Definīcijas

Satura rādītājs:

Definīcijas
Definīcijas

Video: Definīcijas

Video: Definīcijas
Video: Definīcija 2024, Marts
Anonim

Ieejas navigācija

  • Iestāšanās saturs
  • Bibliogrāfija
  • Akadēmiskie rīki
  • Draugu PDF priekšskatījums
  • Informācija par autoru un atsauce
  • Atpakaļ uz augšu

Definīcijas

Pirmoreiz publicēts 2008. gada 10. aprīlī; būtiska pārskatīšana, 2015. gada 20. aprīlis

Definīcijas ir interesējušas filozofus kopš seniem laikiem. Agrīnie Platona dialogi attēlo Sokratu, izvirzot jautājumus par definīcijām (piem., Eiforijā “Kas ir dievbijība?”) - jautājumi, kas uzreiz šķiet dziļi un neizdevīgi. Galvenais solis Anselma “Ontoloģiskajā pierādījumā” par Dieva esamību ir “Dieva” definīcija, un tas pats attiecas uz Dekarta argumentācijas versiju viņa Meditācijā V. Pavisam nesen Frege-Russell skaitļa definīcija un Tarski patiesības definīcija ir veidojuši plašu mūsdienu filozofisko debašu klāstu. Visos šajos gadījumos - un var minēt daudzus citus - ir diskutēts ne tikai par konkrētām definīcijām; ir diskutēts arī par definīciju raksturu un prasībām. Dažas no šīm debatēm var nokārtot, veicot nepieciešamās atšķirības,definīcijas nav visas viena veida: definīcijas kalpo dažādām funkcijām, un to vispārīgais raksturs mainās atkarībā no funkcijas. Tomēr dažas citas debates nav tik viegli nokārtotas, jo tajās tiek iesaistītas strīdīgas filozofiskas idejas, piemēram, būtība, jēdziens un nozīme.

  • 1. Dažas definīciju šķirnes

    • 1.1. Reālās un nominālās definīcijas
    • 1.2 Vārdnīcu definīcijas
    • 1.3. Izvirzošās definīcijas
    • 1.4. Aprakstošās definīcijas
    • 1.5. Skaidrojošas definīcijas
    • 1.6. Nepastāvīgas definīcijas
    • 1.7 Piezīme
  • 2. Definīciju loģika

    • 2.1 Divi kritēriji
    • 2.2. Tradicionālā konta pamati
    • 2.3. Saglabājamība un likvidējamība
    • 2.4. Definīcijas normālā formā
    • 2.5. Netiešās definīcijas
    • 2.6 Apburtā loka princips
    • 2.7 Apļveida definīcijas
  • Bibliogrāfija
  • Akadēmiskie rīki
  • Citi interneta resursi
  • Saistītie ieraksti

1. Dažas definīciju šķirnes

Parastais diskurss atpazīst vairākus dažādus lietu veidus kā iespējamos definēšanas objektus, un tas atzīst vairākus darbības veidus kā lietas definēšanu. Lai sniegtu dažus piemērus, mēs runājam par komisiju, kas nosaka robežu starp divām valstīm; Augstākās tiesas definīciju, kas ar tās nolēmumu starpniecību definē “personu” un “pilsoni”; ķīmiķim, kurš atklāj zelta definīciju, un leksikogrāfam - “atdzist”; debašu dalībnieks, kurš definē strīdīgo jautājumu; un matemātiķis, kurš nosaka “grupas” definīciju. Šeit definīcijas objekti ir dažādas lietas: robeža, juridiskais statuss, būtība, vārds, tēze un abstrakts raksturs. Turklāt atšķirīgajām definīcijām nav viens un tas pats mērķis: robežkomisija var censties panākt precizitāti; Augstākā tiesa, taisnīgums;ķīmiķis un leksikogrāfs, precizitāte; debatētājs, skaidrība; un matemātiķis, auglīgums. Tādējādi definīciju vērtēšanas standarti katrā gadījumā var atšķirties. Varbūt dažādās definīcijas var ietvert aristoteliālajā formulā, ka definīcija piešķir lietas būtību. Bet tas tikai uzsver faktu, ka “dot lietas būtību” nav vienots darbības veids.

Arī filozofijā bieži tiek spēlēti dažāda veida definīcijas, un definīcijas var izmantot dažādas funkcijas (piemēram, lai palielinātu precizitāti un skaidrību). Bet filozofijā definīcijas ir aicinātas pildīt arī ļoti atšķirīgu lomu - epistemoloģisko problēmu risināšanā. Piemēram, problēmu rada matemātisko patiesību epistemoloģiskais statuss. Imanuels Kants domāja, ka šīs patiesības ir sintētiskas a priori, un, lai ņemtu vērā to statusu, viņš piedāvāja telpas un laika teoriju, proti, telpu un laiku kā attiecīgi ārējās un iekšējās sajūtas formas. Gotlobs Frege un Bertrands Rasels centās iedragāt Kanta teoriju, apgalvojot, ka aritmētiskās patiesības ir analītiskas. Precīzāk, viņi mēģināja izveidot aritmētisko principu atvasinājumu no aritmētisko jēdzienu definīcijām,izmantojot tikai loģiskus likumus. Lai Frege-Russell projekts izdotos, izmantotajām definīcijām jābūt ar īpašu rakstzīmi. Tiem jābūt konceptuāliem vai izskaidrojošiem ar nozīmi; tie nevar būt sintētiski. Tieši šāda definīcija pagājušā gadsimta laikā ir izraisījusi vislielāko interesi un vispretrunīgākos. Un tieši šāda definīcija būs mūsu galvenā problēma. Sāksim ar dažu provizorisku, bet svarīgu atšķirību atzīmēšanu. Sāksim ar dažu provizorisku, bet svarīgu atšķirību atzīmēšanu. Sāksim ar dažu provizorisku, bet svarīgu atšķirību atzīmēšanu.

1.1. Reālās un nominālās definīcijas

Džons Loks savā esejā nošķīra “īsto būtību” no “nominālās būtības”. Nominālā būtība, pēc Lokī teiktā, ir “abstrakta ideja, kurai pievienots vārds (III.vi.2)”. Tādējādi nosaukuma “zelts” nominālā būtība, Loks sacīja, “ir šī sarežģītā ideja, ko apzīmē vārds zelts, lai tas būtu, piemēram, dzeltens korpuss, ar noteiktu svaru, kaļams, kausējams un fiksēts”. Turpretī zelta patiesā būtība ir “šīs ķermeņa nejūtīgo daļu konstitūcija, no kuras ir atkarīgas šīs īpašības [pieminētās nominālajā būtībā] un visas pārējās zelta īpašības (III.vi.2)”. Aptuvens veids, kā iezīmēt atšķirību starp reālajām un nominālajām definīcijām, ir pēc Locke teiktā teikt, ka pirmais norāda reālo būtību, bet otrais norāda nominālo būtību. Ķīmiķa mērķis ir reāla definīcija,tā kā leksikogrāfs tiecas panākt nominālo definīciju.

Šis atšķirības raksturojums ir aptuvens, jo zoologa “tīģera” definīcijai vajadzētu būt reālai definīcijai, kaut arī tā var nesniegt tīģera “nejūtīgo daļu konstitūciju”. Turklāt vārda nozīmes skaidrojums būtu jāuzskata par nominālo definīciju, kaut arī tas, iespējams, neizmanto Lockean formulējumu “abstrakta ideja, kurai pievienots nosaukums”. Varbūt ir noderīgi norādīt atšķirību starp reālajām un nominālajām definīcijām šādi: lai atklātu termina reālo definīciju, ir jāizpēta lieta (-as), kas apzīmēta ar ((X)); lai atklātu nominālo definīciju, ir jāizpēta (X) nozīme un lietojums. Vai meklējat atbildi uz Sokrāta jautājumu “Kas ir tikums?” ir reālas definīcijas vai nominālas definīcijas meklēšana, kas ir atkarīga no šīs konkrētās filozofiskās darbības izpratnes. Kad mēs tiecamies pēc Sokrāta jautājuma, vai mēs cenšamies iegūt skaidrāku priekšstatu par vārda “tikums” lietojumiem, vai arī cenšamies sniegt pārskatu par ideālu, kas zināmā mērā ir neatkarīgs no šiem lietojumiem? Saskaņā ar iepriekšējo koncepciju mūsu mērķis ir nomināla definīcija; saskaņā ar pēdējo, pie reālas definīcijas.mūsu mērķis ir nomināla definīcija; saskaņā ar pēdējo, pie reālas definīcijas.mūsu mērķis ir nomināla definīcija; saskaņā ar pēdējo, pie reālas definīcijas.

Lai kritiski apspriestu dažādas aktivitātes, kuras ir iekļautas “reālā definīcijā”, sk. Robinsonu 1950. Par seniem uzskatiem par definīcijām skatieties Čārlza 2010 esejās.

1.2 Vārdnīcu definīcijas

Nominālās definīcijas - definīcijas, kas izskaidro termina nozīmi - nav visas viena veida. Vārdnīca izskaidro termina nozīmi šīs frāzes vienā nozīmē. Vārdnīcu mērķis ir sniegt definīcijas, kas satur pietiekami daudz informācijas, lai sniegtu izpratni par terminu. Par mums, valodas lietotājiem, ir kaut kas tāds, ka mēs kaut kā saprotam un izmantojam teikumu iespējamo bezgalību, kas satur terminu, tiklīdz mums ir dots neliels informācijas daudzums par šo vārdu. Tieši tas, kā tas notiek, ir liels noslēpums. Bet tas tomēr notiek, un vārdnīcas to izmanto. Ņemiet vērā, ka vārdnīcas ieraksti nav unikāli. Dažādas vārdnīcas var sniegt atšķirīgu informāciju, tomēr tās ir tikpat efektīvas, izskaidrojot terminu nozīmi.

Filozofu meklētās definīcijas nav tādas, kādas atrodamas vārdnīcā. Frege skaitļa definīcija (1884) un Alfrēda Tarski patiesības definīcija (1983, 8. p.) Netiek piedāvāti kā vārdnīcu ierakstu kandidāti. Kad epistemologs meklē “zināšanu” definīciju, viņa nemeklē labu vārdnīcas ierakstu vārdam “zināt”. Filozofiskos definīcijas meklējumus dažkārt var auglīgi raksturot kā nozīmes skaidrojuma meklēšanu. Bet jēgas “nozīmes skaidrojums” jēga šeit ļoti atšķiras no jēgas, kādā vārdnīca izskaidro vārda nozīmi.

1.3. Izvirzošās definīcijas

Noteiktā definīcija piešķir definētajam terminam nozīmi un neietver saistības, ka piešķirtā nozīme sakristu ar termina iepriekšējiem lietojumiem (ja tādi ir). Stipulatīvās definīcijas ir epistemoloģiski īpašas. Viņi izdod spriedumus ar epistemoloģiskām īpašībām, kas citur mulsina. Ja nosacīti definē “raimex” kā, teiksim, racionālu, iedomātu un pieredzējušu būtni, tad spriedums “raimexes ir racionāli” tiek nodrošināts par nepieciešamu, noteiktu un a priori. Filozofiem ir bijis vilinoši izskaidrot mulsinošos gadījumus, piemēram, aprioricitāti, atsaucoties uz normatīvajām definīcijām.

Sauls Kripke (1980) ir pievērsis uzmanību īpaša veida noteikumu definīcijai. Mēs varam nosacīti ieviest jaunu vārdu (piemēram, “Džeks kaut kas lielisks”), izmantojot aprakstu (piemēram, “cilvēks, kurš noslepkavoja (X, Y / un (Z)”). Kripke uzsvēra, ka šādā noteikumā aprakstam ir tikai atsauce uz jauno vārdu; nosaukums nav sinonīms aprakstam. Par, spriedums

(1) Džeks kaut kas lielisks ir cilvēks, kurš slepkavoja (X, Y) un (Z), ja slepkavības izdarījis unikāls vīrietis

ir kontingents, kaut arī spriedums

Džeks kaut kas lielisks ir Džeks kaut kas lielisks, ja slepkavības izdarījis unikāls cilvēks

ir nepieciešams. Kripke apgalvoja, ka tāds vārds kā “Jack the Ripper” ir stingrs: tas izceļ vienu un to pašu indivīdu visās iespējamās pasaulēs; no otras puses, apraksts nav stingrs. Kripke izmantoja šādus atsauces fiksēšanas nosacījumus, lai argumentētu kontingentu a priori patiesību esamību (1), kas ir piemērs. Norādes, kas nosaka obligātas definīcijas, var dot ne tikai nosaukumiem, bet arī citu kategoriju terminiem, piemēram, vispārpieņemtajiem lietvārdiem.

