Ģeneralizētie Skaitļi

Satura rādītājs:

Ģeneralizētie Skaitļi
Ģeneralizētie Skaitļi
Anonim

Ieejas navigācija

  • Iestāšanās saturs
  • Bibliogrāfija
  • Akadēmiskie rīki
  • Draugu PDF priekšskatījums
  • Informācija par autoru un atsauce
  • Atpakaļ uz augšu

Ģeneralizētie skaitļi

Pirmoreiz publicēts 2005. gada 5. decembrī; būtiska pārskatīšana - piektdien, 2019. gada 26. jūlijā

Ģeneralizēti kvantifikatori tagad ir standarta aprīkojums gan loģiķu, gan valodnieku rīklodziņos. Šī ieraksta mērķis ir aprakstīt šos rīkus: no kurienes tie nāk, kā viņi strādā un ko viņi var izmantot. Apraksts pēc nepieciešamības ir skicēts, taču literatūrā pastāv vairāki visaptverošāki apsekojumi, uz kuriem vajadzības gadījumā atsaucas. Lai pilnībā novērtētu zemāk esošo tekstu, būs noderīgas pamatzināšanas par elementāru kopu teorētisko terminoloģiju un pirmās kārtas loģikas valodu.

  • 1. Ievads
  • 2. Aristotelis
  • 3. Frege
  • 4. Universālā un eksistenciālā kvantifikatora vispārināšana
  • 5. Patvaļīgu tipu ģeneralizēti kvantifikatori
  • 6. Tēmas neitralitāte
  • 7. Relativizācija
  • 8. Izteiksmīgs spēks
  • 9. Ģeneralizētie skaitļi un skaitļošana
  • 10. Vispārinātie skaitļi un dabiskā valoda
  • 11. Konservativitāte
  • 12. Pagarinājums
  • 13. Simetrija un monotoniskums
  • 14. Noteiktāji, kas nav ISOM
  • 15. Noturība
  • 16. Poliādisko dabiskās valodas kvantifikatori
  • 17. GQ teorija un valodniecība
  • 18. Kvantifikācija un izziņa
  • Bibliogrāfija
  • Akadēmiskie rīki
  • Citi interneta resursi
  • Saistītie ieraksti

1. Ievads

Termins “vispārējs skaitlis” atspoguļo to, ka šīs entītijas tika ieviestas loģikā kā mūsdienu loģikas, (forall) un (pastāv), standarta kvantitatīvu vispārinājumi. [1] Retrospektīvi var teikt, ka (forall) un (pastāv) ir tikai divi daudz vispārīgāka kvantitatīva jēdziena gadījumi, padarot terminu “vispārināts” lieku. Mūsdienās vispārpieņemtajam jēdzienam ir arī parasts izmantot tikai “skaitli”, bet vēsturisko iemeslu dēļ “vispārināts skaitlis” joprojām ir bieži sastopams. Šajā rakstā tiek izmantoti abi termini ar tendenci ievietot “vispārinātus” loģiskos kontekstos un izlaist to lingvistiskos kontekstos.

Mēs atšķiram kvantifikatoru izteicienus no tā, ko tie apzīmē vai apzīmē, paši (vispārinātie) kvantifikatori. Loģiskajās valodās skaitļu izteiksmes ir mainīgi saistoši operatori. Tādējādi (eksistē) ir pazīstamais operators, tā kā formulā (eksistē x / f), [2] (eksistē x) saista visus x brīvos gadījumus failā (f).. Tas nozīmē skaitli “pastāv” - drīzumā redzēsim, kas tieši ir šis objekts. Tāpat simbols (Q_0) bieži tiek izmantots kā mainīgs saistošs operators, kas apzīmē “pastāv bezgalīgi daudz”.

Dabiskajās valodās par kvantifikatoriem tika uzskatīti dažādi izteicieni, piemēram, katrs no šiem angļu valodas izteicieniem:

viss, nekas, trīs grāmatas, desmit profesori, Jānis, Jānis un Marija, tikai Jānis, ugunsdzēsēji, katrs, vismaz pieci, visvairāk, visi, izņemot desmit, mazāk nekā puse no Jāņiem, daži studenti, nē… izņemot Mariju, vairāk vīriešu nekā sieviešu, parasti, nekad, viens otru. [3]

Kas tad ir vispārinātie skaitļi? Pirms atbildes uz šo jautājumu ir noderīga īsa vēsturiska prelūdija.

2. Aristotelis

Aristoteļa slogistiku var uzskatīt par formālu pētījumu par četru pamata kvantitatīvo izteicienu nozīmi visiem, nē, dažiem, ne visiem un to īpašībām. Piemēram, siloģistma derīgums, pēc Aristoteļa domām

visi (A, B) visi (B, C) daži (A, C)

parāda, ka viņš, atšķirībā no mūsdienu loģiskā lietojuma, uzskatīja, ka visiem ir eksistenciāls imports, tā ka visi A ir B nozīmē, ka A nav tukšs termins. Tāpat arī silogģistikas pamatotība

daži (A, B) visi (B, C) visi (A, C)

izsaka, ka otrajā argumentā daži palielinās (kā mēs to tagad izsakām). Katrs spēkā esošais sylogism formalizē daļu no šo skaitlisko izteiksmju nozīmes, bet Aristoteļa pētījums par to īpašībām pārsniedza sylologistic. Viņš novēroja, piemēram, ka daži un nē ir konvertējami vai, kā mēs tagad varētu teikt, simetriski, jo tie atbilst shēmai

Q (A, B) Q (B, A)

pretstatā visiem un ne visiem. Tālāk viņš pētīja, kā dažādas nolieguma formas apvienojumā ar skaitļu izteiksmēm opozīcijas laukumā (vēlāk to sauca). [4]Viduslaiku loģiķi turpināja Aristoteļa tradīcijas, bet arī paplašināja slogistisko pamatojumu, attiecinot tos uz gadījumiem, kad A, B paši varēja būt izteikti skaitļos, tādējādi rīkojoties ar telpām un secinājumiem, piemēram, kaut kāds ēzelis no katra cilvēka nekursē (piemērs no Jāņa Buridana, 14. gs.). Kaut arī aristoteliešu loģika neatbilst mūsdienu loģikas izteiksmīgumam un precizitātei, slogistika noteikti bija izšķirīgs ieguldījums kvantitatīvās noteikšanas izpētē. Faktiski matemātiskajā loģikā nesen ir pētītas dažādas izteiksmīgas spējas saturošas cilogistiskās sistēmas tieši to radniecības dēļ ar dabisko pamatojumu un vienkāršajām aprēķina īpašībām; skatīt tālāk 18. iedaļu.

Īpaši interesants pašreizējā kontekstā ir fakts, ka šiem skaitliskajiem izteicieniem ir divi argumenti vai termini, un tādējādi tos var uzskatīt par binārām attiecībām gan sintaktiski (kā Aristotelis tos, bez šaubām, redzēja), gan semantiski: ņemot vērā, ka termini apzīmē indivīdu kopas, izteiksmi var uzskatīt par pārklāšanās saistību, ti, ja tukšs krustojums ir starp divām kopām, un tas viss nozīmē iekļaušanas sakarību. Ņemiet vērā, ka tās nav attiecības starp indivīdiem, bet starp indivīdu kopām - otrās kārtas attiecībām. Patiešām, tie ir precīzi vispārināti skaitļi, attiecīgi, daži un visi (attiecīgajā Visumā).

Šo pavedienu - ka skaitliskā izteiksme norāda uz otrās kārtas attiecībām - neviens no Aristoteļa viduslaiku sekotājiem neizmantoja (cik mums zināms). Tā vietā viņi izvēlējās faktu, ka abiem terminiem ir atšķirīgs statuss: pirmais apvienojas ar skaitļa izteiksmi, veidojot lietvārdu frāzi (kā mēs tagad sakām), kas ir teikuma priekšmets, turpretī otrais ir darbības vārda frāze. veido predikātu. Tas viņiem lika pievērsties tam, ko apzīmēja subjekts - visi vīrieši, daži suņi, ne jūrnieki, kas konceptuāli šķiet grūtāks jautājums. Varētu domāt, ka visi vīrieši nozīmē katru vīrieti (vai vīriešu kopumu) un ka daži suņi nozīmē kādu konkrētu suni, bet kā būtu ar nevienu jūrnieku? Faktiski var parādīt, ka tādas pieejas kā šī ir lemta neveiksmei. [5] Mūsdienu “risinājums” ir tāds, ka lietvārdu frāzes apzīmē indivīdu kopu kopas, lai, piemēram, daži suņi apzīmētu komplektu kopu, kurā ir vismaz viens suns, taču šķiet, ka semantikai ir vajadzīga abstraktāka un matemātiskāka pieeja nekā idejai, kas vismaz netieši izriet no Aristoteļa, ka skaitliskās frāzes apzīmē attiecības starp terminiem (apzīmējumiem).

3. Frege

Otrs nozīmīgais vēsturiskais ieguldījums vispārināto skaitļu teorijā tika iegūts no modernās loģikas “izgudrotāja” Gotloba Frege 1870. gados. Faktiski Frege ieguldījums ir divējāds. Kā zina katrs filozofijas students, viņš iepazīstināja ar predikātu loģikas valodu ar sentenciāliem savienojumiem, identitāti un mainīgo saistošo operatoru (forall) (lai gan viņa divdimensiju loģisko apzīmējumu vairs neizmanto). Tie ir skaitļi, kurus loģiķi piecdesmitajos gados sāka “vispārināt”. Bet Frege arī skaidri formulēja abstraktu kvantifikatora jēdzienu kā otrās kārtas attiecību vai, kā viņš to sauca, par otrā līmeņa jēdzienu (“Begriff zweiter Stufe”). Viņš labi apzinājās, ka četri aristoteliešu skaitliskie rādītāji bija izcilākie piemēri, taču viņš vēlējās izvairīties no koncentrēšanās uz subjekta predikāta formu,kuru viņš (ar lielu pamatojumu) uzskatīja par būtisku šķērsli loģikas attīstībā pēc Aristoteļa. Tāpēc tas bija svarīgs atklājums, ka visus šos skaitliskos rādītājus var definēt kā (forall) un sentenciālos operatorus (aizstājot visus ((A, B))) ar (forall x (A (x) rightarrow) B (x))), daži ((A, B)) pēc (neg / forall x (A (x) rightarrow / neg B (x))) utt.).

Faktiski vienīgā būtiskā atšķirība starp Frege priekšstatu par otrā līmeņa koncepciju un mūsdienu jēdzienu par vispārinātu skaitli ir tāda, ka Frege nebija idejas par interpretāciju vai modeli, ko mēs tagad (kopš modeļa teorijas parādīšanās 1950. gadi) kā visumu, kurā atrodas kvantifikatori, kā arī piemērotu semantisko objektu piešķiršanu neloģiskajiem simboliem. Frege simboliem visiem bija noteiktas nozīmes, un vienīgais Visums, ko viņš uzskatīja, bija visa kopums. Bet, izņemot šo, var teikt, ka tieši Frege atklāja vispārinātus skaitliskos rādītājus. Šis Frege loģikas aspekts tomēr ilgu laiku palika fonā, un šķiet, ka 50. un 60. gadu modeļu teorētiķi to nebija zinājuši.

4. Universālā un eksistenciālā kvantifikatora vispārināšana

Mūsdienu predikatīvā loģika nosaka nozīmju (forall) un (eksistē) nozīmi ar attiecīgajiem klauzulas patiesības definīcijā, kas induktīvi precizē nosacījumus, kādos formula ((f (x_1, / ldots, x_n)) (ar ne vairāk kā (x_1, / ldots, x_n) bezmaksas) tiek apmierināti ar atbilstošajiem elementiem (a_1, / ldots, a_n) modelī (M = (M, I)) (kur M ir visums, un es interpretācijas funkcija, piešķirot neloģiskiem simboliem piemērotus paplašinājumus): (M / modeļi / f (a_1, / ldots, a_n)). Klauzulas ir (kur “iff”, kā parasti, nozīmē “ja un tikai tad”)

  • (1) (M / modeļi / forall x / p (x, a_1, / ldots, a_n)) ja katrs par katru (a / M), (M / models / p (a, a_1, / ldots, a_n))
  • (2) (M / modeļi / eksistē x / p (x, a_1, / ldots, a_n)), ja ir kāds (a / M) st (M / models / p (a, a_1, / ldots, a_n))

Lai ieviestu citus skaitliskus rādītājus, ir jānovērtē, kādi ir izteicieni (forall) un (pastāv). Sintaktiski tie ir operatori, kas vienā formulā saista vienu mainīgo. Lai redzētu, kā viņi darbojas semantiski, ir lietderīgi nedaudz pārrakstīt (1) un (2). Pirmkārt, katra formula (p (x)) ar vienu brīvo mainīgo modelī apzīmē (M) M apakškopu; indivīdu kopa M, kas apmierina (p (x)). Vispārīgāk runājot, ja (p (x, x_1, / ldots, x_n) = / p (x, / xbar)) ir maksimāli parādīti brīvie mainīgie un (abar = a_1, / ldots, a_n) ir elementi M, ļaujiet

(p (x, / abar) ^ { M, x} = {a / M: / M / modeļos / p (a, / abar) })

jābūt (p (x, / xbar)) paplašinājumam (M) attiecībā pret (a_1, / ldots, a_n). Tad mēs varam pārformulēt (1) un (2) šādi:

  • (3) (M / modeļi / forall x / p (x, / abar)) iff (p (x, / abar) ^ { M, x} = M)
  • (4) (M / modeļi / eksistē x / p (x, / abar)) iff (p (x, / abar) ^ { M, x} neq / emp)

Tādējādi apstākļi labajā pusē parādās kā kopu īpašības (p (x, / abar)). Faktiski mēs varam domāt, ka (forall) un (eksistē), kas apzīmē šīs īpašības, tas ir, īpašības, kas ir identiskas Visumam un attiecīgi - tukšas. Un tagad ir viegli domāt par citām kopu īpašībām, kuras var arī uzskatīt par skaitļiem, piemēram, īpašībām, kas satur vismaz 5 vai tieši 3 elementus, vai ir bezgalīgas. [6]

Ņemiet vērā, ka šīs īpašības ir atkarīgas tikai no Visuma M, nevis no pārējā modeļa. Plaši runājot, tie ir vienkārši M apakšgrupu komplekti. Tas noved pie šādas definīcijas. būtībā no Mostovski (1957):

1. definīcija

Ģeneralizēts kvantifikatora Q tips ir {({ langle} 1 { rangle})

  • (5) a. sintaktiski mainīgo saistošais operators tāds, ka vienmēr, kad (f) ir formula, tā ir (Qx / f), un (Qx) saista visus x brīvos gadījumus (f);
  • b. semantiski kartēšana no patvaļīgiem universāliem (tukšām kopām) M līdz M (apakškopu) kopai (Q_M), kas interpretē formas (Qx / f) formulas saskaņā ar klauzulu (tag {i } M / modeļi Q x / p (x, / abar) text {iff} p (x, / abar) ^ { M, x} in Q_M)

Šeit mēs izmantojam to pašu simbolu kvantifikatoru izteiksmei un kartēšanai, ko tas apzīmē vai apzīmē. Tādējādi (forall) tagad tiek apzīmēts kā universālais skaitlis, arī rakstīts (forall), kas ir kartējums, ko devis

(forall_M = {M })

visiem M. Tāpat (eksistē) apzīmē kartēšanu, ko definē

(pastāv_M = {A / subseteq M: A / neq / emp })

Un šeit ir daži citi vispārināti skaitļi:

(tag {6} label {ex-qlist1} sākas {alignat} {2} (eksistē _ { geq 5}) _ M & = {A / subseteq M: | A | / geq 5 } & (| X | / textrm {ir lielums vai} && / textrm {}}}) (eksistē _ {= 3}) _ M & = {A / subseteq M: | A | = 3 } (Q_0) _M & = {A / subseteq M: A / teksts {ir bezgalīgs} } (Q ^ R) _M & = {A / subseteq M: | A | > | MA | } & / textrm {(“Rescher} && / textrm {kvantifikators”)} (Q _ { teksts {pat}}) _ M & = {A / subseteq M: | A | / teksts {pat ir} } beigas {alignat})

Mums tagad ir precīzs vispārināta skaitļa jēdziens, kura piemēri ir (forall) un (pastāv), kā arī bezgalīgi daudzi citi. Turklāt mēs redzam, kā paplašināt pirmās kārtas loģiku FO līdz loģikai (FO (Q)), pievienojot veidošanas noteikumiem punktu 5a) un patiesības definīcijai klauzulu (5b-i). Līdzīgi, ja pievienojam vairāk nekā vienu vispārinātu skaitli: (FO (Q_1, / ldots, Q_n)).

Šādā loģikā var būt iespējams pateikt lietas, kas nav izteiktas FO. Piemēram, ir labi zināms, ka FO galīguma jēdzienu nevar izteikt. Tādējādi no pasūtīšanas sakarības (<) nevar teikt, ka katram elementam, piemēram, ir tikai ļoti daudz priekšteču. Bet tas ir tikai veids, ko var izteikt (FO (Q_0)):

(tag {7} forall x / neg Q_0 y (y <x))

Tāpat FO nevar apgalvot, ka (ierobežots) kopums A satur tieši pusi no Visuma elementiem M, bet tas ir izteikts (FO (Q ^ R)):

(tag {8} neg Q ^ RxA (x) ķīlis / neg Q ^ Rx / neg A (x))

(Pirmais konjunkts saka, ka (| A | / leq | MA |), bet otrais - (| MA | / leq | A |).)

5. Patvaļīgu tipu ģeneralizēti kvantifikatori

Iespējams tālāks vispārinājums. Pirmkārt, mēs varam ļaut Q saistīt vienu mainīgo divās vai vairākās formulās. Otrkārt, mēs varam ļaut tai vienlaikus saistīt divus vai vairākus mainīgos lielumus šajās formulās (dažās no tām). Q ierakstīšana norāda šādi: Q ir ({ langle} n_1, / ldots, n_k { rangle}) tips (kur katrs (n_i) ir naturāls skaitlis (geq 1)), ja tas attiecas uz k formulām un saista (n_i) mainīgos i formulā. Tas izskaidro to, kāpēc iepriekšējā sadaļā norādītie skaitļi bija ({ langle} 1 { rangle}).

Parasti parasti izvēlas atšķirīgus mainīgos lielumus (x_ {i1},)…, (x_ {in_i} = / xbar_i) (1 / leq i / leq k), lai sāktu formula ar Q ir forma

[Q / xbar_1, / ldots, / xbar_k (f_1, / ldots, / f_k))

kur visi ((x_ {i1}, / ldots, x_ {in_i})) brīvi gadījumi (f_i) kļūst saistoši. Tagad Q asociējas ar katru Visuma M akariālo attiecību (Q_M) starp attiecībām virs M, kur i arguments ir (n_i) - ary attiecības starp indivīdiem. Atbilstošais teikums patiesības definīcijā kļūst

(tag {9} M / modeļi Q / xbar_1, / ldoti, / xbar_k (p_1 (xbar_1, / abar), / ldots, / p_k (xbar_k, / abar)) textrm {iff} / Q_M (p_1 (xbar_1, / abar) ^ { M, / xbar_1}, / ldots, / p_k (xbar_k, / abar) ^ { M, / xbar_k}))

Šeit (p_i (xbar_i, / ybar)) ir formula ar ne vairāk kā parādītajiem brīvajiem mainīgajiem; (abar) ir M elementu secība, kas atbilst (ybar), un (p_i (xbar_i, / abar) ^ { M, / xbar_i}) ir (p_i (xbar_i, / ybar)) paplašinājums, kas atrodas (M) attiecībā pret (abar), ti, (n_i) - kopiju (bbar_i) kopija ir tāda, ka (M / modeļi / p_i (bbar_i, / abar)).

Šī ir oficiāla vispārināta kvantifikatora koncepcija šajā rakstā. To ieviesa Lindstrēma (1966), un šos skaitļus dažreiz sauc par “Lindström kvantificētājiem”. [7] Ja mēs fiksējam M uz Visumu, kurā ir “viss”, tad mums būtībā ir Frege priekšstats par otrā līmeņa koncepciju. [8]

Q ir monādisks, ja katrā Visumā M tā ir saistība starp M apakškopām, ti, ja tā tips ir ({ langle} 1, / ldots, 1 { rangle}); pretējā gadījumā tas ir polidisks. Piemēram, iepriekš minētie aristoteliešu skaitļi ir ({ langle} 1,1 { rangle}) tipa: [9]

(tag {10} label {ex-qlist2} sākt {saskaņot} textit {all} _M (A, B) & / iff A / subseteq B \\ / textit {some} _M (A, B) & / iff A / cap B / neq / emp \\ / textit {no} _M (A, B) & / iff A / cap B = / emp \\ / textit {not all} _M (A, B) & / ja A / not / subseteq B / end {saskaņot})

Šeit ir vēl daži veida ({ langle} 1,1 { rangle}) skaitļi: [10]

(tag {11} label {ex-qlist3} sākas {alignat} {2} (textit {vismaz pieci}) _ M (A, B) & / iff | A / cap B | / geq 5 (textit {precīzi trīs}) _ M (A, B) & / iff | A / cap B | = 3 \(textit {bezgalīgi daudz}) _ M (A, B) & / iff A / cap B / teksts {ir bezgalīgs} / \ textit {visvairāk} _M (A, B) & / iff | A / cap B |> | AB | \(textit {pāra skaitlis}) _ M (A, B) & / iff | A / cap B | / text {ir pat} / \ textit {MO} _M (A, B) & / iff | A | > B | \\ / textit {I} _M (A, B) & / iff | A | = | B | & / textrm {(“Härtig} && / textrm {quantifier”)} end {alignat})

Izmantojot monādiskos skaitļus, ir ērti izmantot tikai vienu mainīgo un ļaut Q saistīt to pašu mainīgo katrā no formulām. Tā teikt, ka, piemēram, lielākā daļa A nav B, var rakstīt

(textit {Most}: x (A (x), / neg B (x)))

atbilstošajā loģiskajā valodā, nevis (textit {most}: x, y (A (x), / neg B (y))).

Šeit ir daži daudzdimensiju skaitītāji:

(tag {12} label {ex-qlist4} begin {alignat} {2} W_M (R) & / iff R / text {ir labi sakārtots} M & / textrm {type} { langle } 2 { rangle} (Q_0 ^ n) _M (R) & / iff / text {ir bezgalīgs} & / hphantom { iff } A / subseteq M / ST A ^ n / subseteq R & / textrm {type} { langle} n { rangle} / Res ^ k (textit {most}) _ M (R, S) & / iff | R / cap S | > | RS | & / textrm {type} { langle} k, k { rangle} / \ textit {RECIP} _M (A, R) & / iff / textrm {visiem atšķirīgajiem} a, b / A \& / hphantom { iff } textrm {ir} n / geq 1 \& / hphantom { iff } textrm {and} c_0, / ldots, c_n / ST c_0 = a \& / hphantom { iff } {} amp c_n = b / amp c_iRc_ {i + 1} textrm {for} i <n / quad & / textrm {type} { langle} 1,2 { rangle} end {alignat}]

W un (Q_0 ^ n) nāk no loģikas un kopas teorijas. (Res ^ k (textit {most})) ir lielākās daļas atsākšana ar k-tabulām. Atsākšanu var piemērot jebkuram skaitliskam rādītājam (sintaksē tas nozīmē katra atsevišķa mainīgā aizstāšanu ar atbilstošu k mainīgo lielumu); tam ir loģisks pielietojums, bet, tāpat kā RECIP, arī dažu teikumu interpretācijā dabiskās valodās; skatīt zemāk 16. iedaļu.

6. Tēmas neitralitāte

Gan Mostowski, gan Lindström bija viens papildu nosacījums vispārināto kvantitatīvo rādītāju definīcijās: viņiem nevajadzētu izšķirt izomorfiskos modeļus. Neoficiāli tie ir “neitrāli tēmai”: formas apgalvojuma patiesība (f = Qx, yz (A (x), R (y, z))), teiksim, modelī (M) nav atkarīgs no konkrētiem indivīdiem, no kuriem M sastāv. Ja M indivīdi tiek kartēti vienādi ar cita Visuma (M ') indivīdiem un, ja attiecīgi tiek kartēti A un R, iegūst izomorfu modeli (M'). Izomorfisma slēgšana pēc tam saka, ka (M / models / f) iff (M '\ models / f).

Formāli, ja (M = (M, I)) un (M '= (M', I ')) ir modeļi tam pašam neloģisko simbolu V vārdnīcai, f ir izomorfisms no (M) līdz (M '), ja

  • f ir bijekcija (viena pret funkciju) no M līdz (M ');
  • ikreiz, kad P ir n -ārs predikatīvs simbols V un (a_1, / ldots, a_n / M), [(a_1, / ldots, a_n) I (P) textrm {iff} (f (a_1), / ldots, f (a_n)) in I '(P);)
  • ikreiz, kad c ir individuāla konstante V, (I '(c) = f (I (c))).

(M) un (M ') ir izomorfiski, simbolos, (M / cong / M ')

ja ir izomorfisms no viena uz otru. Tagad, ja Q ir vispārināts kvantifikatoru tips {({ langle} n_1, / ldots, n_k { rangle}), (P_i) ir (n_i) - ary predikatīvs simbols (1 / leq i / leq k), (M = (M, I)) ir leksikas paraugs ({P_1, / ldoti, P_k }) un (R_i = I (P_i)), mēs arī rakstām

(M = (M, R_1, / ldots, R_k))

Tad Q apmierina izomorfisma slēgšanu vai tikai Isom, ja sekojošais:

(tag {13} label {ex-isom} textrm {If} (M, R_1, / ldots, R_k) cong (M ', R'_1, / ldots, R'_k), / textrm { tad} / Q_M (R_1, / ldots, R_k) Leftrightarrow Q_ {M '} (R'_1, / ldots, R'_k).)

Var viegli pārbaudīt, vai visi vispārinātie līdz šim piemēri ir Isom. Tomēr šo prasību neiekļāvām vispārinātu kvantitatīvo rādītāju definīcijā, jo ir dabiskās valodas kvantifikatori, kas to neatbilst; Skatīt zemāk. Bet loģikai vajadzētu būt tēmai neitrālai, tāpēc Isoms gandrīz vienmēr tiek uzspiests. Tad seko divas svarīgas lietas. Pirmkārt, kā norādīts iepriekš, teikumi loģiskajās valodās neizšķir izomorfiskos modeļus. Precīzāk, mums ir šādi

2. fakts

Ja (L = / FO (Q_1, / ldots, Q_n)), katrs (Q_i) ir Isom, (f) ir L teikums un (M / cong / M '), pēc tam (M / modeļi / f / Leftrightarrow / M '\ modeļi / f).

Otrkārt, Isom ir īpaši interesanta monādisko skaitļu veidotāju forma. Ja (M = (M, A_1, / ldots, A_k)), kur (A_i / subseteq M) katram i, tad (A_1, / ldots, A_k) nodalījums M uz (2 ^ k) pārī sadalītas apakšgrupas (dažas no tām var būt tukšas); sauksim tos par (M) daļām. Mēs ilustrējam ar (k = 2) un (M = (M, A, B)):

divi krustojoši apļi kastes iekšpusē (kaste apzīmēta ar “M”) ar apli “A krustojas B”, kas apzīmē apļa krustojumu, un “A mīnus B” un “B mīnus A”, apzīmējot apļu nesakrustošās daļas. Laukums kastes iekšpusē, bet nevis apļos, ir apzīmēts ar “M mīnus (A savienība B)”
divi krustojoši apļi kastes iekšpusē (kaste apzīmēta ar “M”) ar apli “A krustojas B”, kas apzīmē apļa krustojumu, un “A mīnus B” un “B mīnus A”, apzīmējot apļu nesakrustošās daļas. Laukums kastes iekšpusē, bet nevis apļos, ir apzīmēts ar “M mīnus (A savienība B)”

1. attēls

Tagad nav grūti saprast, vai tikai detaļu izmēri nosaka, vai divi šāda veida modeļi ir izomorfiski:

3. fakts

((M, A_1, / ldots, A_k) cong (M ', A'_1, / ldots, A'_k)), ja atbilstošo daļu kardināli ir vienādi.

Tas parāda, ka monādiskie un Isom vispārinātie skaitļi patiešām attiecas tikai uz daudzumiem, ti, uz komplektu izmēriem, nevis pašiem komplektiem. Saraksts / eqref {ex-qlist3} ar tipu ({ langle} 1,1 { rangle}) vispārinātus skaitliskos rādītājus to skaidri parāda, bet arī aristoteliešu skaitliskos rādītājus var formulēt pēc kardināliem principiem, (sākt {izlīdzināt} textit {all} _M (A, B) & / iff | AB | = 0 \\ / textit {some} _M (A, B) & / iff | A / cap B |> 0 / beigas {izlīdzināt})

utt., un tāpat kā mūsu sniegtajiem ({ langle} 1 { rangle}) piemēriem.

Vispārīgāk runājot, Isom gadījumā monādiskos skaitļus var uzskatīt par attiecībām starp (kardinālajiem) skaitļiem. Piemēram, ja Q tips ir ({ langle} 1 { rangle}), tad definējiet (attiecībai starp cipariem izmantojot to pašu simbolu Q)

[Q (kappa, / lambda) iff / text {ir} (M, A) ST | M \! - \! A | = / kappa / amp | A | = / lambda / amp Q_M (A))

Isom garantē, ka tas ir precīzi noteikts, un mums tas ir

[Q_M (A) iff Q (| M \! - \! A |, | A |))

7. Relativizācija

Katrs apgalvojums, kurā ietverts vispārināts skaitlis Q, notiek kādā Visumā M. Dažreiz ir lietderīgi spēt atspoguļot šo relativizāciju visumā M iekšpusē. Tas nozīmē definēt jaunu kvantifikatoru ar vienu papildu komplekta argumentu, kas saka, ka Q uzvedas uz Visumu, kas aprobežojas ar šo argumentu, tieši tā, kā tas uzvedas uz M. Tādējādi, ja Q tips ir ({ langle} n_1, / ldots, n_k { rangle}), mēs definējam (Q {^ { text {rel}}}) tipa ({ langle } 1, n_1, / ldots, n_k { rangle}) šādi:

(tag {14} (Q {^ { text {rel}}}) _ M (A, R_1, / ldots, R_ {n_k}) mathbin { Longleftrightarrow _ { text {def}}} Q_A (R_1 \! / ierobežojums \! A, / ldoti, R_ {n_k} ! / ierobežojums \! A))

kur (R_i / subseteq M ^ {n_i}) un (R_i \! / ierobežojums \! A) ir (R_i) ierobežojums līdz A, ti, (n_i) - kopiju kopums iekšā (R_i / vāciņš A ^ {n_i}).

Faktiski mēs jau esam redzējuši vairākus relativizācijas piemērus: tā kā viens viegli pārbauda (skatīt sarakstus / eqref {ex-qlist1} un / eqref {ex-qlist3}), ka

(tag {15} sākt {izlīdzināt} textit {all} & = / forall {^ { text {rel}}} / \ textit {daži} & = / eksistē {^ { text {rel} }} / \ textit {vismaz pieci} & = (eksistē _ { geq 5}) {^ { text {rel}}} / \ textit {precīzi trīs} & = (eksistē _ {= 3}) {^ { text {rel}}} / \ textit {bezgalīgi daudz} & = (Q_o) {^ { text {rel}}} / \ textit {Most} & = (Q ^ R) {^ { text {rel}}} / \ textit {pāra skaitlis} & = (Q _ { text {even}}) {^ { text {rel}}} end {align})

8. Izteiksmīgs spēks

Mēs aprakstījām, kā vispārinātos skaitļus var pievienot FO, iegūstot izteiksmīgāku loģiku. Loģika šajā ziņā aptuveni sastāv no teikumu kopas, modeļu klases un patiesības attiecības (vai apmierinājuma attiecības) starp teikumiem un modeļiem. Šādas loģikas bieži sauc par modeļa teorētisko loģiku, jo tās semantiski tiek definētas kā modeļi un patiesība, nevis teorētiski pierādījumi par deduktīvu sistēmu teorēmu atvasināšanai. [11] Šeit mēs pievēršam uzmanību formas (FO (Q_1, Q_2, / ldots)) loģikai, kas veidojas, FO pievienojot vispārinātus skaitliskus rādītājus, kur katram skaitliskajam parametram ir formēšanas noteikums un patiesības semantiska klauzula. definīcija, kā aprakstīts iepriekš 5. iedaļā.

Ir acīmredzams veids, kā salīdzināt modeļa teorētiskās loģikas izteiksmīgo spēku. (L_2) ir vismaz tikpat izteiksmīgs kā (L_1) simbolos, [L_1 / leq L_2)

ja katrs (L_1) - teikums (f) loģiski ir līdzvērtīgs kādam (L_2) - teikumam (p), ti, (f) un (p) ir taisnība tajos pašos modeļos. Arī (L_1) un (L_2) ir tāda pati izteiksmīgā jauda, (L_1 / ekvivalents L_2), ja (L_1 / leq L_2) un (L_2 / leq L_1), un (L_2 L_2) ir stiprāks par (L_1), (L_1 <L_2), ja (L_1 / leq L_2), bet (L_2 / nav / leq L_1). Tādējādi, (L_1 <L_2), ja visu, ko var pateikt (L_1), var pateikt arī (L_2), taču ir kāds (L_2) teikums, kas nav līdzvērtīgs nevienam teikumam iekšā (L_1).

Kā var noteikt faktus par izteiksmīgo spēku? Liekas, ka, lai parādītu (L_1 / leq L_2), ir jāiet cauri visiem bezgalīgi daudziem teikumiem (L_1) un katram jāatrod ekvivalents tekstā (L_2). Bet praksē pietiek parādīt, ka vispārinātie skaitļi (L_1) ir definējami (L_2). Ja Q tips ir ({ langle} 1,2 { rangle}), teiksim, Q ir definējams (L_2), ja ir (L_2) - teikums (p), kura ir neloģiskā leksika sastāv tieši no viena unārā un viena binārā predikatīva simbola tā, ka visiem modeļiem (M = (M, A, R)), [Q_M (A, R) iff (M, A, R) modeļi / p)

Līdzīgi citiem tipiem. Piemēram, skaitliskais viss ir nosakāms FO, jo sekojošais:

(textit {all} _M (A, B) iff (M, A, B) models / forall x (A (x) right bulttaustiņš B (x)))

Tāpat (Q ^ R) ir definējams (FO (textit {most})), jo

[(Q ^ R) _M (A) iff (M, A, B) modeļi / textit {visvairāk}: x (x = x, A (x)))

(ņemiet vērā, ka visa mūsu loģika satur FO loģisko aparātu, tāpēc tie visi ir FO paplašinājumi). Pēdējais ir šāda novērojuma piemērs:

(16) Jebkuram vispārinātam kvantifikatoram Q ir definējams laukā (FO (Q {^ { text {rel}}}))

Šādus faktus par definējamību var būt viegli vai grūti noteikt [12], taču ar tiem pietiek, lai noteiktu pozitīvus faktus par izteiksmīgumu, jo mums ir:

4. fakts

(FO (Q_1, / ldots, Q_n) leq L) tikai un vienīgi tad, ja katrs (Q_i) ir nosakāms L.

No otras puses, grūtāk ir pierādīt neizteiksmību, ti, ka kāds teikums nav līdzvērtīgs nevienam L veidam. Viens no veidiem, kas dažreiz darbojas, ir noteikt, ka (L_1) ir kāds īpašums, kura (L_2) trūkst; tad varētu secināt, ka (L_1 / not / leq L_2). Daži īpašumi, kas ir raksturīgi FO, bet neizdodas lielākajai daļai loģikas, ir:

  • Lēvenheima īpašums: ja teikums ir patiess kādā bezgalīgā modelī, tas ir taisnība arī dažos skaitāmos modeļos.
  • Tarski īpašums: Ja teikums ir patiess kādā uzskatāmi bezgalīgā modelī, tas ir taisnība arī dažos neizskaitāmos modeļos.
  • Kompaktuma īpašība: ja neviens modelis nepadara katru teikumu kopas elementu (Phi) patiesu, tad ir ierobežots {(Phi) apakškopa (Psi), ka neviens modelis nevienu teikumu neveido (Psi) taisnība.
  • Pilnīguma īpašība: Derīgu teikumu komplekts ir rekursīvi uzskaitāms (ti, tos var ģenerēt kāda formāla sistēma).

Piemēram, (FO (Q_0)) nav kompaktuma rekvizīta. [13] To var redzēt, aplūkojot teikumu kopu

(Phi \: = \: { neg Q_0x (x = x) cup { theta_n: n = 1,2, / ldots })

kur (theta_n) ir FO-teikums, sakot, ka Visumā ir vismaz n elements. Ja jūs lietojat kādu ierobežotu apakškopu (Phi ') no (Phi), un M ir visums, kura kardinalitāte ir lielākā n, tā ka (theta_n) pieder (Phi'), tad visi teikumi mapē (Phi ') ir patiesi ar burtu M. Bet neviens Visums nevar padarīt visus teikumus patiesus (Phi). Un tas parāda, ka (Q_0) nav definējams FO, ti, ka (FO (Q_0) not / leq / FO), jo pretējā gadījumā mēs varētu aizstāt (Phi) ar līdzvērtīgu FO-sajūtas, bet FO ir kompakts īpašums, tāpēc tas nav iespējams.

Tomēr šāds neizteiksmības pierādīšanas veids darbojas tikai loģikai, kurai ir tādas īpašības kā iepriekš. Turklāt tie darbojas tikai tad, ja ir atļauti bezgalīgi visumi, bet interesanti neizskaidrojamības fakti attiecas arī uz ierobežotajiem modeļiem, piemēram, tas, ka (Q ^ R) un (Q _ { teksts {pat}}) nav definējami. FO vai arī lielākā daļa = ((Q ^ R) {^ { text {rel}}}) nav definējama (FO (Q ^ R)). Loģiķi ir izstrādājuši daudz tiešākas un efektīvākas metodes nenoteiktības rezultātu parādīšanai, kas darbojas arī ierobežotos modeļos. [14]

Iepriekš minētās īpašības faktiski raksturo FO tādā nozīmē, ka nevienam atbilstošam FO paplašinājumam tās nevar būt (noteiktas to kombinācijas). Šis ir slavenās teorēmas par modeļa teorētisko loģiku saturs, Lindstrēma teorēma, kuras versija ir sniegta zemāk. Pieejamu pierādījumu skat., Piemēram, Ebbinghaus, Flum un Thomas (1994). Mēs sakām, ka loģika (L = / FO (Q_1, / ldots, Q_n)) atjaunojas, ja (16) “sarunāties” ir katram (Q_i), ti, ja katrs ((Q_i) { ^ { text {rel}}}) ir definējams L valodā.

5. teorēma (Lindström) Ja L ir kompakts un tam ir Löwenheim īpašums, tad (L / equiv / FO). Arī tad, ja L relativizējas, ja L ir pilnīgs un tam ir Löwenheim īpašums vai L ir gan Löwenheim, gan Tarski īpašības, tad (L / equiv / FO).

9. Ģeneralizētie skaitļi un skaitļošana

Papildus patiesības nosacījumiem, kas saistīti ar vispārinātiem kvantitatīvajiem rādītājiem, var izpētīt aprēķinus, kas nepieciešami, lai modelī noteiktu kvantitatīva paziņojuma patiesumu. Patiešām, vispārināti skaitliskie rādītāji parādās dažādās vietās datorzinātņu daļā, kurā tiek pētīta skaitļošanas sarežģītība. Šajā kontekstā mēs ierobežojam uzmanību ar ierobežotajiem Visumiem un visā Isom pieņemsim. Tātad kvantitatīvs būtībā ir ierobežotu modeļu kopums; pēc Isoma mēs varam pieņemt, ka visiem kardināluma modeļiem ir vienāds domēns (M = {1, / ldots, m }). Šādus modeļus var kodēt kā vārdus, ti, simbolu ierobežotas virknes. Piemēram, modeli ((M, A)) veida ({ langle} 1 { rangle}) var uzskatīt par bināru vārdu (a_1 / ldots a_m), kur (a_i) ir 1, ja (i / A) un 0 pretējā gadījumā. Tādējādi (| A |) ir 1 skaits un (| M \! - \! A |) ir 0; Autors: Isoms,secībai virknē nav nozīmes. Tātad Q kļūst par vārdu (W_Q) kopu, tas ir, formālu valodu: visu kodēto simbolu ierobežoto virkņu kopas apakškopa.[15]

Tagad mēs varam jautāt, kas nepieciešams, lai atzītu, ka vārds pieder (W_Q). Automātisks abstrakts jēdziens sniedz atbildi; automāti ir mašīnas, kas pieņem vai noraida vārdus, un tās klasificē pēc veikto operāciju sarežģītības. Automātiski atpazītā valoda ir vārdu kopums, ko tā pieņem. [16]

Ierobežotā automātā ir ierobežots skaits stāvokļu, ieskaitot sākuma stāvokli un vismaz vienu pieņemošo stāvokli. Tas sāk vārda skenēšanu sākuma stāvoklī ar kreiso simbolu un katrā solī pārvieto vienu simbolu pa labi un nonāk (iespējams) jaunā stāvoklī atbilstoši dotajai pārejas funkcijai. Ja tas var pārvietoties pa visu vārdu, kas beidzas pieņemošajā stāvoklī, vārds tiek pieņemts. Automātikas teorijas piemērošana vispārinātiem kvantitatīviem rādītājiem tika uzsākta van Benthemā (1986) (7. nodaļa, “Semantiskās automātas”). Ir viegli izveidot ierobežotu automātu, kas atpazīst (forall) (vai (forall {^ { text {rel}}} =) visus), ti, pārbaudot, vai w sastāv tikai no 1: vienkārši palieciet iekšā sākuma stāvoklis = pieņemošais stāvoklis, kamēr tiek parādīti 1, bet pārejiet uz noraidošo stāvokli, tiklīdz tiek ieskenēts 0, un palieciet tur, neatkarīgi no tā, kas notiek pēc tam. Nedaudz sarežģītāks automāts atpazīst (Q _ { text {pat}}): atkal ir divi stāvokļi, sākuma stāvoklis = pieņemšanas stāvoklis un noraidīšanas stāvoklis, un šoreiz paliek tajā pašā stāvoklī, kad tiek skenēti 0, bet, kad skenēts 1, pārejiet uz citu stāvokli. Lai nonāktu pieņemošajā stāvoklī, ir nepieciešams un pietiekams, lai būtu pāra skaitlis 1. Šī mašīna būtībā izmanto 2. garuma ciklus, turpretim pirmajā piemērā bija tikai 1 cikli. Izsauciet pēdējā veida aciklisko automātu. Van Benthems parādīja, ka FO nosakāmie kvantifikatori ir tieši tādi, kurus pieņem ierobežotās automātiskās ierīces, kas ir acikliskas un permutācijas aizvērtas.un šis laiks paliek tajā pašā stāvoklī, kad tiek skenēti 0, bet pāriet uz citu stāvokli, kad skenēts 1. Lai nonāktu pieņemošajā stāvoklī, ir nepieciešams un pietiekams, lai būtu pāra skaitlis 1. Šī mašīna būtībā izmanto 2. garuma ciklus, turpretim pirmajā piemērā bija tikai 1 cikli. Izsauciet pēdējā veida aciklisko automātu. Van Benthems parādīja, ka FO nosakāmie kvantifikatori ir tieši tādi, kurus pieņem ierobežotās automātiskās ierīces, kas ir acikliskas un permutācijas aizvērtas.un šis laiks paliek tajā pašā stāvoklī, kad tiek skenēti 0, bet pāriet uz citu stāvokli, kad skenēts 1. Lai nonāktu pieņemošajā stāvoklī, ir nepieciešams un pietiekams, lai būtu pāra skaitlis 1. Šī mašīna būtībā izmanto 2. garuma ciklus, turpretim pirmajā piemērā bija tikai 1 cikli. Izsauciet pēdējā veida aciklisko automātu. Van Benthems parādīja, ka FO nosakāmie kvantifikatori ir tieši tādi, kurus pieņem ierobežotās automātiskās ierīces, kas ir acikliskas un permutācijas aizvērtas. Van Benthems parādīja, ka FO nosakāmie kvantifikatori ir tieši tādi, kurus pieņem ierobežotās automātiskās ierīces, kas ir acikliskas un permutācijas aizvērtas. Van Benthems parādīja, ka FO nosakāmie kvantifikatori ir tieši tādi, kurus pieņem ierobežotās automātiskās ierīces, kas ir acikliskas un permutācijas aizvērtas.[17]

Nedaudz sarežģītākam automātam, piespiežamajam automātam, ir rudimentārie atmiņas resursi simbolu kaudzes veidā, kurus var virzīt vai pacelt no augšas, ļaujot tam zināmā mērā izsekot tam, kas notika iepriekšējos soļos. Vēl viens van Benthema rezultāts ir tāds, ka tipa ({ langle} 1 { rangle}) kvantifikatori, kurus pieņēmušas automātiskās automātikas, ir tieši tādi, kuriem piedevas aritmētikā ir nosakāma atbilstošā binārā attiecība starp skaitļiem (ar pirmās kārtas līdzekļiem)., ti, modelī ((N, +)), kur (N = {0,1,2, / ldots }). Kā piemēru var minēt (Q ^ R) (vai lielāko daļu no tā relativizācijas): mums ir (Q ^ R (m, n) Leftrightarrow m <n), un labā puse ir definējama laukā ((N, +)) ar (eksistē x (x / neq 0 / ķīlis m + x = n)). [18]

Tādējādi algoritmiskais raksturojums tiek saskaņots ar loģisko. Šis ir viens ievērojams virziens algoritmiskās sarežģītības izpētē. Tagad apsveriet vispārīgākās abstraktās automātiskās vai skaitļošanas ierīces, ti, Tjūringa mašīnas. Viena (no daudzajām) interesantām sarežģītības klasēm ir PTIME: problēma, kas identificēta ar atbilstošo vārdu kopu, ir PTIME, ja ir polinoms (p (x)) un Tjūringa mašīna pieņem W tā, ka vienmēr (w / pozīcijā W) ir n garums, skaitļošanu pieņem ne vairāk kā (p (n)). PTIME problēmas parasti uzskata par “izsekojamām”, turpretī sarežģītākas problēmas ir “neizturamas”, piemēram, EXPTIME, kur vajadzīgo darbību skaits var pieaugt eksponenciāli. Sākotnējais Immermana un Vardi rezultāts ir tāds, ka PTIME (vārdu kodēšanas) ierobežoto modeļu kopas ir tieši tās, kuras aprakstāmi ar atsevišķiem teikumiem (FO (LFP)), kas ir FO loģika ar pievienotu mehānismu vismazāk fiksētu veidošanai. -punkti.[19] Šeit mums jāatspoguļo ne tikai monādiski, bet arī patvaļīgi modeļi. Piemēram, bināro sakarību uz Visumu ({1, / ldots, m }) var attēlot ar vārdu (w_ {11} cdots w_ {1m} # / ldots / #w_ {m1 } cdots w_ {mm}), kur ir ((i, j)) iff (w_ {ij} = 1) saistība. Bet šoreiz secībai, šķiet, nav nozīmes, un patiesībā tikko pieminētais Immerman un Vardi rezultāts attiecas tikai uz modeļiem ar doto lineāro secību un bināro predikatīvo simbolu, kas apzīmē šo pasūtījumu.

Loģiku, piemēram, (FO (LFP)), var pārstrādāt kā veidlapas loģiku (FO (Q_1, Q_2, / ldots)). Šeit var būt nepieciešami bezgalīgi daudz skaitītāju, taču dažos gadījumos pietiek ar vienu skaitli. Kas attiecas uz (FO (LFP)), pietiek pievienot visus viena skaitļa rādītāja atsākumus (skatīt 5. iedaļas beigas iepriekš). Vispārīgāk runājot, lai (FO ^ * (Q_1, Q_2, / ldoti)) būtu kā (FO (Q_1, Q_2, / ldoti)), bet ar mehānismiem relativizāciju veikšanai (7. sadaļa) un katra atsākšanai. (Q_i) līdz k-paraugiem katram k. Tad ir viens kvantifikators Q tāds, ka (FO (LFP) = / FO ^ * (Q)).

Tātad vispārinātie skaitļi joprojām ir vienkāršs un daudzpusīgs veids, kā FO pievienot izteiksmīgu spēku. Viens dabisks jautājums bija, vai iepriekšminēto PTIME loģisko raksturojumu varētu uzlabot, izmantojot vispārinātus skaitļus, it īpaši, ja šādā veidā varētu atcelt pasūtīto struktūru ierobežojumus. Tomēr atbilde izrādījās noraidoša, jo Hella (1989) pierādīja, ka patvaļīgo ierobežoto struktūru PTIME aprēķināmās īpašības nevar raksturot, pievienojot ierobežotu skaitu vispārinātu skaitļu FO vai pat (FO (LFP))). Tomēr joprojām nav atklāts jautājums par to, vai PTIME var raksturot ar formas loģiku (FO ^ * (Q)) (tā atrisināšana patiešām būtu nozīmīgs sasniegums sarežģītības teorijā).

10. Vispārinātie skaitļi un dabiskā valoda

Sešdesmito gadu beigās Ričards Montāgs parādīja, kā dabisko valodu nozīmīgo daļu semantiku var apstrādāt ar loģiskiem rīkiem. [20] Viens no viņa galvenajiem ieskatiem bija tas, ka lietvārdu frāzes (NP) var interpretēt kā domēna apakškopas, ti, kā (ko mēs tagad saucam) tipa ({ langle} 1 { rangle}) skaitļi. Montague strādāja tipa teorijā, bet ap 1980. gadu vairāki valodnieki un loģiķi sāka piemērot loģikas modeļa teorētisko ietvaru ar vispārinātiem skaitļiem dabiskās valodas semantikā. [21] Apsveriet vienkārša angļu teikuma struktūru, kura priekšmets ir skaitliski izteikts NP: [22]

  • (17)

    Valodniecības koks [S [NP [Det [visvairāk] [N [studenti] [VP [dūmi]
    Valodniecības koks [S [NP [Det [visvairāk] [N [studenti] [VP [dūmi]

(Priekšmets) NP sastāv no determinētāja un lietvārda (N). Gan lietvārdam, gan darbības vārda frāzei (VP) ir kopas kā paplašinājumi, un tātad dabiski noteicējs apzīmē bināru saikni starp kopām, ti, veida ({ langle} 1,1 { rangle}) skaitli. Teicienam (17) fonā ir (diskursa) visums (teiksim, cilvēku kopums noteiktā universitātē), taču vairuma, katra, vismaz piecu un līdzīgu izteicienu nozīme nav saistīta ar konkrētiem universiem. Piemēram, visu iekšā nozīme

  • (18) a. Visiem kaķiem patīk piens.
  • b. Visiem elektroniem ir negatīvs lādiņš.
  • c. Visiem naturālajiem skaitļiem ir pēctecis.
  • d. Visi dvīņi patīk viens otram.
  • e. Visas kompaktas Hausdorff atstarpes ir aizvērtas.

Tam nav nekā kopīga ar kaķiem vai elektroniem, skaitļiem vai dvīņiem vai Hausdorfa atstarpēm, kā arī ar diskursa universiem, kas var būt saistīti ar iepriekšminētajiem piemēriem. Tas vienkārši nozīmē iekļaušanas attiecības neatkarīgi no tā, par ko mēs runājam. Tāpēc vispārinātais skaitliskais rādītājs, kas ar katru Visumu M saista iekļaušanas sakarību ar M, ir ārkārtīgi piemērots, lai interpretētu visus un līdzīgi citiem noteicējiem.

Tomēr formas teikumiem (17) ir raksturīgi, ka lietvārda arguments un VP arguments nav līdzvērtīgi. Lietvārds apvienojas ar determinētāju, lai veidotu atsevišķu komponentu NP, un šo sastāvdaļu var arī izmantot, lai apzīmētu vispārinātu skaitlisko lielumu, šoreiz - ({ langle} 1 { rangle}). Tādējādi vismaz pieci studenti apzīmē Visuma apakšgrupu kopu, kurā ir vismaz pieci studenti. Šis skaitlis ir iegūts, iesaldējot pirmā veida ({ langle} 1,1 { rangle}) trīs argumentus studentu grupai; mēs rakstām šo trīs (^ { textit {students}}). Parasti, ja A ir fiksēta kopa un Q ir veida ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantifikators, var noteikt veidu ({ langle} 1 { rangle}) kvantifikators (Q ^ A) autors

(tag {19} label {QA} (Q ^ A) _M (B); / Longleftrightarrow _ { text {def}}; Q_ {M / cup A} (A, B))

jebkuram M un jebkuram (B / subseteq M). Kompozicionālajā semantikā ir dabiski, ja katrai teikuma sastāvdaļai ir atsevišķa nozīme vai nozīme, un lietvārdu frāžu noklusējuma nozīmēm ir tipa ({ langle} 1 { rangle}) skaitļi.

Tas attiecas arī uz dažām NP, kurām trūkst noteicēju, piemēram, vārdi. Kaut arī leksiskajam vienumam Jānim interpretācija tiek piešķirta kādam atsevišķam j, NP John var izmantot, lai apzīmētu skaitli (I_j), ko jebkuram M nosaka

[(I_j) _M = {B / subseteq M / !: j / iekšā B })

Tas faktiski ir labi motivēts ne tikai tāpēc, ka NP interpretācija kļūst vienveidīgāka, bet arī tāpēc, ka Jānis var apvienot ar kvantitatīvi izteiktiem NP:

(20) Uz tikšanos ieradās Jānis un trīs profesori

Šeit ir ērti, ja Jānim un trim profesoriem ir viena un tā pati semantiskā kategorija. Ņemiet vērā, ka vispārinātiem skaitļiem atšķirībā no indivīdiem ir skaidra Būla struktūra; definēt (šeit teksta ({ langle} 1 { rangle}) gadījumā, bet tāpat kā jebkura cita veida gadījumā)

(sākt {izlīdzināt} (Q_1 / ķīlis Q_2) _M (A) & / iff (Q_1) _M (A) textrm {un} (Q_2) _M (A) (neg Q) _M (A) & / iff / textrm {not} Q_M (A) end {align})

Tad mēs varam ņemt kompleksa noteicēju (20), lai apzīmētu (I_j / ķīlis / textit {trīs} ^ { textit {profesors}}). Līdzīgi ir arī kompleksajā NP

(21) Jānis un Marija ieradās uz tikšanos

apzīmē (I_j / ķīlis I_m).

Pirmo argumentu (kas nāk no lietvārda) veida ({ langle} 1,1 { rangle}) determinētāja apzīmējums bieži sauc par tā ierobežojumu, bet otro - par darbības jomu. Izrādās, ka šo divu argumentu sintaktiskā statusa atšķirībai ir skaidrs semantiskais līdzinājums.

11. Konservativitāte

Jau agrīni tika novērots, ka šāda veida ({ langle} 1,1 { rangle}) skaitļiem, ko dabiskās valodās apzīmē noteicēji, ir šāda īpašība:

  • (22) Konservatīvisms (Conserv):

    Visiem M un visiem (A, B / subseteq M), [Q_M (A, B) ja Q_M (A, A / cap B).)

To var redzēt no teikumu pāriem, piemēram, šiem, kur ir skaidrs, ka otrais teikums ir tikai neērts veids, kā izteikt pirmo:

  • (23) a. Lielākā daļa studentu smēķē.
  • b. Lielākā daļa studentu ir studenti, kuri smēķē.
  • (24) a. Vismaz pieci profesori nebija klāt.
  • b. Vismaz pieci profesori nebija profesori.
  • (25) a. Vairāk nekā trešdaļa absolventu ir ārzemnieki.
  • b. Vairāk nekā trešdaļa absolventu ir ārvalstu absolventi.

Conserv saka, ka (Q_M (A, B)) patiesībai ir svarīga tikai tā A daļa, kas ir kopīga A. Tas ir, daļai (BA) 1. attēlā nav nozīmes. Šķiet, ka tas attiecas uz visiem noteicēju apzīmējumiem, bet tas neizdodas pilnīgi dabiskiem loģiskiem skaitļiem, piemēram, MO un I no iepriekš minētā saraksta / eqref {ex-qlist3}. Iemesls ir tāds, ka noteicēju apzīmējumiem ir raksturīgi, ka ierobežojuma arguments ierobežo šī noteikšanas jomu ar šo argumentu.

12. Pagarinājums

Faktiski domēna ierobežojuma idejai ir vēl viena sastāvdaļa. Ierobežot kvantitatīvās noteikšanas jomu līdz M apakškopei A nozīmē ne tikai to, ka (BA) nav nozīmes, bet arī visai M daļai, kas atrodas ārpus A, un līdz ar to arī daļai (M- (A / kauss B)) 1. attēlā. Tas savukārt ir vispārīgāka īpašuma piemērs, kas piemērojams patvaļīgiem vispārinātiem skaitļiem:

  • (26) Pagarinājums (Ext):

    Ja Q ir ({ langle} n_1, / ldots, n_k { rangle}), (R_i / subseteq M ^ {n_i}) par (1 / leq i / leq k) un (M / subseteq M '), tad [Q_M (R_1, / ldots, R_k) iff Q_ {M'} (R_1, / ldots, R_k).)

Tas ir, nekas nenotiek, kad Visums tiek pagarināts vai sarukts, kamēr argumenti netiek mainīti. Tagad atcerieties, ka veida ({ langle} 1 { rangle}) kvantifikatoriem mēs jau esam nodrošinājuši loģisku mehānismu kvantitatīvās noteikšanas domēna ierobežošanai apakšvienībai relativizācijas ziņā (7. sadaļa). Tagad mēs varam redzēt (b) apakšpunktā), ka Conserv un Ext kombinācija ir tieši tāda pati:

6. fakts

  1. Jebkuram skaitliskam Q, (Q {^ { text {rel}}}) atbilst Ext.
  2. Tipa ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantifikators ir Conserv un Ext tikai un tikai tad, ja tas ir tipa ({ langle} 1 { rangle}) kvantifikators. [23]

Atkal šķiet, ka visi noteicēju apzīmējumi atbilst Ext. No pirmā acu uzmetiena šķiet, ka principā nekas neliedz valodai saturēt noteicēju, teiksim evso, kas nozīmēja katru uz universiem ar mazāk nekā 10 elementiem un dažus uz lielākiem Visumiem. Bet ne tikai tas, ka nevienā valodā faktiski nav šāda determinētāja, nevarētu būt, ja determinenta lietvārdu arguments ir ierobežot kvantitatīvās noteikšanas jomu ar šī lietvārda apzīmējumu.

Tāds kvantifikators kā evso intuitīvi nav konstants tādā nozīmē, ka tas nenozīmē to pašu vai arī to nesaprot ar vienu un to pašu noteikumu katrā Visumā. Ext var uzskatīt par stingru noturības prasību: noteikums, kas interpretē Q, pat nepiemin Visumu. Patiešām, daudzi valodas un loģikas skaitļi ir ārkārtīgi lieli. Kā redzējām, visi relativizētie kvantifikatori ir Ext, un visi pārējie kvantifikatori arī sarakstos / eqref {ex-qlist2} - / eqref {ex-qlist4}, izņemot W. [24] Faktiski šķiet, ka visi skaitliskie skaitļi, kas ņem vairāk nekā vienu argumentu un kas parādās dabiskās valodas kontekstā, ir Ext. Un daudzi tipa ({ langle} 1 { rangle}) skaitļi ir arī Ext, piemēram, (eksistē), (I_j), (Q ^ A) (kad Q ir Ext; skatīt / eqref {QA} iepriekš) un visus sarakstā / eqref {ex-qlist1}, izņemot (Q ^ R).

Bet (forall) un (Q ^ R) nav Ext. Tomēr arī viņi sliecas sacīt, ka tie nozīmē to pašu katrā Visumā. Gadījums (forall) ir īpaši interesants, jo var iebilst, ka tas interpretē NP kā visu vai katru lietu. Galvenais šeit ir lieta. Ja šo izteicienu uzskata par loģisku konstanti, kas vienmēr apzīmē Visumu, tad šie NP apzīmē (forall): visiem M un visiem (B / subseteq M), (sākt {izlīdzināt} (textit {katrs} ^ { textit {lieta}}) _ M (B) & / iff / textit {every} _M (M, B) & / iff M / subseteq B & / iff M = B \& / iff / forall_M (B) end {align})

Kad Ext aiztur, mēs parasti varam nomest M indeksu un rakstīt, piemēram, [Q (A, B))

nevis (Q_M (A, B)). Tas ir, var pieņemt, ka ir piemērots visums, bet jāatstāj fonā.

13. Simetrija un monotoniskums

Citas īpašības nav kopīgas visiem dabiskās valodas skaitļiem, bet izceļ svarīgas apakšklases. Divus mēs jau minējām 2. sadaļā iepriekš: simetrija un monotoniskums. Tipiski simetriski skaitliskie skaitļi ir daži, nē, vismaz pieci, precīzi trīs, pāra skaitļi, bezgalīgi daudz, turpretim visi lielākoties, lielākoties viena trešdaļa, ir nesimetriski. Vēl viens simetrijas izteikšanas veids ir teikt, ka (Q (A, B)) patiesības vērtība ir atkarīga tikai no kopas (A / cap B). Precīzāk, izsauciet Q krustojošos, ja visiem M un visiem (A, A ', B, B' / subseteq M):

(27) Ja (A / vāciņš B = A '\ vāciņš B'), tad (Q_M (A, B) Leftrightarrow Q_M (A ', B'))

Var viegli pārbaudīt:

7. fakts

Konservatīva veida ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantitatīvajiem parametriem simetrija un krustošanās iespējas ir līdzvērtīgas. [25]

Mēs atzīmējām, ka daži no silogismiem izsaka monotoniskuma īpašības. Īsākā apzīmējumā veida ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantifikators Q ir

pa labi palielinot (pa labi samazinoties), ja visiem M un visiem (A, B / subseteq B '\ subseteq M) (visiem (A, B' / subseteq B / subseteq M)), (Q_M (A, B)) nozīmē (Q_M (A, B ')).

Līdzīgi kreisās puses palielināšanai vai samazināšanai un patiešām monotoniskumam vispārinātā kvantifikatora norādītajā vietā. Jo īpaši ir skaidrs, ko nozīmē, ka tipa ({ langle} 1 { rangle}) skaitlis ir vienveidīgs. Monotoniskums dabiskās valodas kvantitatīvajā izteiksmē ir visuresošs. Liekas, ka sintaktiski vienkāršie angļu valodas NP apzīmē monotonu (pieaugošu vai samazinošu) tipa ({ langle} 1 { rangle}) skaitļus, un gandrīz visi sintaktiski vienkāršie angļu noteicēji apzīmē labo monotonisko skaitli. [26] Mums ir arī:

  • (28) a. Kvantifikatori (I_j) (īstie vārdi) palielinās
  • b. (Q ^ A) palielinās (samazinās), ja Q palielinās (samazinās).

Visi Aristotelian, daži, nē, ir vienbalsīgi abos argumentos (piemēram, viss ir taisnība pieaug un kreisajā pusē samazinās), tāpat kā vismaz pieci, ne vairāk kā desmit, bezgalīgi daudz, turpretim lielākajai daļai, vismaz divas trešdaļas no pareizajiem, ir taisnība bet ne palielinās, ne samazinās kreisajā argumentā. Tieši trīs, no diviem līdz septiņiem, nav vienkanālu, lai gan abi šie ir (labās un kreisās) pieaugošā un samazinošā kvantifikatora savienojumi (piemēram, vismaz trīs un ne vairāk kā trīs), pretstatā pāra skaitam, kas nav (ierobežots) Būla monotonu skaitļu kombinācija.

Gan simetrijai, gan monotoniskumam ir svarīga izskaidrojoša loma noteiktām lingvistiskām parādībām. Simetrija ir raksturīga (lielākai daļai) tā sauktajos eksistenciālajos teikumos atļautajos skaitļos (piemēram, dārzā ir vismaz pieci vīrieši, ja ir labi, bet dārzā ir visvairāk vīriešu). Monotoniskums ir ļoti svarīgs, lai izskaidrotu polaritātes vienību sadalījumu (Nevienam nekad neizdosies, tas ir labi, bet kādam kādreiz veiksies - nav: negatīvas polaritātes elementiem, piemēram, kādreiz vienmēr ir nepieciešama vide, kas samazinās.) [27] Turklāt dabiskajos spriešanas veidos ārkārtīgi liela nozīme ir monotoniskumam; skatīt 18. sadaļu.

14. Noteiktāji, kas nav ISOM

Apsveriet

  • (29) Jāņa grāmatas tika nozagtas.
  • (30) Dažas studentu grāmatas nav atdotas.
  • (31) Uz tikšanos nebija ieradies neviens profesors, izņemot Mariju.
  • (32) Visi pludmales apmeklētāji, izņemot dažus aizrautīgus peldētājus, bija pilnībā apģērbti.
  • (33) Smēķē vairāk vīriešu nekā studentu.

Izteicieni Jāņi, daži studenti, nē _ izņemot Mariju, visi _, izņemot dažus aizrautīgus peldētājus, vairāk vīriešu nekā sieviešu, gluži dabiski tiek uzskatīti par noteicējiem: apvienojumā ar lietvārdiem tie veido frāzes, kas uzvedas kā parasti NP. Arī to norādītie veida ({ langle} 1,1 { rangle}) skaitļi ir Conserv un Ext. Piemēram, šī pāra teikumi ir triviāli ekvivalenti:

  • (34) a. Jāņa grāmatas tika nozagtas.
  • b. Jāņa grāmatas ir grāmatas, kas tika nozagtas.

Bet atšķirībā no iepriekšējiem piemēriem tie nav Isom, jo tie ir saistīti ar noteiktu personu vai īpašumu: ja Jāņa grāmatas tika nozagtas, un nozagto grāmatu skaits ir vienāds ar sarkano zīmuļu skaitu (dažos diskursa visumos), un grāmatu, kas nebija nozagtas, skaits ir vienāds ar sarkanu zīmuļu skaitu, tas nenozīmē, ka Jāņa zīmuļi ir sarkani, kā tas būtu Isomam.

Tomēr, tāpat kā rezultāts, kas nav Isom kvantifikators trīs ((^ { textit {students}})), iesaldējot Ext kvantifikatora ierobežojuma argumentu, iepriekš minētie kvantifikatori, kas nav Isom kvantifikatori, tiek iesaldēti argumentos abstraktākās attiecībās, kuras ir Isom. Mēs to ilustrējam ar īpašnieku John's. [28]

Ņemot vērā to, ka Džons apzīmē atsevišķu j, tad noteicēju Jāni var noteikt visiem M un visiem (A, B / subseteq M) ar [29]

(texttt {Jāņa} _M (A, B) iff / emp / neq A / cap R_j / subseteq B)

kur (R_j = {b / M / !: R (j, b) }) un R ir dažas “valdītāja” attiecības; ir labi zināms, ka šī saistība ļoti atšķiras atkarībā no apstākļiem - varētu runāt par grāmatām, kuras Jānim pieder vai kuras ir uzrakstījušas, vai aizņēmušās, vai nopirkušas kā dāvanu Marijai utt. Pieņemsim, ka R ir īpašumtiesības. Tad (29) saka, ka Džonam pieder vismaz viena grāmata un visas viņam piederošās grāmatas ir nozagtas. Tagad apsveriet vispārīgāku “skaitli”, kas definēts (a / M), (R / subseteq M ^ 2) un (A, B / subseteq M)

(mathbf {P} _M (a, R, A, B) iff / emp / neq A / cap R_a / subseteq B)

Varētu teikt, ka tas ir vispārināts kvantifikatoru tips {({ langle} 0,2,1,1 { rangle}), ļaujot 0 apzīmēt indivīdus. (mathbf {P}) ir Isom (acīmredzami paplašinot definīciju / eqref {ex-isom} līdz šāda veida skaitļiem), un Jāņa rezultāti, iesaldējot pirmos divus argumentus līdz piemērotām vērtībām.

Līdzīgas konstrukcijas darbojas arī citos gadījumos, kad skaitliskā izteiksme dabiskās valodās apzīmē skaitļus, kas nav Isom. Piemēram, noteicējs nē _ izņemot Mariju apzīmē (ņemot vērā, ka Marija attiecas uz m)

[(texttt {nē _ izņemot Mariju}) _ M (A, B) ja A A vāciņš B = {m })

Tas ir, (31) saka, ka Marija ir profesore, ka viņa ieradās uz sapulci un ka neviens cits profesors to nedarīja. Atkal ir viegli definēts atbilstošais Isom kvantifikatoru tips {({ langle} 0,1,1 { rangle}). Tātad šādā veidā Isom var iegūt dabiskās valodas skaitļos. No otras puses, tipa ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantifikatoru asociēšana ar noteicējiem labāk piekrīt sintaksei un ļauj daudzos vispārinājumos par determineru apzīmējumiem turēties arī ne-Isom gadījumā.

15. Noturība

Izomu, ti, tēmas neitralitāti, parasti uzskata par vismaz nepieciešamo nosacījumu, lai būtu loģiska konstante. [30]Ir iespējams atšķirt loģiskumu no noturības iepriekš minētajā izpratnē, kas nozīmē to pašu dažādos universos. Pirmkārt, loģiskums ir īpašums, kas jānoslēdz definējamības robežās, turpretī nebūt nav skaidrs, vai noturībai vajadzētu būt līdzīgai. Piemēram, ņemiet vērā, ka Ext kvantifikatoru klase nav slēgta pirmās kārtas definējamības dēļ. Precīzāk, tas tiek slēgts saskaņā ar parastajām Būla operācijām, bet ne iekšējā noliegumā un tādējādi neņemot vērā duāļus, kur veida ({ langle} 1 { rangle}) iekšējo noliegumu Q nosaka ar ((Q / neg) _M (A) Leftrightarrow Q_M (M \! - \! A)), un dubultā ar (Q ^ d = / neg (Q / neg)). Piemēram, (pastāv ^ d = / forall).

Viena intuīcija varētu būt tāda, ka Ekstremitam pietiek ar noturību. Bet atšķirīga intuīcija ir tāda, ka skaitlim, kas vienādu nozīmi nosaka visos Visumos, būtu jāapmierina Isoms, kas liek Q būt “vienādam” visos tās pašas kardinalitātes Visumos. Šīs divas idejas nav savienojamas, jo tās kopā nozīmētu, ka Ekstoms nozīmē Isomu, kas ir acīmredzami nepatiess. Skaidrs, ka neskaidrs jēdziens, kas nozīmē vienādu nozīmi dažādos Visumos, pieļauj dažādas precizitātes. Tuvāk apskatot, šķiet maz ticams, ka ir viena precīza versija, kas atbilstu visām intuīcijām par vienādību.

Šajā situācijā būtu ieteicams vienkārši noteikt, ka noturība ir Ext + Isom. Tas būtu Karnapijas noturības skaidrojums. Šķiet, ka skaitļi ar šo īpašību kombināciju nozīmē to pašu visos universos. No otras puses, Ext, bet ne Isom skaitļiem, piemēram, trim (^ { textit {students}}) vai kādam profesoram, nebūtu vienādas nozīmes dažādās jomās, kas, kā mēs redzējām, atbilst vienai intuīcijai. Turklāt dažus dabiskos skaitļus, kas nav sastopami ar Extreme, ar kuriem mēs esam saskārušies, visi var definēt no Ext + Isom kvantifikatoriem. [31]

16. Poliādisko dabiskās valodas kvantifikatori

Apsveriet tipisku teikumu angļu valodā, kurā ir izteikts gan subjekts, gan objekts:

(35) Lielāko daļu filmu pārskatīja divi kritiķi

Patiesības nosacījumus (36) var izteikt ar polādisku skaitli, kas sastāv no veida ({ langle} 1,1,2 { rangle}) (izlaižot M):

[Q (A, B, R) iff / textit {Most} (A, {a / !: / textit {two} (B, R_a) }))

(Tas ir “šaurā diapazona” lasījums; tā vietā “plaša mēroga” lasījums būtu (textit {two} (B, {b / !: / textit {most}) (A, (R ^ {- 1}) _b))).) Bet šis polidiskais skaitlis tiek iegūts no divu veidu ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantifikatoriem ar visuresošu konstrukciju, ko mēs saucam par iterāciju. Ja (Q, Q ') ir veida ({ langle} 1 { rangle}), definējat veidu ({ langle} 2 { rangle}) kvantifikators (Q / cdot Q') autors

(tag {36} Q / cdot Q '(R) iff Q ({a / !: Q' (R_a) }))

Pēc tam iegūstam divu veidu ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantifikatoru (Q_1, Q_2) atkārtojumu, kā minēts iepriekš, ar (Q_1 ^ A / cdot Q_2 ^ B). Iterāciju īpašības tiek pētītas van Benthem (1989), Keenan (1992), Westerståhl (1994) un Steinert-Threlkeld and Icard (2013).

Keenans uzskata iterāciju par Frege robežu. Kā viņš un citi uzsvēra, šķiet, ka ārpus šīs robežas ir daudz dabiskās valodas kvantitatīvo rādītāju, ti, nav definējami kā atkārtojumi. Šeit mēs sniegsim dažus piemērus; daudz ko citu var atrast tikko sniegtajās atsaucēs. Nākamais teikums var likties kā iterācijas izteikšana, bet patiesībā tā nav.

(37) Eksāmenā dažādi studenti atbildēja uz dažādiem jautājumiem

Iespējams, ka 37. piemērā ir dažādas interpretācijas, piemēram, viena, kurā tiek izmantots šāds veida ({ langle} 1,1,2 { rangle}) kvantifikators:

[Q (A, B, R) iff / forall a, b / in A (a / neq b / Rightarrow B / cap R_a / neq B / cap R_b))

Šis skaitlis joprojām ir definējams pēc pirmās kārtas, bet ne iterācija. [32] Tālāk apsveriet

  • (38) a. Cilvēki parasti ir pateicīgi ugunsdzēsējiem, kuri viņus glābj.
  • b. Vīrieši reti veic caurlaides pie meitenēm, kuras nēsā brilles. (Dorotija Pārkere)

Priekšvārdi, piemēram, parasti, reti, vienmēr, nekad nevar tikt izmantoti, lai apzīmētu vispārinātus skaitļus (novērojums sākotnēji izdarīts Lewis (1975)). Piemēram, Suņi nekad meow ir aptuveni sinonīms vārdam No dogs meow. Bet attiecībā uz (38) var apgalvot, ka pastāv lasījums, kurā skaitliskais rādītājs attiecas uz pāriem: starp pāriem, kas sastāv no personas un ugunsdzēsēja, kurš šo cilvēku izglābj, vairākums ir tāds, ka persona ir pateicīga. Tas ir tikai atsākums lielākajai daļai pāru, ko mēs definējām / eqref {ex-qlist4}:

[Res ^ 2 (textit {most}) (R, S) iff | R / cap S | > | RS |)

Tātad (38b), (R (a, b)) iff (a / in / textit {person}) un (b / in / textit {fireman}) and (a:: textit {izglābts} b), un (S (a, b)), ja a ir pateicīgs b. Var parādīt, ka daudziem skaitļiem, it īpaši lielākajai daļai, (Res ^ n (Q)) nav definējams (FO (Q)). Faktiski (Res ^ 2 (textit {most})) nav nosakāms no neviena ierobežota skaita monādisko skaitļu skaitītāju, tāpēc tas ir neatgriezeniski polidiskā skaitļa piemērs. [33]

Nākamais:

  • (39) a. Pieci Bostonas krūzes sēdēja līdzās viens otram.
  • b. Lielākā daļa parlamenta locekļu netieši atsaucas viens uz otru.

Šeit (39.a) var būt patiesības apstākļi

(eksistē X / subseteq / textit {Boston pitcher} [| X | = 5 / amp / textit {RECIP} (X, / textit {sēdēja līdzās})])

kur RECIP ir ({ langle} 1,2 { rangle}) kvantifikators, kas definēts / eqref {ex-qlist4}. Tas ir, ir piecu Bostonas krūķu komplekts, ja, paņemot kādus divus no tiem, viņi vai nu sēž blakus, vai ir viens krūze, vai divi, vai ne vairāk kā trīs (visi ir izvēlētajā komplektā), starp viņiem. Līdzīgi attiecībā uz (39b). Šī ir tikai viena no vairākām polidisko kvantifikatoru konstrukcijām, kas rodas abpusējos teikumos. [34]

Visbeidzot, apsveriet teikumu

(40) Lielākā daļa zēnu jūsu klasē un lielākā daļa meiteņu manā klasē ir datēti viens ar otru

(40) ir izvirzīts kā sazarotās kvantitatīvās noteikšanas piemērs, ko var uzrakstīt divdimensiju loģiskā formātā kā

  • (41)

    “visvairāk x A (x)” un “visvairāk y B (y)”, katrs ar rindiņām līdz “R (x, y)”
    “visvairāk x A (x)” un “visvairāk y B (y)”, katrs ar rindiņām līdz “R (x, y)”

kur paredzētais nolasījums ir tāds, ka ir A apakškopa X, kas satur lielāko daļu A elementu, un tikpat liela B apakškopa Y, ka katrs pāris ((a, b)) kur (a / X) un (b / Y) pieder attiecībai R. Vispārīgāk runājot, mums ir polādiskais kvantifikatoru tips {({ langle} 1,1,2 { rangle}), kas definēts jebkuram (Q_1, Q_2) veidam ({ langle} 1,1 { rangle})

(tag {42} label {ex-br} Br (Q_1, Q_2) (A, B, R) iff \\ / eksistē X / subseteq A \: / eksistē Y / subseteq B \, [Q_1 (A, X) amp Q_2 (B, Y) amp X / reizes Y / subseteq R])

Diezgan ticami, ka tas dod (40). Ņemiet vērā, ka x un y šeit ir neatkarīgi viens no otra. Ja tā vietā tiktu izmantots kāds no lineārajiem teikumiem

(tekstu visvairāk {visvairāk}: x (A (x), / tekstu visvairāk {visvairāk}: y (B (y), R (x, y))) / \ textit {visvairāk}: y (B (y), / textit {visvairāk}: x (A (x), R (x, y)))]

tad nu y ir atkarīgs no x, vai otrādi. Divdimensiju sintakse (41) atspoguļo šo semantisko neatkarību. [35]

Var parādīt, ka (Br (textit {most}, / textit {most})) nav izteikts tikai ar (FO (textit {most})); Patiešām, ne ar vienu ierobežotu skaitu monādisko skaitlisko skaitļu (pierādījumus sk. Hella, Väänänen un Westerståhl (1997)). No otras puses, sazarojošos skaitļus iegūst ar “pacelšanas” operāciju, ko piemēro monādiskiem skaitītājiem, un līdzīgi arī ar atsākšanu. Patiešām, kaut arī dabiskajai valodai ir ļoti daudz polifu kvantitatīvu rādītāju tālu aiz Frege robežas, joprojām var pamatot apgalvojumu, ka tie visi ir sistemātiski iegūti no monādiskajiem skaitļiem.

17. GQ teorija un valodniecība

Vispārinātu skaitlisko rādītāju parādīšanās bija milzīga ietekme uz lingvistisko semantiku, izmantojot Montague darbu 60. gadu beigās, un to pastiprināja modelis-teorētisko metožu piemērošana 80. gadu sākumā Barwise un Cooper, Keenan un Stavi, un citi (sk. 21. piezīmi). Gandrīz visos šo darbu piemēros dabiskā valoda bija angļu valoda. Kopš tā laika valodnieki ir piemērojuši un pārbaudījuši “GQ teorijas” rīkus un metodes citām valodām. Kolekcija Bach et al. (1995), starp citu, ir septiņi gadījumu pētījumi par kvantitatīvo noteikšanu citās valodās. Tas arī uzsver atšķirību starp D un kvantificēšanu. D-kvantitatīvajā noteikšanā, kas līdz šim ir parādīta lielākajā daļā mūsu piemēru, kvantitatīvā izteiksme ir (parasti) noteicēja, kas attiecas uz lietvārdu. A-kvantitatīvo noteikšanu veic ar citiem līdzekļiem - A nozīmē adververus, palīgdarbus,pielikumi un argumentu struktūras korektori. Daudzas valodas dod priekšroku A skaitliskai noteikšanai, dažas tikai. Angļu valodai ir abi veidi; atcerieties skaitliskās izteiksmes vārdus (38).[36]

Nesen sējumos Keenan un Paperno (2012) un Paperno un Keenan (2017) ir atsevišķa nodaļa, kas atbild uz fiksētu jautājumu kopumu par kvantitatīvās izteiksmes izteikšanu katrai no 34 dažādām valodām (atšķirīgas arī no tām, kas minētas iepriekš), lai plašs viņu izteiksmīgo resursu uzskaitījums. [37]Pieeja ir semantiska: jautājumi ir formā “Vai var izteikt X jūsu valodā, un ja jā, tad kādos veidos?”, Kas ļauj precīzi uzdot jautājumus par konservatīvismu, monotoniskumu, polaritātes elementiem, monādisko un polidisko kvantitatīvo noteikšanu utt. jāliek pie katras valodas. Kopsavilkums pēdējā nodaļā parāda, ka daudzi vispārinājumi, kas attiecas uz angļu valodu, attiecībā uz izteicienu esamību, kas apzīmē noteiktus skaitļus un to īpašības, ir arī visās vai lielākajā daļā citu pētīto valodu (Keenan un Paperno saraksts 25, piemēram, vispārinājumi).

No otras puses, sākot ar deviņdesmitajiem gadiem, daži valodnieki ir iebilduši, ka GQ teorija nespēj izskaidrot virkni svarīgu semantisko parādību - angliski un citās valodās, kas saistītas ar kvantitatīvo noteikšanu. Szabolcsi (2010) sniedz sīku pārskatu par šīm norisēm. Viena problēma ir tā, ka GQ teorijai, šķiet, nav nekā, ko teikt par sarežģīto noteicēju kompozīcijas nozīmi. Piemēram, kā vairāk nekā piecu nozīmi iegūst no to daļu nozīmēm? Vai arī apsveriet lielāko daļu, kas bieži tiek uzskatīta par vienkāršu noteicēju, kaut arī tā nozīmei kaut kā ir jānāk no tā, ka tā ir vairāk.

Vēl viena problemātiska parādība ir darbības joma. Lai gan GQ teorija principā liek pieļaut visas teorētiski iespējamās ligzdoto skaitlisko izteiksmju robežas, dabiskajām valodām ir ierobežojumi, kas regulē, kuras no tām ir faktiski atļautas. Patiešām, darbības joma ir galvenā valodas sintakse un semantikas tēma, kā arī sarežģīta. Problēma ir arī metodoloģiska: kā noteikt, vai dotais teikums S patiesībā var nozīmēt Y (kur Y atbilst konkrētam apjomam)? Pirmkārt, ir jāfiltrē gadījumi, kad Y nepieejamība ir atkarīga no faktiem par pasauli, nevis no valodas. Otrkārt, kura intuīcijai būtu jāatskaitās: lomā būtu jārunā valodniekiem vai tiem, kuriem ir dzimtā valoda testa situācijā, vai varbūt statistiskiem pierādījumiem? Tomērlai arī ir taisnība, ka daudzi lasījumi, kas no pirmā acu uzmetiena šķiet neiespējami, faktiski ir pieejami pietiekami specifiskā kontekstā, ir ticams, ka valodām ir darbības jomas ierobežojumi ārpus GQ teorijas.[38]

“GQ teorētiķe” varēja atbildēt, ka viņas rīki nekad nav domāti, lai pilnībā izskaidrotu darbības jomu vai ļautu analizēt katru sarežģīto izteiksmi. Modeļa teorētiskais ietvars, pirmkārt, ir aprakstošs: tas nodrošina matemātiskus objektus, kas var kalpot kā nozīmes (modeļi), un formulē šo objektu īpašības un attiecības. Dažreiz fakti par matemātiskajiem objektiem atklāj ieskatu par tām lietām, kuras viņi modelē, piemēram, monotoniskuma un polaritātes vienību gadījumā vai gadījumā, ja nozīme ir saistītajām lietvārdu frāzēm. Bet nav pamata gaidīt, ka tas notiks katrā gadījumā.

Šīs ir pozīcijas notiekošajās debatēs par formālo metožu un jo īpaši modeļa teorētisko līdzekļu lomu semantikā; debates, kuras nekādā gadījumā nav nokārtotas. Šķiet skaidrs, ka parādības, kas saistītas ar skaitlisko noteikšanu dabiskajās valodās, joprojām sniedz lielisku materiālu šai diskusijai.

18. Kvantifikācija un izziņa

Pēdējos gados ir eksplodējis darbs, kas savieno semantiku, spriešanu un izziņu, liela daļa no tā bija saistīta ar to, kā runātāji saprot un mācās, un spriež ar skaitliski izteiktām izpausmēm. Galvenā pētījumu daļa attiecas uz monotoniskumu (13. sadaļa). Jau Bārvejs un Kūpers (1981) atzīmēja monotonu kvantifikatoru visuresošo dabu dabiskajās valodās un ieteica veidu, kā parādīt, ka monotoniskos kvantifikatorus ir vieglāk apstrādāt nekā nemonotoniskos kvantifikatorus un ka kvantifikatorus palielināt ir vieglāk nekā samazināt. Viņi arī ierosināja, ka viņu hipotēzes pārbaudei varētu izmantot psiholoģiskus eksperimentus. Viņu tehniskais priekšlikums tika tālāk attīstīts van Benthem (1986), kurš ieviesa skaitļu sarežģītības jēdzienu un parādīja, ka saskaņā ar dažiem pieņēmumiemskaitliski skaitītāji ar minimālu sarežģītības pakāpi ir tieši tie, kuriem ir noteikta izteikta monotoniskuma īpašība.[39]

Monotoniskums ir saistīts arī ar to, ko van Benthems ir nodēvējis par “viena soļa” spriešanu, kas šķietami ir viegli pieejams runātājiem. Pamata noteicēju izturēšanās pret monotonitāti jau parāda, kā šāda argumentācija tiek licencēta. Pa labi atzīmējot pieaugošo (samazinošo) veida ({ langle} 1,1 { rangle}) skaitļus ar + (a (-)) pa labi un līdzīgi kreisās monotoniskumam, mums, piemēram, ir:

(- / textit {katrs} +) (+ / textit {daži} +) (- / textit {no} -) (cdot \, / textit {most} +) (cdot \, / textit {tieši trīs}, / cdot)

kur (cdot) norāda, ka pozīcija ne samazinās, ne pieaug. Jauks piemērs ir šādi secinājumi (no Icard and Moss (2014), pielāgojot piemēru Geurts and Slik (2005)):

(43) Lielākā daļa amerikāņu, kuri zina svešvalodu, to runā mājās. Lielākā daļa amerikāņu, kuri zina svešvalodu, runā to mājās vai darbā.

Šis priekšnoteikums ir “ēzeļa teikums” ar lielāko daļu, un ir ļoti grūti noteikt precīzus šo apstākļu patiesības nosacījumus. Faktiski ir iespējami vairāki lasījumi. [40] Neskatoties uz to, šķiet, ka runātājiem nav problēmu izdarīt šo secinājumu, acīmredzot, tā kā lielākajai daļai ir taisnība, kas palielinās (VP arguments runā mājās frāze (tā pati abos teikumos) precīzi nozīmē.

Daudziem citiem izteicieniem un frāzēm, izņemot noteicējus, ir fiksēti monotoniskuma modeļi. Sākot ar van Benthemu (1986), tas ir novedis pie algoritmiem, kā polaritātes marķieri tiek piešķirti teikumu analīzes koku mezgliem (attiecībā pret doto gramatiku) vai kā šādus marķierus tieši iekļaut tipa apzīmējumā; pārskatu un citas atsauces skatīt Icard and Moss (2014). Papildus to nozīmei secinājumos šāds marķējums var arī izskaidrot un dažreiz pat paredzēt negatīvās polaritātes vienību sadalījumu valodās (13. sadaļas beigas). Turklāt daudzos gadījumos sintaktiskā analīze nav nepieciešama: secinājumus var izdarīt tieši uz virsmas, un šajā ziņā runātājiem tie būtu pieejami “lidojot”; salīdzināt (43). Tikko pieminētais dokuments parāda arī pilnīgu formālā monotoniskuma aprēķina aksiomatizāciju,kurā var izteikt daudz dažādu argumentāciju ar monotoniskumu.[41]

Nedaudz paralēla attīstība ir formāla dažādu silogistisko fragmentu izpēte; mēs 2. iedaļā atzīmējām, ka daudzi sylogisms izsaka monotoniskuma īpašības. Šie fragmenti, no kuriem lielāko daļu pētīja Ians Prats-Hartmans un galvenokārt Lerijs Moss, svārstās no fragmentiem, kas satur tikai vienkāršus teikumus, piemēram, allXY vai someXY, līdz fragmentiem, kas ļauj papildinājumus, nosacītus teikumus, pārejošus darbības vārdus, ne-pirmās kārtas skaitļus, piemēram, lielāko daļu, un citas funkcijas. Šeit ir šāda fragmenta secinājumu piemērs (Moss pc):

Ikvienam patīk visi, kam patīk Pāts Pat patīk ikviens klarnetists visiem patīk visi, kas patīk visiem, kam patīk katrs klarnetists

Tas ilustrē to, kā diezgan iesaistošos argumentus var izteikt vienkāršā, līdzīgai, loģistikai līdzīgā valodā. Secinājumi ir pamatoti, taču, lai to redzētu, ir mazliet jādomā. [42] Lielākajai daļai šo fragmentu galvenā iezīme ir tā, ka tiem ir ne tikai izteikta pilnīga aksiomatizācija, bet arī to derīgums atšķirībā no pirmās kārtas loģikas. Tas attiecas arī uz dažiem fragmentiem ar kvantitatīvajiem rādītājiem, kurus nevar noteikt pēc FO. Līdzīgi kā monotoniskuma aprēķins, arī slogistisko fragmentu izpēte ir daļa no uzņēmuma, kuru nedaudz brīvi sauc par dabisko loģiku, kā rezultātā labi izturējušās loģikas apakšsistēmas ir gan tuvākas dabiskajai valodai, gan skaitļošanas ziņā vieglāk izsekojamas; aptauju skatīt Moss (2015). [43]

Kognitīvās puses izpratnes un mācīšanās jautājumi, kas saistīti ar kvantitatīvo noteikšanu un monotoniskumu, ir pētīti gan psiholoģijā, gan neirozinātnē. Geurts un Slik (2005) jautāja subjektiem, vai zināmi secinājumi, kas saistīti ar monotonitāti, ir derīgi vai nē; rezultāti lielā mērā apstiprināja Barwise un Cooper iepriekšējās hipotēzes. Atsevišķu noteicēju nozīme ir pētīta arī empīriski; Pietroski et al. (2009) izpētīja visvairāk, kur metode bija parādīt subjektiem attēlu ar dzelteniem un ziliem punktiem ļoti īsu laiku (lai izvairītos no skaitīšanas) un pajautātu, vai ir taisnība vai nepatiesība, ka vairums punktu ir dzelteni. Šāda veida eksperimentu variācijas ir izplatītas literatūrā; nesens piemērs ir Odic et al. (2018), kas pēta masu / skaita atšķirību izziņā un semantikā. Abos pētījumos iesaistīta cilvēka skaitļa izjūta un tā saistība ar kvantitatīvās valodas izpratni. Var izklaidēt “Whorfian” hipotēzi, ka pēdējais ir priekšnoteikums pirmajam. Tas tika pārbaudīts ar neirobioloģiskām metodēm (smadzeņu skenēšanas metodes apvienojumā ar psiholoģiskiem testiem pacientiem, kuri cieš no dažādiem smadzeņu darbības traucējumiem) Clark and Grossman (2007). Viņi šai hipotēzei neatrada empīrisku atbalstu; skat. arī Klarku (2011a), lai aprakstītu eksperimentu un vairāk par pētījumu par kvantitatīvo noteikšanu un skaitļu izjūtu. Tas tika pārbaudīts ar neirobioloģiskām metodēm (smadzeņu skenēšanas metodes apvienojumā ar psiholoģiskiem testiem pacientiem, kuri cieš no dažādiem smadzeņu darbības traucējumiem) Clark and Grossman (2007). Viņi šai hipotēzei neatrada empīrisku atbalstu; skat. arī Klarku (2011a), lai aprakstītu eksperimentu un vairāk par pētījumu par kvantitatīvo noteikšanu un skaitļu izjūtu. Tas tika pārbaudīts ar neirobioloģiskām metodēm (smadzeņu skenēšanas metodes apvienojumā ar psiholoģiskiem testiem pacientiem, kuri cieš no dažādiem smadzeņu darbības traucējumiem) Clark and Grossman (2007). Viņi šai hipotēzei neatrada empīrisku atbalstu; skat. arī Klarku (2011a), lai aprakstītu eksperimentu un vairāk par pētījumu par kvantitatīvo noteikšanu un skaitļu izjūtu.

Šobrīd ir veikts diezgan daudz empīrisku pētījumu par to, kā dažādas kvantitatīvu klases, kas identificētas ar loģiskiem vai skaitļošanas līdzekļiem, tiek atspoguļotas mācīšanās, izpratnes, izziņas slodzes utt. Izteiksmē. Lingvistiski un kognitīvi fakti savukārt ierosina jaunus teorētiskus jautājumus. Piemēram, attiecībā uz skaitļošanas sarežģītību Sevenster (2006) parādīja, ka vislielākā sazarošanās, kā 9. sadaļā (40), ir nekontrolējama. [44]Pēc tam Szymanik novēroja, ka, ja atsākšanas un atkārtojuma operācijas (kā attiecīgi 38. un 36. punktā) tiek piemērotas PTIME kvantificētājiem, rezultāts atkal ir PTIME, atšķirībā no sazarošanas. Līdzīgi, daži savstarpējo konstrukciju veidi saglabā PTIME aprēķinamību, turpretī citi: “precīzi piecu” pacelšana ar RECIP, kā tas izdarīts (39a), bet lielākoties celšana, kā tas ir (39b), nav.

Van Benthema semantiskās automātikas iestatījumā (9. sadaļa) Steinert-Threlkeld un Icard (2013) pierādīja, ka Frege robeža (16. sadaļa) ir stabila tādā nozīmē, ka, ja divi Conserv un Ext tipa ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantifikatori ir atpazīstami ar ierobežotām (vai nolaižamām) automātēm, tāpat ir to atkārtošanās. Turklāt Steinert-Threlkeld (2016) parādīja, ka lielām ({ langle} 1,1,2 { rangle}) kvantifikatoru klasēm ir nolemjams, vai tās ir ({ langle} 1 tipa iterācijas., 1 { rangle}) kvantitatīvi vai nē. Nesen parādīts gan teorētisko, gan empīrisko rezultātu izklāsts par kvantifikatoru atpazīšanas kognitīvajiem aspektiem - Szymanik (2016).

Ir doti skaitļošanas kvantitatīvo rādītāju apgūšanas modeļi; piemēram, Clark (2011a) semantisko automātiku iestatījumos. Nesen attīstībā Steinerts-Threlkeld un Szymanik (topošie) pēta mācāmību ar neironu tīklu tehnoloģiju, pārbaudot, vai ir vieglāk apgūt noteiktus skaitļus, kas apmierina trīs kopīgi piedāvātos universālus - vai vienkāršie noteicēju apzīmējumi ir attiecīgi monotoni, Isom un Conserv. nekā skaitļos, kuriem nav šo īpašību. Katram universālam laiks, kas nepieciešams tīklam, lai uzzinātu tam atbilstošu kvantifikatoru, tiek salīdzināts ar laiku, kas vajadzīgs kvantifikatora apgūšanai, kas to nedara. Izrādās, ka monotonie un Isom ir vieglāk nekā monotonie un Isom, savukārt Conserv atšķirības nav nosakāmas. [45]

Tie ir tikai ieskati notiekošajā pētījumā. Pētījums par to, kā runātāji apstrādā kvantificētas izteiksmes, apvienojot pamata modeļa teorētisko analīzi ar psiholoģijas, neirozinātnes un datorzinātnes metodēm, līdz šim ir bijusi plaša joma vispārinātu kvantitatīvu pētījumu jomā.

Bibliogrāfija

  • Bahs, Emmons, Eloise Jelinek, Angelika Kratzer un Barbara H. Partee (red.), 1995, dabisko valodu kvantitatīvā noteikšana (valodniecības un filozofijas pētījumi 54), Dordrecht: Springer Netherlands. doi: 10.1007 / 978-94-017-2817-1
  • Bārvejs, Jons, 1979. gads, “On Branging Quantifiers in English”, Journal of Philosophical Logic, 8 (1): 47–80. doi: 10.1007 / BF00258419
  • Bārvejs, Jons un Robins Kūpers, 1981. gads, “Vispārinātie skaitļi un dabiskā valoda”, valodniecība un filozofija, 4 (2): 159–219. doi: 10.1007 / BF00350139
  • Bārvejs, Jons un Solomons Fefermans (red.), 1985, Model Theoretic Logics, (Perspectives in Mathematical Logic), Ņujorka: Springer-Verlag.
  • van Benthem, Johan, 1986, Esejas loģiskajā semantikā (valodniecības un filozofijas pētījumi, 29), Dordrehts: D. Reidels.
  • –––, 1989, “Polyadic Quantifiers”, valodniecība un filozofija, 12 (4): 437–464. doi: 10.1007 / BF00632472
  • van Benthem, Johan FAK un Alice ter Meulen (red.), 2011, Loģikas un valodas rokasgrāmata, otrais izdevums, Amsterdama: Elsevier.
  • Bonija, Deniss, 2008. gads, “Loģiskums un invariance”, Simboliskās loģikas biļetens, 14 (1): 29–68. doi: 10,2178 / bsl / 1208358843
  • Cartwright, Richard L., 1994, “Runājot par visu”, Noûs, 28 (1): 1–20. doi: 10.2307 / 2215917
  • Klarks, Robins, 2011a, “Ģeneralizētie skaitļi un skaitļa izjūta”, Filozofijas kompass, 6 (9): 611–621. doi: 10.1111 / j.1747-9991.2011.00419.x
  • –––, 2011b, “Par kvantifikatoru mācāmību”, van Benthem un ter Meulen, 2011: 911–923.
  • Clark, Robin and Murray Grossman, 2007, “Numura izjūta un kvantifikatoru interpretācija”, Topoi, 26 (1): 51–62. doi: 10.1007 / s11245-006-9008-2
  • Dalrymple, Marija, Makoto Kanazawa, Yookyung Kim, Sam McHombo un Stanley Peters, 1998, “Savstarpējās izpausmes un savstarpīguma jēdziens”, valodniecība un filozofija, 21 (2): 159–210. doi: 10.1023 / A: 1005330227480
  • Ebbinghaus, Heinz-Dieter un Jörg Flum, 1995, galīgā modeļa teorija (Springera monogrāfijas matemātikā), Berlīne: Springer Berlin Heidelberg. doi: 10.1007 / 3-540-28788-4
  • Ebbinghaus, Heinz-Dieter, Jörg Flum un Wolfgang Thomas, 1994, Matemātiskā loģika (Einführung in die mateische Logik), otrais izdevums, Ņujorka: Springer-Verlag. doi: 10.1007 / 978-1-4757-2355-7
  • Filins Karlsons, Martins, 2017. gads, “Viss, kas ir: Par absolūti visa skaitļošanas semantiku”, Ph. D. Gēteborgas universitātes darbs (Acta Philosophica Gothoburgensia 31). [Karlsons 2017 pieejams tiešsaistē]
  • Geurts, Bart un Frans van der Slik, 2005, “Monotonija un apstrādes slodze”, Journal of Semantics, 22 (1): 97–117. doi: 10.1093 / jos / ffh018
  • Glanzbergs, Mihaels, 2004. gads, “Kvantifikācija un reālisms”, filozofijas un fenomenoloģiskie pētījumi, 69 (3): 541–572. doi: 10.1111 / j.1933-1592.2004.tb00518.x
  • Haks, Martins, 2000, “Salīdzinošie kvantētāji”, promocijas darbs, Masačūsetsas Tehnoloģiju institūts. [Hackl 2000 pieejams tiešsaistē]
  • Hella, Lauri, 1989, “Ģeneralizētu kvantitatīvu definējamības hierarhijas”, Annals of Pure and Applied Logic, 43 (3): 235–271. doi: 10.1016 / 0168-0072 (89) 90070-5
  • Hella, Lauri, Jouko Väänänen un Dag Westerståhl, 1997, “Ģeneralizētu skaitļošanas līdzekļu polidiālo pacēlāju definējamība”, žurnāls Logic, Language and Information, 6 (3): 305–335. doi: 10.1023 / A: 1008215718090
  • Henkins, Leons, 1961. gads, “Dažas piezīmes par bezgala garām formulām”, Infinitistic Methods: Proceedings of the Symposium on pamati matemātika, Varšava, 1959. gada 2. – 9. Septembris, Oksforda: Pergamon Press, 167–183.
  • Higginbothams, Džeimss un Roberts Maijs, 1981. gads, “Jautājumi, kvantifikatori un šķērsošana”, The Linguistic Review, 1 (1): 41–79. doi: 10.1515 / tlir.1981.1.1.41
  • Hintikka, Jaakko, 1973. gads, “Kvantifikatori pret kvantitatīvās noteikšanas teoriju”, Dialektika, 27 (3–4): 329–358. doi: 10.1111 / j.1746-8361.1973.tb00624.x
  • Hopkrofts, Džons E. un Džefrijs D. Ullmans, 1979. gads, Ievads automātiku teorijā, valodās un skaitļošanā (Addison-Wesley sērija datorzinātnēs), Reading, MA: Addison-Wesley.
  • Ikarta III, Tomass F., 2014. gads, “Augstākās pakāpes sineogrāfija”, 2014. gada formālajā gramatikā, Glyn Morrill, Reinhard Muskens, Rainer Osswald un Frank Richter (red.) (Lekciju piezīmes datorzinātnēs 8612), Berlīne, Heidelberga: Springer Berlin Heidelberg, 1. – 14. doi: 10.1007 / 978-3-662-44121-3_1
  • III karogs, Tomass Iards un Lorenss S. Moss, 2014. gads, “Nesenie panākumi monotoniskumā”, Semantisko attēlojumu perspektīvas teksta secinājumiem (LiLT 9), Stenforda, Kalifornija: CSLI Publications, 167–194. [Icard un Moss 2014 pieejami tiešsaistē]
  • Icard, Thomas, Lawrence Moss un William Tune, 2017, “Monotoniskuma aprēķins un tā pilnīgums”, runājot par 15. sanāksmi par valodas matemātiku, Londona, Lielbritānija: Skaitļošanas valodniecības asociācija, 75. – 87. doi: 10.18653 / v1 / W17-3408
  • Keenan, Edvards L., 1992. gads, “Aiz robežas robežas”, valodniecība un filozofija, 15 (2): 199–221. doi: 10.1007 / BF00635807
  • Keenan, Edward L. un Leonard M. Faltz, 1984, Būla semantika dabiskajai valodai, Dordrecht: Springer Nīderlande. doi: 10.1007 / 978-94-009-6404-4
  • Keenan, Edward L. un Lawrence S. Moss, 1985, “Ģeneralizēti kvantifikatori un dabiskās valodas izteiksmīgais spēks”, vispārinātos kvantifikatoros dabiskajā valodā, Alise Ter Meulen un Johan van Benthem (red.), Berlīne, Bostona: De Gruyter, 73–124. doi: 10.1515 / 9783110867909.73
  • Keenan, Edward L. un Denis Paperno (red.), 2012, Handbook of Quantifiers in Natural Language, (Pētījumi valodniecībā un filozofijā 90), Dordrecht: Springer Netherlands. doi: 10.1007 / 978-94-007-2681-9
  • Keenan, Edward L. un Jonathan Stavi, 1986, “Dabiskās valodas noteicēju semantiskais raksturojums”, valodniecība un filozofija, 9 (3): 253–326. doi: 10.1007 / BF00630273
  • Keenan, Edward L. un Dag Westerståhl, 2011, “Vispārināti lingvistikas un loģikas kvantifikatori”, van Benthem un ter Meulen, 2011: 859–910.
  • Lūiss, Deivids, 1975. gads, “Kvantifikācijas sakāmvārdi” dabiskās valodas formālajā semantikā, Edvards L. Keenāns (red.), Kembridža: Cambridge University Press, 3–15. doi: 10.1017 / CBO9780511897696.003
  • Lindstrēma, Pērs, 1966. gads, “Pirmās kārtas prognozēšanas loģika ar vispārinātiem skaitļiem”, Teorija, 32 (3): 186–195. doi: 10.1111 / j.1755-2567.1966.tb00600.x
  • Linnebo, Øystein, 2006, “Komplekti, īpašības un neierobežota kvantitatīva noteikšana”, Rayo and Uzquiano 2006: 149. – 178.
  • Luosto, Kerkko, 2000, “Monādisko ģeneralizēto skaitļu hierarhijas”, Journal of Symbolic Logic, 65 (3): 1241–1263. doi: 10.2307 / 2586699
  • Montague, Richard, 1974, formālā filozofija: Ričarda Montāga, Ričmonda H. Tomasona (red.) Atlasītie raksti, Ņūheivenā, CT: Yale University Press.
  • Moss, Lawrence S., 2015, “Dabiskā loģika”, Mūsdienu semantiskās teorijas rokasgrāmatā, Shalom Lappin un Chris Fox (red.), Otrais izdevums, John Wiley & Sons, 646–681.
  • Mostowski, Andrzej, 1957, “Par kvantitatīvo rādītāju vispārināšanu”, Fundamenta Mathematicae, 44 (1): 12–36. doi: 10.4064 / fm-44-1-12-36
  • Mostowski, Marcin, 1998, “Computational Semantics for Monadic Quanttifiers”, Lietišķās neklasiskās loģikas žurnāls, 8 (1–2): 107. – 121. doi: 10.1080 / 11663081.1998.10510934
  • Odiks, Darko, Pols Pietroski, Tims Hanters, Džastins Halberda un Džefrijs Lidzs, 2018, “Indivīdi un indivīdi izziņā un semantikā: masu / grāfa atšķirība un daudzuma attēlojums”, Glossa: A Journal of General Linguistics, 3 (1): 61. doi: 10.5334 / gjgl.409
  • Paperno, Deniss un Edvards L. Keenans (red.), 2017, Rokasgrāmata par dabiskās valodas kvantifikatoriem: II sējums, (Pētījumi valodniecībā un filozofijā 97), Čats: Springer International Publishing. doi: 10.1007 / 978-3-319-44330-0
  • Parsons, Terence, 1997 [2017], “Tradicionālais opozīcijas laukums”, Stenforda filozofijas enciklopēdija (2017. gada vasara), Edvards N. Zalta (red.). URL =
  • Peters, Stenlijs un Dags Vesterštāls, 2002. gads, “Vai angļu valodai tiešām ir atgriezeniska kvantitatīva noteikšana?” Nozīmes veidošanā, Deivids I. Bībers, Luiss D. Casillas Martinezs, Bredijs Z. Klarks un Stefans Kaufmans (red.), Stenforda, CA: CSLI Publications, 181–195.
  • –––, 2006, Valodas un loģikas kvantifikatori, Oksforda: Oxford University Press. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780199291267.001.0001
  • –––, 2013, “Possessives semantika”, Valoda, 89 (4): 713–759. doi: 10.1353 / lan.2013.0065
  • Pietroski, Paul, Jeffrey Lidz, Tim Hunter un Justin Halberda, 2009, “Visvairāk” nozīme: semantika, skaitliskums un psiholoģija”, prāts un valoda, 24 (5): 554–585. doi: 10.1111 / j.1468-0017.2009.01374.x
  • Rayo, Agustín, 2012, “Absolute Generality Recontedred”, Oksfordas pētījumu metafizikā 7. sējumā, Karena Bennetta un dekāns W. Zimmermans (red.), Oksforda: Oxford University Press, 93–126. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780199659081.003.0004
  • Rayo, Agustín un Gabriel Uzquiano (red.), 2006, Absolute Generality, Oxford: Clarendon Press.
  • Šērs, Gila Y., 1997, “Daļēji sakārtoti (sazaroti) ģeneralizēti kvantifikatori: vispārīga definīcija”, Journal of Philosophical Logic, 26 (1): 1–43. doi: 10.1023 / A: 1017944808396
  • Steinert-Threlkeld, Shane, 2016, “Dažas atkārtoto valodu īpašības”, Loģikas, valodas un informācijas žurnāls, 25 (2): 191–213. doi: 10.1007 / s10849-016-9239-6
  • Steinert-Threlkeld, Shane and Thomas F. Icard III, 2013, “Iterating Semantic Automata”, Lingvistika un filozofija, 36 (2): 151–173. doi: 10.1007 / s10988-013-9132-6
  • Steinert-Threlkeld, Shane un Jakub Szymanik, topošie, “Apgūstamības un semantiskie universāli”, Semantika un pragmatika. [Steinert-Threlkeld un Szymanik gaidāms pieejams tiešsaistē]
  • Szabolcsi, Anna, 2010, Kvantifikācija, Kembridža: Cambridge University Press. doi: 10.1017 / CBO9780511781681
  • Szymanik, Jakub, 2016, Kvantifikatori un izziņa: loģiskās un skaitļošanas perspektīvas, (valodniecības un filozofijas pētījumi 96), čats: Springer International Publishing. doi: 10.1007 / 978-3-319-28749-2
  • Westerståhl, Dag, 1987, “Ģeneralizēto kvantitatīvu un dabiskās valodas sazarojums” vispārinātajos kvantitatīvos, Pīters Gērdenfors (red.) (Valodniecības un filozofijas pētījumi 31), Dordrecht: Springer, Nīderlande, 269. – 298. doi: 10.1007 / 978-94-009-3381-1_10
  • –––, 1989, “Kvantifikatori formālajās un dabiskajās valodās”, Filozofiskās loģikas rokasgrāmatā, Dov M. Gabbay un Franz Guenthner (red.), Dordrecht: Springer Netherlands, 4: 1–131. Pārpublicēts 2007. gadā, Filozofiskās loģikas rokasgrāmata, Dov M. Gabbay un Franz Guenthner (red.), Dordrecht: Springer Netherlands, 14: 223–338. doi: 10.1007 / 978-1-4020-6324-4_4
  • –––, 1994, “Iterated Quantifiers”, sadaļā Dynamics, Polarity and Quantificēšana, Makoto Kanazawa un Christopher J. Piñón (red.) (CSLI Lecture Notes 48), Stanford, CA: CSLI Publications, 173–209.
  • –––, 2012, “Klasiskais vs mūsdienu opozīcijas laukumi un ārpus tiem”, opozīcijas laukumā: vispārējs izziņas ietvars, Žans-Īvs Bezjū un Džilmans Maksette (red.), Berne: P. Langs, 195 –229.
  • –––, 2017, “Sameness”, Feferman on Foundations, Gerhard Jēger un Wilfried Sieg (red.), (Izcili ieguldījumi 13. loģikā), Cham: Springer International Publishing, 449. – 467. doi: 10.1007 / 978-3-319-63334-3_16
  • Viljamsons, Timotijs, 2003, “Viss”, Filozofiskās perspektīvas, 17 (1): 415–465. doi: 10.1111 / j.1520-8583.2003.00017.x

Akadēmiskie rīki

sep cilvēks ikona
sep cilvēks ikona
Kā citēt šo ierakstu.
sep cilvēks ikona
sep cilvēks ikona
Priekšskatiet šī ieraksta PDF versiju vietnē SEP Friends.
inpho ikona
inpho ikona
Uzmeklējiet šo ierakstu tēmu interneta filozofijas ontoloģijas projektā (InPhO).
phil papīru ikona
phil papīru ikona
Uzlabota šī ieraksta bibliogrāfija vietnē PhilPapers ar saitēm uz tā datu bāzi.

Citi interneta resursi

[Lūdzu, sazinieties ar autoru ar ieteikumiem.]