Ģeometrijas Epistemoloģija

Satura rādītājs:

Ģeometrijas Epistemoloģija
Ģeometrijas Epistemoloģija
Anonim

Ieejas navigācija

  • Iestāšanās saturs
  • Bibliogrāfija
  • Akadēmiskie rīki
  • Draugu PDF priekšskatījums
  • Informācija par autoru un atsauce
  • Atpakaļ uz augšu

Ģeometrijas epistemoloģija

Pirmoreiz publicēts 2013. gada 14. oktobrī; būtiska pārskatīšana - 2017. gada 31. jūlijs

Ģeometriskās zināšanas parasti attiecas uz divu veidu lietām: teorētiskas vai abstraktas zināšanas, kas ietvertas definīcijās, teorēmās un pierādījumos ģeometrijas sistēmā; un dažas zināšanas par ārējo pasauli, piemēram, izteiktas izteiksmē, kas ņemta no ģeometrijas sistēmas. Jāņem vērā arī attiecības starp abstrakto ģeometriju un tās praktisko izpausmi.

Šī eseja uzskata dažādas teorijas par ģeometriju, to pamatojumu skaidrību, par derīgumu, kā arī fizisko interpretability periodā lielākoties pirms Advent teoriju speciālajās un vispārējās relativitātes šajā 20 th gadsimta. Izrādās, ka daudzos posmos notiek sarežģīta mijiedarbība starp īsāko un taisnāko.

Pirms 19 th gadsimta tikai viens ģeometrija tika pētīts padziļināti vai uzskatīts precīzs vai pareizs apraksts fiziskajā telpā, un tas bija Eiklīda ģeometrija. 19 th gadsimta pati redzēja pārpilnības jaunu ģeometriju, no kuriem nozīmīgākais bija izvirzīts ģeometrija un ne-Eiklīda vai hiperbolisks ģeometrija. Projektīvo ģeometriju var uzskatīt par eiklīda ģeometrijas nemetriskās un formālās puses padziļināšanu; ne-Eiklīda ģeometrija kā izaicinājums tās metriskajiem aspektiem un sekām. Līdz 20. gadsimta sākuma gadiemgadsimtā tika ierosinātas dažādas Riemannian diferenciālās ģeometrijas, kas precīzi izteicās par eiklidu ģeometriju. Bija vērojams arī ievērojams progress abstrakto ģeometriju jomā, piemēram, Deivida Hilberta ierosinātie. No tā izriet, ka vārdi "ģeometrija" un "fiziskā telpa" nav vienkārši nozīmes, kas ir 19 th gadsimta, un mainot priekšstatus par šo noteikumu neievēro vienkāršu modeli izsmalcinātību. Tāpēc viņu savstarpējām attiecībām ir arī sarežģīta vēsture.

  • 1. Epistemoloģiskie jautājumi Eiklida ģeometrijā
  • 2. Epistemoloģiskie jautājumi lietišķajā ģeometrijā

    2.1. Mehānikas nozīme

  • 3. Projektīvā ģeometrija

    • 3.1. Koordinātu pārvērtības; Kleīniešu ģeometrija
    • 3.2 Hilberts un citi par aksiomatisko projekcijas ģeometriju
  • 4. Ne-Eiklīda ģeometrija
  • 5. Riemannian ģeometrija

    • 5.1. Ģeodēzija un savienojumi
    • 5.2. Riemann un Beltrami, kā arī stingra ne-Eiklīda ģeometrija
  • 6. Ne-Eiklīda ģeometrijas saprotamība

    • 6.1. Herbarta filozofija
    • 6.2 Helmholts un Poincaré
    • 6.3 Poincaré pret Russell
  • 7. Noslēguma piezīmes
  • Bibliogrāfija
  • Akadēmiskie rīki
  • Citi interneta resursi
  • Saistītie ieraksti

1. Epistemoloģiskie jautājumi Eiklida ģeometrijā

Detalizēta ģeometrijas pārbaude, kā to parādīja Eiklids, atklāj vairākas problēmas. Ir vērts apsvērt šos detalizēti, jo epistemologically pārliecināt statuss Eiklīda Elements tika NEAPSTRĪDĒTIEM gandrīz ikviens, līdz vēlāk desmitgadēs 19 th gadsimta. Galvenā no šīm problēmām ir skaidrības trūkums taisnās līnijas un plaknes definīcijās un neskaidrības starp īsāko un taisno kā fundamentālo ģeometrisko īpašību. (Skat. Daudzos komentārus, kas apkopoti Hīrta izdevumā Eiklida elementi.) Ietekmi uz paralēlo postulātu apskatīsim atsevišķi, skat. Sadaļu par ne-Eiklīda ģeometriju.

Pirmās četras Eiklīda elementu grāmatas ir par taisnām līnijām un apļiem, taču ir labi zināms, ka taisnas līnijas jēdziens saņem tikai visneapmierinošāko definīciju. Tiek uzskatīts, ka līnija ir “bez garuma”, bet taisna - par līniju, kas vienmērīgi atrodas ar punktiem pati par sevi. Tas var palīdzēt pārliecināt lasītājus, ka viņiem ir kopīgs taisnas līnijas jēdziens, taču tas nav lietderīgi, ja teorijas izveidē rodas neparedzētas grūtības - kā mēs to redzēsim.

Tiem, kas nolēma uzmanīgi izlasīt Elementus un redzēt, kā tiek izmantoti svarīgākie termini, kļuva skaidrs, ka konts dažos veidos ir gan ārkārtīgi skrupulozs, gan citos - kļūdains. Taisnas līnijas gandrīz vienmēr rodas kā ierobežoti segmenti, kurus var pagarināt uz nenoteiktu laiku, taču, kā atzīmēja daudzi komentētāji, kaut arī Eiklids paziņoja, ka ir segments, kas savieno jebkurus divus punktus, viņš skaidri neteica, ka šis segments ir unikāls. Tas ir trūkums pirmās kongruences teorēmas (I.4) pierādījumā, kurā teikts: ja diviem trijstūriem ir divi pāri pāri vienādi un iekļautais leņķis ir vienāds, tad atlikušās trijstūru malas ir vienādas.

I.4. Teorēma ir interesanta citā veidā. I.2. Teorēma satur skrupulozi un nekādā gadījumā acīmredzami pierādījumu tam, ka dotais līnijas segments plaknē var precīzi nokopēt ar vienu no tā gala punktiem jebkurā noteiktā plaknes punktā. I.4. Teorēma pareizi pieprasa pierādījumu, ka leņķi tāpat var precīzi nokopēt patvaļīgā punktā, taču šajā posmā Eiklids to nevar sniegt (viens ir dots I.23. Punktā, kas tomēr balstās uz šiem iepriekšējiem rezultātiem). Tāpēc viņš izteica klaju apgalvojumu, ka vienu trīsstūri var precīzi nokopēt patvaļīgā stāvoklī, kas liek brīnīties, kāpēc šāda piesardzība tika veltīta I.2. Faktiski visai figūru kustības koncepcijai bija jākļūst par ilgstošu diskusiju tēmu arābu / islāma laikos. (par atskaitījumu Eiklīdā sk. Muelleru 1981).

Ticams I grāmatas lasījums ir tāds, ka taisnu līniju var saprast kā tādu, kurai ir virziens, tā, ka katrā virzienā ir taisna līnija katrā punktā un tikai viena taisna līnija noteiktā punktā dotajā virzienā. Tad paralēlais postulāts saka, ka līnijas, kas šķērso doto līniju vienādos leņķos, norāda tajā pašā virzienā un neatbilst. Bet tas ir jāuzskata par interpretāciju, un tās precizēšanai ir vajadzīgs diezgan daudz darba.

Virziens tomēr ir ticamāks kandidāts nekā attālums; Eiklida nesākās ar domu, ka taisnā līnija, kas savieno divus atšķirīgus punktus, ir īsākā līkne, kas tos savieno. Attiecīgā primitīvā koncepcija elementos ir segmentu vienlīdzība, piemēram, visi noteiktā apļa rādiusi. Eiklida paziņoja kā 4. vispārīgo priekšstatu, ka, ja var panākt, ka divi segmenti sakrīt, tad tie ir vienādi un (traucējošajā I.4.) Viņš izmantoja pretējo: ja divi segmenti ir vienādi, tad tos var sakrist. Segmenti ir tādi, ka vai nu viens ir mazāks par otru, vai arī tie ir vienādi, un I.20. Attēlā Eiklids parādīja, ka “jebkurā trijstūrī divas puses, kas jebkādā veidā kopā ņemtas, ir lielākas nekā atlikušās”. Šis rezultāts ir kļuvis pazīstams kā trīsstūra nevienlīdzība,un tas ir tāls ceļš, lai pierādītu, ka līnijas segments, kas savieno jebkurus divus atšķirīgus punktus, ir īsākā līkne caur šiem punktiem. Tiklīdz ir ieviests paralēlais postulāts, Eiklida parādīja, ka paralēlās diagrammas pretējās malas ir vienādas, un līdz ar to attālums starp paralēlu līniju pāri ir konstants.

Bet elementos ir vēl viens vājums, ko arī vērts atzīmēt, lai gan tas pievērsa mazāk uzmanības, un tāds ir plaknes raksturs. Plaknei ir vēl viena nestandarta definīcija, kas acīmredzami ir veidota uz līnijas definīcijas: “plaknes virsma ir virsma, kas atrodas vienmērīgi ar taisnām līnijām pati par sevi” (un, kas nav pārsteidzoši, “virsma ir tāda, kurai ir tikai garums un platums)”). Pēc tam vārds “plakne” nav minēts četrās pirmajās grāmatās, lai gan tās attiecas tikai uz plaknes ģeometriju. Kad Eiklids pievērsās stabilai ģeometrijai IX grāmatā, viņš sāka ar trim teorēmām, lai secīgi parādītu, ka taisna līnija daļēji nevar atrasties plaknē un daļēji ne - ka, ja divas taisnas līnijas sagriež viena otru, tās atrodas plaknē un katrs trīsstūris atrodas lidmašīna, un, ja satiekas divas lidmašīnas, tās to dara vienā rindā. Tomērvar tikai teikt, ka viņš apgalvo šos rezultātus un padara tos ticamus, jo viņš nevar izmantot savu plaknes definīciju, lai pierādītu kādu no tiem. Tomēr tie veido pamatu nākamajām teorēmām: jebkurā plaknes punktā ir perpendikulārs plaknei, un visas līnijas, kas ir perpendikulāras dotajai līnijai noteiktā punktā, veido plakni.

Atkal, I.4. Ir problemātiska. Samazināšanas ad absurdum nolūkā apsveriet, ka vienam ir divi trīsstūri, (ABC) un (A'BC), kas atrodas to kopējās bāzes (BC) vienā pusē, un tāds, ka (BA = BA ') un (CA = CA'). Paredzēts parādīt, ka līdz ar to virsotnes (A) un (A ') sakrīt, un tam, kā novēroja Gauss (nepublicētās piezīmēs skatīt Gauss Werke 8, 193), ir jāizmanto tas, ka trīsstūri atrodas vienā plaknē. Nepieciešama laba plaknes definīcija, kas ļauj pierādīt šo rezultātu.

Teiksim, ka tīri sintētiska ģeometrija ir tāda, kas kaut kas līdzīgs iepriekš aprakstītajiem principiem attiecas uz tādiem primitīviem jēdzieniem kā taisnas līnijas un plaknes. Tas ir, taisnes līnijas taisnumu un plaknes līdzenumu uzskata par fundamentālu un pievērš uzmanību tikko aprakstītajām biežuma īpašībām. Tas ir izturīgs pret ideju ņemt attālumu kā pamatjēdzienu vai ideju aizstāt izteikumus ģeometrijā ar apgalvojumiem par skaitļiem (teiksim, kā koordinātas), lai gan tas nav naidīgi, ja uz tā tiek veidota koordinātu ģeometrija.

Teiksim arī pašreizējiem mērķiem, ka metriskā ģeometrija ir tāda, kurā attālums ir primitīvs jēdziens, tāpēc līniju segmentiem var teikt, ka tiem ir vienāds garums, sakrītām figūrām ir atbilstošās malas vienādas, un ģeometriskās pārvērtības saglabā garumus. Mēs varam arī pieļaut, ka tiek pieļautas līdzības: tās ir pārvērtības, no kurām iegūst skaitļu kopijas. (Neviena Eiklida elementa teorēma nav atkarīga no figūras faktiskā lieluma: jebkura teorēma, kas attiecas uz vienu figūru, attiecas uz visām tās skalas kopijām.)

Elementārā ģeometrija mūsdienu Rietumos neskaidrā veidā virzījās uz to, lai attālumu padarītu par primitīvo jēdzienu, vienlaikus bieži saglabājot eiklīdiešu uzsvaru uz taisnīgumu, tādējādi bieži sajaucot dažādu jēdzienu nozīmi. Ievērojams piemērs tam, ka tā tomēr ir produktīva, bija Džona Volisa arguments, aizstāvot paralēlo postulātu (lasīts kā lekcija 1665. gadā un publicēts Volisā 1693). Kā viņš saprata, tā balstījās uz spēju izgatavot patvaļīgus trīsstūra mēroga eksemplārus, un šķiet, ka šī ir pirmā reize, kad šo divu sistēmu līdzvērtība tika atzīta:

  1. Eiklida elementi
  2. Pievienoti Eiklida elementi ar noņemtu paralēlo postulātu un pieņēmums, ka pastāv patvaļīgi līdzīgi skaitļi.

Encylopédie Méthodique (1784: 2. sēj., 132) d'Alemberts ģeometriju definēja kā zinātni, kas māca mums zināt ķermeņa apmēru, stāvokli un izturību. Tā principi ir pamatoti, viņš turpināja, uz tik acīmredzamām patiesībām, ka tos nav iespējams apstrīdēt. Līnija (izliekuma izpratnē) ir viendimensionāla, un īsākā līnija, kas savieno divus punktus, ir taisna līnija. Paralēlas līnijas ir līnijas, kuras, lai arī cik tālu tās pagarinātas, nekad nesatiksies, jo tās visur atrodas vienādā attālumā.