Skat. Frege 1914, lai aizstāvētu šausmīgo viedokli, ka vismaz matemātikā ir jākontrolē tikai obligātās definīcijas. [1]

1.4. Aprakstošās definīcijas

Aprakstošās definīcijas, tāpat kā obligātās, izskaidro nozīmi, taču to mērķis ir arī atbilstība esošajam lietojumam. Kad filozofi piedāvā definīcijas, piemēram, “zinu” un “brīvu”, tās nav atrunājošas: neatbilstība esošajai lietošanai ir viņu iebildums.

Ir lietderīgi atšķirt trīs definīcijas aprakstošās atbilstības pakāpes: paplašinošā, intencionālā un jēgpilnā. Definīcija ir papildus piemērota, ja tai nav reālu paraugu; tas ir intensīvi adekvāts, ja tam nav iespējamu paraugu; un tas ir jēgas ziņā adekvāts (vai analītisks), ja tas definētajam terminam piešķir pareizo jēgu. (Pati pēdējā adekvātuma pakāpe ir sadalīta dažādos jēdzienos, jo “maņu” var izteikt dažādos veidos.) Piemēram, definīcija “Ūdens ir H 2 O” ir intensīvi adekvāta, jo ūdens un H 2 ir identiski. O ir nepieciešams (pieņemot Kripkes-Putnamas viedokli par dabiska rakstura stingrību); tāpēc arī definīcija ir pietiekoši piemērota. Bet tas nav pietiekami jutīgs, jo jēga “ūdens” nepavisam nav tāda pati kā “H 2 O”. Definīcija “Džordžs Vašingtons ir pirmais Amerikas Savienoto Valstu prezidents” ir piemērota tikai daļēji, bet ne abās pārējās pakāpēs, savukārt “cilvēks ir smejošs dzīvnieks” nav piemērots visās trīs kategorijās. Ja definīcijas izmanto epistemoloģiski, intencionālā pietiekamība parasti nav pietiekama. Šādas definīcijas nevar apstiprināt problemātiska objekta racionalitāti vai prioritāti.

Skeptiķi par analītiskajām definīcijām skat. Quine 1951. un 1960. gadā; skatīt arī ierakstu par analītisko / sintētisko atšķirību. Horty 2007 piedāvā dažus domāšanas veidus par definētu izpausmju jutekļiem, it īpaši Fregean semantiskās teorijas ietvaros.

1.5. Skaidrojošas definīcijas

Dažreiz definīcija netiek piedāvāta ne aprakstoši, ne nosacīti, bet gan kā skaidrojums, ko sauca Rūdolfs Karnaps (1956, 2.§). Skaidrojuma mērķis ir ievērot dažus termina galvenos lietojumus, bet citiem tas ir obligāts. Izskaidrojumu var piedāvāt kā absolūtu esošās, nepilnīgās koncepcijas uzlabojumu. Vai arī to var piedāvāt kā “labu lietu nozīmēt” ar terminu noteiktā kontekstā konkrētam mērķim. (Citētā frāze radusies Alanam Rosam Andersonam; skat. Belnap 1993, 117. lpp.)

Vienkāršu skaidrojumu sniedz pasūtītā pāra definīcija kopas teorijā. Šeit pāris (langle x, y / rangle) tiek definēts kā komplekts ({ {x }, {x, y } }). Uzskatāms par skaidrojumu, šīs definīcijas mērķis nav aptvert visus aspektus, kas saistīti ar “pasūtītā pāra” iepriekšējiem lietojumiem matemātikā (un parastajā dzīvē); tā vietā tā mērķis ir aptvert būtiskos lietojumus. Būtisks fakts par “pasūtītā pāra” izmantošanu ir tāds, ka to regulē princips, ka pāri ir identiski, ja to attiecīgie komponenti ir identiski:

(langle x, y / rangle = / langle u, v / rangle / text {iff} x = u / amp y = v.)

Un var pārliecināties, ka iepriekšminētā definīcija atbilst principam. Definīcijai ir dažas sekas, kas neatbilst parastajam jēdzienam. Piemēram, definīcija nozīmē, ka objekts (x) ir pāra loceklis (langle x, y / rangle), un šī netiešā jēga nav daļa no parastā jēdziena. Bet neatbilstība nav iebildums pret skaidrojumu. Svarīgi skaidrojumam ir nevis iepriekšēja nozīme, bet gan funkcija. Kamēr tiek saglabāts pēdējais, bijušo var atlaist. Tieši šī izskaidrojuma īpašība lika WVO Quine (1960, §53) izskaidrot tās tikumus un saglabāt “pasūtītā pāra” definīciju kā filozofisku paradigmu.

Patiesības funkcionāls nosacījums sniedz vēl vienu skaidrojuma ilustrāciju. Šis nosacījums dažos būtiskos aspektos atšķiras no parastā nosacītā. Neskatoties uz to, patiesības funkcionāls nosacījums var tikt izvirzīts kā parastā nosacījuma skaidrojums noteiktiem mērķiem noteiktos kontekstos. Tas, vai priekšlikums ir piemērots, ir ļoti atkarīgs no attiecīgajiem mērķiem un konteksta. Tas, ka abi nosacījumi atšķiras svarīgā, pat būtiskā, aspektos, automātiski nediskvalificē priekšlikumu.

1.6. Nepastāvīgas definīcijas

Ostensīvās definīcijas parasti ir atkarīgas no konteksta un pieredzes. Pieņemsim, ka sarunvalodas konteksts padara vienu suni pievilcīgu starp vairākiem redzamiem. Tad var ieviest vārdu “Freddie” ar noteikumu “ļaujiet Freddie būt šim sunim”. Cits piemērs: pieņemsim, ka jūs skatāties krūma zaru un ar nosacījumu ieviest vārdu “Charlie” šādi: “lai Čārlijs ir kukainis uz šī zariņa”. Šī definīcija var piesaistīt atsauci uz “Charlie” pat tad, ja zarā ir daudz kukaiņu. Ja jūsu vizuālā pieredze sniedz jums tikai vienu no šiem kukaiņiem (teiksim, tāpēc, ka citi ir pārāk mazi, lai būtu redzami), tad šis kukainis ir apzīmējums tam, kā jūs izmantojat aprakstu “kukainis uz šī zara”. Mēs varam domāt par pieredzi kā priekšmeta parādīšanu ierobežotā pasaules daļā. Šī daļa var kalpot kā novērtējuma punkts izteiksmēm ostenīvā definīcijā.[2] Līdz ar to definīcija, izmantojot pieredzi, var piesaistīt atsauci uz definēto terminu, ja bez šī atbalsta tā neizdotos. Šajā piemērā apzīmējums “kukainis uz šī zara” nenozīmē, kad to novērtē visā pasaulē kopumā, bet tas nozīmē, kad tas tiek novērtēts tajā tās daļas daļā, kas tiek parādīta jūsu vizuālajā pieredzē. Skatiet Gupta 2019, lai uzzinātu par pieredzes ieguldījumu šķietami definēta termina nozīmē.

Gaistoša definīcija var izraisīt būtisku valodas bagātināšanu. “Charlie” acīmredzamā definīcija bagātina valodu ar konkrēta kukaiņa vārdu, un varētu būt, ka pirms bagātināšanas valodai trūka līdzekļu šī konkrētā kukaiņa apzīmēšanai. Atšķirībā no citām pazīstamajām definīcijām, ostenīvās definīcijas var ieviest nenovēršamus terminus. (Tātad, gaistošas definīcijas var neatbilst neatbilstības kritērijam, kas paskaidrots zemāk; tās var neatbilst arī konservatīvās izturības kritērijam, kas arī ir paskaidrots zemāk.)

Skaidrojošo definīciju spēja ieviest būtībā jaunu vārdu krājumu ir likusi dažiem domātājiem tos uzskatīt par visu primitīvo jēdzienu avotu. Tādējādi Rasels cilvēciskajās zināšanās to apgalvo

visām nominālajām definīcijām, ja tās tiek pietiekami atgrūstas, galu galā jānoved pie terminiem, kuriem ir tikai ostenīvas definīcijas, un empīriskās zinātnes gadījumā empīriskajiem terminiem jābūt atkarīgiem no terminiem, kuru uztverē ir dota ostensive definīcija. (242. lpp.)

CH Whiteley nodaļā “Jēgas un elastīgās definīcijas” uzskata par pieņēmumu, ka gaistošās definīcijas ir “līdzekļi, ar kuru palīdzību vīrieši iemācās lielāko daļu, ja pat ne visu, šo elementāro izteicienu nozīmi savā valodā, ar kuriem tiek definēti citi izteicieni.” (332) Tomēr jāatzīmē, ka nekas ostenīvu definīciju loģikā un semantikā negarantē jēdzienu vai valodas apguves fundamentālistu attēlu. Šādas fundamentālistu bildes izšķiroši kritizēja Ludvigs Vitgenšteins savos filozofiskajos izmeklējumos. Tomēr Vitgenšteina pozitīvie uzskati par gaistošo definīciju joprojām nav iedomājami; interpretāciju skatīt Hacker 1975.

Nepietiekamas definīcijas ir svarīgas, taču mūsu izpratne par tām joprojām ir tikai sākotnējā līmenī. Viņi ir pelnījuši lielāku loģiķu un filozofu uzmanību.

1.7 Piezīme

Veidi, kuros mēs esam sakārtojuši definīcijas, nav savstarpēji izslēdzoši un nav izsmeļoši. Jēdziena definējoša definīcija, ja tā notiek, var būt arī pietiekoši piemērota šā termina lietojumiem, kas tika izmantoti iepriekš. Vārdnīca var piedāvāt dažu vārdu (piemēram, krāsainu vārdu) ostenīvas definīcijas. Gaistošas definīcijas var būt arī skaidrojošas. Piemēram, var piedāvāt jau pastāvoša jēdziena “viena pēda” uzlabojumu, tādējādi: “ļaujiet vienai pēdai būt šī stieņa pašreizējam garumam”. Iepriekš izmantotais jēdziens “viena pēda” var būt diezgan neskaidrs; pretēji, šķietami ieviestā skaidrošana var būt samērā precīza. Turklāt, kā mēs redzēsim turpmāk, ir arī citi definīciju veidi, kas līdz šim apskatīti.

2. Definīciju loģika

Daudzas definīcijas - nosacītas, aprakstošas un skaidrojošas - var analizēt trīs elementos: definētais termins ((X)), izteiksme, kas satur noteikto terminu ((ldots X / ldots)), un vēl viena izteiksme ((- - - - - - -)), kas definīcijai pielīdzināta ar šo izteiksmi. Šādas definīcijas var attēlot šādi:

(tag {2} X: / ldoti X / ldoti / eqdf - - - - - - -.)

(Mēs atceļam ostenīvās definīcijas, kurām acīmredzami ir nepieciešama bagātīgāka attēlošana.) Ja definētais termins ir skaidrs no konteksta, attēlojumu var vienkāršot līdz

(ldoti X / ldoti / eqdf - - - - - - -.)

Izteiciens '(eqdf)' (ti, (ldots X / ldots)) kreisajā pusē ir definīcijas galīgais elements, un izteiksme labajā pusē ir tās definīcija - pieņemot, ka definiendum un definiens pieder tai pašai loģiskajai kategorijai. Ņemiet vērā atšķirību starp definētu terminu un definiendum: šajā piemērā definētais termins ir (X); definiendum ir neprecizēts izteiciens '(eqdf)' kreisajā pusē, kas var būt vai nebūt identisks (X). (Daži autori definēto terminu dēvē par “definiendum”; citi citi izteicienu lieto neskaidri, dažreiz atsaucoties uz definēto terminu un dažreiz uz pašu definiendum.) Ne visas definīcijas, kas atrodamas loģiskajā un filozofiskajā literatūrā, ietilpst shēmā (2). Daļējas definīcijas, piemēram, neietilpst shēmā;citu piemēru sniedz loģisko konstanšu definīcijas, kas attiecas uz ieviešanas un izslēgšanas noteikumiem, kas tos regulē. Neskatoties uz to, vissvarīgākās ir definīcijas, kas atbilst 2. punktam, un tās būs mūsu galvenās rūpes.

Koncentrēsimies uz definējošām definīcijām un pārdomāsim to loģiku. Kā mēs redzēsim, dažas svarīgās mācības šeit pārņem aprakstošās un skaidrojošās definīcijas. Vienkāršības labad apsvērsim gadījumu, kad vienota definīcija ar nosacījumu ievieš terminu. (Vairākas definīcijas rada noticētu sarežģītību, bet nerada jaunus konceptuālus jautājumus.) Tad pieņemsim, ka valoda (L), kas ir pamata valoda, tiek paplašināta, paplašinātajai valodai pievienojot jaunu terminu (X). (L ^ {+}), kur (X) ir nosacīti definēts ar (2) formas definīciju (mathcal {D}). Kādi loģiski noteikumi regulē (mathcal {D})? Kādas prasības definīcijai ir jāizpilda?

Pirms pievērsīsimies šiem jautājumiem, ņemsim vērā atšķirību, kas nav iezīmēta loģikas grāmatās, bet kas ir noderīga, domājot par definīcijām. Viena veida definīcijā - sauciet to par homogēnu definīciju - definētais termins un definiendum pieder tai pašai loģiskajai kategorijai. Tātad vienskaitļa terminu definē ar vienskaitļa vārdu; vispārīgs termins ar vispārīgu terminu; teikums caur teikumu; un tā tālāk. Teiksim, ka homogēna definīcija ir regulāra, ja tās definīcija ir identiska definētajam terminam. Šeit ir daži regulāru viendabīgu definīciju piemēri:

(tag {3} sākt {pielīdzināt *} 1: 1 & / eqdf / text {0 pēctecis, \\ / text {man}: / text {man} & / eqdf / text {rational animal}, \\ / text {True}: / text {The True} & / eqdf / text {viss ir identisks pats par sevi}. / beigas {izlīdzināt *})

Ņemiet vērā, ka “patiesais”, kā definēts iepriekš, pieder teikuma kategorijai, nevis vienskaitļa vārdam.

Dažreiz mēdz teikt, ka definīcijas ir tikai saīsinājumu receptes. Tādējādi Alfrēds Nortvaitheds un Bertrands Rasels saka par definīcijām, it īpaši tām, kuras tiek izmantotas Principia Mathematica, ka tās ir “stingri runājošas, tipogrāfiskas ērtības (1925, 11)”. Šis viedoklis ir ticams tikai regulārām viendabīgām definīcijām, kaut arī tas šeit nav īsti piemērots. (Baltā galvas un Rasela novērojumi skaidri parāda, ka viņu definīcijas ir vairāk nekā tikai “tipogrāfiskas ērtības”. [3]) Ideja, ka definīcijas ir tikai saīsinājumi, nepavisam nav ticama otrajam definīcijas veidam, pie kura tagad pievērsīsimies.

Otrajā definīcijas veidā to sauc par neviendabīgu definīciju - definētais termins un definiendum pieder pie dažādām loģiskām kategorijām. Tā, piemēram, vispārīgu terminu (piemēram, “cilvēks”) var definēt, izmantojot sensentu definiendum (piemēram, “(x) ir cilvēks”). Citā piemērā vienskaitļa terminu (piemēram, “1”) var definēt, izmantojot predikātu (piemēram, “ir identisks 1”). Heterogēnas definīcijas ir daudz izplatītākas nekā viendabīgas. Piemēram, pazīstamās pirmās kārtas valodās nav jēgas definēt, teiksim, vienas vietas predikātu (G) ar homogēnu definīciju. Šīm valodām nav resursu saliktu predikātu veidošanai; līdz ar to homogēnas (G) definīcijas definīcijas noteikti ir atomu. Tomēr neviendabīgā definīcijā definīcija var viegli būt sarežģīta; piemēram, (tag {4} Gx / eqdf x / gt 3 / amp x / lt 10.)

Ja valodai ir ierīce abstrakcijai, piemēram, kopu veidošanai, mēs varētu sniegt atšķirīgu (G) neviendabīgo definīciju:

(tag {5} text {} G / text {s} eqdf / text {skaitļu komplekts no 3 līdz 10}})

Ievērojiet, ka tāda heterogēna definīcija kā (4) nav tikai saīsinājums. Jo, ja tā būtu, izteiciens (x) tajā nebūtu īsts mainīgais, un definīcija nesniegtu norādes par (G) lomu citos kontekstos, nevis (Gx). Turklāt, ja šādas definīcijas būtu saīsinājumi, uz tām attiektos prasība, ka definiendum jābūt īsākam nekā definiens, bet šāda prasība nepastāv. No otras puses, patiesām definīciju prasībām nebūtu lielas jēgas. Šis noteikums nav likumīga definīcija:

(tag {6} Gx / eqdf x / gt y / amp x / lt 10.)

Bet, ja tas tiek uzskatīts par vienkāršu saīsinājumu, tad tajā nav nekā pretlikumīga.

Dažas definējošas definīcijas nav nekas cits kā saīsinājumu ierīces (piemēram, definīcijas, kas nosaka iekavu izlaišanu formulās; skat. Baznīcas 1956. gada 11. paragrāfu). Tomēr daudzas obligātās definīcijas nav šāda veida; viņi ievieš nozīmīgus priekšmetus mūsu diskursā. Tādējādi definīcija (4) padara (G) par jēgpilnu unāru predikātu: (G), pamatojoties uz (4), izsaka noteiktu jēdzienu. Turpretī saskaņā ar (6) nosacījumu (G) nav jēgpilns predikāts un neizsaka nekādu jēdzienu. Bet kāds ir atšķirības avots? Kāpēc (4) ir likumīgs, bet ne (6)? Vispārīgāk sakot, kad šī definīcija ir likumīga? Kādas prasības ir jāizpilda definientiem? Un, kas par lietu, definiendum? Vai definiendum jābūt, piemēram, atomu, kā aprakstīts (3) un (4)? Ja nē, kādi ierobežojumi (ja tādi ir) ir noteikti jēdzienam?

2.1 Divi kritēriji

Jebkurai atbildei uz šiem jautājumiem ir ticams ievērot divus kritērijus. [4] Pirmkārt, nosacītajai definīcijai nevajadzētu ļaut mums izveidot būtībā jaunus apgalvojumus, ko saucam par konservatīvās izturības kritēriju. Mums nevajadzētu ar vienkāršu noteikumu palīdzību noteikt jaunas lietas, piemēram, par Mēnesi. Tā ir taisnība, ka, ja šis kritērijs nav precīzi noteikts, tam piemēro triviālus pretparaugus, jo definīcijas ieviešana būtiski ietekmē dažus faktus. Tomēr šo kritēriju var padarīt precīzu un pamatotu, un drīz mēs redzēsim dažus veidus, kā to izdarīt.

Otrkārt, definīcijai būtu jāfiksē definētās izteiksmes (X) izmantošana - to sauc par Use kritēriju. Šis kritērijs ir ticams, jo ir pieejama tikai definīcija - un nekas cits -, lai mūs vadītu (X) lietošanā. Tomēr šeit ir sarežģījumi. Kas tiek uzskatīts par (X) izmantošanu? Vai gadījumi, kas ietilpst “sakiet” un “zināt” darbības jomā, ir iekļauti? Kā ir ar (X) parādīšanos citātu kontekstā un vārdos, piemēram, “Ksenofāni”? Ir skaidrs, ka uz pēdējo jautājumu ir jāsaņem atbilde “Nē”. Bet atbildes uz iepriekšējiem jautājumiem nav tik skaidras. Pastāv vēl viens sarežģījums: pat ja mēs kaut kā varam nodalīt patiesos (X) gadījumus, iespējams, ka definīcija dažus no šiem gadījumiem pamatoti ignorē. Piemēram,koeficienta definīcija dažus termina gadījumus var atstāt nenoteiktus (piemēram, ja dalījums ir 0). Ortodoksālais uzskats ir tāds, ka šādas definīcijas tiek uzskatītas par nelikumīgām, taču pareizticība ir pelnījusi to apstrīdēt. Atstāsim izaicinājumu tomēr citam gadījumam un turpināsim apiet sarežģījumus, izmantojot idealizāciju. Aprobežosimies tikai ar pamatvalodām, kurām ir skaidri noteikta loģiska struktūra (piemēram, pirmās kārtas valoda) un kurās nav noteikta termina (X) atgadījumu. Aprobežosimies ar definīcijām, kas neierobežo (X) likumīgus gadījumus. Tagad kritērijs Lietošana nosaka, ka definīcijai būtu jāfiksē visu izteicienu lietošana paplašinātajā valodā, kurā notiek (X). Ortodoksālais uzskats ir tāds, ka šādas definīcijas tiek uzskatītas par nelikumīgām, taču pareizticība ir pelnījusi to apstrīdēt. Atstāsim izaicinājumu tomēr citam gadījumam un turpināsim apiet sarežģījumus, izmantojot idealizāciju. Aprobežosimies tikai ar pamatvalodām, kurām ir skaidri noteikta loģiska struktūra (piemēram, pirmās kārtas valoda) un kurās nav noteikta termina (X) atgadījumu. Aprobežosimies ar definīcijām, kas neierobežo (X) likumīgus gadījumus. Tagad kritērijs Lietošana nosaka, ka definīcijai būtu jāfiksē visu izteicienu lietošana paplašinātajā valodā, kurā notiek (X). Ortodoksālais uzskats ir tāds, ka šādas definīcijas tiek uzskatītas par nelikumīgām, taču pareizticība ir pelnījusi to apstrīdēt. Atstāsim izaicinājumu tomēr citam gadījumam un turpināsim apiet sarežģījumus, izmantojot idealizāciju. Aprobežosimies tikai ar pamatvalodām, kurām ir skaidri noteikta loģiska struktūra (piemēram, pirmās kārtas valoda) un kurās nav noteikta termina (X) atgadījumu. Aprobežosimies ar definīcijām, kas neierobežo (X) likumīgus gadījumus. Tagad kritērijs Lietošana nosaka, ka definīcijai būtu jāfiksē visu izteicienu lietošana paplašinātajā valodā, kurā notiek (X). Aprobežosimies tikai ar pamatvalodām, kurām ir skaidri noteikta loģiska struktūra (piemēram, pirmās kārtas valoda) un kurās nav noteikta termina (X) atgadījumu. Aprobežosimies ar definīcijām, kas neierobežo (X) likumīgus gadījumus. Tagad kritērijs Lietošana nosaka, ka definīcijai būtu jāfiksē visu izteicienu lietošana paplašinātajā valodā, kurā notiek (X). Aprobežosimies tikai ar pamatvalodām, kurām ir skaidri noteikta loģiska struktūra (piemēram, pirmās kārtas valoda) un kurās nav noteikta termina (X) atgadījumu. Aprobežosimies ar definīcijām, kas neierobežo (X) likumīgus gadījumus. Tagad kritērijs Lietošana nosaka, ka definīcijai būtu jāfiksē visu izteicienu lietošana paplašinātajā valodā, kurā notiek (X). Tagad kritērijs Lietošana nosaka, ka definīcijai būtu jāfiksē visu izteicienu lietošana paplašinātajā valodā, kurā notiek (X). Tagad kritērijs Lietošana nosaka, ka definīcijai būtu jāfiksē visu izteicienu lietošana paplašinātajā valodā, kurā notiek (X).

Izmantošanas kritērija alternatīvs formulējums ir šāds: definīcijai ir jādefinē definiendum nozīme. Jaunais formulējums ir mazāk nosakāms un strīdīgāks, jo tas balstās uz “nozīmi”, neviennozīmīgu un teorētiski strīdīgu jēdzienu.

Ņemiet vērā, ka šie divi kritēriji reglamentē visas obligātās definīcijas neatkarīgi no tā, vai tās ir vienas vai vairākas, vai no tā, vai tās ir vai nav (2).

2.2. Tradicionālā konta pamati

Tradicionālais definīciju pārskats ir balstīts uz trim idejām. Pirmā ideja ir tāda, ka definīcijas ir vispārinātas identitātes; otrais, ka sentenciāls ir primārais; un trešais - samazināšana. Pirmā ideja, ka definīcijas ir vispārinātas identitātes, motivē tradicionālā konta secinošos noteikumus definīcijām. Rupji runājot, tie ir: i) jebkurš definiendum parādīšanās var tikt aizstāts ar definiens parādīšanos (Generalised Definiendum elimination); un, gluži pretēji, (ii) jebkuru definīciju parādīšanos var aizstāt ar definiendum parādīšanos (Generalised Definiendum Introduction).

Otrās idejas - sententa primitīvas - saknes ir domās, ka termina galvenie lietojumi ir apgalvojumā un argumentā: ja mēs saprotam noteikta termina izmantošanu apgalvojumā un argumentācijā, tad mēs to pilnībā saprotam. Sentimentāls tomēr ir galvenais arguments un apgalvojums. Tāpēc, lai izskaidrotu definēta termina (X) izmantošanu, saglabāta otrā ideja, ir nepieciešams un pietiekams, lai izskaidrotu sensentu priekšmetu izmantošanu, kas satur (X). (Ar senciāliem priekšmetiem saprot teikumus un teikumiem līdzīgas lietas ar brīvajiem mainīgajiem, piemēram, definīcijas (4); turpmāk šie posteņi tiks saukti par formulām.) Otrās idejas izvirzītie jautājumi, protams, ir lieli un svarīgi, taču tos nevar aplūkot īsā aptaujā. Pieņemsim ideju vienkārši kā dotu.

Trešais idejas samazinājums ir tāds, ka formulas (Z) lietošana, kas satur definēto terminu, tiek izskaidrota, reducējot (Z) līdz formulai pamata valodā. Šī ideja, apvienojumā ar sentenciālo pārākumu, noved pie spēcīgas izmantošanas kritērija versijas, ko sauc par Novēršamības kritēriju: definīcijai jāsamazina katra formula, kas satur definēto terminu, līdz formulai pamata valodā, ti, vienai, kurā nav definētais termins. Noņemamība ir tradicionālā konta atšķirīgā tēze, un, kā redzēsim turpmāk, to var apstrīdēt.

Ņemiet vērā, ka tradicionālajam kontam nav jāsamazina visi paplašinātās valodas izteicieni; tas prasa tikai formulu samazināšanu. Predikāta (G) definīcijai, piemēram, nav jābūt tādai, kas reducē (G) atsevišķi, ņemot vērā predikātu pamata valodā. Tradicionālais pārskats tādējādi atbilst domai, ka ar definējošu definīciju valodai var pievienot jaunu konceptuālu resursu, jo pamata valodā nekas neizsaka predikatīvo jēdzienu, ko (G) izsaka izvērstajā valodā. Tas nenozīmē, ka neviens jauns ierosinājums - vismaz patiesības stāvokļa izpratnē - nav izteikts paplašinātajā valodā.

2.3. Saglabājamība un likvidējamība

Ļaujiet mums tagad redzēt, kā konservatīvās spējas un noņemamība var būt precīza. Vispirms apsveriet valodas, kurām ir precīza pazīstamo veidu pierādījumu sistēma. Ļaujiet pamata valodai (L) būt vienai no šādām. (L) pierādīšanas sistēma var būt klasiska vai trīsvērtīga, vai modāla, vai atbilstoša, vai kāda cita; un tas var saturēt vai nesatur dažas neloģiskas aksiomas. Viss, ko mēs pieņemam, ir tas, ka mums ir pieejami jēdzieni “(L) teorēma un“ar pierādāmu ekvivalentu (L)”, kā arī jēdzieni“(L ^ {+})”un“teorēma”. pierādāmi ekvivalents tekstā (L ^ {+})”, kas rodas, kad (L) pierādījumu sistēma tiek papildināta ar definīciju (mathcal {D}) un loģiskajiem noteikumiem, kas pārvalda definīcijas. Tagad konservatīvās spējas kritēriju var precizēt šādi.

Konservatīvās vērtības kritērijs (sintaktiskais formulējums): Jebkura (L) formula, kas ir pierādāma dokumentā (L ^ {+}), ir pārbaudāma (L).

Tas ir, jebkura (L) formula, kas ir pierādāma, izmantojot definīciju (mathcal {D}), ir arī pierādāma, neizmantojot (mathcal {D}): definīcija mums neļauj pierādīt kaut ko jaunu iekšā (L). Novēršamības kritēriju var precizēt šādi:

Novēršamības kritērijs (sintaktiskais formulējums): Jebkurai formulai (A) no (L ^ {+}) ir formula (L), kas, iespējams, ir līdzvērtīga (L ^ {+}). uz (A).

(Folklora atzinīgi vērtē poļu žurnālisti S. Lešņevski par konservatīvās spējas un novēršamības kritēriju formulēšanu, taču tā ir kļūda; diskusijām un citām atsaucēm skatīt Dudman 1973, Hodges 2008, Urbaniak un Hämäri 2012.) [5]

Tagad aprīkosim (L) ar modeļa teorētisko semantiku. Tas ir, mēs esam saistīti ar (L) interpretāciju klasi un darām pieejamus jēdzienus “derīgi (L) interpretācijā (M)” (pazīstams arī kā “true in (L) (M)”) un“semantiski ekvivalents (L) attiecībā pret (M)”. Ļaujiet jēdzieniem “derīgs (L ^ {+}) (M)” un “semantiski ekvivalents (L ^ {+}) attiecībā pret (M)”, ja (L) ir papildināta ar definīciju (mathcal {D}). Konservatīvās izturības un novēršamības kritērijus tagad var precizēt šādi:

Konservatīvās vērtības kritērijs (semantiskais formulējums): Visām formulām (A) no (L) un visām interpretācijām (M), ja (A) ir derīga (L ^ {+}) (M), tad (A) ir derīgs arī (L) (M).

Novēršamības kritērijs (semantiskais formulējums): Jebkurai formulai (A) no (L ^ {+}) ir formula (B) (L), ka attiecībā pret visām interpretācijām (M, B) ir semantiski ekvivalents (L ^ {+}) ar (A).

Abu kritēriju sintaktiskais un semantiskais formulējums ir skaidri paralēli. Tomēr, pat pieņemot, ka spēcīgas pilnīguma teorēmas ir spēkā attiecībā uz (L) un (L ^ {+}), abi formulējumi nav līdzvērtīgi. Patiešām, katrā sistēmā - sintaktiskajā un semantiskajā - ir iespējami vairāki atšķirīgi divu kritēriju formulējumi, kas nav ekvivalenti.

Ievērojiet, ka konservatīvās spējas un novēršamības kritēriju izpilde neatkarīgi no tā, vai tie ir semantiski vai sintaktiski, nav definīcijas absolūts īpašums; apmierinātība ir saistīta ar pamata valodu. Dažādas zemes valodas var būt saistītas ar tām atšķirīgām pierādīšanas sistēmām un atšķirīgām interpretācijas klasēm. Tādējādi definīcija var atbilst diviem kritērijiem, ja to pievieno vienai valodai, bet, ja to pievieno citai valodai, tā var neizpildīties. Papildu diskusijas par kritērijiem skatīt Suppes 1957 un Belnap 1993.

2.4. Definīcijas normālā formā

Konkrētības labad nostiprināsim pamata valodu (L) kā klasisku pirmās kārtas valodu ar identitāti. (L) pierādījumu sistēma var saturēt dažas neloģiskas aksiomas (T); (L) interpretācijas tad ir klasiskās (T) modeles. Tāpat kā iepriekš, (L ^ {+}) ir paplašinātā valoda, kas rodas, ja (L) tiek pievienota neloģiskas konstantes (X) definīcija (mathcal {D}); tādējādi (X) var būt vārds, predikāts vai funkcijas simbols. Zvaniet divām definīcijām līdzvērtīgām, ja paplašinātajā valodā tās rada vienas un tās pašas teorēmas. Tad var parādīt, ka, ja (mathcal {D}) atbilst konservatīvās izturības un novēršamības kritērijiem, tad (mathcal {D}) ir līdzvērtīga definīcijai normālā formā, kā norādīts turpmāk. [6] Tā kā definīcijas parastā formā atbilst konservatīvības un novēršamības prasībām, tradicionālais pārskats nozīmē, ka mēs nezaudējam neko būtisku, ja mēs pieprasām, lai definīcijas būtu normālā formā.

Definīciju parasto formu var precizēt šādi. Nosaukumu (a, n) - ary predikāti (H) un (n) - ary funkciju simboliem (f) definīcijām jābūt attiecīgi šādās formās:

(sākt {pielīdzināt} birka {7} a = x & / eqdf / psi (x), \\ / tag {8} H (x_ {1}, / ldoti, x_ {n}) & / eqdf / phi \, (x_ {1}, / ldoti, x_ {n}), \\ / birka {9} f (x_ {1}, / ldoti, x_ {n}) = y & / eqdf / chi (x_ { 1}, / ldots, x_ {n}, y), / end {align})

kur mainīgie (x_ {1}),…, (x_ {n}), (y) visi ir atšķirīgi, un definīcija katrā gadījumā atbilst nosacījumiem, kurus var iedalīt vispārīgā un specifiskā daļa. [7] Vispārīgais nosacījums par definiens ir vienāds katrā gadījumā: tajā nedrīkst būt definēts termins vai citi brīvi mainīgie, izņemot definiendum. Vispārējie nosacījumi paliek nemainīgi, ja tradicionālo definīcijas kontu piemēro ne-klasiskajai loģikai (piemēram, daudzvērtīgai un modālai loģikai). Īpašie nosacījumi ir mainīgāki. Klasiskajā loģikā īpašs nosacījums nosacījumam (7) ar definiens (psi (x)) ir tāds, ka tas atbilst esamības un unikalitātes nosacījumam: ka ir pierādāms, ka kaut kas atbilst (psi (x)) un ka vismaz viena lieta apmierina (psi (x)). [8](8) nav īpašu nosacījumu, bet nosacījums (9) ir paralēls ar (7). Pretenzijai par esamību un unikalitāti ir jāattiecas uz: formulas vispārēju noslēgšanu

(pastāv y \, / chi (x_ {1}, / ldoti, x_ {n}, y) amp / forall u / forall v (chi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}, u) amp / chi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}, v) rightarrow u = v])

jābūt pierādāmiem. [9]

Loģikā, kas pieļauj brīvus nosaukumus, īpašais nosacījums (7) definīcijām būtu vājāks: pastāvēšanas nosacījums tiks atcelts. Turpretī modālajā loģikā, kurā nosaukumiem ir jābūt neprecīziem un neelastīgiem, tiktu pastiprināts īpašais nosacījums: ir jāpierāda ne tikai esamība un unikalitāte, bet arī jāparāda, ka definīcija ir apmierināta ar vienu un viens un tas pats objekts iespējamās pasaulēs.

Definīcijas, kas atbilst (7) - (9), ir neviendabīgas; definiendum ir sensents, bet definētais termins nav. Viens no (7) un (9) īpašo nosacījumu avotiem ir to neviendabīgums. Īpašie nosacījumi ir nepieciešami, lai nodrošinātu, ka definīcija, kaut arī tā nav definētā termina loģiskā kategorija, piešķir tai pareizu loģisko izturēšanos. Tādējādi nosacījumi nodrošina, ka izvērstās valodas loģika ir tāda pati kā pamatvalodas loģika. Tas ir iemesls, kāpēc īpašie nosacījumi normālām formām var mainīties atkarībā no pamata valodas loģikas. Ievērojiet - lai kāda būtu šī loģika, regulārām viendabīgām definīcijām nav nepieciešami īpaši nosacījumi.

Tradicionālais konts ļauj veikt vienkāršus definīciju loģiskus noteikumus un paplašinātas valodas vienkāršu semantiku. Pieņemsim, ka definīcijai (mathcal {D}) ir sensitīvs definiendum. (Klasiskajā loģikā visas definīcijas var viegli pārveidot, lai tās atbilstu šim nosacījumam.) Ļaujiet (mathcal {D}) būt

(tag {10} phi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}) eqdf / psi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}),)

kur (x_ {1}),…, (x_ {n}) visi mainīgie lielumi ir brīvi vai nu (phi), vai (psi). Un ļaujiet (phi (t_ {1}, / ldots, t_ {n})) un (psi (t_ {1}, / ldots, t_ {n})) iegūt, vienlaicīgi aizstājot terminus. (t_ {1}),…, (t_ {n}) attiecīgi (x_ {1}),…, (x_ {n}) attiecīgi (phi (x_ { 1}, / ldoti, x_ {n})) un (psi (x_ {1}, / ldoti, x_ {n})); mainot saistītos mainīgos pēc vajadzības. Tad secinājumu noteikumi, kas reglamentē (mathcal {D}), ir vienkārši šādi:

(sākt {izlīdzināt *} frac { phi (t_1, / ldoti, t_n)} { psi (t_1, / ldoti, t_n)}, \, & / textbf {Definiendum Elimination} & \\ / frac { psi (t_1, / ldots, t_n)} { phi (t_1, / ldots, t_n)}, \, & / textbf {Definiendum Introduction} end {align *})

Paplašinātās valodas semantika ir arī vienkārša. Pieņemsim, ka, piemēram, (mathcal {D}) ir nosaukuma definīcija (a) un pieņemsim, ka normālā formā tas ir līdzvērtīgs (7). Pēc tam katra (L) klasiskā interpretācija (M) izvēršas unikālā paplašinātās valodas (L ^ {+}) klasiskā interpretācijā (M ^ {+}). (A) apzīmējums (M ^ {+}) ir unikāls objekts, kas apmierina (psi (x)) (M); apstākļi uz (psi (x)) nodrošina šāda objekta eksistenci. Definēto predikātu un funkciju simbolu semantika ir līdzīga. Klasifikāciju definīciju loģika un semantika tradicionālajā kontekstā tiek apstrādāta paralēli.

Ņemiet vērā, ka definīcijas (10) pievienošanas izsecināmais spēks ir tāds pats kā pievienošanai kā aksiomu universālai valodas slēgšanai.

(tag {11} phi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}) leftrightarrow / psi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}).)

Tomēr šai (10) un (11) loģiskās uzvedības līdzībai nevajadzētu aizēnot lielās atšķirības starp divējādo nosacījumu ('(leftrightarrow)') un definīciju ekvivalenci ('(eqdf)'). Pirmais ir sensitīvs savienojums, bet otrais ir transkategorisks: '(eqdf)' abās pusēs var būt ne tikai formulas, bet arī predikāti, nosaukumi un citu loģisko kategoriju elementi. Turklāt abpusējo nosacījumu var atkārtot, piemēram, (((phi / leftrightarrow / psi) leftrightarrow / chi)) - bet ne definīciju ekvivalenci. Visbeidzot, terminu var ieviest ar nosacītu definīciju pamata valodā, kuras loģiskie resursi ir ierobežoti, teiksim, ar klasisko savienojumu un disjunkciju. Tas ir pilnīgi iespējams, kaut arī abpusējie nosacījumi valodā nav izteikti. Šādos gadījumosobligātās definīcijas secinošo lomu neatspoguļo neviena izvērstās valodas formula.

Tradicionālais definīciju pārskats nav jāuzskata par prasību definīcijām būt normālā formā. Vienīgās prasības, ko tas uzliek, ir (i), ka definiendum satur noteikto terminu; ii) ka definiendum un definiens pieder tai pašai loģiskajai kategorijai; un (iii) definīcija atbilst konservatīvajai un novēršamībai. Kamēr tiek izpildītas šīs prasības, vairs nav nekādu ierobežojumu. Definiendum, tāpat kā definiens, var būt sarežģīts; un definīcijās, tāpat kā definiendum, var būt noteikts termins. Tā, piemēram, formāli nav nekas nepareizs, ja funkcionālās izteiksmes “skaits” definīcijā kā pamatnoteikums ir formula “(F) s skaits ir (G) s”. Parasto formu loma ir tikai nodrošināt vienkāršu veidu, kā nodrošināt, ka definīcijas atbilst konservatīvajai un novēršamībai; tie nenodrošina vienīgo likumīgo formātu termina noteikšanai ieviešanai. Tādējādi iemesls, kāpēc (4) ir, bet (6) nav, likumīga definīcija nav tā, ka (4) ir normālā formā un (6) nav.

(sākt {pielīdzināt *} birku {4} Gx & / eqdf x / gt 3 / amp x / lt 10. \\ / tag {6} Gx & / eqdf x / gt y / amp x / lt 10. / beigas {izlīdzināt *})

Iemesls ir tāds, ka (4) ievēro, bet (6) neatbilst diviem kritērijiem. (Tiek pieņemts, ka pamatvalodā ir parasta aritmētika; saskaņā ar šo pieņēmumu otrā definīcija nozīmē pretrunu.) Arī šādas divas definīcijas nav normālā formā:

(sākt {izlīdzināt *} tagu {12} Gx & / eqdf (x / gt 3 / amp x / lt 10) amp y = y. \\ / tag {13} Gx & / eqdf [x = 0 / amp (G0 / vee G1)] vee [x = 1 / amp ({ sim} G0 / amp { sim} G1)]. / beigas {izlīdzināt *})

Bet abiem saskaņā ar tradicionālo kontu ir jāuzskata par likumīgiem, jo tie atbilst konservatīvās izturības un novēršamības kritērijiem. No tā izriet, ka abas definīcijas var salikt normālā formā. Definīcija (12) nepārprotami ir līdzvērtīga (4), un definīcija (13) ir līdzvērtīga (14):

(tag {14} Gx / eqdf x = 0.)

Ievērojiet, ka punkta (13) definīcijas nav loģiski līdzvērtīgas nevienai formulai, kas nesatur ((G)). Neskatoties uz to, definīcijai ir normāla forma.

Tāpat tradicionālais konts ir lieliski savietojams ar rekursīvām (aka: induktīvām) definīcijām, piemēram, tām, kas atrodamas loģikā un matemātikā. Piemēram, Peano aritmētikā eksponenci var definēt, izmantojot šādus vienādojumus:

(tag {15} sākas {pielīdzināt *} m ^ {0} & = 1, \\ m ^ {n + 1} & = m ^ {n} cdot m. / beigas {izlīdzināt *})

Pirmais vienādojums, ko sauc par bāzes klauzulu, definē funkcijas vērtību, kad eksponents ir 0. Un otrais teikums, ko sauc par rekursīvo klauzulu, izmanto funkcijas vērtību, kad eksponents ir (n), lai definētu vērtība, kad eksponents ir (n + 1). Saskaņā ar tradicionālo pārskatu tas ir pilnīgi likumīgi, jo Peano aritmētikas teorēma nosaka, ka iepriekšminētā definīcija ir ekvivalenta normālai formai. [10] Rekursīvās definīcijas ir apļveida to formātā, un tieši šī aprites kārtība padara tās uztveramas. Bet riņķošanās pilnībā atrodas uz virsmas, kā liecina normālu formu esamība. Apļveida definīciju diskusiju skatiet zemāk.

2.5. Netiešās definīcijas

Šis skats ļauj tradicionālajam kontam ieviest savas idejas, kas no pirmā acu uzmetiena varētu šķist tam pretrunā. Dažreiz tiek ierosināts, ka terminu (X) var ieviest aksiomātiski, tas ir, nosakot kā aksiomas dažus izvērstās valodas teikumus (L ^ {+}). Pēc tam tiek teikts, ka aksiomas netieši definē (X). Šī ideja ir viegli pielāgojama tradicionālajam kontam. Ļaujiet teorijai būt izvērstās valodas teikumu kopai (L ^ {+}). Tad, sakot, ka teorija (T ^ *) ir netieša (nosacīta) X definīcija, jāsaka, ka (X) pārvalda definīcija.

(phi / eqdf / text {The True},)

kur (phi) ir (T ^ *) dalībnieku savienojums. (Ja (T ^ *) ir bezgalīgs, tad katram teikumam (psi), kas atrodas (T ^ *), ir nepieciešams iepriekš norādītās formas noteikums.) [11] Definīcija ir likumīga saskaņā ar tradicionālais konts, ja vien tas atbilst konservatīvās izturības un novēršamības kritērijiem. Ja tas atbilst šiem kritērijiem, sauksim (T ^ *) par pieņemamu (X definīcijai). Tātad tradicionālajā pārskatā ir ņemta vērā ideja, ka teorijas var nosacīti ieviest jaunus terminus, taču tas izvirza lielu prasību: teorijām jābūt pieļaujamām. [12]

Konkrētības labad apsveriet klasiskās pirmās kārtas valodu īpašo gadījumu. Ļaujiet pamata valodai (L) būt vienai no šādām, un lai tās interpretācijas būtu dažu teikumu paraugi (T). Sakiet, ka (L ^ {+}) interpretācija (M ^ {+}) ir interpretācijas (M) paplašinājums (L) iff (M) un (M ^ {+}) ir vienāds domēns, un tie piešķir vienādas semantiskās vērtības neloģiskajām konstantēm, kas atrodas (L). Turklāt, teiksim to

(T ^ *) ir netieša semantiska X iff definīcija, katrai (L) interpretācijai (M) ir (T ^ unikāls modelis (M ^ {+}). *) tāds, ka (M ^ {+}) ir (M) paplašinājums.

Tad tūlīt seko šāda prasība:

Ja (T ^ *) ir pieļaujams, tad (T ^ *) ir netieša (X) semantiskā definīcija.

Tas ir, pieļaujamā teorija nosaka noteiktā termina semantisko vērtību katrā pamatvalodas interpretācijā. Šis novērojums nodrošina vienu dabisku metodi, kā parādīt, ka teorija nav pieļaujama:

Padovas metode. Lai parādītu, ka (T ^ *) nav pieļaujams, pietiek izveidot divus (T ^ *) modeļus, kas ir vienas un tās pašas pamatvalodas (L) interpretācijas paplašinājumi. (Padova 1900)

Šeit ir vienkārša un filozofiski noderīga Padoa metodes pielietošana. Pieņemsim, ka (L) pierādīšanas sistēma ir Peano Aritmētika un ka (L) tiek paplašināta, pievienojot vienotu predikātu (Tr) (“Gödela skaitlis, kurā teikts, ka patiesais teikums ir (L)”). Ļaujiet (mathbf {H}) būt teorijai, kas sastāv no visiem teikumiem (“Tarski biconditionals”) šādā formā:

[Tr (s) leftrightarrow / psi,)

kur (psi) ir (L) teikums un (s) ir Gēdela skaitļa (psi) kanoniskais nosaukums. Padovas metode nozīmē, ka (mathbf {H}) nav pieļaujams, lai definētu (Tr). For (mathbf {H}) nefiksē (Tr) interpretāciju visās (L) interpretācijās. Jo īpaši tas netiek darīts standarta modelī, jo (mathbf {H}) neierobežo (Tr) uzvedību attiecībā uz tiem skaitļiem, kas nav Gēdela teikumu skaitļi. (Ja kodēšana katram naturālajam skaitlim piešķir teikuma Gēdela numuru, tad nestandarta Peano aritmētikas modelis nodrošina nepieciešamo pretparaugu: tam ir bezgalīgi daudz paplašinājumu, kas ir paraugi (mathbf {H}). A šī argumenta variants rāda, ka Tarski patiesības teorija, kas formulēta (L ^ {+}), nav pieņemama, lai definētu (Tr).

Kā ir ar Padovas metodes pretstatu? Pieņemsim, ka mēs varam parādīt, ka katrā pamatvalodas interpretācijā teorija (T ^ *) nosaka noteiktajam terminam unikālu semantisko vērtību. Vai mēs varam secināt, ka (T ^ *) ir pieļaujams? Šis jautājums dažām semantiskajām sistēmām saņem noraidošu atbildi, bet citām - pozitīvu atbildi. (Turpretī Padoa metode darbojas tik ilgi, kamēr semantiskā sistēma nav īpaši izdomāta.) Pretēji neizdodas, piemēram, klasiskajām otrās kārtas valodām, bet tā ir pirmās kārtas valodām:

Betas definējamības teorija. Ja (T ^ *) ir netieša semantiska definīcija (X) klasiskā pirmās kārtas valodā, tad (T ^ *) ir pieļaujama.

Ņemiet vērā, ka teorēma pastāv pat tad, ja (T ^ *) ir bezgalīga kopa. Par teorēmas pierādījumiem skat. Boolos, Burgess un Jeffrey 2002; sk. arī Betu 1953. gadā.

Netiešās definīcijas ideja nav pretrunā ar tradicionālo kontu. Kur rodas konflikts, tas ir idejas filozofiskajos pielietojumos. Stingru redukcionistu programmu neveiksme deviņpadsmitā gadsimta beigās un divdesmitā gadsimta sākumā pamudināja filozofus izpētīt brīvākos redukcionisma veidus. Piemēram, Frege skaitļa definīcija izrādījās nekonsekventa un tādējādi nespēj atbalstīt loģistikas tēzi, ka aritmētikas principi ir analītiski. Izrādās, ka aritmētikas principus var atvasināt arī bez Frege definīcijas. Viss, kas nepieciešams, ir vienas no tā sekām, proti, Hjūsa princips:

Hjūsa princips. (F) s = to ((G)) skaits, ja starp (F) un (G) ir viena pret otru atbilstība.

Ja pievienojam Hjūsa principu otrās kārtas loģikai, tad mēs varam analītiski atvasināt (otrās kārtas) Peano aritmētisko. (Argumenta būtiskākais elements ir atrodams Frege 1884. gadā.) Neoreģeānisma centrālā tēze ir tāda, ka Hjūsa princips ir funkcionālās izteiksmes “skaita” netieša definīcija (sk. Hale un Wright 2001). Ja šo tēzi var aizstāvēt, tad loģismu par aritmētiku var saglabāt, atsakoties no Frege precīzās (un pretrunīgās) definīcijas. Tomēr neo-Fregean tēze ir pretrunā ar tradicionālo definīciju skaidrojumu, jo Hjūsa princips pārkāpj gan konservatīvību, gan likvidējamību. Šis princips ļauj patvaļīgi (n) pierādīt, ka ir vismaz (n) objekti.(Saistīta lietojuma mērķis ir uzturēt ģeometrijas analītiskumu, izmantojot domu, ka ģeometrijas aksiomas ir netiešas ģeometrisko jēdzienu definīcijas, piemēram, “punkts” un “līnija”. Arī šeit ir pretruna ar tradicionālo uzskatu par konservatīvību. un tiek novērsti.)

Cits piemērs: redukcionistu programmas teorētiskajām koncepcijām (piemēram, fizikas jēdzieniem) bija paredzēts risināt epistemoloģiskās problēmas, kuras rada šie jēdzieni. Programmas mērķis bija samazināt teorētiskos teikumus līdz novērošanas teikumiem (klasēm). Tomēr izrādījās, ka samazinājumus ir grūti, ja pat neiespējami, saglabāt. Tādējādi radās ierosinājums, ka, iespējams, teorijas nemanojošo komponentu bez jebkādas pretenzijas uz samazināšanu var uzskatīt par netiešu teorētisko terminu definīciju. Precīza ne-novērojamā komponenta raksturojums var atšķirties atkarībā no konkrētās pašreizējās epistemoloģiskās problēmas. Bet noteikti ir pārkāpts viens vai abi no diviem kritērijiem - konservatīvā izturība un novēršamība. [13]

Pēdējais piemērs: pēc Tarski teorēmas mēs zinām, ka neviena teorija nevar būt pieļaujama patiesības predikatīva ((Tr)) definīcija iepriekš apskatītajai Peano aritmētikas valodai. Neskatoties uz to, varbūt joprojām teoriju (mathbf {H}) varam uzskatīt par netiešu (Tr) definīciju. (Pols Horvics ir iesniedzis cieši saistītu priekšlikumu parastajam patiesības jēdzienam.) Šeit atkal tiek izdarīts spiediens uz tradicionālā konta noteiktajām robežām. (mathbf {H}) atbilst konservatīvās izturības kritērijam, bet ne noņemamības kritērijam.

Lai novērtētu izaicinājumu, ko šie filozofiskie pielietojumi rada tradicionālajam pārskatam, mums jāatrisina jautājumi, par kuriem notiek pašreizējās filozofiskās debates. Daži no šiem jautājumiem ir šādi. (i) Ir acīmredzami, ka daži konservatīvās spējas pārkāpumi ir nelikumīgi: to nevar padarīt patiesu ar noteikumu, ka, piemēram, dzīvsudrabs ir lielāks nekā Venēra. Tagad, ja filozofiska piemērošana prasa, lai daži konservatīvās spējas pārkāpumi būtu likumīgi, mums ir jānovērtē atšķirība starp diviem lietu veidiem: konservatīvās darbības likumīgajiem pārkāpumiem un nelikumīgajiem. Un mums ir jāsaprot, kas tieši to padara likumīgu, bet otru ne. (ii) Līdzīgs jautājums rodas saistībā ar novēršanu. Liekas, ka neviena vecā teorija nevar būt netieša termina (X) definīcija.(Teorijā varētu būt tikai tautoloģijas.) Ja tā, tad mums atkal ir jānodala teorijas, kas var kalpot, lai netieši definētu terminu no tiem, kas to nevar. Un mums ir nepieciešams atšķirības pamatojums. (iii) Filozofiskie pielietojumi ir pamatoti ar domu, ka netieša definīcija nosaka noteiktā termina nozīmi. Tāpēc mums ir nepieciešams pārskats par to, kāda ir šī nozīme, un kā to nosaka netiešā definīcija. Tradicionālajā kontā var uzskatīt, ka formulas, kurās ir definēts termins, iegūst savu nozīmi no pamata valodas formulām. (Ņemot vērā sentenciālo pārākumu, tas nosaka noteiktā termina nozīmi.) Bet šis solis nav pieejams, izmantojot liberalizētu netiešas definīcijas koncepciju. Kā tadvai mums vajadzētu padomāt par formulas nozīmi, domājot par atkāpšanos no tradicionālā konta? (iv) Pat ja iepriekšējie trīs jautājumi tiek risināti apmierinoši, joprojām pastāv nopietnas bažas. Pieņemsim, ka mēs pieļaujam, ka, piemēram, fizikas teorija ((T)) var nosacīti definēt savus teorētiskos terminus un piešķir terminiem noteiktas nozīmes. Paliek jautājums, vai šādi piešķirtās nozīmes ir identiskas (vai pietiekami līdzīgas) nozīmēm, kuras teorētiskajiem terminiem ir to faktiskajā lietojumā fizikā. Uz šo jautājumu ir jāsniedz pozitīva atbilde, ja netiešām definīcijām ir jāpilda viņu filozofiskā funkcija. Netiešu definīciju atsaukšanās mērķis ir ņemt vērā mūsu parasto spriedumu racionalitāti vai aprioritāti, vai analītiskumu,nevis no dažiem ārkārtas spriedumiem, kas kaut kā tiek attiecināti uz parastajām zīmēm.

Plašāku šo jautājumu apspriešanu skat. Horwich 1998, īpaši 6. nodaļā; Hale un Wright 2001, jo īpaši 5. nodaļa; un tur citētie darbi.

2.6 Apburtā loka princips

Vēl viena atkāpšanās no tradicionālās teorijas sākas ar domu nevis par to, ka teorija ir pārāk stingra, bet gan par pārāk liberālu, ka tā pieļauj nelikumīgas definīcijas. Tādējādi tradicionālā teorija pieļauj šādas “melu” un dabisko skaitļu klases ((mathbf {N})) definīcijas:

  • (16) (z) ir melīgs (eqdf) visi (z) apgalvojumi ir nepatiesi;
  • (17) (z) pieder (mathbf {N}) (eqdf) (z) pieder katrai induktīvajai klasei, kur klase ir induktīva, ja tajā ir 0 un ir aizvērta zem pārņēmēja operācija.

Rasels apgalvoja, ka šādas definīcijas ietver smalku apburto loku. Pēc Rasela domām, pirmās definīcijas definīcija atsaucas uz visu apgalvojumu kopumu, bet, ja definīcija ir likumīga, tad tās rezultātā rodas priekšlikumi, kurus var definēt tikai, atsaucoties uz šo kopumu. Tāpat otrā definīcija mēģina definēt klasi (mathbf {N}), atsaucoties uz visām klasēm, kas ietver klasi (mathbf {N}), kas tiek definēta. Rasels apgalvoja, ka šādas definīcijas ir nelikumīgas. Un viņš definīcijām un jēdzieniem uzlika šādas prasības - “apburtā loka princips”. (Arī Henri Poincaré bija ierosinājis līdzīgu ideju.)

Apburtā loka princips. “Neatkarīgi no tā, kas ietver visu kolekciju, tā nedrīkst būt viena no kolekcijām (Rasels 1908, 63).”

Vēl viens Rasela sniegtais principa formulējums ir šāds:

Apburtā loka princips (varianta formulējums). "Ja, ja kādai kolekcijai būtu kopsumma, tajā būtu dalībnieki, kas definējami tikai pēc šī kopskaita, tad minētajai kolekcijai nav kopsummas (Russell, 1908, 63)."

Pievienotajā zemsvītras piezīmē Rasels paskaidroja: “Kad es saku, ka kolekcijai nav kopsummas, es domāju, ka paziņojumi par visiem tās dalībniekiem ir muļķības.”

Rasela galvenā motivācija Apburtā loka principam bija loģiski un semantiski paradoksi. Tādi jēdzieni kā “patiesība”, “piedāvājums” un “klase” noteiktos nelabvēlīgos apstākļos rada paradoksālus secinājumus. Tādējādi apgalvojums “Čeinijs ir melis”, kurā “melis” tiek saprasts (16. punktā), rada paradoksālus secinājumus, ja Černijs ir apgalvojis, ka viņš ir melis, un visi citi viņa izteiktie apgalvojumi faktiski ir nepatiesi.. Rasels izvēlējās apburtā loka principu, lai norādītu, ka, ja “Čeinijs ir melis” izsaka ierosinājumu, tas nevar ietilpt kvantitatīvajā definīcijā (16). Vispārīgāk runājot, Rasela uzskatīja, ka visu apgalvojumu un visu klašu kvantitatīvā noteikšana pārkāpj apburtā loka principu un tādējādi ir nelikumīga. Turklātviņš apgalvoja, ka tādi izteicieni kā “patiess” un “nepatiess” neizsaka unikālu jēdzienu - Rasela terminoloģijā, unikālu “piedāvājuma funkciju” - bet gan dažādu pakāpju piedāvājuma funkciju hierarhiju. Tādējādi Rasela mācība, kas gūta no paradoksiem, ir tāda, ka jēdzieniskā joma ir ierobežotāka, nekā parasti varētu šķist, ka tradicionālais jēdzienu un definīciju pārskats bija jāpadara ierobežojošāks, lai izslēgtu līdzības (16) un (17).ka tradicionālais jēdzienu un definīciju pārskats bija jāpadara ierobežojošāks, lai izslēgtu līdzības (16) un (17).ka tradicionālais jēdzienu un definīciju pārskats bija jāpadara ierobežojošāks, lai izslēgtu līdzības (16) un (17).

Pielietojot parastās, neoficiālās definīcijas, apburtā loka princips nenodrošina, jāsaka, skaidru metodi jēgpilna norobežošanai no bezjēdzīgas. Domājams, ka 16. definīcija ir nelikumīga, jo tās kvantitatīvā izteiksmē tā definīcija svārstās starp visiem priekšlikumiem. Un mums saka, ka tas ir aizliegts, jo, ja tas būtu atļauts, visu priekšlikumu kopumam “būtu, ka locekļi būtu definējami tikai pēc kopskaita”. Tomēr, ja vien mēs nezinām vairāk par ierosinājumu raksturu un par līdzekļiem to definēšanai, nav iespējams noteikt, vai (16) ir pārkāpts princips. Var būt, ka tāds ierosinājums kā “Čeinijs ir melis” vai arī, lai ņemtu mazāk strīdīgu piemēru,“Vai nu Čeinijs ir melis, vai arī viņš nav” - var dot definīciju, kas nepatīk visu priekšlikumu kopumam. Ja priekšlikumi, piemēram, ir iespējamo pasauļu kopas, tad šāda definīcija šķiet iespējama.

Apburtā loka princips tomēr kalpo kā efektīva motivācija īpašam likumīgu jēdzienu un definīciju pārskatam, proti, tam, kas ietverts Rasela Ramified tipa teorijā. Ideja ir tāda, ka viens sākas ar dažiem neproblematiskiem resursiem, kas nesatur kvantitatīvu izteikumu par priekšlikumiem, koncepcijām un tamlīdzīgiem. Šie resursi ļauj definēt, piemēram, dažādus vienotus jēdzienus, kas tādējādi tiek nodrošināti ar apburtā loka principa ievērošanu. Tādējādi šo jēdzienu kvantitatīvā noteikšana ir likumīga, un to var pievienot valodai. Tas pats attiecas uz priekšlikumiem un jēdzieniem, kas ietilpst citos tipos: katram tipam var pievienot kvantifikatoru, kas svārstās pār (šāda veida) vienumiem, kuri ir definējami, izmantojot sākotnējos neproblematiskos resursus. Jaunie kvantitatīvie resursi ļauj definēt turpmākus katra veida posteņus; arī šie ievēro principu, un atkal valodai var likumīgi pievienot skaitliskos skaitļus, kas pārsniedz paplašināto kopumu. Jaunie resursi ļauj definēt vēl citus posteņus. Un process atkārtojas. Rezultāts ir tāds, ka mums ir dažādu secību priekšlikumu un koncepciju hierarhija. Katrs tips hierarhijas tipā rada daudz pasūtījumu. Šī sakārtošana nodrošina, ka iegūtā valodā formulētajām definīcijām ir jāievēro apburtā loka princips. Jēdzieni un klases, kuras var definēt šīs shēmas ietvaros, tiek uzskatīti par neprecīziem (šī vārda vienā nozīmē); pārējie - neticami.valodai var likumīgi pievienot skaitļus, kuru diapazons pārsniedz paplašināto kopumu. Jaunie resursi ļauj definēt vēl citus posteņus. Un process atkārtojas. Rezultāts ir tāds, ka mums ir dažādu secību priekšlikumu un koncepciju hierarhija. Katrs tips hierarhijas tipā rada daudz pasūtījumu. Šī sakārtošana nodrošina, ka iegūtā valodā formulētajām definīcijām ir jāievēro apburtā loka princips. Jēdzieni un klases, kuras var definēt šīs shēmas ietvaros, tiek uzskatīti par neprecīziem (šī vārda vienā nozīmē); pārējie - neticami.valodai var likumīgi pievienot skaitļus, kuru diapazons pārsniedz paplašināto kopumu. Jaunie resursi ļauj definēt vēl citus posteņus. Un process atkārtojas. Rezultāts ir tāds, ka mums ir dažādu secību priekšlikumu un koncepciju hierarhija. Katrs tips hierarhijas tipā rada daudz pasūtījumu. Šī sakārtošana nodrošina, ka iegūtā valodā formulētajām definīcijām ir jāievēro apburtā loka princips. Jēdzieni un klases, kuras var definēt šīs shēmas ietvaros, tiek uzskatīti par neprecīziem (šī vārda vienā nozīmē); pārējie - neticami. Rezultāts ir tāds, ka mums ir dažādu secību priekšlikumu un koncepciju hierarhija. Katrs tips hierarhijas tipā rada daudz pasūtījumu. Šī sakārtošana nodrošina, ka iegūtā valodā formulētajām definīcijām ir jāievēro apburtā loka princips. Jēdzieni un klases, kuras var definēt šīs shēmas ietvaros, tiek uzskatīti par neprecīziem (šī vārda vienā nozīmē); pārējie - neticami. Rezultāts ir tāds, ka mums ir dažādu secību priekšlikumu un koncepciju hierarhija. Katrs tips hierarhijas tipā rada daudz pasūtījumu. Šī sakārtošana nodrošina, ka iegūtā valodā formulētajām definīcijām ir jāievēro apburtā loka princips. Jēdzieni un klases, kuras var definēt šīs shēmas ietvaros, tiek uzskatīti par neprecīziem (šī vārda vienā nozīmē); pārējie - neticami.

Papildu diskusiju par apburtā loka principu skat. Rasels 1908. gadā, Vaitheds un Rasels 1925. gadā, Gēdels 1944. gadā un Chihara 1973. Par Ramified Type Theory formālu izklāstu sk. 1976. gada baznīcu; neformālāku prezentāciju skat. Hazen 1983. Skat. arī ierakstus par tipa teoriju un Principia Mathematica, kur ir arī citas atsauces.

2.7 Apļveida definīcijas

Paradoksus var izmantot arī, lai motivētu secinājumu, kas ir pilnīgi pretējs Rasela apgalvojumam. Apsveriet šo vienas vietas predikāta (G) definīciju:

(tag {18} sākt {saskaņot *} Gx / eqdf x = / teksts {Sokrāts} un / ūdens (x = / teksts {Plato} amp Gx) & / vee (x = / teksts {Aristotelis) } amp { sim} Gx). / beigas {izlīdzināt *})

Šī definīcija būtībā ir apļveida; normālā formā to nevar samazināt līdz vienam. Tomēr intuitīvi tas sniedz būtiskus norādījumus par (G) lietošanu. Definīcija, piemēram, nosaka, ka Sokrats ietilpst (G) kategorijā, un nekas, izņemot trīs minētos senos filozofus, to nedara. Šī definīcija nenoliedz tikai divu objektu, proti, Platona un Aristoteļa, statusu. Ja pieņemsim, ka Platons ietilpst (G), tad definīcijas iegūst, kā Platons ietilpst (G) (jo Platons atbilst definīcijām), tādējādi apstiprinot mūsu pieņēmumu. Tas pats notiek, ja mēs domājam pretējo, proti, ka Platons neietilpst (G); atkal mūsu pieņēmums tiek apstiprināts. Kopā ar Aristoteli jebkurš mēģinājums izlemt, vai viņš ietilpst (G), nonāk mūs vēl nedrošākā situācijā:Ja pieņemsim, ka Aristotelis ietilpst (G), mēs ar definīciju varam secināt, ka viņš neietilpst (G) (jo viņš neatbilst definīcijām); un, tieši pretēji, ja mēs domājam, ka viņš neietilpst (G), mums liek secināt, ka viņš to dara. Bet pat Platonam un Aristoteļam (G) uzvedība nav nepazīstama: (G) šeit uzvedas tā, kā patiesības jēdziens uzvedas uz Patiesības stāstītāja (“Tas, ko es tagad saku, ir patiess”). un melis (“Tas, ko es tagad saku, nav taisnība”). Vispārīgāk runājot, pastāv spēcīga paralēle starp patiesības jēdziena un jēdzienu izturēšanos, kas definēti apļveida definīcijās. Abas lietas parasti ir labi definētas virknē gadījumu, un pārējās lietās abām ir dažādas neparastas loģiskas izturēšanās. Patiešām,visi dažādie satraucošās loģiskās izturēšanās veidi, kas sastopami ar patiesības jēdzienu, ir sastopami arī jēdzienos, kas definēti apļveida definīcijās. Šī spēcīgā paralēlisms liek domāt, ka, tā kā patiesība acīmredzami ir likumīgs jēdziens, tāpat ir jēdzieni, kas definēti ar apļveida definīcijām, piemēram (18). Saskaņā ar šo viedokli paradoksi neliecina par patiesības jēdziena likumību. Tie parāda tikai to, ka apļveida jēdzienu loģika un semantika atšķiras no tiem, kas nav apļveida. Šis viedoklis ir izstrādāts definīciju pārskatīšanas teorijā.nešaubieties par patiesības jēdziena likumību. Tie parāda tikai to, ka apļveida jēdzienu loģika un semantika atšķiras no tiem, kas nav apļveida. Šis viedoklis ir izstrādāts definīciju pārskatīšanas teorijā.nešaubieties par patiesības jēdziena likumību. Tie parāda tikai to, ka apļveida jēdzienu loģika un semantika atšķiras no tiem, kas nav apļveida. Šis viedoklis ir izstrādāts definīciju pārskatīšanas teorijā.

Šajā teorijā apļveida definīcija definētajam terminam piešķir nozīmi, kurai ir hipotētisks raksturs; definētā termina semantiskā vērtība ir pārskatīšanas noteikums, nevis kā apļveida definīcijām, piemērošanas noteikums. Apsveriet vēlreiz (18). Tāpat kā jebkura definīcija (18) nosaka definiendum (ja) interpretāciju, tiek dotas definīciju neloģisko konstantu interpretācijas. (18) problēma ir tā, ka definētais termins (G) rodas definīcijās. Bet pieņemsim, ka mēs patvaļīgi piešķiram (G) interpretāciju, teiksim, ka ļaujam tai būt visu (diskursa) Visuma objektu kopai (U) (ti, mēs domājam, ka (U) ir objekti, kas apmierina (G)). Tad ir viegli redzēt, ka definīcija precīzi attiecas uz Sokratu un Platonu. Tādējādi definīcija nosaka, ka saskaņā ar mūsu hipotēzi(G) interpretācijai jābūt kopai ({ text {Socrates}, / text {Plato} }). Līdzīgu aprēķinu var veikt jebkurai hipotēzei par (G) interpretāciju. Piemēram, ja hipotēze ir ({ text {Xenocrates} }), definīcija dod rezultātu ({ text {Sokrāts}, / teksts {Aristotelis} }). Īsāk sakot, kaut arī (18) precīzi nenosaka, uz kādiem objektiem attiecas (G), tas tomēr dod noteikumu vai funkciju, kas, ja to hipotētiski interpretē kā izejvielu, iegūst citu kā izeju. Revīzijas teorijas pamatideja ir šo noteikumu uzskatīt par pārskatīšanas noteikumu: izvades interpretācija ir labāka nekā ieejas interpretācija (vai arī tā ir vismaz tikpat laba; šī kvalifikācija tiks uztverta kā izlasīta). Semantiskā vērtība, ko definīcija piešķir noteiktajam terminam, nav paplašinājums - diskursa visuma norobežojums objektos, uz kuriem attiecas noteiktais termins, un objektos, kuri to nedara. Semantiskā vērtība ir pārskatīšanas noteikums.

Pārskatīšanas noteikums izskaidro gan parasto, gan ārkārtējo apļveida jēdziena izturēšanos. Ļaujiet, ka (delta) ir redakcijas noteikums, ko dod definīcija, un (V) ir definēta termina patvaļīga hipotētiska interpretācija. Mēs varam mēģināt uzlabot savu hipotēzi (V), atkārtoti izmantojot likumu (delta). Iegūtā secība, [V, / delta (V), / delta (delta (V)), / delta (delta (delta (V))), / ldots,)

ir rediģēšanas secība (delta). Redakciju sekvenču kopums (delta) visām iespējamām sākotnējām hipotēzēm ir rediģēšanas process, ko rada (delta). Piemēram, (18) pārskatīšanas noteikums ģenerē pārskatīšanas procesu, kas cita starpā sastāv no šādām pārskatīšanas sekvencēm:

[U, { text {Sokrāts}, / teksts {Plato} }, { teksts {Sokrāts}, / teksts {Plato}, / teksts {Aristotelis} }, { teksts {Socrates}, / teksts {Plato} }, / ldoti) ({{teksts {Ksenokrāts} }, { teksts {Sokrāts}, / teksts {Aristotelis} }, { teksts {Socrates} }, { text {Sokrāts}, / teksts {Aristotelis} }, / ldoti)

Novērojiet mūsu četru seno filozofu izturēšanos šajā procesā. Pēc dažiem sākotnējiem pārskatīšanas posmiem Sokrats vienmēr ietilpst pārskatītajās interpretācijās, un Ksenokrāts vienmēr ir ārpus tā. (Šajā konkrētajā piemērā abu uzvedība tiek fiksēta pēc sākotnējā posma; citos gadījumos var būt nepieciešami daudzi pārskatīšanas posmi, pirms objekta statuss tiek noregulēts.) Pārskatīšanas process rada kategorisku spriedumu abiem filozofiem.: Sokrats kategoriski ietilpst kategorijā (G), bet Ksenokrāts - par (G). Objekti, par kuriem process nedod kategorisku spriedumu, tiek uzskatīti par patoloģiskiem (attiecībā pret pārskatīšanas noteikumu, definīciju vai definēto jēdzienu). Mūsu piemērā Platons un Aristotelis ir patoloģiski attiecībā pret (18). Aristoteļa statuss nav stabils nevienā rediģēšanas secībā. It kā pārskatīšanas process nevarētu viņu izdomāt. Dažreiz tiek noteikts, ka Aristotelis ietilpst (G) kategorijā, un tad process apgriežas un paziņo, ka viņš neietilpst (G), un tad process atkal apgriežas. Ja objekts šādā veidā uzvedas visās revīzijas secībās, tas tiek uzskatīts par paradoksālu. Platons ir patoloģisks attiecībā pret (G), taču viņa izturēšanās pārskatīšanas procesā ir atšķirīga. Katrā pārskatīšanas secībā Platons iegūst stabilu statusu, bet viņa iegūtais statuss ir atkarīgs no sākotnējās hipotēzes. Ja objekts šādā veidā uzvedas visās revīzijas secībās, tas tiek uzskatīts par paradoksālu. Platons ir patoloģisks attiecībā pret (G), taču viņa izturēšanās pārskatīšanas procesā ir atšķirīga. Katrā pārskatīšanas secībā Platons iegūst stabilu statusu, bet viņa iegūtais statuss ir atkarīgs no sākotnējās hipotēzes. Ja objekts šādā veidā uzvedas visās revīzijas secībās, tas tiek uzskatīts par paradoksālu. Platons ir patoloģisks attiecībā pret (G), taču viņa izturēšanās pārskatīšanas procesā ir atšķirīga. Katrā pārskatīšanas secībā Platons iegūst stabilu statusu, bet viņa iegūtais statuss ir atkarīgs no sākotnējās hipotēzes.

Pārskatīšanas procesi palīdz nodrošināt apļveida definīciju semantiku. [14] Tos var izmantot, lai definētu semantiskos priekšstatus, piemēram, “kategoriskā patiesība”, un loģiskos priekšstatus, piemēram, “derīgums”. Iegūto loģisko priekšstatu raksturlielumi ir ļoti atkarīgi no viena pārskatīšanas aspekta: posmu skaita, pirms objekti apmetas pie viņu regulārā uzvedības pārskatīšanas procesā. Definīcija tiek uzskatīta par ierobežotu, jo aptuveni tā pārskatīšanas process prasa tikai ļoti daudzus šādus posmus. [15] Galīgajām definīcijām ir vienkāršs loģisks aprēķins (mathbf {C} _ {0}), kas ir drošs un pilnīgs versijas semantikai. [16] Ar definīcijām, kas nav ierobežotas, pārskatīšanas process attiecas arī uz bezgalīgo. [17]Un šīs definīcijas var dot valodai ievērojamu izteiksmīgu spēku. (Ja šīs definīcijas tiek pievienotas pirmās kārtas aritmētikai, šīs visas (Pi ^ {1} _ {2}) dabisko skaitļu kopas ir nosakāmas.) Izteiksmīgās spējas dēļ vispārīgais apzīmējums par derīgumu neaprobežotam apļveida skaitam definīcijas nav aksiomatizējamas (Kremer 1993). Mēs labākajā gadījumā varam dot pareizu loģisku aprēķinu, bet ne pilnīgu. Situācija ir analoga situācijai ar otrās kārtas loģiku.

Novērosim dažas definīciju pārskatīšanas teorijas vispārīgās iezīmes. (i) Saskaņā ar šo teoriju apļveida definīciju loģika un semantika, ti, definīcijas normālā formā, paliek tāda pati kā tradicionālajā kontā. Ieviešanas un atcelšanas noteikumi ir neierobežoti, un pārskatīšanas posmi nav nepieciešami. Atkāpes no tradicionālā konta notiek tikai ar apļveida definīcijām. (ii) Saskaņā ar teoriju apļveida definīcijas neizjauc pamata valodas loģiku. Teikumiem, kas satur noteiktus terminus, piemēro tos pašus loģiskos likumus kā pamata valodas teikumiem. (iii) saglabājas konservatīvās spējas. Neviena definīcija neatkarīgi no tā, cik apnicīga tajā ir riņķotība, pamata valodā nozīmē kaut ko jaunu. Pat pilnīgi paradoksāla definīcija

[Gx / eqdf { sim} Gx)

ievēro konservatīvās spējas prasību. (iv) Novēršamība nav noturīga. Paplašinātās valodas teikumi parasti nav reducējami ar pamatvalodas teikumiem. Šai neveiksmei ir divi avoti. Pirmkārt, pārskatīšanas teorija nosaka izvērstās valodas teikumu izmantošanu apgalvojumos un argumentos, nesamazinot teikumus līdz pamata valodas teikumiem. Tādējādi teorija atbilst izmantošanas kritērijam, bet ne spēcīgākam - Novēršamība. Otrkārt, šajā teorijā definīcija pamata valodai var pievienot loģisku un izteiksmīgu spēku. Apļveida definīcijas pievienošana var radīt jaunu kopu definējamību. Tas ir vēl viens iemesls, kāpēc nenovēršamība neizdodas.

Var iebilst, ka katram jēdzienam ir jābūt paplašinājumam, ka ir jābūt noteiktam to objektu kopumam, uz kuriem attiecas šī koncepcija. Ja tas ir pareizi, tad predikātam ir jēga - tas izsaka jēdzienu - tikai tad, ja predikāts noteikti asi apzīmē pasauli tajos objektos, uz kuriem tas attiecas, un tajos, uz kuriem tas neattiecas. Tādējādi no iebilduma secina, ka predikātam ar būtībā apļveida definīciju nevar būt nozīmes. Iebildums acīmredzami nav izšķirošs, jo tas balstās uz pieņēmumu, kas izslēdz daudzus parastus un acīmredzami nozīmīgus predikātus (piemēram, “pliku”). Neskatoties uz to, tas ir ievērības cienīgs, jo tas parāda, kā vispārīgi jautājumi par jēgu un jēdzieniem nonāk debatēs par likumīgu definīciju prasībām.

Revīzijas teorijas galvenā motivācija ir aprakstoša. Tika apgalvots, ka teorija palīdz mums labāk izprast mūsu parastos jēdzienus, piemēram, patiesību, nepieciešamību un racionālu izvēli. Tiek apgalvots, ka šo jēdzienu parastā, kā arī mulsinošā uzvedība meklējama šo jēdzienu aprites lokā. Ja tas ir pareizi, tad aprakstošām un skaidrojošām definīcijām nav loģiskas prasības, lai tās nebūtu apļveida.

Sīkāku šo tēmu traktējumu skat. Gupta 1988/89, Gupta un Belnap 1993, Chapuis and Gupta 1999. Skatīt arī ierakstu par patiesības rediģēšanas teoriju. Kritiskas diskusijas par pārskatīšanas teoriju sk. Vanna Makgeja un Donalda A. Martina dokumentos un Gupta atbildē Villanuevā 1997. Skatīt arī Shapiro 2006.

Bibliogrāfija

  • Belnap, N., 1993, “Par stingrām definīcijām”, Philosophical Studies, 72: 115–146.
  • Beth, EW, 1953. gads, “Par Padovas metodi definīciju teorijā”, Indagationes Mathematicae, 15: 330–339.
  • Boolos, GS, Burgess, JP, and Jeffrey, RC, 2002, Computability and Logic, ceturtais izdevums, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Carnap, R., 1956, nozīme un nepieciešamība: pētījums par semantiku un modālo loģiku, palielināts izdevums, Čikāga: University of Chicago Press.
  • Chapuis, A., un Gupta, A. (red.), 1999, Circularity, Definition and Truth, New Delhi: Indijas Filozofisko pētījumu padome.
  • Charles, D. (ed.), 2010, Definīcija grieķu filozofijā, Oksforda: Oxford University Press.
  • Chihara, CS, 1973, Ontoloģija un apburtā loka princips, Ithaca: Cornell University Press.
  • Church, A., 1956, Ievads matemātiskajā loģikā, Princeton: Princeton University Press.
  • –––, 1976. gads, “Rasela semantisko antinomiju izšķirtspējas salīdzinājums ar Tarski”, Journal of Symbolic Logic, 41: 747–760.
  • Demopoulos, W., 2003, “Par mūsu teorētisko zināšanu racionālu rekonstrukciju”, Lielbritānijas žurnāls par zinātnes filozofiju, 54: 371–403.
  • Dūdmens, VH, 1973, “Brīvs par definīcijām”, Mind, 83: 609–610.
  • Frege, G., 1879, Begriffschrift, no From Frege to Gödel: Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931, edited by J. van Heijenoort, Cambridge MA: Harvard University Press (1967), 1. – 82. lpp.
  • –––, 1884. gads, Aritmētikas pamati: loģiski matemātisks pētījums par skaitļa jēdzienu, otrais pārskatītais izdevums (1980), Evanston: Northwestern University Press.
  • –––, 1914. gads, “Loģika matemātikā”, Gotlobs Frege: Pēcnāves raksti, rediģējuši H. Hermes, F. Kambartela un F. Kaulbaha, Čikāga: University of Chicago Press (1979), 203. – 250. Lpp.
  • Gēdels, K., 1944. gads, “Rasela matemātiskā loģika”, pārpublicēts savos apkopotajos darbos: II sējums: Publikācijas 1938–1974, Ņujorka: Oxford University Press (1990), 119. – 141. Lpp.
  • Gupta, A., 1988/89, “Piezīmes par definīcijām un patiesības jēdzienu”, Aristotelian Society Proceedings of the Aristotelian Society, 89: 227–246.
  • –––, 2006, “Galīgās apļveida definīcijas”, pašreferencē, rediģējuši T. Bolanders, VF Hendricks un SA Andersen, Stenforda: CSLI Publications, 79. – 93. Lpp.
  • –––, 2019. gads, apzināta pieredze: loģiska izmeklēšana, Kembridža, MA: Harvard University Press.
  • Gupta, A. un Belnap, N., 1993, Patiesības revīzijas teorija, Kembridža MA: MIT Press.
  • Hakeris, PMS, 1993. gads, “Vitgenšteins par elastīgajām definīcijām”, Enquiry, 18: 267–287.
  • Hale B. un Wright C., 2001, Pareizais iemesls: Esejas ceļā uz neo-Fregean matemātikas filozofiju, Oksforda: Clarendon Press.
  • Hazen, A., 1983, “Paredzamā loģika”, Filozofiskās loģikas rokasgrāmatā: I sējums: Klasiskās loģikas elementi, rediģējuši D. Gabbajs un F. Gentners, Dordrehts: Reidele, 331. – 407. Lpp.
  • Hodžs, W., 1993. gads, “Tarski definīcijas teorija” jaunajās esejās par Tarski un filozofiju, rediģējis D. Pattersons, Oksforda: Oxford University Press, 94. – 132. Lpp.
  • Horty, J., 2007, Frege on Definīcijas: Semantiskā satura gadījuma izpēte, Ņujorka: Oxford University Press.
  • Horwich, P., 1998, Nozīme, Oxford: Clarendon Press.
  • Krēmers, P., 1993. gads. “Gupta-Belnap sistēmas (mathbf {S} ^ { #}) un (mathbf {S} ^ {*}) nav aksiomatizējamas,” Notre Dame Journal of Formāla loģika, 34: 583–596.
  • Kripke, SA, 1980, Nosaukšana un nepieciešamība, Kembridža MA: Harvard University Press.
  • Locke, J., 1689, Eseja par cilvēka izpratni, edited by PH Nidditch, Oxford: Oxford University Press (1975).
  • Martinez, M., 2001, “Dažas galīgo definīciju slēgšanas īpašības”, Studia Logica, 68: 43–68.
  • Moschovakis, Y., 1974, Elementārā indukcija uz abstraktām struktūrām, Amsterdama: Ziemeļholande.
  • Padoa, A., 1900, “Loģisks ievads jebkurai deduktīvai teorijai”, no Frege to Gödel: Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931, edited by J. van Heijenoort, Cambridge MA: Harvard University Press (1967), 118. – 123.
  • Kvīns, WVO, 1951. gads, “Divas empīrisma dogmas”, tika pārpublicēts rakstā No loģiskā viedokļa, Kembridža, MA: Harvard University Press (1953), 20. – 46. Lpp.
  • –––, 1960, Word and Object, Kembridža MA: MIT Press.
  • Robinsons, R., 1950. gads, Definīcija, Oksforda: Clarendon Press.
  • Rasels, B., 1908. gads, “Matemātiskā loģika kā balstīta uz tipu teoriju”, tika pārpublicēts viņa loģikā un zināšanās: Esejas 1901–1950, Londona: Džordžs Allens un Unvins (1956), 59. – 102. Lpp.
  • –––, 1948. gads, Cilvēka zināšanas: tās darbības joma un ierobežojumi, Ņujorka: Simons un Šusters.
  • Shapiro, L., 2006, “Revīzijas un noteikumu semantikas pamatojums”, Filozofiskie pētījumi, 129: 477–515.
  • Suppes, P., 1957, Ievads loģikā, Ņujorka: Van Nostrand Reinhold.
  • Tarski, A., 1983, Loģika, semantika, metamatemātika: Raksti no 1923. līdz 1938. gadam, otrais izdevums, rediģējis J. Corcoran, Indianapolisa: Hackett Publishing Company.
  • Urbaniak, R., un Hämäri, KS, 2012, “Mīta pārņemšana par Lešņevski un definīcijas”, Loģikas vēsture un filozofija, 33: 159–189.
  • Villanueva, E., (ed.), 1997, Patiesība (Filozofiskie jautājumi 8), Atascadero: Ridgeview Publishing Company.
  • Whitehead, AN, un Russell, B., 1925, Principia Mathematica, vol. 1, otrais izdevums, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Vaitlijs, CH, 1956. gads, “Jēga un elastīga definīcija”, Mind, 65: 332–335.
  • Vitgenšteins, L., 1953. gads, Filozofiskie izmeklējumi, Ņujorka: Makmillans.

Akadēmiskie rīki

sep cilvēks ikona
sep cilvēks ikona
Kā citēt šo ierakstu.
sep cilvēks ikona
sep cilvēks ikona
Priekšskatiet šī ieraksta PDF versiju vietnē SEP Friends.
inpho ikona
inpho ikona
Uzmeklējiet šo ierakstu tēmu interneta filozofijas ontoloģijas projektā (InPhO).
phil papīru ikona
phil papīru ikona
Uzlabota šī ieraksta bibliogrāfija vietnē PhilPapers ar saitēm uz tā datu bāzi.

Citi interneta resursi

Ieteicams: