simpozija 1. daļa, Johannes Czermak, ed., Vīne: Hölder-Pichler-Tempsky, 147–171. Pārpublicēts Fefermanē (1998, 10. Ch., 187–208). [Preprint pieejams tiešsaistē].
  • –––, 1993.b, “Kāpēc mazliet iet tālu: zinātniski piemērojamas matemātikas loģiski pamati”, PSA 1992, 2: 442–455. Pārpublicēts Fefermanē (1998, 14. z., 284. – 298. Lpp.). [Preprint pieejams tiešsaistē].
  • –––, 1998, Oxford, ņemot vērā loģiku: Oxford University Press.
  • –––, 2000, “Vai reduktīvā pierādījuma teorijai ir dzīvotspējīgs pamatojums?”, Erkenntnis, 53: 63–96. [Preprint pieejams tiešsaistē].
  • Franks, Curtis, 2009, Matemātisko zināšanu autonomija: Hilberta programma pārskatīta, Kembridža: Cambridge University Press.
  • Ganea, Mihai, 2010, “Divi (vai trīs) finitisma jēdzieni”, Symbolic Logic apskats, 3: 119–144.
  • Gentzen, Gerhard, 1936, “Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie”, Mathematische Annalen, 112: 493–565. Tulkojums angļu valodā Gentzenā (1969, 132–213).
  • –––, 1969. gads, Gerharda Gentzena apkopotie raksti, Amsterdama: Ziemeļholande.
  • Giaquinto, Marcus, 1983, “Hilberta matemātikas filozofija”, Lielbritānijas žurnāls par zinātnes filozofiju, 34: 119–132.
  • Gēdels, Kurts, 1931. gads, “Vispārējā un neatšifrētā pamatnoteikumu pamatnoteikumi un verwandter Systeme I”, Monatshefte für Mathematik und Physik, 38: 173–198. Pārpublicēts un tulkots Gēdelē (1986, 144–195).
  • –––, 1958. gads, “Eber bisher noch nicht benütze Erweiterung des finiten standpunktes”, Dialektika, 280–287. Pārpublicēts un tulkots Gēdelē (1990, 217–251).
  • –––, 1986, Collected Works, sēj. 1, Oxford: Oxford University Press.
  • –––, 1990, Collected Works, sēj. 2, Oksforda: Oxford University Press.
  • –––, 2003, Collected Works, sēj. 4, Oxford: Oxford University Press.
  • Hallets, Maikls, 1990, “Fizikālisms, redukcionisms un Hilberts”, Fizikālisms matemātikā, Endrjū D. Īrvins, ed., Dordrecht: Reidel, 183–257.
  • Hilberts, Dāvids, 1899. gads, “Grundlagen der Geometrie”, Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauss-Weber-Denkmals Göttingen, Leipzig: Teubner, 1–92, 1. ed.
  • –––, 1900. gads, “Mathematische Probleme”, Nachrihtens fon der Kēniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, matemātikas-fiz. Klasse, 253–297. Lekcija, kas lasīta Starptautiskajā matemātiķu kongresā, Parīzē, 1900. gadā. Daļējs tulkojums angļu valodā Ewald (1996, 1096–1105).
  • –––, 1900. g., “Über den Zahlbegriff”, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 8: 180–184. Tulkojums angļu valodā Evaldā (1996, 1089–1096).
  • –––, 1905, “Über die Grundlagen der Logik und der Arithmetik”, Verhandlungen des dritten Internationalen Mathematiker-Congress in Heidelberg vom 8. bis 13. 1904. augusts, A. Krazer, ed., Leipzig: Teubner, 174–85.. Tulkojums angļu valodā van Heijenoort (1967, 129–138).
  • –––, 1918. gads, “Axiomatisches Denken”, Mathematische Annalen, 78: 405–15. Lekcija, kas lasīta Šveices matemātiķu biedrībā 1917. gada 11. septembrī. Pārpublicēts Hilbertā (1935, 146–156). Tulkojums angļu valodā Ēvaldā (1996, 1105–1115).
  • –––, 1918. g., “Prinzipien der Mathematik”, Pola Bernaisa lekciju piezīmes. Ziemas semestris 1917/18. Mašīnraksts. Bibliothek, Mathematisches Institut, Göttingen Universität. Rediģēts žurnālā Ewald and Sieg (2013, 59–221)..
  • –––, 1922.a, “Grundlagen der Mathematik”, Vorlesung, Winter-Semester 1921/22. Pola Bernaisa lekciju piezīmes. Mašīnraksts. Bibliothek, Mathematisches Institut, Göttingen Universität. Rediģēts žurnālā Ewald and Sieg (2013, 431–527).
  • –––, 1922b, “Neubegründung der Mathematik: Erste Mitteilung”, Abhandlungen aus dem Seminar der Hamburgischen Universität, 1: 157–177. Sarunu sērija, kas pasniegta Hamburgas universitātē 1921. gada 25. – 27. Jūlijā. Pārpublicēts ar Bernaisa piezīmēm Hilbertā (1935, 157–177). Tulkojums angļu valodā Mancosu (1998a, 198–214) un Ewald (1996, 1115–1134).
  • ––– 1923. gadā “Die logischen Grundlagen der Mathematik”, Mathematische Annalen, 88: 151–165. Lekcija lasīta Deutsche Naturforscher-Gesellschaft 1922. gada septembrī. Pārpublicēts Hilbertā (1935, 178–191). Tulkojums angļu valodā Ēvaldā (1996, 1134–1148).
  • –––, 1926. gads, “Über das Unendliche”, Mathematische Annalen, 95: 161–190. Lekcija Minsterē, 1925. gada 4. jūnijā. Tulkojums angļu valodā van Heijenoort (1967, 367–392).
  • ––– 1928. gadā “Die Grundlagen der Mathematik”, Abhandlungen aus dem Seminar der Hamburgischen Universität, 6: 65–85. Pārpublicēts Ēvaldā un Siegā (2013, 917–942). Tulkojums angļu valodā van Heijenoort (1967, 464–479).
  • –––, 1929. gads, “Probleme der Grundlegung der Mathematik”, Mathematische Annalen, 102: 1–9. Lekcija, kas lasīta Starptautiskajā matemātiķu kongresā 1928. gada 3. septembrī. Pārpublicēts Ēvaldā un Siegā (2013, 954–966). Tulkojums angļu valodā Mancosu (1998a, 227–233).
  • –––, 1931. gadā, “Beweis des Tertium non datur”, Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Matemātika-fiz. Klasse, 120–125. Pārpublicēts Ēvaldā un Siegā (2013, 967–982).
  • –––, 1931.b, “Die Grundlegung der elementaren Zahlenlehre”, Mathematische Annalen, 104: 485–494. Pārpublicēts Hilbertā (1935, 192–195) un Ēvaldam un Siegam (2013, 983–990). Tulkojums angļu valodā Evaldā (1996, 1148–1157).
  • –––, 1935. gadā, Gesammelte Abhandlungen, vol. 3, Berlīne: Springers.
  • –––, 1992, Natur und matemātika Erkennen, Bāzele: Birkhäuser. Vorlesungen, 1919–20.
  • Hilberts, Dāvids un Akermans, Vilhelms, 1928. gads, Grundzüge der theoretischen Logik, Berlīne: Springers.
  • Hilberts, Deivids un Bernaiss, Pols, 1923. gadā, “Logische Grundlagen der Mathematik”, Vorlesung, Ziemas semestris 1922–23. Pāvila Bernaisa lekciju piezīmes ar Hilberta piezīmēm ar roku. Hilbert-Nachlaß, Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Cod. Hilberta kundze 567.
  • –––, 1934, Grundlagen der Mathematik, vol. 1, Berlīne: Springer.
  • –––, 1939. gads, Grundlagen der Mathematik, vol. 2, Berlīne: Springer.
  • Hofvebers, Tomass, 2000, “Pierādījumu teorētiskā reducēšana kā filozofa rīks”, Erkenntnis, 53: 127–146.
  • Ignjatovic, Aleksandar, 1994, “Hilberta programma un omega noteikums”, Journal of Symbolic Logic, 59: 322–343.
  • Kēčers, Filips, 1976. gads, “Hilberta epistemoloģija”, Zinātnes filozofija, 43: 99–115.
  • Kreisel, Georg, 1960, “Parastā loģika un neoficiālo pierādījumu jēdzienu raksturojums” Starptautiskā matemātiķu kongresa rakstu krājumā. Edinburgā, 1958. gada 14. – 21. Augustā, JA Todd, ed., Cambridge: Cambridge University Press, 289–299.
  • –––, 1968, “Apliecinājums teorijas pārskats”, Journal of Symbolic Logic, 33: 321–388.
  • ––– 1970. gads, “Pierādīšanas principi un ordinētie principi, kas netieši iekļauti dotajos jēdzienos” Intuitīcionismā un pierādījumu teorijā, A. Kino, J. Myhill un RE Veseley, red., Amsterdama: Ziemeļholande.
  • –––, 1983. gads, “Hilberta programma” matemātikas filozofijā, Pols Benacerrafs un Hilarija Putnama, red., Kembridža: Cambridge University Press, 207–238, 2. ed.
  • Mancosu, Paolo (ed.), 1998a, No Brouwer līdz Hilbert. Debates par matemātikas pamatiem 1920. gados, Oksforda: Oxford University Press.
  • Mancosu, Paolo, 1998b, “Hilbert and Bernays on Metamathematics”, (Mancosu, 1998a), 149. – 188. Pārpublicēts Mancosu (2010).
  • –––, 1999, “Starp Raselu un Hilbertu: Behmans uz matemātikas pamatiem”, Simboliskās loģikas biļetens, 5 (3): 303–330. Pārpublicēts Mancosu (2010).
  • –––, 2010, Iemesla piedzīvojums: matemātikas filozofijas un matemātiskās loģikas mijiedarbība, 1900–1940, Oksforda: Oxford University Press.
  • Mancosu, Paolo un Ryckman, Thomas, 2002, “Matemātika un fenomenoloģija: O. Bekera un H. Veila sarakste”, Philosophia Mathematica, 10: 130–202. Pārpublicēts Mancosu (2010).
  • McCarthy, T., 2016, “Gēdela trešā nepabeigtības teorēma”, Dialektika 70: 87–112.
  • Parsons, Čārlzs, 1998, “Finitisms un intuitīvās zināšanas”, šodien publicētajā matemātikas filozofijā, Matiass Širns, ed., Oksforda: Oxford University Press, 249. – 270.
  • –––, 2007, Matemātiskā doma un tās objekti, Kembridža: Cambridge University Press.
  • Pattons, Lydia, 2014, “Hilberta objektivitāte”, Historia Mathematica, 41 (2): 188–203.
  • Peckhaus, Volker, 1990, Hilbertprogramm und Kritische Philosophie, Göttingen: Vandenhoeck und Ruprecht.
  • Poincaré, Henri, 1906. gads, “Les mathématiques et la logique”, Revue de métaphysique et de morale, 14: 294–317. Tulkojums angļu valodā Evaldā (1996, 1038–1052).
  • Resnik, Maikls D., 1974. gads, “Par konsekvences pierādījumu filozofisko nozīmi”, Journal of Philosophical Logic, 3: 133–47.
  • –––, 1980, Frege un matemātikas filozofija, Ithaca: Cornell University Press.
  • Šenkers, Stjuarts G., 1988. gads, Gēdela teorēma fokusā, Londona: Routledge.
  • Sieg, Wilfried, 1990, “Pārdomas par Hilberta programmu”, darboties un reflektēt, Wilfried Sieg, ed., Dordrecht: Kluwer, 171–82. Pārpublicēts Siegā (2013).
  • –––, 1999, “Hilberta programmas: 1917–1922”, Simboliskās loģikas biļetens, 5 (1): 1–44. Pārpublicēts Siegā (2013).
  • –––, 2013, Hilberta programmas un ārpus tām, Ņujorka: Oxford University Press.
  • Simpsons, Stefans G., 1988. gads, “Daļējas Hilberta programmas realizācijas”, Journal of Symbolic Logic, 53 (2): 349–363.
  • –––, 1999, Otrās kārtas aritmētikas apakšsistēmas, Berlīne: Springers.
  • Smorynski, Craig, 1977, “Nepabeigtības teorēmas” Matemātiskās loģikas rokasgrāmatā, Jon Barwise, ed., Amsterdam: North-Holland, 821–865.
  • Šteiners, Marks, 1975, Matemātiskās zināšanas, Ithaca: Cornell University Press.
  • –––, 1991, “Hilberta programmas apskats: Eseja par matemātisko instrumentālismu (Detlefsen, 1986)”, Journal of Philosophy, 88 (6): 331–336.
  • Tait, WW, 1981, “Finitism”, Journal of Philosophy, 78: 524–546. Pārpublicēts Taitā (2005.a, 21. – 42. Lpp.).
  • –––, 2002, “Piezīmes par finismu”, pārdomās par matemātikas pamatiem. Esejas par godu Solomon Feferman, Wilfried Sieg, Richard Sommer un Carolyn Talcott, red., Simboliskās loģikas asociācija, LNL 15. Pārpublicēts Taitā (2005a, 43–53). [Preprint pieejams tiešsaistē]
  • –––, 2005a, Tīrā saprāta rašanās: Esejas matemātikas un tās vēstures filozofijā, Ņujorka: Oxford University Press.
  • –––, 2005b, “Pielikums 1. un 2. nodaļai” Taitā (2005.a, 54–60)
  • Takeuti, Gaisi, 1987, pierādījumu teorija (Pētījumi loģikā: 81), Amsterdama: Ziemeļholande, 2. izdevums
  • van Heijenoort, Jean (ed.), 1967, no Frege līdz Gödel. Avota grāmata matemātiskajā loģikā, 1897. – 1931. Gads, Kembridža, Masačūsets: Harvard University Press.
  • fon Neimans, Johans, 1927, “Zur Hilbertschen Beweistheorie”, Mathematische Zeitschrift, 26: 1–46.
  • Weyl, Hermann, 1921, “Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik”, Mathematische Zeitschrift, 10: 37–79. Pārpublicēts Veilā (1968, 143–180). Tulkojums angļu valodā Mancosu (1998a, 86–118).
  • –––, 1925. gads, “Die heutige Erkenntnislage in der Mathematik”, Simpozijs, 1: 1–23. Pārpublicēts: Weyl (1968, 511–42). Tulkojums angļu valodā: Mancosu (1998a, 123. – 42. Lpp.).
  • ––– 1928. gadā “Diskussionsbemerkungen zu dem zweiten Hilbertschen Vortrag über die Grundlagen der Mathematik”, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 6: 86–88. Tulkojums angļu valodā van Heijenoort (1967, 480–484).
  • –––, 1968, Gesammelte Abhandlungen, vol. 1, Berlīne: Springer Verlag.
  • Zaķis, Ričards, 1999, “Pilnīgums pirms pasta: Bernaiss, Hilberts un ierosinājuma loģikas attīstība”, Simboliskās loģikas biļetens, 5 (3): 331–366. [Preprint pieejams tiešsaistē]
  • –––, 2003, “Finitisma prakse. Epsilona aprēķini un konsekvences pierādījumi Hilberta programmā”, Synthese, 137: 211–259. [Preprint pieejams tiešsaistē]
  • –––, 2004, “Hilberta“Verunglückter Beweis”, pirmā epsilona teorēma un konsekvences pierādījumi”, Loģikas vēsture un filozofija, 25: 79–94. [Preprint pieejams tiešsaistē]
  • –––, 2006, “Hilberta programma toreiz un tagad”, aut.: Dale Jacquette, ed., Logic Philosophy. Zinātnes filozofijas rokasgrāmata, sēj. 5. Amsterdama: Elsevier, 411. – 447. [Preprint pieejams tiešsaistē]

Akadēmiskie rīki

sep cilvēks ikona
sep cilvēks ikona
Kā citēt šo ierakstu.
sep cilvēks ikona
sep cilvēks ikona
Priekšskatiet šī ieraksta PDF versiju vietnē SEP Friends.
inpho ikona
inpho ikona
Uzmeklējiet šo ierakstu tēmu interneta filozofijas ontoloģijas projektā (InPhO).
phil papīru ikona
phil papīru ikona
Uzlabota šī ieraksta bibliogrāfija vietnē PhilPapers ar saitēm uz tā datu bāzi.

Citi interneta resursi

[Lūdzu, sazinieties ar autoru ar ieteikumiem.]