Džozefs Furjērs diskusijā ar Monge arī uzskatīja attāluma jēdzienu par galveno, taču viņš sāka ar trīsdimensiju telpu. Pēc tam viņš secīgi definēja sfēru, plakni (kā punktus vienādā attālumā no diviem dotajiem punktiem) un līniju (kā punktus vienādā attālumā no trim dotajiem punktiem). Tas viņam vismaz deva šo iepriekš satraucošo jēdzienu definīcijas (sk. Bonola 1912, 54).

Adrien-Marie Legendre bija matemātiķis, kurš simpatizēja Elementu didaktiskajiem mērķiem, bet ne sākotnējiem formulējumiem. Viņš ir uzrakstījis vairākas dažādas savas Éléments de géométrie (1794) versijas, lai atjaunotu eiklidiešu stingrību ģeometrijas mācībā, ko, viņaprāt, sabojāja teksti, piemēram, Clairaut (1741), kas balstījās uz priekšstatiem par sevis pierādīšana. Viņi, kā viņam nācās atzīt, lielā mērā atšķiras viņu neveiksmīgajos mēģinājumos secināt paralēlo postulātu.

Visos šajos izdevumos Legendre ieņēma stingri metrisku viedokli. Sākotnējā pirmā izdevuma definīcijā tika paziņots, ka “ģeometrija ir zinātne, kuras priekšmets ir apjoma mērs”. Viņš paskaidroja, ka apjomam ir trīs dimensijas, garums, platums un augstums; līnija ir garums bez platuma, tās ekstremitātes sauc par punktiem, un tāpēc punktam nav robežas. Taisna līnija ir īsākais ceļš no viena punkta uz otru; virsmām ir garums un platums, bet nav augstuma vai dziļuma; un plakne ir virsma, kurā, ja divus patvaļīgus punktus savieno taisna līnija, šī līnija pilnībā atrodas virsmā.

Tad Legendre izvirzīja, lai pierādītu elementu teorēmas, kā arī dažus rezultātus, ko Eiklids bija izvēlējies pieņemt, piemēram (Legendre pirmais rezultāts): visi divi taisnie leņķi ir vienādi. Viņa 3. teorēma pierādīja, ka līnija, kas savieno divus atšķirīgus punktus, ir unikāla (tās esamība klusuciešot tiek pieņemta kā taisnas līnijas definīcijas rezultāts). Katrā izdevumā seko pazīstamas kongregācijas teorijas, līdz paralēlo postulātu vairs nevarēja ignorēt. Kad tika nodrošināta paralēlu līniju esamība, Legendre parādīja, ka tās atrodas vienādā attālumā.

Faktiski Legendre mēģinājumi atjaunot stingrību elementārās ģeometrijas ārstēšanā nebija labāki par Eiklida, un savā ziņā sliktāki ne tikai tāpēc, ka viņa mēģinājumi pierādīt paralēlo postulātu neizbēgami bija neveiksmīgi, bet arī tāpēc, ka viņš savā kontā vairāk ieveda kontrabandas, nekā saprata. Bet tā galvenā nozīme pašreizējiem mērķiem ir tāda, ka tā uzskatāmi parāda mēģinājumu pamatot ģeometriju ar attāluma jēdzienu vai drīzāk, precīzāk, ar domu, ka taisna līnija ir īsākā attāluma līkne starp jebkuru tās punktu. Pats attālums nav noteikts.

Secinājums: pamatots uzskats tajā laikā būtu bijis tāds, ka mājas sakārtošanai ir nepieciešama metriskā ģeometrija, un, iespējams, to nevarētu izdarīt, uzliekot attāluma jēdzienu uz struktūras, kas veidota pēc Eiklida elementiem. Šī ir neērtā pozīcija tradicionālajai ģeometrijai, un tā, iespējams, atvēra cilvēku prātus alternatīvu iespējām. Noteikti bija jāražo divi. Viens, projekcijas ģeometrija, pastiprināja un uzlaboja ģeometrijas sintētisko pusi. Otra ģeometrija, kas nav saistīta ar eiklīdiem, bija jauna un izaicinoša metriskā ģeometrija. Bet pirms mēs tos aplūkojam, mēs pievēršamies mūsdienu filozofiskajām ģeometrijas diskusijām.

2. Epistemoloģiskie jautājumi lietišķajā ģeometrijā

Ir noderīgi pārlieku vienkāršot, sakot, ka ap 1800. gadu tika uzskatīts, ka ir viena fiziskā telpa (Visums), un ka šī telpa tika aprakstīta ar Eiklida Elementu ģeometriju, kas bija vienīgais kandidāts šādam uzdevumam. Strīdi attiecās uz šīs ģeometrijas precīzu noformējumu un precīzu piemērošanu fiziskajā pasaulē. Zināšanu raksturs, ko sniedza ģeometrija, bija jautājums arī par dažām diskusijām.

Loks (sk. Ierakstu par Luku) no aristoteliešu tradīcijām pārņēma ideju, ka Eiklīda ģeometrija un racionālā teoloģija ir zinātnisko zināšanu piemēri, taču centās savu filozofiju pamatot ar intuitīvām, demonstrējošām un sensitīvām zināšanām. Intuitīvas zināšanas ir tas, kas tiek nekavējoties uztverts; demonstratīvās zināšanas izmanto pierādīšanas starpposmus, tāpat kā ģeometrijā. Abas šīs zināšanu formas ir noteiktas. Jutīgas zināšanas nav pārliecinātas: tas ir tas, ko mēs mācāmies caur savām sajūtām, tas rada sekas, bet ne cēloņus, labākajā gadījumā ir daļējs un var būt maldinošs. Bet tāpēc, ka Loks pamatoja noteiktas zināšanas par esenču zināšanām, kuras, viņaprāt, mūžīgi bija paslēptas no mums, viņš bija spiests aizstāvēt šo vājāko zināšanu veidu, kas piemērots cilvēku zināšanām. Var domāt, ka kosmosu veido visas (faktiskās un iespējamās) objektu pozīcijas; tīrā telpa ir telpa, kurā ir noņemti visi cietie ķermeņi, un attāliniet primitīvo jēdzienu, kuru mēs izmantojam, lai apspriestu ķermeņu atdalīšanu.

Savā Esejā par cilvēka izpratni (1690) Loks apgalvoja, ka

Kad mēs ar vislielāko drošību demonstrējam, ka trīsstūra trīs leņķi ir vienādi ar diviem taisnīgajiem, ko mēs vairāk domājam, ka vienlīdzība pret diviem pareizajiem obligāti piekrīt un ir neatdalāma no trīs trīsstūra leņķi? (Eseja IV.i.2)

un vēlāk tas

… Ideja par taisni izliektu trīsstūri noteikti nozīmē, ka tā leņķi ir vienādi ar diviem taisniem. Mēs arī nevaram iedomāties šo saistību, šo abu ideju savienojumu, lai tas varētu būt mainīgs vai atkarīgs no jebkura patvaļīga spēka, kurš pēc izvēles to izdarīja vai varēja padarīt citādi. (Eseja IV.iii.29, 559. – 560. Lpp.)

Jūtīgām zināšanām par atbilstošajiem objektiem tomēr nekad nevarētu būt šāda noteiktības pakāpe, un, tā kā mūsu zināšanas rodas no mūsu zināšanām par objektiem, šķiet, ka zinātniskās zināšanas par kosmosu atšķiras no mūsu zināšanām par ģeometriju. Tādējādi Lockelam Eiklīda ģeometrija sniedza viena veida zināšanas, bet pieredze un zinātnisks eksperiments - citu. Varētu teikt, ka epistemoloģiskā plaisa filozofijā saglabājas līdz mūsdienām plaši atzītu atšķirību starp empīriskām un a priori zināšanām formā.

Situācija ar Hjūmu ir sarežģītāka, bet arī acīmredzami skaidrāka, jo atšķirības tiek risinātas tieši. Savā rakstā “Cilvēka rakstura traktāts” (1739–1740) viņš aizstāvēja aritmētikas un algebras noteiktību, taču to neļāva izcelt no ģeometrijas, pamatojoties uz to, ka mūsu zināšanas par punktiem un līnijām pēc būtības ir neprecīzas. Eiklīda ģeometrijas patiesības nebija patiesības par pasauli, bet gan par abstraktu sistēmu, un paliks patiesas, ja pasaulē nebūtu skaitļu, kas atbilstu viņu Eiklīdijas ekvivalentiem. Ir jāsaprot vienādsānu trijstūra teorēma, kas apstiprina trīsstūra, kurai ir divi vienādi leņķi, divu malu vienādību, Hume ieteica kā apgalvojumu, ka konkrētajos apstākļos trīsstūra divas puses ir aptuveni vienādas, un to interpretē šādā veidā prasība ir noteikta (sk. Badici 2011 un de Pierris 2012).

Kanta metafizikā (skat. Viņa Pure Reason kritiku (1781/1787) un ierakstu Kanta uzskatos par telpu un laiku) situācija atkal ir sarežģītāka vai izsmalcinātāka. Kants ieviesa a priori zināšanu jēdzienu atšķirībā no a posteriori un sintētisko zināšanu atšķirībā no analītiskajām zināšanām, lai ļautu eksistēt zināšanām, kas nepaļaujas uz pieredzi (un tādējādi bija a priori), bet pēc būtības nebija tautoloģiskas (un tāpēc sintētiska un nevis analītiska). Analītiskie apgalvojumi ir a priori, a priori neanalītisko apgalvojumu strīdīgajā klasē ir tie, kas citādi nevarētu būt, un tādējādi sniedz noteiktas zināšanas. Starp tiem ir eiklīda ģeometrijas apgalvojumi; Kants sintētisko a priori statusu attiecināja uz zināšanām par kosmosu. Viņš arī piedēvēja noteiktību Eiklīda ģeometrijai. Bet, rakstīja Kants,tas nav filozofs, kurš zina, ka trīsstūra leņķa summa ir divi taisni leņķi, tas ir matemātiķis, jo matemātiķis veido īpašu konstrukciju, kas apgalvojuma patiesumu padara pierādāmu (sk. Kritika, A 716, B 744).

Starp franču filozofijām dominējošais stāvoklis 1770. gados bija Dekarta princips, kas, kā uzskatāmi parādīja Klairautas “Élémens de géométrie” (1741), iespējams, bija pārmērīgi naivs, uzstājot uz skaidrām un tūlītējām idejām. D'Alemberta nostāja savos rakstos laikrakstā Encylopédie Méthodique (1784) bija sarežģītāka. Ģeometrijas priekšmeti ir jāsaprot, abstrahējot no ķermeņiem visas kvalitātes, izņemot to, ka tie ir caurlaidīgi, dalāmi un sakārtoti. Starp šiem objektiem ir līnijas, kurām trūkst platuma, un virsmas, kurām trūkst dziļuma. Patiesības, kas izveidotas par ģeometrijas objektiem, ir pilnīgi abstraktas un hipotētiskas, jo, piemēram, perfekta loka nav. Demonstrētās īpašības var turēt faktiskos apļus tikai tiktāl, ciktāl faktiskais objekts tuvojas stāvoklim, kad ir ideāls aplis,

Tie savā ziņā ir robeža, un, ja tā var pateikt, fizisko patiesību asimptots, termins tiem objektiem, kuri tuvojas tik tuvu, cik vēlas, nekad precīzi nepienākot. (sk. Encylopédie Méthodique II, 132)

Tomēr, ja matemātiskās teorēmas precīzi neatbilst dabai, šīs teorijas praksē izmanto vismaz pietiekami precīzi. Lai tos demonstrētu pilnīgi stingri, tie jāuzskata par ķermeņu turēšanu abstraktas pilnības stāvoklī, kāda viņiem patiesībā nav.

Ģeometrijā izpētītās līknes nav ne pilnīgi taisnas, ne perfekti izliektas, virsmas nav perfekti līdzenas un perfekti izliektas, taču, jo tuvāk tās ir, jo vairāk tuvojas stāvoklim, kam piemīt tās īpašības, kuras pierāda līnijas, kas ir tieši taisnas vai izliektas, un virsmām, kas ir precīzi plakanas vai izliektas.

Šīs pārdomas, d'Alemberts turpināja, būs pietiekami, lai atspēkotu skeptiķus, kuri sūdzas, ka ģeometriski objekti patiesībā neeksistē, un citus matemātikas nezinātājus, kuri to uzskata par bezjēdzīgu un bezjēdzīgu spēli.

Tāpēc šķiet, ka filozofi nav atraduši problēmas Eiklida elementos, bet Hjū, d'Alemberts un citi empīristu pārliecināšanas gadījumi apstrīdēja teorēmu pielietojamību, pamatojoties uz to, ka ģeometrijas objektiem pasaulē varētu nebūt atbilstošu objektu.. Filozofi, kas ir atvērtāki idejai par plašu noteiktu zināšanu klāstu (kā, piemēram, Kants), ģeometriskām teorēmām varētu piešķirt tādu a priori patiesību statusu, kuras nevarētu būt citas, nekā tās ir.

2.1. Mehānikas nozīme

Fiziskā telpa bija naidīga trīsdimensiju Eiklida Elementu telpas un Dekarta koordinētās trīsdimensiju ģeometrijas versija, un tieši šādi Ņūtons to uzskatīja savā Principia Mathematica (1687). Tā tika iecerēta kā neitrāla arēna, kurai nebija nekādu īpašību, kuru caurstrāvoja dažāda veida spēki, kurus radīja fiziski ķermeņi un kurus savukārt ietekmēja fiziskie ķermeņi. Galvenais no tiem bija gravitācijas spēks, kuru matemātiķi Dekarta tradīcijās uzskatīja par noslēpumainu, pat nepieņemamu koncepciju, kad to ieviesa, bet kurš līdz 19. gs. Sākumamgadsimtu Laplass parādīja kā spējīgu tikt galā ar visiem zināmajiem Saules sistēmas kustībām. Tā rezultātā smagums bija kļuvis par dabisku, primitīvu jēdzienu, kam vairs nav nepieciešami sīkāki skaidrojumi, un pēc 1800. gada cilvēkiem, kuri strādāja pie jaunajām magnētisma un elektrības teorijām, bija saprātīgi tos uzskatīt par spēkiem un, ja vajadzīgs, modelēt., uz Ņūtona gravitāciju.

Fiziskā telpa, kā Ņūtons ir aprakstījusi savā Principiā, ir jāpēta, pārejot no kustībā esošo ķermeņu novērojumiem attiecībā pret otru un ar patvaļīgu pulksteni nosakot atbilstošo patieso kustību absolūtā telpā un laikā. Kā Ņūtons to pateica sava pirmā Scholium beigās, viņa traktāta mērķis bija parādīt

kā noteikt patiesās kustības no to cēloņiem, sekām un acīmredzamajām atšķirībām, un, tieši pretēji, kā noteikt no patiesām vai acīmredzamām kustībām to cēloņus un sekas.

Nebija skaidri šaubu Ņūtona prātā par Eiklīda dabu fizisko telpu, un patiešām šķiet, nav bijis šaubu starp astronomi 17 th gadsimta, ka telpa bija describable ar izmantotajiem terminiem Eiklīda Elements. Iespējams, ka arī arvien pieaugošā Ņūtona fizikas nopelnu atzīšana nostiprināja pārliecību, ka telpa ir trīsdimensiju, viendabīga, izotropiska un jāapraksta kā it kā bezgalīgs koordinātu režģis, tādējādi parādot teorēmas - ja ne tieši elementu definīcijas.

Starp Ņūtona izveidotajiem fiziskās telpas ģeometriskajiem aspektiem ir viņa pirmā likuma paziņojums:

Katrs ķermenis saglabā miera stāvoklī vai vienmērīgi virzās uz priekšu, izņemot gadījumus, kad tas ir spiests mainīt savu stāvokli ar iespaidotiem spēkiem.

Rezultāts ir arī tas, ka viendabīga sfēriska cieta viela uz citiem ķermeņiem rada tādu pašu gravitācijas efektu kā vienāda masa, kas koncentrēta ķermeņa centrā. Tas ir, šādi ķermeņi izturas droši, nevis tikai aptuveni, tāpat kā punktu masas. Tādā veidā punkti un līnijas iegūst dinamisku nozīmi viņa dinamikas teorijā.

Tieši Laplasa bija visspēcīgākais arguments, sakot, ka fiziskā telpa pakļaujas Eiklīda ģeometrijai. Savā 1796. gada ekspozīcijā du système du monde (sk. V grāmatu, Ch. V, 472. lpp.) Viņš pievienoja interesantu piezīmi (citēts Bonola 1912: 54), sakot, ka

Ģeometru mēģinājumi pierādīt Eiklida postulātu par paralēlēm līdz šim ir bijuši veltīgi. Tomēr neviens nevar apšaubīt šo postulātu un teorēmas, kuras Eiklids no tā secināja. Tādējādi telpas jēdzienā ietilpst īpaša, pašsaprotama īpašība, bez kuras nevar precīzi noteikt paralēļu īpašības. Ideja par ierobežotu reģionu, piemēram, apli, nesatur neko, kas atkarīgs no tā absolūtā lieluma. Bet, ja mēs iedomājamies, ka tā rādiuss samazinās, mēs bez nekļūdāmies samazināmies tādā pašā proporcijā kā tā apkārtmērs un visu uzrakstīto figūru malas. Šī proporcionalitāte man šķiet dabiskāks postulāts nekā Eiklida stihija, un ir vērts atzīmēt, ka tā tiek atklāta no jauna universālās gravitācijas teorijas rezultātos.

Tas ir pārsteidzoši līdzīgs Volisa viedoklim vairāk nekā gadsimtu iepriekš, lai gan Laplass nepieminēja Volisu un, iespējams, nebija zinājis par savu diskusiju par paralēlo postulātu.

Tāpēc ap 1800. gadu tā vispār bija taisnība, ka problēmas ar eiklīdiešu ģeometrijas patiesības apgalvojumiem atradās starp vispārējām problēmām, kas saistītas ar mūsu zināšanām par ārējo pasauli. Filozofiskajās un zinātniskajās aprindās pārliecība par eiklīda ģeometrijas pamatotību pati par sevi bija augsta.

3. Projektīvā ģeometrija

Kā uzskata daudzi 19 th gadsimta, Eiklīda ģeometrija zaudējusi savu fundamentālo statusu ģeometrija, kas tika uzskatīta par vispārīgāks: projektīvā ģeometrija. (Ievads ģeometrijā 19. gsProjektīvā ģeometrija ir aprakstīta ierakstā Deviņpadsmitā gadsimta ģeometrija, sk. arī dažādu autoru esejas žurnālā Bioesmat-Martagon 2011.) Projektīvajai ģeometrijai ir sava pamatproblēma, līdzīga attāluma problēmai Eiklīda ģeometrijā, kas attiecas uz savstarpējas attiecības jēdzienu, un mums ir jārīkojas, lai izveidotu projektīvu ģeometriju kā neatkarīgu mācību priekšmetu, jānosaka savstarpēja attiecība šajā iestatījumā un jāatrisina izvirzītās epistemoloģiskās problēmas (sasniegums, kas saistīts ar Kleina Erlangena programmu)). Mēs redzēsim arī to, ka projekcijas ģeometrijas pieaugums rada arēnu Hilberta ģeometrijas aksiomatizācijai.

Projektējošā plaknes ģeometrija īpašu stimulu guva no Žana Viktora Ponceleta 1822. gada grāmatas Traité des propriétés projectives des figūras, kur viņš parādīja projektīvo metožu spēku provokatīvā nemetriskās ģeometrijas formulējumā. Jaunās ģeometrijas pamatīpašības ir tādā veidā, kā to var uzskatīt par taisnas līnijas vienkāršāko īpašību iegūšanu - divi atšķirīgi punkti definē unikālu līniju, divas atšķirīgas līnijas satiekas vienā punktā, atskaitot metriskos jēdzienus. attālums un leņķis.

Ponceleta apgalvojumus par plaknes pārveidojumiem, kas norāda līnijas uz līnijām, Chasles (1837) pārrakstīja stingrāk, izceļot šķērssavienības invarianci. Četru punktu (A), (B), (C), (D) līnijas krusteniskā attiecība ir definēta kā (AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB), un, ja punkti tiek kartēti attiecīgi ar (A '), (B'), (C '), (D'), izmantojot projekciju, tad

[AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB = A'B '{.} C'D' / mathbin {/} A'D '{.} C'B'.)

Tomēr tas atstāja subjektu neērtajā stāvoklī, šķiet, šķiet vispārīgāks par eiklīdiešu ģeometriju, jo eiklīdiskās, metriskās, pārvērtības ir projektīvas pārvērtības, bet ne tieši otrādi, lai arī šķiet, ka tās fundamentālā invarianta definīcijā joprojām paļaujas uz metrisko jēdzienu.

Šo jautājumu 1840. un 1850. gados risināja Georgs Kārlis Kristians fon Stauds. Divas viņa grāmatas (1847, 1856–1860) mēģināja dot pamatu projekcijas ģeometrijai, kas to padarīja par autonomu priekšmetu, neatkarīgu no Eiklīda ģeometrijas. Tie bija grūti lasāmi un vairākos veidos nepilnīgi, taču stingras teorijas izveidošanas uzdevumu pirmo reizi varēja uzskatīt par jau iesākta uzdevuma pabeigšanu. Von Staudt apgalvoja, ka plaknes projekcijas ģeometrijas transformācijas var kartēt jebkuru kolineāro punktu trīskāršus ar jebkuru citu, un jebkuru punktu četrkāršojumu (no kuriem trīs nebija kolineāri) uz jebkuru citu, bet ne kolinerāru punktu četrkāršojumu uz jebkuru citu. Pēc tam viņš veica detalizētu kolināru četrkāršu pētījumu. Viņš arī izteica īsas piezīmes par to, kā no projekcionālās ģeometrijas var iegūt Eiklīda ģeometriju,un no tiem varēja redzēt, ka viņa teorija par kolineārajiem četrkāršojumiem tiek samazināta līdz pazīstamajai krusteniskās attiecības teorijai, tiklīdz projekcijas ģeometrijai tika pievienots Eiklīda attāluma jēdziens. Šo ieskatu Kleins daudzos dokumentos 1870. gadu sākumā padarīja skaidru un nepārprotamu. Pirmā lasāmā projektīvās ģeometrijas mācību grāmata un tai, kas tai deva nosaukumu, bija 1873. gadā izveidotā Kremona Elementi di geometria projettiva, un pēc tam šī tēma ātri pieauga, lai kļūtu par klasiskās ģeometrijas pamatvērtību.un tas, kas tam deva vārdu, bija Kremona 1873. gada Elementi di geometria projettiva, un pēc tam subjekts ātri pieauga, lai kļūtu par klasiskās pamatmetodes pamatlīmeni.un tas, kas tam deva vārdu, bija Kremona 1873. gada Elementi di geometria projettiva, un pēc tam objekts ātri pieauga, lai kļūtu par klasiskās pamatmetodes pamatlīmeni.

Tās pamatjēdzieni bija to punktu, līniju un plakņu atstarpe, kuru (mathbb {R} ^ 3) bagātināja ar to, ko bieži sauca par plakni bezgalībā, tā, lai sakristu visas divas plaknes līnijas. Pirms axiomatisations teorijas beigās no 19 th gadsimta, punkts, līnija, un lidmašīnu tika nenoteikts koncepcijas, ar intuitīvu interpretāciju, kas ļāva gatavu pāreju starp projektīvā un Eiklīda ģeometrija. Atļautās ģeometrijas kartes pārvērtības norāda uz punktiem, līnijas uz līnijām un plaknes uz plaknēm un saglabā šķērsgriezumu. Tie uz zonu iedarbojas īslaicīgi, tāpēc neviens punkts, līnija vai plakne nav īpaša, un tāpēc līnijas, kas ir paralēlas jebkurā telpas ierobežotajā daļā, var kartēt līdz krustojošām līnijām un otrādi.

Sintētiskajā formā projektīvās ģeometrijas panākumi lielākoties aprobežojās ar vienkāršošanu, kas tika panākts konusu izpētē - visi nedeģenerētie konusi (aplis, elipse, parabola un hiperbola) ir projicēti ekvivalenti. Projektīvā ģeometrija savā algebriskajā formā izrādījās gandrīz būtiska jebkuras pakāpes plakņu algebrisko līkņu izpētē un, paplašinot to ar projekcijas telpām ar lielākiem izmēriem, arī algebrisko virsmu izpētē. Tas viss veicināja galveno nozīmi, kas piešķirta nemetriskajai ģeometrijai, kuras pamatā ir nedaudz vairāk par taisnas līnijas jēdzienu un līniju un plakņu sastopamības īpašībām.

Projektīvajai ģeometrijai bija arī viena satriecoša iezīme, ko sauca par dualitāti un kuru Kremona uzskatīja par loģikas likumu. Projektīvā plaknes ģeometrijā ir iespējams apmainīties ar terminiem “punkts” un “līnija”, “sakritība” un “vienlaicīga” un šādā veidā apmainīties ar derīgiem apgalvojumiem. Rezultātā visām definīcijām, teorēmām un pierādījumiem projekcijas ģeometrijā ir divējāds raksturs. Piemēram, Desargasa teorēmas apgalvojuma duālis un tā pierādījums ir teorēmas un tās pierādījuma otrādi. Trīs dimensijās terminus “punkts” un “plakne” var apmainīt vienādi, un līnijas apmaina ar citām līnijām. Tas rada intriģējošu epistemoloģisku jautājumu: ir viegli iedomāties telpu, kas sastāv no punktiem, bet nav iespējams to intuitīvi uzskatīt par līniju veidotu. Lai situāciju padarītu vēl sliktāku,telpa ir trīsdimensiju, ja to uzskata par punktu veidojošu, bet četrdimensiju, ja to veido līnijas.

3.1. Koordinātu pārvērtības; Kleīniešu ģeometrija

Kleina Erlangena programma un tas, kas kļuvis pazīstams kā Kleinijas uzskats par ģeometriju, ir aprakstīts ierakstā Deviņpadsmitā gadsimta ģeometrija. Tas ir kļuvis par galveno viedokļa avotu, ka ģeometriju var definēt kā grupu, kas iedarbojas uz telpu, un ģeometriskais īpašums ir jebkurš īpašums, kas ir nemainīgs visās atbilstošās grupas pārvērtībās.

Kleins aizstāvēja šo viedokli pamfletā, kas tika publicēts, kad viņš kļuva par Erlangenas universitātes profesoru 1872. gadā, un citās publikācijās žurnālos 1870. gados, lai atkārtoti apvienotu ģeometriju. Viņš iepazīstināja ar veidu, kā parādīt, ka metriskās ģeometrijas, piemēram, Eiklīda un ne-Eiklīda ģeometrijas, kā arī citas ģeometrijas, piemēram, apgrieztā ģeometrija un biācijas ģeometrija, var uzskatīt par īpašiem projektīvās ģeometrijas gadījumiem (tāpat kā afinētisko ģeometriju, kas viņam nebija zināt par 1872. gadu).

Pamata ģeometrija bija reāla projekcijas ģeometrija, teiksim, divās dimensijās. Šajā ģeometrijā telpa ir reāla projektīva telpa, un grupa ir visu projektīvo pārvērtību grupa. Šī grupa kartēs norāda uz punktiem, līnijas uz līnijām, grāda līknes (n) līdz pakāpes līknēm (n), un, kas ir svarīgi, četru kolineāro punktu krusteniskā attiecība netiek atstāta nemainīta nevienā projicētā transformācijā. Kleīniešu skatījumā tas nosaka, ka punkti, līnijas, pakāpes līknes (n) un četru kolineāru punktu šķērssvars ir ģeometrijas īpašības.

Projektīvā ģeometrija dažādos veidos iekļāva pārējās ģeometrijas. Kleins norādīja, ka var mēģināt pievienot konfigurāciju sarakstam, un tādā gadījumā grupa, kas tos saglabā invariantus, parasti būs mazāka nekā galvenā grupa, vai arī var mēģināt paplašināt grupu, tādā gadījumā invariantu konfigurāciju klase parasti sarūk. Kleinam tikai nesen izdevās parādīt, ka ne-Eiklīda ģeometrija rodas kā apakšģeometrija, aprobežojoties ar uzmanību ar koniskā interjeru projekcijas telpā un apakšgrupu, kas kartē šī konusa iekšpusi (sk. Klein 1871, 1873)..

Kleina Erlangena programmas epistemoloģiskais raksturs kļūst skaidrāks, aplūkojot, kā tas atrisināja plaši pazīstamās nervozās šaubas par šķērssijas definīciju projekcijas ģeometrijā. Kleina atbilde norisinājās pēc analoģijas ar garumiem Eiklīda un ne-Eiklīda ģeometrijā. Šajās ģeometrijās atbilstošā grupa saglabā taisnas līnijas, un jebkuru punktu var kartēt līdz jebkuram citam punktam, bet grupā nenotiek pārveidošana, kas līnijas karti varētu kartēt uz pareizu pašas apakšsegmentu. Tāpēc jebkuru patvaļīgu, bet fiksētu līnijas segmentu var uzskatīt par garuma vienību un izmantot līnijas segmentu mērīšanai, konstruējot tā patvaļīgus daudzkārtņus un apakšdaudzējus un sakārtojot tos tā, it kā tie būtu lineāli. Tagad, lai izmērītu segmenta (AB) garumu,viens vienkārši noliek punktu (A) vienā lineāla galā un redz, kur punkts (B) nokrīt uz lineāla.

Kleina ieskats, sekojot fon Staudtam, bija tāds, ka precīzi līdzīgu argumentu, kurā iesaistīti kolineāru punktu četrkārši, var izmantot, lai projekcijas ģeometrijā definētu šķērsgriezumu. Projektīvā grupa saglabā taisnas līnijas, un katru sakārtotu kolineāro punktu trīskāršojumu var kartēt pie jebkura sakārtota kolineāru punktu trīskārša, un karte, kas nosūta norādīto pasūtīto atšķirīgo punktu trīskāršu numuru uz citu pasūtīto trīskāršo atšķirīgo punktu punktu, ir unikāla, taču ir nevienas pārvērtības grupā, kas var kartēt četrkārtīgu četru kolineāru punktu uz patvaļīgu šādu četrkāršu. Jebkuru patvaļīgu, bet fiksētu kolineāru četrkāršu tāpēc var uzskatīt par “lieluma” vienību, un sarežģīts, bet ne grūts arguments ļauj radīt patvaļīgus tā reizinājumus un pakārtojumus, kurus var izmantot, lai izmērītu savstarpējās attiecības, sakārtojot kā vienu. būtu valdnieks. Tā vietā, lai sniegtu sīkāku informāciju, labāk ir sniegt šo ierosinošo ilustrāciju, kāpēc to var izdarīt. Ļaujiet izmērīt četru kolineāro punktu (P), (Q), (R), (S) savstarpējo attiecību, kartējot punktus uz punktiem (A), (B), (C), (D) reālajā rindā, kur (A) atrodas sākumā, (C) pie (infty) un (D) pie 1, tātad krustenisko attiecību nosaka (B) pozīcija. Tas tiek noteikts unikāli, un, ja (AB) garums ir (x), mēs to atrodam (AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB = x).tātad krustenisko attiecību nosaka (B) pozīcija. Tas tiek noteikts unikāli, un, ja (AB) garums ir (x), mēs to atrodam (AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB = x).tātad krustenisko attiecību nosaka (B) pozīcija. Tas tiek noteikts unikāli, un, ja (AB) garums ir (x), mēs to atrodam (AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB = x).

Laika valodā garums ir divu punktu invariants eiklīdiešu vai ne-eiklidiānu grupā, un šķērssvars ir četru punktu invariants no projekcijas grupas.

3.2 Hilberts un citi par aksiomatisko projekcijas ģeometriju

Problēmas ar dažiem tehniskiem jautājumiem projektīvā ģeometrija, kā arī paaugstinātu dzīves stingrības beigās no 19. gs gadsimtā izraisīja mēģinājumiem axiomatise tēmu. Uzdevums tika aizņem visvairāk enerģiski ar Pieri, Peano, un vairākas citas Itālijas geometers otrajā pusē 19 th gadsimta, un viņiem izdevās panākt stingru vērā reālu un sarežģītu projektīvā ģeometrija divās un trīs dimensijās (skat Marchisotto and Smith 2007). Bet viņiem vienlaikus izdevās samazināt priekšmetu līdz stingrai ģeometrijas skolotāju apmācībai, un viņi nenovērtēja viņu atvērtās pētniecības iespējas. Dāvidam Hilbertam bija jāatstāj aksiomātiskā pieeja ģeometrijai (sk. Hallett and Majer 2004).

Hilberts tika iepazīstināts ar daudzām domstarpībām par elementāru projektīvo ģeometriju, kas attiecās uz to, kādi rezultāti rada kādus iestatījumus, kādus citus rezultātus. Visievērojamākā bija Dezarga teorēma. Trīsdimensiju projektīvā ģeometrijā Desargesa teorēma ir tikai sastopamības aksiomu sekas, bet tā ir teorēma par projekcijas plaknes punktiem (un tātad divdimensiju ģeometrijā) un līnijām, taču neviens to vēl nebija spējis atvasināt. no divdimensionālās projekcijas ģeometrijas sastopamības aksiomām. Bija aizdomas, ka to, iespējams, nevar secināt tikai no šīm aksiomām, un Džuzepe Peano spēja parādīt, ka to patiešām nevar secināt bez dažiem papildu pieņēmumiem. Patstāvīgi,Hilberts arī sniedza ģeometrijas piemēru, kas atbilst visām divdimensionālās projekcijas ģeometrijas sastopamības aksiomām, bet kurās Desargasa teorēma bija nepatiesa. Vēlāk to aizstāja ar vienkāršāku piemēru, ko atradis amerikāņu matemātiķis un astronoms FR Moulton visos vēlākos Hilbert's Grundlagen der Geometrie (1899) izdevumos.

Aksiomātiskajās ģeometrijās, kuras izvirzīja Hilberts, pamata objekti (punkti, līnijas, plaknes) nav definēti. Tā vietā Hilberts precizēja, kā tos var izmantot un ko par tiem var teikt. Viņš iepazīstināja ar piecām aksiomu grupām, kas sakārtotas pēc to izmantotajiem vai kodificētajiem jēdzieniem. Pēc tam viņš izveidoja dažādas ģeometrijas, ievērojot dažādas aksiomu sistēmas, un izveidoja to konsekvenci, piešķirot koordinātas piemērotiem gredzeniem un laukiem - bieži viņa ģeometrijas pieļauj daudzas interpretācijas vai modeļus. Tas šīm ģeometrijām piešķīra visu aritmētikas konsekvenci un izraisīja Hilberta interesi par mēģinājumiem piezemēt aritmētiku kaut kādā noteikto teorijas un loģikas formā.

Hilberta pieeja uzplauka, jo viņš bija sapratis, ka pastāv aksiomu matemātika, dažādu, bet savstarpēji saistītu aksiomu shēmu un to nozīmju izpēte. Poincaré savā recenzijā (1902) par Hilberta grāmatu pieņēma jaunās ģeometrijas kā derīgas, taču izteica nožēlu, ka tās, viņa vārdiem sakot, bija nepilnīgas, jo tām nebija psiholoģiskas sastāvdaļas. Ar to viņš domāja, ka viņus nevar iekļaut viņa skaidrojumā par to, kā mums ir zināmas zināšanas par fiziskās telpas ģeometriju, jo tos nevarēja iedzimtā veidā iegūt.

4. Ne-Eiklīda ģeometrija

Paralēlā postulāta izmeklēšana sākās grieķu laikos, turpinājās islāma pasaulē un tika uzsākta agrīnajos mūsdienu Rietumos. Bet joprojām neskaidru iemeslu dēļ pēc aptuveni 1800. gada cilvēkiem kļuva vieglāk iedomāties, ka Eiklida elementi varētu nebūt vienīgā iespējamā metriskās ģeometrijas sistēma. Starp faktoriem, kas var palīdzēt izskaidrot, kā neiedomājams kļuva iedomājams pat ārpus matemātiķu kopienas, bija teorēmu uzkrāšana, kas balstīta uz pieņēmumiem, kas nav paralēlais postulāts. Liekas, ka šāda radikāla pieņēmuma novatorisku, konsekventu seku radīšana un pretrunu neizdošanās dažiem cilvēkiem lika domāt, ka patiešām varētu būt vesela ģeometrija, kas atšķiras no Eiklida.

Šīs maiņas signāls ir tiesību profesors FK Šveikarts, kurš 1818. gadā caur Gerlingu nosūtīja Gausu, viņa kolēģi no Marburgas universitātes, ģeometrijas kontu, kas pavisam atšķiras no Eiklida. Šveicerta ģeometriju pieņēma Gauss, kurš atbildēja, ka visas jaunās ģeometrijas īpašības var iegūt, tiklīdz tiek piešķirta vērtība konstantei, kas parādījās Šveikarta kontā. Bet tas, ko Gauss bija pieņēmis un uz kāda pamata, nav tik skaidrs. Gauss jau bija atradis kļūdas vairākās Eiklida elementu aizsardzībā, un, gadiem ejot, viņš kļuva pilnīgi pārliecināts, ka ir jauna, divdimensiju ģeometrija, kas atšķiras no Eiklīda plaknes ģeometrijas. Šo ģeometriju varētu aprakstīt ar formulām, kuras, viņaprāt, būtu līdzīgas sfēriskās ģeometrijas formulām. Bet viņš neaprakstīja šāda veida trīsdimensiju ģeometriju, atstājot atvērtu iespēju, ka divdimensiju ģeometrija bija sava veida formāla, bezjēdzīga dīvainība. No otras puses, sarakstē ar Beselu viņš skaidri pateica, ka viņš nevar piedēvēt eiklīda ģeometrijai ticamību, ko viņš sniedza aritmētikai, kas bija a priori, un gan viņš, gan Besela atstāja atvērtu iespēju, ka kosmosa astronomiskie reģioni varētu neizdoties. esi eiklīdietis.

Tāpēc kredīts par pirmajiem pilnīgi matemātiskajiem kosmosa aprakstiem, kas nav Eiklida raksturlielumi, patstāvīgi jāiegūst János Bolijai Ungārijā un Nicolai Ivanovich Lobachevskii Krievijā. Bolyai savā “Science scientia spatii absolūtās veram eksponātu pielikumā” (1832) un Lobachevskii savā “Neue Anfangsgrunde der Geometrie” (1835) un atkal savā Geometrische Untersuchungen (1840) paralēlo postulātu nomainīja ar pieņēmumu, ka tai ir dota līnija un punkts nevis uz šīs līnijas, caur punktu ir daudz līniju, kas atrodas plaknē, kuru nosaka dotais punkts un dotā līnija, un kas neatbilst dotajai līnijai. No tiem, kā viņi pēc tam parādīja, viena līnija katrā virzienā ir asimptotiska dotajai līnijai, un šīs asimptotiskās līnijas sadala visu pārējo līniju saimi dotajā plaknē un caur doto punktu divās grupās:tie, kas atbilst dotajai līnijai, un tie, kas neatbilst. Pēc tam sekoja daudz darba, katrā ziņā slaveni līdzīgi, jo īpaši, lai parādītu, ka trīsdimensiju telpā, kuru apraksta viņu pieņēmumi, ir virsma, uz kuras atrodas Eiklīda ģeometrija, un secināt, vai pastāv trigonometriskas formulas, kas apraksta trīsstūrus plaknē. Šīs formulas atgādina atbilstošās formulas trijstūriem uz sfēras.

Tas viss pārliecināja gan Bolyai, gan Lobachevskii, ka jaunā ģeometrija varētu būt fiziskās telpas apraksts un turpmāk būs empīrisks uzdevums izlemt, vai Eiklida ģeometrija vai ne-Eiklīda ģeometrija bija patiesa. Lobačevskis pat mēģināja noteikt lietu ar astronomiskiem līdzekļiem, taču viņa rezultāti bija pilnīgi nepārliecinoši.

Protams, taisnība, ka konsekventu dedukciju daudzums jaunajā ģeometrijā neizslēdz pretrunu esamību, bet gan jaunās ģeometrijas intriģējošās attiecības ar sfērisko ģeometriju un trigonometrisko formulu esamība trijstūriem ka jaunā ģeometrija bija vismaz konsekventa. Tie, kas to pieņēma, un pirms 1860. gada to bija ļoti maz, tomēr, iespējams, atzinīgi novērtēja labāku kontu, nekā Bolyai un Lobachevskii. Bet pirms pievērsties tam, kas ar to saistīts, ir vērts pauzēt, lai novērtētu formulas, jo daudziem ģeometriem bija jāatrod pārliecinoši pierādījumi par jaunās ģeometrijas derīgumu pat pēc Riemann un Beltrami pārformulēšanas (piemēram, Enriques savā lielajā esejā (1907) par ģeometrijas principiem).

Ne tikai tas, ka ir formulas, bet arī tas, ka tie norāda uz alternatīvu ģeometrijas formulējumu - tādu, kurā varētu izrādīties Eiklida Elementos aprakstītā ģeometrija, bet gan īpašs gadījums. Ja varētu būt kāds cits ģeometrijas definēšanas veids, kā rezultātā dažādos gadījumos tiktu izmantotas šīs formulas, tad būtu iespējams pārdomāt visus jautājumus, kas saistīti ar ģeometriju un kurus bija atklājusi kritiskā pārbaude. Vislabāk to izdarīt 1830. un 1840. gados bija Gauss. Viņš ļoti labi zināja, ko Bolyai un Lobachevskii bija paveikuši, un atšķirīgā ģeometrija deva viņam iespēju rīkoties, taču, dīvaini, viņš to nedarīja. 1840. gadu sākumā viņš rakstīja dažas piezīmes, kas parādīja, ka viņš varētu savienot jauno divdimensiju ģeometriju ar ģeometriju uz pastāvīga negatīva izliekuma virsmas, taču viņš neko nedarīja ar šo novērojumu.

No otras puses, tikai ar formulu esamību nebūtu pietiekami, lai tās padarītu ģeometriskas. Lobačevskis savās agrākajās publikācijās atzina šo vajadzību dot viņiem ģeometrisko pamatojumu, taču tāpēc, ka tie bija krievu valodā, viņi netika lasīti ārpus Krievijas (arī krievu matemātiķi tos nenovērtēja). Viņš noraidīja šāda veida apsvērumus savā 1840. gada brošūrā, no kuras liela daļa no viņa reputācijas ir atkarīgs līdz šai dienai, bet atnesa tos atpakaļ savā pēdējā prezentācijā Pangéométrie (1856), kas tomēr nebija labāka par iepriekšējām versijām..

Lobačevskis vispirms apgalvoja, ka ģeometrija ir zinātne par ķermeņiem kosmosā un ka telpa ir trīsdimensiju. Primitīvākais jēdziens bija kontakts, un tam pretējs - griezums, kas atdala divus ķermeņus. Divas ķermeņa, kas nav saskarē, ir atdalītas, un piemērota trešā ķermeņa saskare ar abām tām mēra attālumu starp tām - jēdziens, kas citādi nebija definēts. Tāpēc viņš varēja definēt sfēru ar tās centru noteiktā punktā kā visu punktu kolekciju, kas atrodas vienādā attālumā no noteiktā punkta. Pēc tam viņš parādīja, kā definēt plakni, uztverot intuīciju, ka, ņemot vērā divus atšķirīgus punktus, plakne ir to punktu kolekcija kosmosā, kas ir vienādā attālumā no abiem dotajiem punktiem. Pēc viņa teiktā, ņemot vērā divus punktus, plakne ir punktu kopums, kas kopīgs divām vienāda rādiusa sfērām,viens ir vērsts uz vienu no punktiem, bet otrs - uz otru. Līniju var definēt līdzīgi.

Ar intuīciju, ka attālums ir primitīvs jēdziens, rodas lielāks kustības novērtējums vai vismaz rezultāti, kas saistīti ar spēju pārvietot objektus, tos nemainot. Var iedomāties transportēt stingru virsbūvi, teiksim, kubu ar vienības garuma malām, un izmantot vienu no tā malām, lai iezīmētu garumus. Mēs redzēsim vēlāk, ka iespējas, kas raksturīgas šajā procesā radušies sakarā vista vai ola debates starp Bertrand Russell un Henri Poincaré beigās 19 gs gs.

Jaunā ģeometrija radikāli izaicināja Eiklīda ģeometriju, jo tā noliedza tradicionālajai ģeometrijai tās labākās pretenzijas uz pārliecību, ka tā ir vienīgā loģiskā sistēma ģeometrijas apspriešanai. Tas arī izmantoja ekspertiem zināmo spriedzi starp taisnāko un īsāko jēdzienu. Bet citos veidos tas bija parasts. Tā nepiedāvāja jaunas pazīstamo jēdzienu definīcijas, piemēram, taisnumu vai attālumu, tā piekrita Eiklīda ģeometrijai leņķos, tā tikai piedāvāja atšķirīgu intuīciju par paralēlām līnijām, balstoties uz atšķirīgu intuīciju par taisnu līniju tālo uzvedību. Tās atbalstītāji nepiedāvāja skeptisku secinājumu. Bolyai un Lobachevskii neteica: "Redziet, ir divas loģiskas, bet nesaderīgas ģeometrijas, tāpēc mēs nekad nevaram zināt, kas ir patiesība." Tā vietāviņi izteica cerību, ka eksperimenti un novērojumi izlems. Epistemoloģiskā cena, kas cilvēkiem būtu jāmaksā, ja astronomiskie novērojumi būtu bijuši par labu jaunajai ģeometrijai, savā ziņā būtu bijusi niecīga: būtu bijis jāsaka, ka taisnām līnijām ir negaidīts īpašums, bet tikai viens nosakāms lielos attālumos vai ar ievērojamiem mikroskopiem. Protams, daudzas no eiklīda ģeometrijas teorēmām pēc tam būs jāpārstrādā, un viņu pazīstamie Eiklīda jūras kolēģi parādīsies tikai kā ļoti labi tuvinājumi. Bet tas visumā ir salīdzināms ar situāciju, kurā Ņūtonas mehānika atradās pēc īpašas relativitātes parādīšanās.savā ziņā ir bijuši nelieli: būtu bijis jāsaka, ka galu galā taisnām līnijām ir neparedzēta īpašība, bet tikai viena no tām ir nosakāma lielos attālumos vai ar ievērojamiem mikroskopiem. Protams, daudzas no eiklīda ģeometrijas teorēmām pēc tam būs jāpārstrādā, un viņu pazīstamie Eiklīda jūras kolēģi parādīsies tikai kā ļoti labi tuvinājumi. Bet tas visumā ir salīdzināms ar situāciju, kurā Ņūtonas mehānika atradās pēc īpašas relativitātes parādīšanās.savā ziņā ir bijuši nelieli: būtu bijis jāsaka, ka galu galā taisnām līnijām ir neparedzēta īpašība, bet tikai viena no tām ir nosakāma lielos attālumos vai ar ievērojamiem mikroskopiem. Protams, daudzas no eiklīda ģeometrijas teorēmām pēc tam būs jāpārstrādā, un viņu pazīstamie Eiklīda jūras kolēģi parādīsies tikai kā ļoti labi tuvinājumi. Bet tas visumā ir salīdzināms ar situāciju, kurā Ņūtonas mehānika atradās pēc īpašas relativitātes parādīšanās.un viņu pazīstamie eiklīdiešu kolēģi parādīsies tikai kā ļoti labi tuvinājumi. Bet tas visumā ir salīdzināms ar situāciju, kurā Ņūtonas mehānika atradās pēc īpašas relativitātes parādīšanās.un viņu pazīstamie eiklīdiešu kolēģi parādīsies tikai kā ļoti labi tuvinājumi. Bet tas visumā ir salīdzināms ar situāciju, kurā Ņūtonas mehānika atradās pēc īpašas relativitātes parādīšanās.

5. Riemannian ģeometrija

Daudz nozīmīgākas izmaiņas nāca ar Bernharda Riemana lielā Gausa diferenciālās ģeometrijas paplašinājuma ienākšanu. Daudzi no epistemoloģiskajiem jautājumiem jau ir izvirzīti ar Gausa darbu (1828), tāpēc vispirms pievēršamies tam.

Gauss dziļi domāja par to, kas ir virsmas noteikšana, un viņš secināja, ka ir iespējamas trīs secīgas vispārīguma definīcijas. Var pieņemt, ka vismaz lokāli virsmu var dot formā (z = f (x, y)) kādai funkcijai (f) no (x) un (y). Tas attiecas uz sfēras reģioniem, bet ne uz visiem tiem uzreiz. Vispārīgāk runājot, var pieņemt, ka virsmu veido tie punkti ((x, y, z)), kas atbilst formas vienādojumam (f (x, y, z) = 0), jo sfēra ir. Vispārīgāk runājot, sacīja Gauss, iespējams, ka virsma lokāli tika piešķirta ar trim funkcijām, katrai no divām mainīgajām (u) un (v). Šie divi mainīgie ir jāuzskata par punktu koordinātām plaknē un funkcijām (x (u, v), y (u, v)) un (z (u, v)) kopā norādiet punktu koordinātas uz virsmas kosmosā. Šajā iestatījumākatram virsmas laukuma punktam ir (u) un (v) koordinātas plaknē. Attālumu starp diviem virsmas punktiem, kas atbilst ((u, v)) un ((u + du, v + dv)) plaknē, piešķir Pitagora teorēmas versija ar formulas formulu forma

(tag {*} ds ^ 2 = E (u, v) du ^ 2 + 2F (u, v) dudv + G (u, v) dv ^ 2)

kur (E, F) un (G) nosaka funkcijas (x, y) un (z) un apmierina (EG - F ^ 2 / gt 0).

Gauss spēja noteikt virsmas izliekuma izmēru kādā punktā, un viņš par to atrada kaut ko ievērojamu: izliekuma izmērs ir atkarīgs tikai no (E, F) un (G) un to atvasinājumiem ar attiecībā uz (u) un (v), bet ne uz funkcijām (x (u, v), y (u, v)) un (z (u, v)) tieši. Precīza izteiksme ir gara un sarežģīta, taču, kā uzsvēra Gauss, tas nozīmē, ka viņa virsmas izliekuma mērs kādā punktā ir raksturīgs: to pilnībā nosaka ar mērījumiem virsmā un tas neietver nevienu jautājumu par trešā dimensija taisnā leņķī pret virsmu. Ņemot vērā metriku, formulu (*) attālumam, var atrast izliekumu. Ja, piemēram, attāluma formula ir tāda, kāda ir plaknes sfēras kartei,izliekums tiks atzīts par sfēras rādiusa kvadrāta abpusēju.

Gauss arī izpētīja, kad vienu virsmu var kartēt uz otru tādā veidā, lai attālumi netiktu mainīti: ja divi punkti (P) un (Q) uz vienas virsmas ir attālumā (d) viens no otra, tad tāpat ir viņu attēli uz otras virsmas. Gauss spēja parādīt, ka tas ir nepieciešams nosacījums, ja izliekumi attiecīgajos punktos ir vienādi. Piemēram, cilindrs un plakne ir lokāli izometriski; kaut arī izliekts, cilindram ir nulles izliekums Gausa izpratnē, tāpat kā plaknei, tāpēc ir iespējams drukāt no rotējoša cilindra.

Tas nozīmē, ka ir tādas ģeometriskas īpašības, kuras no virsmas kartes var secināt, kas nav atkarīgas no kartes detaļām un attiecas uz pašu virsmu. Tās Gausa izliekums katrā punktā ir zināms, un ir arī citas īpašības, kuras var secināt, zinot (ds ^ 2), piemēram, īsākā garuma līkne starp diviem punktiem (ar dažiem nosacījumiem).

Tūlīt netika novērtēts, ka Gausa pieeja ļāva matemātiķiem definēt virsmas kā plaknes reģionus ar īpašu metriku, ko nedrīkst iegūt no virsmām Eiklīda trīsdimensiju telpā. Protams, ja kāda virsma tiek definēta kā kartes attēls no (mathbb {R} ^ 2) līdz (mathbb {R} ^ 3), tad, protams, tā atrodas (mathbb {R} ^ 3). Bet, ja kādu virsmu definē kā (mathbb {R} ^ 2) reģionu ar noteiktu metriku, tad laukā (mathbb {R} ^ 3) var nebūt virsmas, kurai tā atbilst. Pirmais, kurš to novērtēja, šķiet, bija Riemann, kurš arī paplašināja šo ideju līdz jebkuram aspektam.

Riemann idejas bija gan dziļas, gan naivas, un šī iemesla dēļ tās izrādījās grūti precīzi formulēt, taču mēs sākotnēji varam būt apmierināti ar to, ka esam naivi. Viņš domāja, ka viņam tiek dota atstarpe (viņš to sauca par “daudzveidību”), kurā var jebkurā brīdī uzlikt koordinātu sistēmu vismaz visos punktos, kas atrodas tuvu patvaļīgam sākuma punktam, un, ja tas tiek izdarīts, katrs punkts ir saistībā ar sākuma punktu ar (n) skaitļu sarakstu, viņš teica, ka atstarpe ir (n) - dimensijas. Mēs varam uzskatīt, ka šis process nodrošina vismaz tās telpas daļas karti, kas atrodas netālu no sākotnējā punkta, uz (mathbb {R} ^ n). Līdz šim tas atšķiras no virsmas gadījuma tikai ar to, ka divas dimensijas ir aizstātas ar (n).

Pēc tam viņš domāja, ka ir līdzeklis, lai pateiktu, kāds ir attālums bezgalīgi, vispārinot (ds ^ 2) formulu no 2 līdz (n) mainīgajiem. (Viņš pat atļāva izmantot pilnīgi atšķirīgas formulas, taču mēs neaprakstīsim to viņa teorijas daļu, kas ilgus gadus ir palikusi nederīgā formā).

Pēc tam viņš pārbaudīja, vai šī raksturīgā izliekuma īpašība saglabājas augstākajās dimensijās, kā tas notiek. Tas būtībā ir tāpēc, ka dimensijas objektam ir daudz divdimensionālu virsmu, uz kurām attiecas Gausa teorija, tāpēc jēdzienu (n) dimensijas objekta izliekums vienā punktā var iegūt no apsvērums par 2-dimensiju virsmām, kas iet caur punktu.

Tagad viņš jautāja: ko vēl mēs vēlamies, lai varētu veikt ģeometriju? Ir telpas īpašības, kas nav atkarīgas no koordinātu sistēmas. Ja divas dažādas koordinātu sistēmas izdod atšķirīgas koordinātas, bet dara to tā, lai tiktu saglabāts attālums starp punktiem, tad jebkura no šīm sistēmām ļauj mums veikt ģeometriju, un, kad mēs konstatējam, ka abas koordinātu sistēmas vienojas par izliekumiem katrā punktā uz attālumiem starp punktiem utt.

Tā kā formula (ds ^ 2) tika pierakstīta, ievērojot tikai dažus ierobežojumus, nav pamata uzskatīt, ka Riemannian ģeometrija ir definēta attiecībā uz iepriekšējo Eiklida ģeometriju. Nav apgalvojuma, ka (n) dimensijas Riemannian ģeometrija būtu jāiegūst, izmantojot karti no (n) - dimensiju apakškopas dažās Eiklīdijas (N) - dimensijās Eiklīda telpā. Tas nozīmē, ka ģeometriju var veikt, neatsaucoties uz nevienu eiklīda ģeometriju: Eiklida ģeometrija vairs nav epistemoloģiski pirms citu ģeometriju pētījumu. Eiklida valdīšana teorētiski bija beigusies.

5.1. Ģeodēzija un savienojumi

Ņemot vērā attāluma jēdzienu uz kolektora, var runāt par ģeodēziku - ģeodēziskais savienojums, kas savieno divus punktus, ir īsākā garuma līkne starp šiem diviem punktiem. Var uzdot jautājumus par esamību un unikalitāti, un uz tiem bieži var atbildēt. Ievērojamu progresu neatkarīgi veica Tullio Levi-Civita 1917. gadā un Hermann Weyl 1918. gadā, iedvesmojoties no Einšteina vispārējās relativitātes teorijas, kad viņi parādīja, kā definēt paralēlismu uz izliekta kolektora (par Levi-Civita ieguldījumu, skat. Bottazzini 1999 un turpmāk). Veila ieguldījums sk. Scholz 2001). Aptuveni runājot, Veila prezentācijā (1918. gads) divi vektori dažādos punktos ir paralēli, ja tie pieder pie vektoru saimes pa līkni, kas neatšķiras no līknes. Izliekuma ietekmē šī definīcija nav atkarīga no vektoru saimes, bet ir atkarīga no līknes, ja vien izliekums nav nulle; Par tipiska kolektora vektoriem var teikt, ka tie ir tikai paralēli līknei.

Attālās paralēlisma jēdziens ļauj vektoru pārvietot pa patvaļīgu līkni tā, lai tas katrā punktā būtu paralēls ar sevi. To sauca par veidu, kā izveidot savienojumu starp dažādiem punktiem, un teoriju sauca par savienojumu teoriju kolektoros. Jo īpaši ir iespējams jautāt, vai līknes pieskares vektoru saime sastāv no vektoriem, kas ir sākuma punktā paralēli pieskares vektoriem. Ja tā, līkne ir dabisks kandidāts, kas jāuzskata par taisnāko līkni starp tās gala punktiem, jo pieskares vektors nekad nepaātrinās gar līkni.

Savienojumus var definēt neatkarīgi no metrikas, bet, ja metrika un savienojums ir saderīgi, var parādīt, ka jebkurš neliels šīs līknes gabals ir īsākā līkne, kas savieno tā gala punktus, tāpēc taisnākie kolektora izliekumi ir ģeodēziski. Mūsdienu diferenciālajā ģeometrijā ģeodēzija tiek noteikta caur savienojumiem.

5.2. Riemann un Beltrami, kā arī stingra ne-Eiklīda ģeometrija

Riemann “Ueber die Hypothesen…” (lasīts kā lekcija 1854. gadā, publicēts pēcnāves laikā 1867. gadā) un Beltrami “Saggio” (1868) sniedza atšķirīgus, bet līdzvērtīgus pārskatus par divdimensiju ne-Eiklīda ģeometriju, aprakstot to kā interjera ģeometriju. diska ar jaunu metriku. Riemann konts, kurš bija norādīts dimensijās, piekrīt tam, kuru Poincaré bija paredzēts izmantot daudzās īsās publikācijās 1880. un 1881. gadā, bet tikai skaidri aprakstīja savā lielajā rakstā (Poincaré 1882). Šajā metrikā ģeodēziskie elementi ir riņķa līnijas, kas ir perpendikulāras diska robežai, un leņķi ir pareizi attēloti. Beltrami versijā ģeodēziju attēlo taisni līnijas segmenti, kas ir diska akordi. Riemann un Beltrami diski ātri pārliecināja matemātiķus, ka Bolyai un Lobachevskii ģeometrija, kas nav eiklidiešu valoda,galu galā izveidojiet precīzu matemātisko jēgu. Poincaré ieguldījums desmit gadus vēlāk bija padarīt ne-Eiklīda ģeometriju par dabisko ģeometriju noteiktām tēmām citur matemātikā, galvenokārt jaunattīstības un svarīgu Riemann virsmu priekšmetu.

Nevajadzētu ignorēt jebkuras matemātikas daļas stingra pārskata nozīmi, taču Riemannian ģeometrijas akceptēšana, nosakot ne-Eiklīda ģeometriju, pārsniedza konsekventa formālisma atspoguļojumu. Tas norāda uz piekrišanu uzskatam, ka ģeometrija ir jebkas, ko var aprakstīt Riemannian formālismā. Durvis atver skatam, ka ir daudz ģeometriju, no kurām katrai jābūt konsekventai, un nevienai no tām nav jāatsaucas uz Eiklīda ģeometriju. Apspriežamās “telpas” dimensiju skaits, “telpas” topoloģiskais raksturs un precīza metrika ir vienaldzības jautājumi. Pastāv tāda veida divdimensiju ģeometrija, jo var atrast piemērotu metriku; jo tur it kā ir karte,nevis tāpēc, ka (mathbb {R} ^ 3) ir atrasta virsma ar pareizajām īpašībām. Patiešām, vēlāk tika parādīts (Hilberts 1901), ka (mathbb {R} ^ 3) nav virsmas, kas precīzi atbilstu 2-dimensijas telpā, kas nav Eiklīda.

Riemannam bija skaidrs, ka šāda veida ģeometrijas veikšanas epistemoloģiskās sekas ir milzīgas. Matemātiķiem vairs nav jāatstāj dažas fundamentālas intuīcijas no tā, ko viņi tic fiziskajai telpai, piemēram, taisnu līniju vai apļu raksturs un īpašības, un jācenšas izveidot patiesu ģeometriju, pamatojoties uz šo intuīciju zināmu aksiomatisku izpausmi. Domāšanas virzienam drīzāk vajadzētu būt pretējā virzienā: matemātiķi varēja brīvi veidot bezgalīgi daudz ģeometriju un redzēt, kas attiecas uz fizisko telpu. Šajā sakarā drīz tika parādīts, ka ir iespējams veikt teorētisko mehāniku, nosakot ģeometriju, kas nav Eiklida ģeometrija.

6. Ne-Eiklīda ģeometrijas saprotamība

Projektīvās ģeometrijas epistemoloģiskā nozīme ir atkarīga no tā ietekmes uz klasiskās ģeometrijas raksturu un stingrību. Ne-Eiklīda ģeometrijas epistemoloģiskā nozīme ir vairāk balstīta uz iespēju, ka kaut kādā veidā varētu būt taisnība, ka Eiklīda ģeometrija varētu būt patiesa. Tādēļ mēs savukārt 19 th gadsimta izmeklējumiem saprotamas ģeometrija.

6.1. Herbarta filozofija

Johans Frīdrihs Herbarts kļuva par Kanta pēcteci Kēnigsbergā 1808. gadā, kur viņš palika līdz došanās uz 1833. gada Getingeni, kur viņš nomira 1841. gadā, bet viņš nebija pareizticīgais kanti. Viņa lielākais darbs, 1824. – 1825. Gada divu sējumu Psychologie als Wissenschaft neu gegrundet auf Erfahrung, Metaphysik un Mathematik, centās pamatot psiholoģiju filozofijā un vienlīdzīgi izturējās pret pieredzi un metafiziku. Izmantojot nedaudz satriecošu matemātiku, viņš centās parādīt, kā darbojas atmiņa un kā dažāda veida atkārtoti stimuli liek smadzenēm iemācīties uztvert, piemēram, līnijas, paralēlas līnijas, krustojošās līnijas un virsmas. Pēc Herbarta domām, nav iedzimtu ideju; vizuālā telpa tiek veidota no pieredzes, vissvarīgāk, izmantojot konceptuālu aktu, kas ļauj secināt par telpisko procesu nepārtrauktību. Un jēdzienus ģenerē atmiņu kopas, pēc kurām loģika darbojas neatkarīgi no to pirmsākumiem. Tas bija Herbarta veids, kā izvairīties no loģikas psiholoģijā.

Herbarta idejas ietekmēja Riemann (sk. Scholz 1982). Romans dabaszinātni uzskatīja par mēģinājumu izprast dabu, izmantojot precīzus jēdzienus, kuri ir jāmaina, ņemot vērā mūsu pieredzi ar tiem. Viņš cerēja, ka veiksmīgākās koncepcijas būs diezgan abstraktas, un piekrita Herbarta viedoklim, ka tās nevarētu būt a priori Kantian mode. Turklāt šo jēdzienu nozīmīgumu zinātnei piešķīra tieši viņu uztveres izcelsme. Piezīmēs, kuras viņš pats rakstījis (skat. Riemann Werke 1990: 539), Riemann teica, ka piekrīt Herbarta psiholoģijas un epistemoloģijas jautājumiem, bet ne ontoloģijai vai idejām par telpas, laika un kustības jēdzienu uzbūvi. Nesaskaņas maskē dziļāku līdzjūtību. Herbarts bija iestājies par cēloņsakarību savienotu, bet diskrētu monadu trīsdimensiju reālo pasauli,ko prāts izturas caur kontinuuma jēdzienu, ko tas piegādā, tādējādi pārvēršot savu diskrēto pieredzi par iespēju spektru. Riemann neredzēja iemeslu ierobežot uzmanību ar trim dimensijām, un pārvietoja nepārtrauktos iespēju spektrus uz ļoti vispārīgajām ģeometriskajām koncepcijām, kuras viņš radīja.

Tas mazināja vai varbūt atstāja atmiņā Herbarta uzsvērtās pieredzes lomu. Riemans apzinājās, ko Herbarts bija sacījis, ka tas notika dabiski: ja pieredze rada jēdzienus, ar kuriem mēs veidojam pasauli, tad, sacīja Riemann, ļaujiet matemātikai radīt precīzākas un elastīgākas koncepcijas, ar kurām vadīt zinātni.

6.2 Helmholts un Poincaré

Riemann idejas savukārt ietekmēja Hermann von Helmholtz, kurš publicēja vairākas ietekmīgas esejas par to, kā ir iespējamas mūsu zināšanas par ģeometriju. Savā “Über die thatsächlichen Grundlagen der Geometrie” (1868) viņš centās parādīt, kā var izveidot tikai ierobežotu skaitu Riemannian ģeometriju, kurās pastāv stingras ķermeņa kustības jēdziens. Viņš apgalvoja, ka mūsu stingro ķermeņu pieredze māca mums, kāda ir telpa un it īpaši - kāds ir attālums. Viņš arī apgalvoja, ka divdimensiju telpa, kas pieļauj stingras ķermeņa kustības, būtu vai nu Eiklīda plakne, vai lode. Beltrami rakstīja viņam, lai norādītu, ka viņš ir aizmirsis iespēju, ka ģeometrija nav saistīta ar Eiklīdiju, un Helmholts ne tikai piekrita,bet uzrakstīja turpmāku eseju (1870), kurā viņš paskaidroja, kā mums būtu iespējams iegūt zināšanas par šo ģeometriju kantiņu izpratnē (sintētiskā a priori). Daudzi kantiieši atteicās pārliecināties, visticamāk, no tā, ka Kants bija pārliecinājis, ka mums ir nevainojamas šāda veida zināšanas par Eiklīda ģeometriju, bet viens cilvēks, kuru šīs idejas, ļoti iespējams, ietekmēja, bija Henri Poincaré (sk. Grejs 2012).

Tiklīdz Poincaré sāka rakstīt savas populārās filozofiskās esejas par ģeometriju, viņš skaidri pateica, ka viņa galvenā problēma ir jautājums par to, kā mēs vispār varam paļauties uz jebkuru ģeometriju. Viņš labi pārzināja Riemannian ģeometriju lielo diapazonu un Helmholtz spekulāciju secinājumus, ko līdz tam bija stingri izdarījis Sophus Lie darbā, ka ļoti ierobežots skaits ģeometriju pieļāva stingras ķermeņa kustības. Viņa bažas savā grāmatā “Uz ģeometrijas pamatiem” (1898) bija saistītas ar epistemoloģiju.

Poincaré apgalvoja, ka prāts ātri saprot, ka tas var kompensēt noteikta veida kustības, kuras tas redz. Ja glāze nāk pret jums, jūs varat staigāt atpakaļ tādā veidā, ka stikls šķiet nemainīgs. To pašu var izdarīt, ja tas sagāžas vai pagriežas. Prāts satur šo kompensējošo kustību krājumu, un saprot, ka tas var sekot viens otram un rezultāts būs trešā kompensējošā kustība. Šīs garīgās darbības veido matemātisku objektu, ko sauc par grupu. Tomēr prāts nevar radīt kompensējošas kustības citām redzētajām kustībām, piemēram, vīna kustībai glāzē, kad tas virpuļo. Tādā veidā prāts veido stingras ķermeņa kustības jēdzienu, kas ir tieši kustība, kurai prāts var veidot kompensējošu kustību.

Pēc tam Poincaré apsvēra, kāda grupa varētu būt kompensējošo kustību grupa, un secināja, ka, kā Helmholts ierosināja un Lija toreiz pierādīja, šādu grupu ir stingri ierobežota kolekcija. Galvenās no tām bija grupas, kas nāk no eiklīdiešu un ne-eiklīdiešu ģeometrijas, un kā abstraktas grupas tās ir atšķirīgas. Bet kura no tām bija pareiza?

Poincaré strīdīgais uzskats bija tāds, ka nekad nevar zināt. Cilvēki, izmantojot evolūciju un mūsu pieredzi zīdaiņiem, izvēlas Eiklīda grupu un saka, ka kosmoss ir Eiklīda. Bet cita suga, balstoties uz atšķirīgu pieredzi, varēja izvēlēties grupu, kas nav Eiklidu grupa, un tā teikt, ka kosmoss bija ārpus Eiklīda. Ja mēs satiktu šādu sugu, nebūtu eksperimenta, kas izlemtu šo jautājumu.

Varētu iedomāties, viņš teica, veidojot lielus trīsstūrus un izmērot leņķus. Trijstūra malas, teiksim, ir izgatavotas ar gaismas stariem. Pieņemsim, ka eksperimentālās kļūdas robežās eksperimenta rezultāts ir tāds, ka trijstūra leņķa summa ir mazāka par (pi) - rezultāts atbilst ne-Eiklīda ģeometrijai, bet ir pretrunā ar Eiklīda ģeometriju. Vienīgais secinājums, ko var izdarīt, sacīja Poincaré, ir tāds, ka vai nu gaismas stari pārvietojas pa taisnām līnijām, un telpa nav Eiklida teritorija, vai arī, ka telpa ir eiklīdiska, un gaismas stari pārvietojas pa līknēm.

Mēs varam apkopot viņa argumentu šādā veidā. Mūsu zināšanas par ārējās pasaules ģeometriju ir balstītas uz mūsu garīgajām spējām tikt galā ar stingru ķermeņa kustību grupu. Šo grupu veikals ir ļoti ierobežots, taču neviens eksperiments nevar izlemt starp tām. Viss, ko mēs varam darīt, ir izdarīt izvēli, un mēs izvēlēsimies vienkāršāko. Kā tas notiek, tā bija eiklīdiešu grupa, jo, kā teica Poincaré, mēs bijām secinājuši, ka viena no tās īpašībām, kas nav kopīga ar grupu, kas nav eiklidiešu grupa, ir īpaši vienkārša. Bet cilvēku suga it kā bija izdarījusi izvēli, un šī izvēle cilvēka prātā tagad bija iedzimta. Zināšanu iegūšanas veida un fakta dēļ, ka ir vairāk nekā viena atbilstoša grupa, mēs nekad nevaram zināt, vai kosmoss ir eiklīdietis vai ne-eiklidietis, tikai tāpēc, ka mēs to konstruējam kā eiklīdiešu.

Šī kantiiešu doktrīnas par Ding an Sich (pati lieta) neapzināšanās un mūsu norobežošanās no šķietamības pasaules savijums bija raksturīgs Poincaré kā strādājošam fiziķim, taču to ir svarīgi atšķirt. Tikko izskaidrotais viedoklis ir Poincaré ģeometriskā konvencionālisma filozofija. Viņš atbalstīja konvencionālismu citās zinātnes jomās, apgalvojot, ka tas, ko mēs saucam par dabas likumiem (Ņūtona likumi, enerģijas saglabāšana un tā tālāk), nebija ne pārskatāmi empīriski jautājumi, ne absolūtas patiesības, bet gan labi zināmi rezultāti, kas bija paaugstināti. par aksiomu lomu mūsdienu zinātniskajās teorijās. Tos var apstrīdēt, bet tikai tad, ja tiek apstrīdēta visa zinātniskā teorija, nevis dīkstāvē, kad tika veikti daži neērti novērojumi. Saskaroties ar satelītu, kurš, šķiet, nepakļāvās Ņūtona likumiem, vajadzētu, uzskata Poincaré, apsvērt kādu vēl nepamanītu spēku darbā un nemēģināt pārrakstīt Newton. Bet var ierosināt jaunu teoriju, kuras pamatā ir dažādi pieņēmumi, kas pārraksta dabas likumu, jo šie likumi nav mūžīgas patiesības - mēs nekad nevarētu zināt šādas lietas. Un, ja tiktu ierosināta jauna teorija, ērtības labad var izvēlēties tikai jauno un veco.ērtības labad var izvēlēties tikai jauno un veco.ērtības labad var izvēlēties tikai jauno un veco.

Izšķirošā atšķirība ir tā, ka zinātniskais konvencionālisms darbojas augstā līmenī. Izvēle tiek izdarīta apzināti un intelektuāli, debatēs var piedalīties tikai cilvēki ar ievērojamu specializētās izglītības daudzumu. Ģeometriskais konvencionālisms darbojas prātā, pirms tas ir spējīgs uz jebkāda veida formālām norādēm, un, ja tas nedarbotos, neveiksmīgais subjekts nebūtu spējīgs uz zināšanām par ārējo pasauli.

6.3 Poincaré pret Russell

Poincaré viedokļi izraisīja viņu sadursmē ar Bertrand Russell 1890. gados, kad viņš izkāpa no savas īsās Hēgeļa fāzes un iegāja savā Kantian fāzē. Rasela mēģināja noteikt kantijas a priori, apgalvojot, ka ir viena pamata ģeometrija, kas ir projekcijas ģeometrija, un mums ir sintētiskas a priori zināšanas par to (sk. Griffin 1991 par Russell un Nabonnand 2000 par strīdiem).

Nevar būt šaubu, ka Poincaré ar savām daudz lielākajām matemātikas zināšanām uzvarēja daudz diskusiju, jo Rasels ar savu raksturīgo gatavību atzīt savas kļūdas bija gatavs piekāpties. Tomēr būtiska atšķirīga attieksme starp viņiem nekad nebija jāatrisina. Poincaré analīze sākās ar ideju par stingriem ķermeņiem, no kuriem tiek veidots attāluma jēdziens. Rasela apgalvoja tieši pretēji, ka neatkarīgi no tā, kā mēs varam atklāt tāda attāluma jēdzienu, kādu mēs zinām, pirms sākam, ka attālums no Londonas līdz Parīzei ir lielāks par metru. Šis Poincaré noliedza savā grāmatā “Des fondements de la géométrie: à javaslat d'un livre de M. Russell” (1899).

Pēc Poincaré domām, mēs zinām, kāds ir attālums no viena punkta līdz otram, kad esam noskaidrojuši, ko dara nekustīgie ķermeņi, un šīs zināšanas mūsos ir kļuvušas iedzimtas. Pēc Rasela domām, neviena attāluma jēdziena diskusija nevarētu pat domāt, ka attālums no Londonas līdz Parīzei ir mazāks par metru - mēs zinātu, ka mēs nerunājam par attālumu, ja mēs kaut ko tādu sakām. Poincaré uzstāja, ka runai par to, ko mēs zinām, vienmēr jābūt atkarīgai no tā, kā mēs to zinām; bez šādas analīzes apgalvojumi vispār nebija apgalvojumi par zināšanām. Rasels vēlējās, lai attālums tiktu uzskatīts par fundamentālu intuīciju.

Nesaskaņas var izgaismot matemātisks attēls. Par Poincaré runājiet par to, ko mēs varētu saukt par parasto ģeometriju, telpas izjūtu, kāda mums ir pirms padziļinātas instrukcijas, patiesībā ir par spēju mums izmērīt lietas. Mēs varam nest stingru korpusu apkārt un izmantot to kā lineālu. Tā kā mēs to varam izdarīt, mēs varam runāt par attālumu starp vietām. Ja vēlaties iestatījumu padarīt abstraktu, ir jābūt atstarpei un grupai, kas darbojas uz telpu un pārvieto punktus punktos apkārt. Ja šai grupai ir tāda īpašība, ka, kaut arī kāds telpas telpa tiek pārvietota, tā nekad netiek kartēta uz atbilstošas pašas apakškopas, tad var veidot stingrus ķermeņus un runāt par attālumu.

Raselam viens var brīvi aizņemt atstarpi un katram punktu pārim piešķirt “attālumu” (ievērojot dažus vienkāršus noteikumus, kurus es izlaižu). Saistībā ar šo attāluma sajūtu var pateikt, vai, pārvietojoties reģionam, punkti tajā paliek vienādā attālumā viens no otra vai ne. Mēs to esam izdarījuši sava attāluma sajūtas dēļ uz Zemes virsmas, un mēs to varam izdarīt neatkarīgi no tā, vai mums ir vai nav dažas nekustīgas ķermeņa kustības. Matemātiskā ziņā Rasels būtu apmierināts ar to, ko sauc par metrisko telpu. Lieta nav tāda, ka kāds varētu uzlikt metriku uz Zemes virsmas, kurā konkrētais punktu pāris, teiksim, Kembridžā, bija viena metra attālumā viens no otra, bet Londona un Parīze bija tikai pusmetru attālumā viena no otras - varēja, bet tas var runājiet par attālumu, neparedzot grupas rīcību. Dažās metriskās telpās tiek pieļauta tādu grupu darbība, kuras saglabā attālumu,citi to nedara, bet attālumu var definēt, nerunājot par grupu. Poincaré nekad nebija jāsaskaras tieši ar šo argumentu-metrisko atstarpi ir 20 izgudrojumsth gadsimta, bet mēs zinām, ko viņš būtu teicis. Viņš būtu teicis, ka tā ir derīga matemātika, bet pilnīgi formāla un to nevar uzskatīt par patiesām zināšanām, jo tai nebija psiholoģiskas dimensijas. Mēs to zinām, jo tā bija viņa kritika par Hilberta konstruēto aksiomātisko ģeometriju (skatīt zemāk).

Poincaré argumentus sastapa arī ar itāļu matemātiķa Federigo Enriques iebildumiem. Poincaré apgalvoja, ka viens no veidiem, kā redzēt ģeometrisko konvencionistu argumentu pamatotību, bija diska, kurā viss tika izgatavots no tā paša materiāla, kurš izpleās, karsējot, un kurā temperatūra bija īpaša funkcija no attāluma, diska centrs. Šī Poincaré norādītā funkcija nodrošināja, ka diska metrika, ko mēra ar stieņiem, kas izgatavoti no tāda paša materiāla kā disks, ir tāda, kas neatbilst Eiklida ģeometrijai. Radījumā, kas dzīvo diskā, būtu jāziņo, ka viņu telpa nebija Eiklīdijas; mēs atbildētu, ka telpa bija eiklidiāna, bet pakļauta temperatūras lauka kropļojošajai iedarbībai. Viennozīmīgi, ka katra puse var saglabāt savu stāvokli bez pretrunām.

Enriques savā Problemi della Scienza (1906) apgalvoja, ka tas ir nepamatoti. Radījumiem būtu pareizi piedēvēt ģeometriju savai telpai (un, protams, ne-Eiklīda ģeometrijai), jo kropļojošais spēks nav viņu kontrolē. Viņu ģeodēzika ir iebūvēta telpā, un nebūtu saprātīgi viņiem piedēvēt ģeodēzijas ceļus “spēka” darbībai, jo šis “spēks” nebija kaut kas tāds, ar ko viņi principā pat varēja manipulēt. Karstums, masīvu priekšmetu gravitācijas efekts, visas šīs kropļojošās ietekmes ir lietas, kurām var atļauties, jo tās var mainīt. Ja iepriekšminētajā eksperimentā tika apgalvots, ka telpa ir eiklīdiska, bet mūsu kandidāti uz taisnām līnijām ir deformēti, vajadzētu būt iespējai mainīt deformācijas pakāpi. Varētu veikt eksperimentu tālāk no visiem masīvajiem objektiem, tukšākos kosmosa reģionos. Ja dažādi eksperimenti sniegtu pat nedaudz atšķirīgus rezultātus, tad saskaņā ar paša Poincaré zinātnisko konvenciju mainīšanas kritērijiem varētu kaut ko meklēt tādos apstākļos, kas bija atbildīgi par gaismas staru novirzi no taisnuma. Bet, ja visi eksperimenti būtu vienisprātis, Enriques iebilda, ka būtu racionāli secināt, ka ģeodēzijā pārvietojas gaismas stari un kosmosa ģeometrija nebija Eiklīdija. Bet, ja visi eksperimenti būtu vienisprātis, Enriques iebilda, ka būtu racionāli secināt, ka ģeodēzijā pārvietojas gaismas stari un kosmosa ģeometrija nebija Eiklīdija. Bet, ja visi eksperimenti būtu vienisprātis, Enriques iebilda, ka būtu racionāli secināt, ka ģeodēzijā pārvietojas gaismas stari un kosmosa ģeometrija nebija Eiklīdija.

Ir arī vērts atzīmēt, ka arvien pieaugošo ideju sarežģītība par to, kā teorētiskā ģeometrija ir saistīta ar praktisko pieredzi, un par zināšanām, kuras sniedz ģeometrija, pieder pie visu matemātikas izmaiņu grupas līdz 1900. gadam. Izveidojās autonoma matemātikas disciplīna. kas arvien vairāk uzsvēra formālos tēmas aspektus un piedāvāja sarežģītas un bieži attālas attiecības ar pieredzes pasauli. Šis modernisma pagrieziens matemātikā tiek apspriests dažādās vietās (sk. Grey 2008 un tajā citēto literatūru).

7. Noslēguma piezīmes

Šī eseja ir izskatījusi būtiskākos filiāles attīstībā ģeometrijas līdz pirmajos gados 20 th gadsimta iedaļām teorētisko un abstraktās zināšanas, empīriskā un citas analīzes ir saprotamas šādas zināšanas, un deduktīvā raksturu šīs zināšanas.

Taisnās līnijas statuss Eiklida ģeometrijā gan kā īsākā līkne, kas savieno jebkurus divus tās punktus, gan kā līkne, kas vienmēr norāda vienā virzienā, tika atvienota. Viena izpētes līnija noveda pie ģeometrijām, kas uzsvēra taisnumu kā galveno īpašību (parasti projektīvā ģeometrija), bet otra - pie ģeometrijām, kas uzsvēra īsāko aspektu. Iepriekšējā pieeja jau no paša sākuma tika uzskatīta par nemetrisku un kļuva par iecienītāko arēnu formāliem, pat aksiomātiskiem ģeometrijas kā deduktīva uzņēmuma pētījumiem. Par cenu arvien mazāk bija ko teikt par fizisko telpu (kā novēroja Poincaré). Ģeometrijas jēdziens tika radikāli paplašināts, bet veidos, kas nebija paredzēti kā saprotamas telpas konti.

Šis metriskais konts ļāva pakāpeniski noskaidrot ievērojamu Eklīdija elementu neskaidrību: paralēlo postulātu. Par daudz 19. gs gadsimtā, šī bija vienīgā alternatīva Euclid 's, kas tika ierosināts kā saprotamā ģeometriju, lai gan kopumā tika panākta vienošanās, ka tikai vissmalkākās eksperimenti varētu cerēt, lai izlemtu šo jautājumu. Poincaré apstrīdētais uzskats bija, ka neviens eksperiments nevar izlemt, un tas izvirzīja svarīgus jautājumus par to, kā interpretēt abstraktus terminus.

Papildus uzkrītošā idejai par vienu alternatīvu Eiklida ģeometrijas sistēmai, kas pastāvēja divus tūkstošus gadu, bija arī metrisko ģeometriju kopums, kas tika pieminēts Gausa darbā par diferenciālās ģeometrijas izveidi un kuru izstrādāja Riemans. Šeit beidzot izrādījās iespējams izskaidrot attiecības starp visvienkāršākajām un īsākajām piemērotā vispārīgā situācijā. Kļuva arī iespējams apspriest ģeometriju kā ideju kopumu, kas izauga no naivām idejām par garumu, leņķi, formu un izmēru, un to darīt sarežģītā un stingrā veidā, nepievilinot aksiomas, neatkarīgi no tā, vai šīs aksiomas bija paredzētas vai nē kā saprotamas pieredzes destilācijas. Tādā veidā kļuva iespējams ģeometriskās idejas pielietot jaunos apstākļos un jaunos veidos.

Līdz beigām pirmajā desmitgadē 20. gs gadsimtā, bija skaidrs, ka Eiklīda ģeometrija ir zaudējusi savu pirkārtējā. Bija labākas formālās, aksiomātiskās sistēmas (piemēram, tādas, kuras ierosināja Hilberts un daži matemātiķi skolā ap Peano). Bija bagātīgas sistēmas, kas bija fundamentālākas tādā nozīmē, ka tradicionālās ģeometrijas figūrās tika izmantotas mazāk īpašības, piemēram, taisnā līnijā (daudzās projekcijas ģeometrijas versijās). Un tur bija ļoti daudz metrisko ģeometriju ar dabiskākiem sākuma punktiem un dziļākām teorijām.

Tā rezultātā idejas par to, kā jebkura veida teorētiskā ģeometrija attiecas uz telpu ap mums, ir kļuvušas daudz sarežģītākas. Ģeometrijas patiesību vairs nevajadzēja uzskatīt par pašsaprotamu, bet gan tā bija kļuvusi empīriska, un arī filozofiskās idejas par ģeometrijas saprotamību bija padziļinājušās.

Bibliogrāfija

  • d'Alemberts, J. le Rond, 1784, Encylopédie Méthodique: Mathématique.
  • Badici, E., 2011, “Vienlīdzības standarti un Hjū skats uz ģeometriju”, Klusā okeāna filozofiskais ceturksnis, 92 (4): 448–467.
  • Beltrami, E., 1868, “Saggio di interpretazione della geometria non Euclidea”, Giornale di Matematiche, 6: 284–312, in Opere matematiche I: 374–405. Tulkojums angļu valodā J. Stillwell, 1996, Hiperboliskās ģeometrijas avoti (matemātikas vēsture 10), Amerikas un Londonas matemātikas sabiedrības, lpp. 7–34.
  • Bioesmat-Martagon, L., 2011, Kosmosa projekta biogrāfija, Nensija: Nanses Preses Universitaires de Nancy, Ģeometriju kolekcijas vēstures, 2.
  • Bolyai, J., 1832, “Annex scientiam spatii Absolute Veram Exhibitions”, W. Bolyai un J. Bolyai, 1832, Tentamen juventutem studiosam Elementa Matheosis purae utt., Maros-Vásérhely, 2 vols. Tulkojums angļu valodā: GB Halsteds, “Kosmosa zinātnes absolūts”, pielikumā Bonolā 1912. gadā un Dž. Grejā, 2004. gadā, János Bolyai, Ne-Eiklīda ģeometrija un kosmosa daba, Burndy Library, MIT.
  • Bonola, R., 1906. gads, La geometria non-Euclidea, Bologna: Zanichelli, tulkojums angļu valodā HS Carslaw, F. Enriques priekšvārds, 1912, Neeiklīdisko ģeometrijas vēsture, Čikāga: atklātā tiesa; atkārtota izdruka, Ņujorka: Dovera, 1955
  • Bottazzini, U., 1999, “Ricci un Levi-Civita: no diferenciālajiem invariantiem līdz vispārējai relativitātei”, JJ Gray (ed.). Simboliskais visums: ģeometrija un fizika 1890–1930, Oksforda: Oxford University Press.
  • Chasles, M., 1837. gads, Aperçu historique sur l'origine et le deteveloppement des méthodes en géométrie… suvi d'un Mémoire de géométrie utt. tom. 11, Briselē.
  • Clairaut, AC, 1741, Elémens de géométrie, Parīze: Deivids Fils. Pārpublicēts 1920. gadā, Parīze: Gauthier-Villars.
  • Cremona, L., 1873, Elementi di geometria projettiva, Turīna. Tulkojums angļu valodā: C. Leudesdorf, 1885, Projektīvās ģeometrijas elementi, Oksforda: Clarendon Press.
  • Enriques, F., 1906. gads, Problemi della Scienza. Tulkojums angļu valodā, autors: K. Royce, 1914, Problems of Science, Čikāga: Atklātā tiesa.
  • Enriques, F., 1907. gads, “Prinzipien der Geometrie”, Encylopädie der Mathematischen Wissenschaften, III. I.1.1–129, Leipciga, Teubners.
  • Eiklīds, Eiklida elementu trīspadsmit grāmatas, sera TL Hīta tulkojums un komentāri, Ņujorka: Dovera publikācijas, 1956. gads.
  • Gauss, CF, 1828, “Disquisitiones generales circa superficies curvas”, Commentationes societatis regiae scientiarum Gottingensis recentiores. 1870. gadā atkārtoti iespiests Karls Frīdrihs Gauss Verks, 4: 217–258; un P. Dombrovski (red.), 1978. gadā, 150 gadus pēc Gausa '' Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas '', latīņu oriģināls, ar atkārtotu tulkojumu angļu valodā, ko veikuši A. Hiltebeitel un J. Morehead, 1902, Astérisque 62, Parīze: Société mathématique de France; un P. Pesic, (ed.), 2005, Vispārīgi izliektu virsmu pētījumi, Ņujorka: Dover Books.
  • Gauss, CF, 1900 Werke 8, Leipzig: Teubner.
  • Greja, Dž. JJ, 2008. gads, Platona spoks: Matemātikas modernistiskā transformācija, Prinstona: Princeton University Press.
  • –––, 2011, Worlds out of Nothing; kurss par vēsturi ģeometrijas ar 19 th gadsimta, 2. pārskatītais ed, Londonā. Springer.
  • –––, 2012, Henri Poincaré: zinātniskā biogrāfija, Princeton: Princeton University Press.
  • Griffin, N., 1991, Rasela ideālistu māceklis, Oksforda: Clarendon Press.
  • Hallets, M. un U. Majer (red.), 2004, Deivida Hilberta lekcijas par ģeometrijas pamatiem, 1891–1902, Berlīne: Springers.
  • Helmholtz, H. von, 1868, “Über die thatsächlichen Grundlagen der Geometrie”, Nachrichten K. Ges. Wissenschaften zu Göttingen, 9. MF Lowe, 1921. gada tulkojums angļu valodā, “Par faktiem, kas ir ģeometrijas pamatā”, Epistemoloģiskie raksti, RS Koens un Y. Elkana (red.), Bostonas pētījumi zinātnes filozofijā, Bostona: Reidel, 37. sējums, 39–57.
  • ––– 1870. g., “Über den Ursprung und die Bedeutung der geometrischen Axiome”, Vortrēge und Reden, vol. 2, 1–31. Tulkojums angļu valodā “Par ģeometrijas aksiomu izcelsmi un nozīmi”, epistemoloģiskajos rakstos, 1. – 25. Lpp.
  • –––, 1921. gads, Schriften zur Erkenntnistheorie, Berlīne: Springers, P. Hercs un M. Šliks (red.), 1977, tulkojuši MF Lowe kā epistemoloģiski raksti, RS Koens un Y. Elkana (red.), Reidel.
  • Herbarts, JF, 1824–1825, Psychologie als Wissenschaft neu gegründet auf Erfahrung, Metaphysik, und Mathematik, 2 vol, Königsberg: AW Unzer.
  • Hilberts, D., 1899. gads, Grundlagen der Geometrie, Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauss-Weber-Denkmals Göttingen, Leipzig: Teubner, daudzi turpmāki izdevumi. L. Ungera 10. izdevuma tulkojums angļu valodā, 1971. gads, Ģeometrijas pamati, Čikāga: atklātais laukums.
  • –––, 1901, “Über Flächen von konstanter Gaussscher Krümmung”, Amerikas Matemātikas biedrības darījumi 2: 87–99. Gesammelte Abhandlungen, 2: 437–448.
  • Hume, D., 1739–1740, traktāts par cilvēka dabu, Londona. Meklējams teksts Deivida Hjūsa rakstā “Cilvēka dabas traktāts”, oriģinālizdevuma pārpublicēts trīs sējumos un ar analītisko rādītāju rediģēts LA Selby-Bigge, MA (Oksforda: Clarendon Press, 1896). [tiešsaistē meklējams Hume 1739]
  • Kants, I., 1781., 1787. gads, Kritik der reinen Vernunft; tulkotājs Normens Kemps Smits, 1929. g., Imanuela Kanta “Tīras saprāta kritika”, 2. ed. rep 1970. gads, Londona: Makmillans.
  • Kleins, CF, 1871. gads, “Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie”, Mathematische Annalen, 4: 573–625. Arī Gesammelte Mathematische Abhandlungen 1, (nr. XVI): 254–305, Berlīne: Springer.
  • ––– 1872. gads, Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen, Programme zum Eintritt in the filozofijas fakultātes un Senat der der Universität zu Erlangen, Deichert, Erlangen, Gesammelte Mathematische Abhandlungen 1, Nr. XXVII. Nr. XXVII. Nr. Tulkojums angļu valodā: MW Haskell, 1892–1893, New York Mathematical Society biļetens 2: 215–249, Berlīne, Springer.
  • ––– 1873. gadā “Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie. (Zweiter Aufsatz)”, Mathematische Annalen, 6: 112–145, žurnālā Gesammelte Mathematische Abhandlungen 1, (Nr. XVIII): 311–343, Berlīne: Springer.
  • Laplasa, P.-S., 1796, “Exhibition du système du monde”, Paris: Crapelet, Oeuvres VI, Parīze, Gauthier-Villars, 1884
  • Legendre, A.-M., 1794, Éléments de géométrie, Paris: Fermin Didot Frères, vairāki izdevumi.
  • Levi-Civita, T., 1917, “Nozione de parallelismo in una varietà kvalunque”, Rendiconto del Circolo Matematico di Palermo, 42: 173–205.
  • Lobačevskis, NI, 1835. gads, “Neue Anfangsgrunde der Geometrie mit einer vollständigen Theorie der parallellinien”, vācu valodas tulkojums Lobachetschefskij, NI 1899 Zwei geometrische Abhandlungen, tr. F. Engels, Leipciga, Teubners.
  • ––– 1840. g., Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien, Berlīne, rep. Mayer & Müller, 1887, angļu tr. GB Halsted, ģeometriskie pētījumi paralēļu teorijā, pielikums (Bonola 1912).
  • –––, 1856, Pangéométrie, ou précis de géométrie fondée sur une théorie générale des paralleles, Kasan. Tulkojums angļu valodā ar komentāriem, Pangeometry, A. Papadopoulos (ed.), European Mathematical Society, 2010.
  • Locke, J., 1690, Eseja par cilvēka izpratni, Londona. [Locke 1690 pieejams tiešsaistē]
  • Marchisotto, E. un JT Smith, 2007, Mario Pieri mantojums ģeometrijā un aritmētikā, Bostona: Birkhäuser.
  • Muellers, I., 1981. gads, Matemātikas un deduktīvās struktūras filozofija Eiklida elementos, Kembridža: MIT Press.
  • Nabonnands, P., 2000. gads, “La polémique entre Poincaré et Russell au sujet du a statuse des aksiomé de la gemétrie”, Revue d'histoire des mathématiques, 6: 219–269.
  • Ņūtons, sers I., 1687. gads, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica. Tulkojums angļu valodā The Principia: Dabas filozofijas matemātiskie principi, tr. IB Cohen, A. Whitman, J. Budenz, University of California Press, 1999.
  • de Pierris, G., 2012, “Hjūms uz kosmosu, ģeometriju un shematisko pamatojumu”, Synthese, 186 (1): 169–189.
  • Poincaré, H., 1882e. Théorie des groupes fuchsiens. Acta Mathematica 1, 1–62 Oeuvres 2, 108. – 168.
  • Poincaré, H., 1898, “Uz ģeometrijas pamatiem” (tulk. TJ McCormack) Monista 9: 1–43. Pārpublicēts Ewald, 1996, no Kanta līdz Hilbertam: avotu grāmata matemātikas pamatos, Oksforda: Oxford University Press, 2: 982–1012.
  • ––– 1899. g., “Des fondements de la géométrie: M. Russell”.”Revue de métaphysique et de morale 7: 251–279.
  • –––, 1902, “Les fondements de la géométrie”, Journal des savants, 252. – 271. EV Hantingtona 1903. gada tulkojums angļu valodā, “Poincaré's pārskats par Hilberta“ģeometrijas pamatiem””, Amerikas Matemātikas biedrības biļetens, 10 (1): 1–23. [Poincaré 1902 (angļu valodā) pieejams tiešsaistē]
  • Poncelet, JV, 1822, Traité des Propriétées Projectives des Figures, Parīze: Gauthier-Villars.
  • Riemann, GBF, 1867. gads [1854], “Ueber die Hypothesen, Welche der Geometrie zu Grunde liegen”, Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 13: 1–20. Pārpublicēts Gesammelte Mathematische Werke, Wissenschaftliche Nachlass und Nachträge. Apkopotie raksti: Nach der Ausgabe von Heinrich Weber un Richard Dedekind, 1990, R. Narasimhan, (red.) Berlin: Springer, 304. – 319. Lpp. Bernhards Riemans, apkopotie dokumenti, tulkojuši Rodžers Beikers, Čārlzs Kristensons un Henrijs Orde, Kendrick Press, 2005.
  • Rasels, B., 1899. gads, “Sur Les Axiomes de la Géométrie”, Revue de meetaphysique et de morale, 684–706, tulkots un pārpublicēts kā “Uz ģeometrijas aksiomām”, N. Grifins un AC Lewis, (red.), 1990, Bertrand Russell apkopotie dokumenti, 2, London: Hyman Unwin, 394–415.
  • Scholz, E., 1982, “Herbarta ietekme uz Bernhardu Riemanu”, Historia Mathematica, 9 (4): 413–440.
  • –––, 2001, “Weyl's Infinitesimalgeometrie”, Hermaņa Veila grāmatā Raum – Zeit – Materie un vispārīgs ievads viņa zinātniskajam darbam, E. Scholz (red.), Bāzele, Birkhäuser.
  • Šveicerts, FK, 1818. gads, “Notiz”, Karlā Frīdrihā Gausa Verke, 8: 180–181.
  • fon Staudt, GKC, 1847, Geometrie der Lage, Nürnberg.
  • –––, 1856–1860, Beiträge zur Geometrie der Lage, 3 vols, Nürnberg.
  • Villaggio, P., 2006, “Par Enriques's mechanics pamatiem”, K. Williams (red.) Divās kultūrās: Esejas par godu David Speiser, Birkhäuser, 133–138.
  • Wallis, J., 1693, “De postulato quinto et definee lib. 6 Euclidis deceptatio geometrica”, Operum Mathematicorum, 2: 665–678.
  • Weyl, H., 1918, Raum – Zeit – Materie, Springer. Trešā izdevuma (1920) tulkojums angļu valodā, Space-time-matter, London: Methuen.

Akadēmiskie rīki

sep cilvēks ikona
sep cilvēks ikona
Kā citēt šo ierakstu.
sep cilvēks ikona
sep cilvēks ikona
Priekšskatiet šī ieraksta PDF versiju vietnē SEP Friends.
inpho ikona
inpho ikona
Uzmeklējiet šo ierakstu tēmu interneta filozofijas ontoloģijas projektā (InPhO).
phil papīru ikona
phil papīru ikona
Uzlabota šī ieraksta bibliogrāfija vietnē PhilPapers ar saitēm uz tā datu bāzi.

Citi interneta resursi

  • Eiklida elementu dinamiskā versija, autore DE Joyce, Klarkas universitāte
  • Gausa (1828) tulkojums angļu valodā, interneta arhīvā.

Ieteicams: